立體幾何 07球的切、接問題 突破專項訓(xùn)練-2022屆高三數(shù)學(xué)解答題

臨澧一中2022屆高三數(shù)學(xué)解答題突破專項訓(xùn)練立體幾何07（球的切、接問題）類型一墻角模型（適用條件：3組或3條棱兩兩垂直；或可在長方體中畫出該圖且各頂點與長方體的頂點重合）1．（1）已知長方體中，，，與平面所成角的正弦值為，則該長方體的外接球的表面積為．（2）球面上有四個點，若兩兩垂直，且，則該球的表面積為．類型二麻花模型（適用條件：對棱相等的三棱錐）2．在四面體中，若，，，則四面體的外接球的表面積為．類型三矩形模型（適用條件：棱錐有兩個平面為直角三角形且斜邊為同一邊）3．（1）在四面體中，，，則四面體的外接球的表面積為()（2）四面體中，，平面，，，，則該四面體外接球的表面積為（）類型四漢堡模型（適用條件：有一條側(cè)棱垂直與底面的柱體或椎體）4．（1）在四棱錐中，四邊形是邊長為2的正方形，且平面，則該四棱錐外接球的表面積為（）（2）如圖，在三棱錐A﹣BCD中，BD平面ADC，BD＝1，AB＝2，BC＝3，AC＝，則三棱錐A﹣BCD外接球的體積為（）（3）三棱柱中，平面，，，，，則該三棱柱的外接球的體積為（）（4）在長方體中，，，點在正方形內(nèi)，平面，則三棱錐的外接球表面積為（）類型五折疊模型（適用條件：兩個全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊）5．（1）三棱錐S一ABC中，ABC與SBC都是邊長為1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小為，若S，A，B，C四點都在球O的表面上，則球O的表面積為（）（2）已知二面角的大小為120°，且，，.若點P、A、B、C都在同一個球面上，則該球的表面積的最小值為______.類型六斗笠模型（適用條件：正棱錐或頂點的投影在底面的外心上）6．（1）正三棱錐中，，，則該棱錐外接球的表面積為（）（2）已知正三棱錐的側(cè)棱長為，底面邊長為6，則該正三棱錐外接球的表面積是________.類型七切瓜模型（適用條件：有兩個平面互相垂直的棱錐）7．（1）已知三棱錐中，，，，，面面，則此三棱錐的外接球的表面積為（）（2）已知三棱錐中，平面平面，且和都是邊長為2的等邊三角形，則該三棱錐的外接球表面積為（）類型八鱷魚模型（適用條件：適用所有的棱錐）8．（1）在三棱錐中，和均為邊長為2的等邊三角形，且二面角的平面角為，則三棱錐的外接球的表面積為________．（2）在三棱錐S－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝eq\r(2)，SA＝SC＝2，二面角S－AC－B的余弦值是－eq\f(\r(3),3)，若S，A，B，C都在同一球面上，則該球的表面積是________．（3）已知空間四邊形中，，，，若二面角的取值范圍為，，則該幾何體的外接球表面積的取值范圍為________．（4）在三棱錐中，，三角形為等邊三角形，二面角的余弦值為，當(dāng)三棱錐的體積最大值為時，三棱錐的外接球的表面積為________．類型九最值模型9．（1）已知三棱錐P－ABC的頂點P，A，B，C在球O的球面上，△ABC是邊長為eq\r(3)的等邊三角形，如果球O的表面積為36π，那么P到平面ABC距離的最大值為________．（2）在四面體ABCD中，AB＝1，BC＝CD＝eq\r(3)，AC＝eq\r(2)，當(dāng)四面體ABCD的體積最大時，其外接球的表面積為________．（3）已知四棱錐S－ABCD的所有頂點在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面內(nèi)，當(dāng)四棱錐的體積取得最大值時，其表面積等于16＋16eq\r(3)，則球O的體積等于______．（4）三棱錐A－BCD內(nèi)接于半徑為eq\r(5)的球O中，AB＝CD＝4，則三棱錐A－BCD的體積的最大值為________．類型十內(nèi)切球的半徑---等體積法秒殺公式：10．（1）正四面體的外接球與內(nèi)切球的表面積比為（）A． B． C． D．不確定（2）已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC為等邊三角形，若該棱柱存在外接球與內(nèi)切球，則其外接球與內(nèi)切球表面積之比為（）臨澧一中2022屆高三數(shù)學(xué)解答題突破專項訓(xùn)練立體幾何07（球的切、接問題）1．