備戰(zhàn)2024中考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)模型01 全等模型（八大易錯(cuò)分析+變式訓(xùn)練+易錯(cuò)題通關(guān)）（原卷版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages2727頁易錯(cuò)模型01全等模型易錯(cuò)模型一：角平分線模型角平分線的性質(zhì)與判定角的平分線的性質(zhì)：角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.用符號(hào)語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：

若CD平分∠ADB，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE＝PF.2、角的平分線的判定：角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.用符號(hào)語言表示角的平分線的判定：

若PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，PE＝PF，則PD平分∠ADB3、角的平分線的尺規(guī)作圖角平分線的尺規(guī)作圖步驟：（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C.

（3）畫射線OC，射線OC即為所求.4、三角形的角平分線：三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分線交于一點(diǎn)，且到三邊的距離相等。角平分線的性質(zhì)定理與判定定理的區(qū)別與聯(lián)系：角平分線的性質(zhì)定理中的題設(shè)“在角的平分線上的點(diǎn)”，這個(gè)點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，實(shí)際上是指角平分線上的任意一點(diǎn)，或者說是角平分線上的所有點(diǎn)都具有“到角兩邊的距離相等”的性質(zhì)。角平分線的性質(zhì)定理與判定定理是兩個(gè)互逆定理，是兩個(gè)互逆的真命題。要從題設(shè)、條件與結(jié)論的關(guān)系上理解它們的區(qū)別和聯(lián)系。點(diǎn)在角平分線上點(diǎn)到這個(gè)叫的兩邊的距離相等。角平分線的性質(zhì)定理與判定定理在應(yīng)用時(shí)的作用不同。性質(zhì)定理的結(jié)論是確定點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的問題。判定定理的結(jié)論是判定點(diǎn)是否在角平分線上的問題?！疽族e(cuò)點(diǎn)】發(fā)現(xiàn)幾何關(guān)鍵字：角平分線，學(xué)會(huì)用角平分線的性質(zhì)添加輔助線——過角平分線上的點(diǎn)向兩邊作垂線；例1．如圖，在中，，和的平分線、相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若已知周長(zhǎng)為，，，則長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．4例2．如圖，在銳角中，，，的平分線交于點(diǎn)D，點(diǎn)M，N分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．

變式1．如圖，在中，平分，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，且，連接，，則的度數(shù)為．用含的式子表示）

變式2．如圖中，，分別作的兩個(gè)內(nèi)角平分線和，、相交于點(diǎn)，連接，有以下結(jié)論：①；②平分；③；④，其中正確的結(jié)論有．變式3．已知，是的平分線．三角板的直角頂點(diǎn)在射線上移動(dòng)，(1)在圖1中，三角板的兩直角邊分別與，交于，，求證：；(2)在圖2中，三角板的一條直角邊與交于點(diǎn)，另一條直角邊與的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，猜想此時(shí)（1）中的結(jié)論是否成立，畫出圖形，并說明理由．1．如圖，為的角平分線，且，為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，，過作，為垂足．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（

）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④2．如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC=36°，則∠CAP=．3．如圖，在五邊形中，，平分，．

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．4．如圖，在中，，的角平分線、相交于點(diǎn)O，求證：．

易錯(cuò)模型二：垂直模型【模型解讀】模型主體為兩個(gè)直角三角形，且兩條斜邊互相垂直．【常見模型】【易錯(cuò)點(diǎn)】善于發(fā)現(xiàn)兩個(gè)有關(guān)聯(lián)的直角，利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余的特征來做；例3．如圖，直線上有三個(gè)正方形，若，的面積分別為5和11，則的面積為（

