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文檔簡介

第五章

切比雪夫不等式一、切比雪夫不等式二、大數(shù)定律第一節(jié)與大數(shù)定律(13)1/13怎樣從理論上說明這一現(xiàn)象？這么作理論依據(jù)是什么？

問題1頻率穩(wěn)定性問題事件A發(fā)生頻率在相同條件下進行n次重復(fù)試驗，總是在[0,1]上一個確定常數(shù)p附近擺動，而且伴隨試驗次數(shù)n增大，越來越穩(wěn)定地趨于p。問題2在精密測量時要重復(fù)測量然后再取平均值？引言:2/13問題1就能得以處理.（1）對于問題1，要說明頻率趨于常數(shù)p，自然會想到極限概念.假如能證實即對任意存在正整數(shù)N，對于因為,其隨機性使不論N取多大值,請看下面圖示:3/134/13（3）（2）所以，只能求其次，去求證下面兩式成立：為此,先來證實概率論中一個主要不等式——切比雪夫不等式.或或5/13一.切比雪夫不等式（4）（5）即有定理1（切比雪夫定理）設(shè)隨機變量數(shù)學(xué)期望方差存在，則對任意有：證:僅就連續(xù)型隨機變量情形進行證實.設(shè)X概率密度函數(shù)為則有6/13證畢.方差為由切比雪夫不等式有:解:試預(yù)計X落在(80,120)內(nèi)概率.例1

已知隨機變量X數(shù)學(xué)期望為7/13例2在每次試驗中事件A發(fā)生概率為0.5.試用切比解：雪夫不等式預(yù)計在1000次獨立試驗中,事件A發(fā)生次數(shù)在450至550次之間概率.設(shè)X表示事件A在1000次獨立試驗中發(fā)生次數(shù),則：由切比雪夫不等式有：8/13二.大數(shù)定律定理2用事件發(fā)生頻率來近似地預(yù)計它概率.貝努里大數(shù)定律說明，在相同條件下獨立地重復(fù)做n次當n較大時，事件A發(fā)生頻率與在每概率可任意地?。拷?）.所以，在實踐中能夠通試驗，次試驗中發(fā)生概率p之差絕對值大于任意指定正數(shù)過重復(fù)試驗，貝努里大數(shù)定律9/13所以由切比雪夫不等式，證:有下式成立兩邊取極限，得對任意10/13切比雪夫大數(shù)定理定理3：證：11/13由切比雪夫不等式，對任意有：從而：證畢.推論：12/13推論說明，若對同一隨機現(xiàn)象進行重復(fù)觀察，則其平均值與它期望值之差絕對值大于任意指定小數(shù)概率可任意地小.這一理論恰好回答了問題2.即在進行精密測量時，為降低測量誤差，能夠重復(fù)測量屢次，然后用測量值平均值來代替實際真值.當測

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