專(zhuān)題之歸納轉(zhuǎn)化思想-滬教版（上海）高中數(shù)學(xué)2019-2020學(xué)年高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教案（教育機(jī)構(gòu)專(zhuān)用）

滬教版（上海）高中數(shù)學(xué)2019-2020學(xué)年度高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題之轉(zhuǎn)化與化歸思想課前引入匈牙利著名數(shù)學(xué)家羅莎·彼得在他的名著《無(wú)窮的玩藝》中，通過(guò)一個(gè)十分生動(dòng)而有趣的笑話，來(lái)說(shuō)明數(shù)學(xué)家是如何用化歸的思想方法來(lái)解題的。有人提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：“假設(shè)在你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，你想燒開(kāi)水，應(yīng)當(dāng)怎樣去做？”對(duì)此，某人回答說(shuō)：“在壺中灌上水，點(diǎn)燃煤氣，再把壺放在煤氣灶上?！碧釂?wèn)者肯定了這一回答，但是，他又追問(wèn)道：“如果其他的條件都沒(méi)有變化，只是水壺中已經(jīng)有了足夠的水，那么你又應(yīng)該怎樣去做？”這時(shí)被提問(wèn)者一定會(huì)大聲而有把握地回答說(shuō)：“點(diǎn)燃煤氣，再把水壺放上去?！钡歉晟频幕卮饝?yīng)該是這樣的：“只有物理學(xué)家才會(huì)按照剛才所說(shuō)的辦法去做，而數(shù)學(xué)家卻會(huì)回答：‘只須把水壺中的水倒掉，問(wèn)題就化歸為前面所說(shuō)的問(wèn)題了?！薄鞍阉沟簟?，把追加的新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決的老問(wèn)題，這就是化歸，這就是數(shù)學(xué)家常用的方法?；瘹w的意義：轉(zhuǎn)化與歸結(jié)（把待解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為已解決的問(wèn)題）教學(xué)目標(biāo)掌握常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化方法知識(shí)梳理高中常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化方法：正與反的轉(zhuǎn)化常量和變量的轉(zhuǎn)化特殊與一般的轉(zhuǎn)化等與不等的轉(zhuǎn)化陌生與熟悉的轉(zhuǎn)化典例精講對(duì)于那些從“正面進(jìn)攻”很難奏效或運(yùn)算較繁的問(wèn)題，可先攻其反面，運(yùn)用補(bǔ)集思想從而使正面得以解決。（★★★）已知函數(shù)在（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：至少有一個(gè)零點(diǎn)的情況比較復(fù)雜，而其反面為沒(méi)有零點(diǎn)，比較容易處理。解：（法一）當(dāng)函數(shù)在（0，1）內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)時(shí)在（0，1）內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)根，即在（0，1）內(nèi)，.而當(dāng)（0，1）時(shí)，，得。要使，必有故滿足題設(shè)的實(shí)數(shù)的取值范圍是（法二）設(shè)，對(duì)稱(chēng)軸為，注意到，故對(duì)稱(chēng)軸必須在軸的右側(cè)。(1)當(dāng)時(shí)，即，有，此時(shí)；(2)當(dāng)時(shí)，有此時(shí)有。綜合（1）（2）得實(shí)數(shù)的取值范圍是在處理多變?cè)臄?shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們可以選取其中的常數(shù)（或參數(shù)），將其看做是“主元”，而把其它變?cè)醋鍪浅Ａ浚瑥亩_(dá)到減少變?cè)?jiǎn)化運(yùn)算的目的。（★★★）已知曲線系的方程為,試證明:坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)(,在中總存在一橢圓和一雙曲線過(guò)該點(diǎn).分析：若從曲線的角度去考慮,即以x,y為主元,思維受阻.若從k來(lái)考慮,不難看出,當(dāng)表示的曲線分別為橢圓和雙曲線,問(wèn)題歸結(jié)為證明在區(qū)間和(4,9)內(nèi)分別存在k值,使曲線過(guò)點(diǎn)(a,b).解：設(shè)點(diǎn)()在曲線上,則整理得①可知f(k)=0,根據(jù)函數(shù)圖象開(kāi)口向上,可知方程①在和(4,9)內(nèi)分別有一根,即對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)(a,b),在曲線系中總存在一橢圓和一雙曲線通過(guò)該點(diǎn).一般成立，特殊也成立。特殊可以得到一般性的規(guī)律。這種辯證思想在高中數(shù)學(xué)中普遍存在，經(jīng)常運(yùn)用，這也是化歸思想的體現(xiàn)。（★★★）已知向量，若，滿足，則的面積等于。分析：可取的某些特殊值代人求解。解：由條件可得。利用特殊值，如設(shè)代入，則，故面積為1。例4、（★★★）已知函數(shù),求的值.分析:直接代入計(jì)算較為復(fù)雜,可尋求f(x)與f(1-x)的關(guān)系.解:===于是==相等于不等是數(shù)學(xué)解題中矛盾的兩方面，但是它們?cè)谝欢ǖ臈l件下可以互相轉(zhuǎn)化，例如有些題目，表面看來(lái)似乎只具有相等的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)這些相等關(guān)系又難以解決問(wèn)題，但若能挖掘其中的不等關(guān)系，建立不等式（組）去轉(zhuǎn)化，往往能獲得簡(jiǎn)捷求解的效果。例5、（可選）（★★★）已知都是實(shí)數(shù)，且求證：。分析：利用均值不等式先得到一個(gè)不等關(guān)系，再結(jié)合已知中的相等關(guān)系尋求與之間的關(guān)系。解：，。又，且即。數(shù)學(xué)解題過(guò)程事實(shí)上就是把問(wèn)題由陌生向熟悉的轉(zhuǎn)化過(guò)程，注意類(lèi)比以前解決過(guò)的問(wèn)題，找出其共性和差異性，應(yīng)用解題中，通常表現(xiàn)為構(gòu)造熟悉的事例模型，在待解決問(wèn)題和已解決問(wèn)題之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化。例6、（★★★）對(duì)任意函數(shù)可按圖示構(gòu)造一個(gè)數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下：輸入數(shù)據(jù)，經(jīng)數(shù)列發(fā)生器輸出；②若，則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；若則將反饋回輸入端，再輸出，并依此規(guī)律繼續(xù)下去，現(xiàn)定義。⑴若輸入，則由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列，請(qǐng)寫(xiě)出的所有項(xiàng)；⑵若要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)無(wú)窮的常數(shù)列，試求輸入的初始數(shù)據(jù)的值；⑶若輸入時(shí)，產(chǎn)生的無(wú)窮數(shù)列，滿足對(duì)任意正整數(shù)n均有，求的取值范圍。分析：此題富有新意，綜合性、抽象性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵就是應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想將題意條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言。解：（1）的定義域，數(shù)列只有三項(xiàng)，，，（2），即，故當(dāng)時(shí)，（3）解不等式，得或，要使，則或?qū)τ诤瘮?shù)，若則；若則且依此類(lèi)推可得數(shù)列的所有項(xiàng)均滿足綜上所述，由，得回顧總結(jié) 由以上幾種典型題型的剖析足以說(shuō)明掌握好化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法對(duì)學(xué)好高中數(shù)學(xué)是非常有幫助的，它可以幫助我們尋找到一些簡(jiǎn)單的方法來(lái)解決一些較為復(fù)雜的題目。但我們?cè)趹?yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法還應(yīng)注意它的三