）A．13 B．16 C．36 D．55例4．如圖，為等腰直角三角形，若，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．變式1．如圖，在中，，，分別過點(diǎn)，作經(jīng)過點(diǎn)的直線的垂線段，，若，，則的長(zhǎng)為．變式2．如圖，是等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，若點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，則經(jīng)過點(diǎn)A的反比例函數(shù)表達(dá)式為．變式3．綜合與實(shí)踐：如圖1，已知中，，，、分別與過點(diǎn)的直線垂直，且垂足分別為，．(1)猜想線段、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．(2)如圖2，當(dāng)過點(diǎn)的直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的內(nèi)部，其他條件不變，線段、、三者之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變？若改變，請(qǐng)直接寫出三者之間的數(shù)量關(guān)系，若不改變，請(qǐng)說明理由；1．如下圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D．DE=6cm，AD=9cm，則BE的長(zhǎng)是（

）A．6cm B．1.5cm C．3cm D．4.5cm2．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B在y軸上，若反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)C，則k的值為．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，B為y軸正半軸上一點(diǎn)，D在第四象限，且，平分，．(1)直接寫出B點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求證：；(3)求四邊形的面積．4．已知，射線于點(diǎn)A，，等腰直角的頂點(diǎn)D，E分別在射線和上，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)．

(1)如圖，點(diǎn)，在線段，上．①若，，求的度數(shù)；②證明：；(2)若，，請(qǐng)直接寫出線段BE的長(zhǎng)．易錯(cuò)模型三：半角模型【模型分析】過等腰三角形頂點(diǎn)兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱為半角模型．【常見模型】常見的圖形為正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系．半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等——得到相關(guān)結(jié)論．【易錯(cuò)點(diǎn)】當(dāng)出現(xiàn)45°角和60°角時(shí)，要聯(lián)系到半角模型；例5．如圖，在中，，，D、E是斜邊上兩點(diǎn)，且，若，，，則與的面積之和為（

）A．36 B．21 C．30 D．22例6．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，若F是BC的中點(diǎn)，且∠EDF＝45°，則DE的長(zhǎng)為．變式1如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD內(nèi)作∠EAF＝45°，AE交BC于點(diǎn)E，AF交CD于點(diǎn)F，連接EF，將ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ABG，若BE＝2，則EF的長(zhǎng)為．變式2．在中，，點(diǎn)在邊上，．若，則的長(zhǎng)為．變式3．（1）閱讀理解如圖1，在正方形ABCD中，若E，F(xiàn)分別是CD，BC邊上的點(diǎn)，∠EAF＝45°，則我們常常會(huì)想到：把ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到ABG．易證AEF≌，得出線段BF，DE，EF之間的關(guān)系為；（2）類比探究如圖2，在等邊ABC中，D，E為BC邊上的點(diǎn)，∠DAE＝30°，BD＝1，EC＝2．求線段DE的長(zhǎng)；（3）拓展應(yīng)用如圖3，在ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝150°，點(diǎn)D，E在BC邊上，∠DAE＝75°，若DE是等腰ADE的腰，請(qǐng)直接寫出線段BD的長(zhǎng)．

1．如圖所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上的兩點(diǎn)，且∠DAE＝45°，將△ADC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△AFB，連接EF，有下列結(jié)論：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正確的有（）

A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④2．如圖，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分別在BD，CD上，∠MAN＝45°，則△DMN的周長(zhǎng)為．3．如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC邊上的點(diǎn)，將△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到△AC，連接E．(1)當(dāng)∠BAC＝120°，∠DAE＝60°時(shí)，求證：DE＝E；(2)當(dāng)DE＝E時(shí)，∠DAE與∠BAC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出，并說明理由．(3)在（2）的結(jié)論下，當(dāng)∠BAC＝90°，BD與DE滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，△EC是等腰直角三角形？（直接寫出結(jié)論，不必證明）4．如圖，四邊形是正方形，E是邊的中點(diǎn)，，且交正方形外角的平分線于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)連接，則的值為__________；(3)連接，設(shè)與交于點(diǎn)H，連接，探究之間的關(guān)系．易錯(cuò)模型四：一線三等角模型【模型解讀】基本圖形如下：此類圖形通常告訴BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B＝∠CAE．【常見模型】例7．如圖，點(diǎn)P，D分別是∠ABC邊BA，BC上的點(diǎn)，且，．連結(jié)PD，以PD為邊，在PD的右側(cè)作等邊△DPE，連結(jié)BE，則△BDE的面積為（