（1）由題意可知，該球是一個棱長為4的正方體的外接球，設(shè)球的半徑為，由題意可得：,據(jù)此可得：，外接球的表面積為：.（2）作，垂足為，連接，.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以是與平面所成的平面角.又，.所以，解得.故該長方體的體對角線為.設(shè)長方體的外接球的半徑為，則，解得.所以該長方體的外接球的表面積為.2．由題意可采用割補法，考慮到四面體ABCD的四個面為全等的三角形，所以可在其每個面補上一個以，2，為三邊的三角形作為底面，且以分別x，y，z長、兩兩垂直的側(cè)棱的三棱錐，從而可得到一個長、寬、高分別為x，y，z的長方體，并且x2+y2＝3，x2+z2＝5，y2+z2＝4，則有（2R）2＝x2+y2+z2＝6（R為球的半徑），得2R2＝3，所以球的表面積為S＝4πR2＝6π．3．（1）由，，所以，可得，所以，即為外接球的球心，球的半徑，所以四面體的外接球的表面積為：.（2）如圖所示：由已知可得與為直角三角形，所以該幾何體的外接球球心為的中點O，因為,且,所以,所以,所以四面體的外接球半徑,則表面積.4．（1）由題意，四棱錐中，四邊形是邊長為2的正方形，且平面，可把四棱錐放置在如圖所示的一個長方體內(nèi)，其中長方體的長、寬、高分別為，則四棱錐的外接球和長方體的外接球表示同一個球，設(shè)四棱錐的外接球的半徑為，可得，解得，所以該四棱錐外接球的表面積為.（2）因為BD平面ADC，所以，，所以，，所以，所以，所以以、、為棱的長方體與三棱錐A﹣BCD具有相同的外接球，所以該外接球的直徑為，半徑為，則該外接球的體積為.（3）如圖，取中點，連交于點，，為的外接圓圓心，，，，外接圓半徑為,，平面，平面，又，點為三棱柱的外接球球心，外接球半徑，外接球體積.（4）長方體中，平面，平面，∴，又平面，平面，∴，∵，∴平面，而平面，∴，∵是正方形，∴是與交點，即為的中點，也是的中點．∵是直角三角形，設(shè)是中點，是中點，則由可得平面（長方體中棱與相交面垂直），又是的外心，∴三棱錐的外接球球心在直線上（線段或的延長線上）．設(shè)，則，解得，∴外接球半徑為，表面積為．5．（1）如圖，取線段BC的中點D，連結(jié)AD，SD，由題意得ADBC，SDBC，∴ADS是二面角A﹣BC﹣S的平面角，∴ADS，由題意得BC平面ADS，分別取AD，SD的三等分點E，F(xiàn)，在平面ADS內(nèi)，過點E，F(xiàn)分別作直線垂直于AD，SD，則兩條直線的交點即球心O，連結(jié)OA，則球O半徑R＝|OA|，由題意知BD，AD，DE，AE，連結(jié)OD，在RtODE中，，OEDE，∴OA2＝OE2+AE2，∴球O的表面積為S＝4πR2．（2）設(shè)，則，設(shè)和的外心分別為、，則分別為的中點，過點分別作和所在平面的垂線，兩垂線的交點為點，則為三棱錐的外心，連接，則為三棱錐外接球的半徑．取的中點，連接、、，如圖所示，由題意可知，，，，且，，為二面角的平面角，即，連接．平面，平面，，，四點共圓，且該圓的直徑為．在中，由余弦定理知，的外接圓直徑，當(dāng)時，取得最小值，為，此時該球的表面積取得最小值，為．6．（1）正三棱錐中，，,所以,故,同理可得,,以為棱構(gòu)造正方體，則該棱錐外接球即為該正方體的外接球，如圖，所以，故球的表面積為.（2）過點作平面于點，記球心為.∵在正三棱錐中，底面邊長為6，側(cè)棱長為，∴，∴.∵球心到四個頂點的距離相等，均等于該正三棱錐外接球的半徑長，∴，.在中，，即，解得，∴外接球的表面積為.7．（1）如圖，，，，，，所以的外接圓的圓心為斜邊的中點,，為等腰三角形.取的中點，連接，，，,,又面面，面面，面，面，過點作的平行線，則球心一定在該直線上.設(shè)的外接圓的圓心為，,則點在上，連接,由球的性質(zhì)則，平面，則為矩形.在中，,則所以的外接圓的半徑所以，則則所以球的半徑為所以三棱錐的外接球的表面積為．（2）如圖，由已知可得，與均為等邊三角形，取中點，連接，，則，∵平面平面，則平面，分別取與的外心，過分別作兩面的垂線，相交于，則為三棱錐的外接球的球心，由與均為邊長為的等邊三角形，可得，，，∴三棱錐A?BCD的外接球的表面積為.8．（1）如圖，取中點，連接，，因為與均為邊長為2的等邊三角形，所以，，則為二面角的平面角，即，設(shè)與外接圓圓心分別為，，則由，可得，，分別過作平面，平面的垂線，則三棱錐的外接球一定是兩條垂線的交點，記為，連接，，則由對稱性可得，所以，則，則三棱錐外接球的表面積．