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離散型隨機變量及其分布律連續(xù)型隨機變量隨機變量及其分布函數(shù)第四章隨機變量及其分布1/57基本思想將樣本空間數(shù)量化,即用數(shù)值來表示試驗結(jié)果

有些隨機試驗結(jié)果可直接用數(shù)值來表示.比如:在擲骰子試驗中,結(jié)果可用1,2,3,4,5,6來表示

比如:擲硬幣試驗,其結(jié)果是用漢字“正面”和“反面”來表示可要求:用1表示“正面朝上”用0表示“反面朝上”

有些隨機試驗結(jié)果不是用數(shù)量來表示，但可數(shù)量化§4.1

隨機變量及其分布函數(shù)一、隨機變量2/57隨機變量定義設(shè)隨機試驗樣本空間為Ω，假如對于每一個樣本點，都有唯一實數(shù)與之對應(yīng)，稱為樣本空間Ω上隨機變量。3/57例1

從裝有三個白球（記為1,2，3號）與兩個黑球（記為4,5號）袋中任取兩個球，設(shè)隨機變量X表示取出兩個球中白球個數(shù)。在以下兩種情形下，X是怎樣表示？（1）觀察取出兩個球顏色（2）觀察取出兩個球號碼。解(1)試驗樣本點和基本事件＝｛取出兩個白球｝

＝｛取出兩個黑球｝

＝｛取出一個白球與一個黑球｝

12345＝｛取出第i號球與第j號球｝

＝｛（i,j）｝

(2)試驗樣本點和基本事件4/57用隨機變量表示事件

如在擲骰子試驗中，用X表示出現(xiàn)點數(shù),則

A=“出現(xiàn)偶數(shù)點”可表示為：{X=2}

{X=4}

{X=6}

B=“出現(xiàn)點數(shù)小于４”可表示為：{X<4}或{X3}P(A)=P({X=2}

{X=4}

{X=6})P(B)=P(X<4)=P(X3)也能夠是等式或是不等式。=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)5/57引入隨機變量。隨機事件由：樣本點集合——隨機變量取值區(qū)間概率確實定——函數(shù)計算這個函數(shù)就是隨機變量概率分布函數(shù)隨機變量樣本點純數(shù)學計算概率事件區(qū)間/數(shù)集6/57二、隨機變量分布函數(shù)

設(shè)X為一隨機變量,則對任意實數(shù)x，{X≤x}是一個隨機事件，稱為隨機變量X分布函數(shù)定義域為（－∞，＋∞）；值域為［０，１］。F(x)是一個普通函數(shù)！DistributionFunction分布函數(shù)定義7/57分布函數(shù)性質(zhì)單調(diào)不減性非負有界性

0≤F(x)≤1不可能事件必定事件右連續(xù)性反之，含有上述四個性質(zhì)實函數(shù)，必是某個隨機變量分布函數(shù)。故該四個性質(zhì)是分布函數(shù)充分必要性質(zhì)。規(guī)范性8/57問一問能否作為某一隨機變量分布函數(shù)？不是因為函數(shù)可作為分布函數(shù)9/57例2設(shè)一袋中，依次有標著－1、2、2、2、3、3數(shù)字6個球，從中任取一球，令X表示所取球上數(shù)字，求X分布函數(shù)。解

X可能取值為－1,2，3，且當x＜-1時，｛X≤x｝是一個不可能事件，故當-1≤x<2時，｛X≤x｝={X=－1}，故當2≤x<3時，｛X≤x｝={X=－1}∪{X=2}，故當3≤x時，｛X≤x｝是一個必定事件，故即，X分布函數(shù)為10/57

引進分布函數(shù)F(x)后，事件概率都能夠用F(x)函數(shù)值來表示。分布函數(shù)表示事件概率P(X≤b)=F(b)P(a<X≤b)=F(b)﹣F(a)P(X>a)=1﹣P(X≤a)=1-F(a)P(X<b)P(X≥b)P(X＝b)=F(b-0)=1-F(b-0)=F(b)－F(b-0)11/57§4.2

離散型隨機變量

稱此式為X分布律（列）或概率分布（Probabilitydistribution)