）A． B．2 C．4 D．例8．小李用7塊長(zhǎng)為，寬為的相同長(zhǎng)方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板點(diǎn)在上，點(diǎn)和分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離為．變式1．如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接、，若，，則的長(zhǎng)為．

變式2．如圖所示，中，．直線l經(jīng)過點(diǎn)A，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F．若，則．

變式3．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交于、兩點(diǎn)，若是等腰直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

1．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點(diǎn)E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C． D．2．如圖，已知ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD⊥DE于點(diǎn)D，BE⊥DE于點(diǎn)E，且點(diǎn)C在DE上，若AD＝5，BE＝8，則DE的長(zhǎng)為．3．如圖1，在中，，,直線經(jīng)過邊．將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E．

(1)當(dāng)繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，①求證：；②求證：；(2)當(dāng)繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論②還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．4．在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，且于，于．

(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖1位置時(shí)，求證：；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，試問：、、有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明；(3)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí)，、、之間的等量關(guān)系是___（直接寫出答案，不需證明）．易錯(cuò)模型五：手拉手模型【模型分析】將兩個(gè)三角形繞著公共頂點(diǎn)（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個(gè)三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等．【模型圖示】公共頂點(diǎn)A記為“頭”，每個(gè)三角形另兩個(gè)頂點(diǎn)逆時(shí)針順序數(shù)的第一個(gè)頂點(diǎn)記為“左手”，第二個(gè)頂點(diǎn)記為“右手”．對(duì)應(yīng)操作：左手拉左手（即連結(jié)BD），右手拉右手（即連結(jié)CE），得．【常見模型】（等腰）（等邊）（等腰直角）例9．如圖，在ABC中，AB=AC=2，∠BAC=，D為線段BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，以BD為邊向上作等邊BED，連接CE、AD，則AD+CE的最小值為（

）

A．4 B．2+6 C．+3 D．6例10．如圖，C為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、E重合），在同側(cè)分別作正和正，與交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)P，與交于點(diǎn)Q，連接．以下五個(gè)結(jié)論：①；②；③；④；⑤．恒成立的結(jié)論有．（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）變式1．如圖，和都是等腰直角三角形，，的頂點(diǎn)A在的斜邊DE上，連接BD，有下列結(jié)論：①；②；③；④；其中正確的結(jié)論有（填序號(hào)）變式2．已知：如圖，正方形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，E、F分別是邊AD、CD上的點(diǎn)，若AE=4cm，CF=3cm，且OE⊥OF，連接EF，則EF的長(zhǎng)為．變式3．如圖，大小不同的兩塊三角板和直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)處，，，連接、，點(diǎn)恰好在線段上．(1)找出圖中的全等三角形，并說明理由；(2)猜想與的位置關(guān)系，并說明理由．1．如圖，點(diǎn)C是線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ，有以下5個(gè)結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的結(jié)論有（

）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．42．如圖，，均是等邊三角形，點(diǎn)A，C，B在同一條直線上，且，分別與，交于點(diǎn)M，N，連結(jié)．則下列結(jié)論：（1）；（2）為等邊三角形；（3）平分；（4）；（5）平分．其中正確的有（

）3．如圖，已知四邊形是正方形，對(duì)角線相交于O，設(shè)E、F分別是上的點(diǎn)，若，，求四邊形的面積．4．如圖，已知是等邊三角形，過點(diǎn)作（），且，連接、．

(1)求證：四邊形是等腰梯形；(2)點(diǎn)在腰上，連接交于點(diǎn)，若，求證：．易錯(cuò)模型六：旋轉(zhuǎn)模型【模型解讀】將三角形繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個(gè)三角形能夠完全重合，則稱這兩個(gè)三角形為旋轉(zhuǎn)型三角形，識(shí)別旋轉(zhuǎn)型三角形時(shí)，涉及對(duì)頂角相等、等角加（減）公共角的條件．【常見模型】例11．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點(diǎn)（點(diǎn)D與A，B不重合），連結(jié)CD，將線段CD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連結(jié)DE交BC于點(diǎn)F，連接BE．當(dāng)AD＝BF時(shí)，∠BEF的度數(shù)是（）