（2）如圖，取AC的中點D，連接SD，BD．因為SA＝SC，AB＝BC，所以SD⊥AC，BD⊥AC，可得∠SDB即為二面角S－AC－B的平面角，故cos∠SDB＝－eq\f(\r(3),3)．在△ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝eq\r(2)，則AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝2，所以CD＝AD＝1．在Rt△SDC中，SD＝eq\r(SC2－CD2)＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)，同理可得BD＝1，由余弦定理得cos∠SDB＝eq\f(3＋1－SB2,2×\r(3)×1)＝－eq\f(\r(3),3)，解得SB＝eq\r(6)．在△SCB中，SC2＋CB2＝4＋2＝(eq\r(6))2＝SB2，所以△SCB為直角三角形，同理可得△SAB為直角三角形，取SB的中點E，則SE＝EB＝eq\f(\r(6),2)，在Rt△SCB與Rt△SAB中，EA＝eq\f(SB,2)＝eq\f(\r(6),2)，EC＝eq\f(SB,2)＝eq\f(\r(6),2)，所以點E為該球的球心，半徑為eq\f(\r(6),2)，所以該球的表面積為S＝4×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up12(2)＝6π．（3）結(jié)合二面角的取值范圍為，，則有：①當(dāng)二面角的取值范圍為時，面面，此時外接圓的半徑最小，設(shè)為，則有，解得，此時外接圓的表面積，②當(dāng)二面角的取值范圍為或時，此時外接圓的半徑最大，設(shè)為，設(shè)為等邊的中心，中點為外接圓的圓心，過作面的垂線，過作面的垂線，兩垂線的交點為空間四邊形外接球球心，在面內(nèi)作，則，，，則外接球表面積．（4）如圖所示，過點作面，垂足為，過點作交于點，連接，則為二面角的平面角的補角，即有，易知面，則，而為等邊三角形，所以為中點，設(shè)，，，則，故三棱錐的體積為：，當(dāng)且僅當(dāng)時，體積最大，則，即，，所以、、三點共線，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，半徑為，過點作于，則四邊形為矩形，則，，，在中，，解得，三棱錐的外接球的表面積為．9．（1）依題意，邊長是eq\r(3)的等邊△ABC的外接圓半徑r＝eq\f(1,2)·eq\f(\r(3),sin60°)＝1.∵球O的表面積為36π＝4πR2，∴球O的半徑R＝3，∴球心O到平面ABC的距離d＝eq\r(R2－r2)＝2eq\r(2)，∴球面上的點P到平面ABC距離的最大值為R＋d＝3＋2eq\r(2)．（2）∵AB＝1，BC＝eq\r(3)，AC＝eq\r(2)，由勾股定理可得AB2＋AC2＝BC2，所以△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，且該三角形的外接圓直徑為BC＝eq\r(3)，當(dāng)CD⊥平面ABC時，四面體ABCD的體積取最大值，此時，其外接球的直徑為2R＝eq\r(BC2＋CD2)＝eq\r(6)，因此，四面體ABCD的外接球的表面積為4πR2＝π×(2R)2＝6π．（3）由題意得，當(dāng)四棱錐的體積取得最大值時，該四棱錐為正四棱錐．因為該四棱錐的表面積等于16＋16eq\r(3)，設(shè)球O的半徑為R，則AC＝2R，SO＝R，如圖，所以該四棱錐的底面邊長AB＝eq\r(2)R，則有(eq\r(2)R)2＋4×eq\f(1,2)×eq\r(2)R×eq\r((\r(2)R)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)R))\s\up12(2))＝16＋16eq\r(3)，解得R＝2eq\r(2)，所以球O的體積是eq\f(4,3)πR3＝eq\f(64\r(2),3)π．（4）如圖，過CD作平面ECD，使AB⊥平面ECD，交AB于點E，設(shè)點E到CD的距離為EF，當(dāng)球心在EF上時，EF最大，此時E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，且球心O為EF的中點，所以EF＝2，所以Vm