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第五章

切比雪夫不等式一、切比雪夫不等式二、大數(shù)定律第一節(jié)與大數(shù)定律(13)1/13怎樣從理論上說(shuō)明這一現(xiàn)象?這么作理論依據(jù)是什么?

問(wèn)題1頻率穩(wěn)定性問(wèn)題事件A發(fā)生頻率在相同條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn),總是在[0,1]上一個(gè)確定常數(shù)p附近擺動(dòng),而且伴隨試驗(yàn)次數(shù)n增大,越來(lái)越穩(wěn)定地趨于p。問(wèn)題2在精密測(cè)量時(shí)要重復(fù)測(cè)量然后再取平均值?引言:2/13問(wèn)題1就能得以處理.(1)對(duì)于問(wèn)題1,要說(shuō)明頻率趨于常數(shù)p,自然會(huì)想到極限概念.假如能證實(shí)即對(duì)任意存在正整數(shù)N,對(duì)于因?yàn)?其隨機(jī)性使不論N取多大值,請(qǐng)看下面圖示:3/134/13(3)(2)所以,只能求其次,去求證下面兩式成立:為此,先來(lái)證實(shí)概率論中一個(gè)主要不等式——切比雪夫不等式.或或5/13一.切比雪夫不等式(4)(5)即有定理1(切比雪夫定理)設(shè)隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望方差存在,則對(duì)任意有:證:僅就連續(xù)型隨機(jī)變量情形進(jìn)行證實(shí).設(shè)X概率密度函數(shù)為則有6/13證畢.方差為由切比雪夫不等式有:解:試預(yù)計(jì)X落在(80,120)內(nèi)概率.例1

已知隨機(jī)變量X數(shù)學(xué)期望為7/13例2在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生概率為0.5.試用切比解:雪夫不等式預(yù)計(jì)在1000次獨(dú)立試驗(yàn)中,事件A發(fā)生次數(shù)在450至550次之間概率.設(shè)X表示事件A在1000次獨(dú)立試驗(yàn)中發(fā)生次數(shù),則:由切比雪夫不等式有:8/13二.大數(shù)定律定理2用事件發(fā)生頻率來(lái)近似地預(yù)計(jì)它概率.貝努里大數(shù)定律說(shuō)明,在相同條件下獨(dú)立地重復(fù)做n次當(dāng)n較大時(shí),事件A發(fā)生頻率與在每概率可任意地?。拷?).所以,在實(shí)踐中能夠通試驗(yàn),次試驗(yàn)中發(fā)生概率p之差絕對(duì)值大于任意指定正數(shù)過(guò)重復(fù)試驗(yàn),貝努里大數(shù)定律9/13所以由切比雪夫不等式,證:有下式成立兩邊取極限,得對(duì)任意10/13切比雪夫大數(shù)定理定理3:證:11/13由切比雪夫不等式,對(duì)任意有:從而:證畢.推論:12/13推論說(shuō)明,若對(duì)同一隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行重復(fù)觀察,則其平均值與它期望值之差絕對(duì)值大于任意指定小數(shù)概率可任意地小.這一理論恰好回答了問(wèn)題2.即在進(jìn)行精密測(cè)量時(shí),為降低測(cè)量誤差,能夠重復(fù)測(cè)量屢次,然后用測(cè)量值平均值來(lái)代替實(shí)際真值.當(dāng)測(cè)

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