A．45° B．60° C．62.5° D．67.5°例12．如圖，等邊中，，則以線段為邊構(gòu)成的三角形的各角的度數(shù)分別為．變式1．如圖，正方形ABCD中，AB=，O是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，OE=4，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DF，連接AE、CF，則線段OF長(zhǎng)的最小值為變式2．如圖，在四邊形中，于，則的長(zhǎng)為變式3．如圖1，等邊中，分別交、于點(diǎn)D、E．(1)求證：是等邊三角形；(2)將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（），設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)F．①如圖2，當(dāng)時(shí)，判斷的度數(shù)是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由；②若，，當(dāng)B，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，求的長(zhǎng)．1．如圖，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜邊，將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與△ACP′重合，如果AP=3cm，那么PP′的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．2．如圖，和都是等腰直角三角形，，，則度．3．等腰中，，．

(1)如圖1，，是等腰斜邊上兩動(dòng)點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到，連接．①求證：．②當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，點(diǎn)是等腰斜邊所在直線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)作等腰，當(dāng)，時(shí)，則的長(zhǎng)__________．（直接給出答案）．4．已知點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，分別以為邊在線段AB同側(cè)作和，且．，，直線與交于點(diǎn)F．

(1)如圖1，可得___________；若，則___________．(2)如圖2，若，則___________．（用含a的式子表示）(3)設(shè)，將圖2中的繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度（交點(diǎn)F至少在中的一條線段上），如圖3．試探究與a的數(shù)量關(guān)系，并予以說明．易錯(cuò)模型七：倍長(zhǎng)中線模型【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時(shí)，常常采用“倍長(zhǎng)中線法”添加輔助線．所謂倍長(zhǎng)中線法，就是將三角形的中線延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來解決問題的方法．（注：一般都是原題已經(jīng)有中線時(shí)用，不太會(huì)有自己畫中線的時(shí)候）?！境Ｒ娔Ｐ图白C法】1、基本型：如圖1，在三角形ABC中，AD為BC邊上的中線.證明思路：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使得AD=DE.若連結(jié)BE，則；若連結(jié)EC，則；2、中點(diǎn)型:如圖2，為的中點(diǎn).證明思路：若延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連結(jié)，則;若延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連結(jié)，則.3、中點(diǎn)+平行線型：如圖3,，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).證明思路：延長(zhǎng)交于點(diǎn)(或交延長(zhǎng)線于點(diǎn))，則.例13．在中，，中線，則邊的取值范圍是（）A． B． C． D．例14、如圖，在中，為邊的中線，E為上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，若，，，則的長(zhǎng)為．變式1．如圖，在，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，連接，平分，交于中點(diǎn)，連接，若，則．

變式2．如圖，中，點(diǎn)D在上，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接，則．變式3．（1）如圖①，在中，若，，為邊上的中線，求的取值范圍；（2）如圖②，在中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接，判斷與的大小關(guān)系并證明；（3）如圖③，在四邊形中，，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，若是的角平分線．試探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．1．如圖，在四邊形中，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）．A．2 B． C． D．32．如圖，在中，，，求邊上中線的范圍為．3．如圖，為中線，點(diǎn)在上，交于點(diǎn)，．求證：．4．已知中，(1)如圖1，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使，則與的數(shù)量關(guān)系是．(2)如圖2，若，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接，若，求證：．(3)如圖3，點(diǎn)D在內(nèi)部，且滿足，點(diǎn)M在的延長(zhǎng)線上，連接交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，若點(diǎn)N為的中點(diǎn)，求證：．易錯(cuò)模型八：截長(zhǎng)補(bǔ)短模型【模型解讀】截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法適