設(shè)離散型隨機變量全部可能取值是，而取值概率為即一、離散型隨機變量分布律12/57隨機變量X概率分布全方面表示了X全部可能取值以及取各個值概率情況

p1

，p2

，…p

K…

P

x1，x2，…xk，…X離散隨機變量分布律表格表示法

公式法

表格法性質(zhì)13/57例3

設(shè)離散型隨機變量X分布律為P（X=xi）=pi

i=1、2、…其中0＜p

＜1，求p

值。解：P46

114/57例4

設(shè)袋中有5個球，編號分別為1、2、…、5，從中同時取出3個球，以X表示取出球最小號碼，求X分布律與分布函數(shù)。

解：X全部可能取值為1,2，3，且由古典概率公式可得即X分布律為

X1

23P（X=xi）0.60.30.1故，X分布函數(shù)15/57普通地，對離散型隨機變量

X～P（X=xk）＝pk,k＝1,2,…其分布函數(shù)為

16/57例2中，得到X分布律為求取得球上數(shù)字是非負概率∴P(0≤X)=P(X=2)+P(X=3)分布律確定事件概率例5解∵｛取得球上數(shù)字是非負｝＝{X≥0}＝{X=2}∪{X=3}=1/2+1/3=5/617/57二、幾個常見離散型分布0-1分布(二點分布)1－p

p

P01X

則稱X服從參數(shù)為p

二點分布或(0-1)分布,△背景：樣本空間可劃分為兩種結(jié)果情況都能夠用兩點分布來描述。如：上拋一枚硬幣?！鞫x：

若隨機變量X分布律為:18/57其中0<p<1,則稱X服從參數(shù)為n,p

二項分布(也稱Bernoulli分布）,記為X～B(n,p)在n重貝努利試驗中,若以X表示事件A發(fā)生次數(shù),

則X可能取值為0,1,2,3,…,n.隨機變量X分布律二項分布Binomialdistribution19/57例6

從學校乘汽車去火車站須經(jīng)過3處紅綠燈，設(shè)各處紅綠燈出現(xiàn)相互獨立，且每處遇紅燈概率都是0.25,用X表示碰到紅燈次數(shù)，求X分布律及至多碰到一次紅燈概率。解：此例遇紅燈即為三重貝努利試驗，故所以，即X分布律為

P（X=xi）0

1

2

3

X故至多碰到一次紅燈概率P（X≤1）=P（X=0）+P（X=1）20/57

因為元件總數(shù)很大，而抽取數(shù)相對較小，故可看成是有放回抽樣來處理。這時可認為每只元件是一級品概率是p=0.2,不是一級品概率是1-p=0.8，而元件之間檢驗是相互獨立，故可將檢驗一只元件是否為一級品看作是一次伯努利試驗，檢驗20只元件相當于是做20重伯努利試驗?，F(xiàn)設(shè)X為20只元件含一級品只數(shù)，則例7按要求，某種型號電子元件使用壽命超出1500小時為一級品。已知某一大批產(chǎn)品一級品率為0.2，現(xiàn)在從中隨機地抽查20只，問20只元件中恰有k只(k=0,1,…，20)為一級品概率是多少？故解：21/57例8

設(shè)保險企業(yè)某種人壽保險有1000人投保，每人一年內(nèi)死亡率為0.005，求這1000人中死亡人數(shù)不超出10人概率。

解：設(shè)X為這1000人中一年內(nèi)死亡數(shù)，則X～B（1000，0.005）,故所求概率為P（X≤10）=≈0.986.22/57例9

某人進行射擊，設(shè)每次射擊命中率為0.02，獨立射擊400次，試求最少擊中兩次概率。解：記X為擊中次數(shù)，則故所求概率為

結(jié)果表明，伴隨試驗次數(shù)增多，小概率事件總會發(fā)生！23/57若某人做某事成功率為1%，他重復努力400次，則最少成功一次概率為成功次數(shù)服從二項概率有百分之一希望，就要做百分之百努力24/57泊松分布

Poissondistribution若隨機變量X分布律為:

其中

>0,則稱X服從參數(shù)為

泊松分布X～P()25/57服務(wù)臺在某時間段內(nèi)接待服務(wù)次數(shù)X；候車旅客數(shù)Y;礦井在某段時間發(fā)生事故次數(shù);顯微鏡下相同大小方格內(nèi)微生物數(shù)目；單位體積空氣中含有某種微粒數(shù)目

體積相對小物質(zhì)在較大空間內(nèi)稀疏分布，都能夠看作泊松分布,其參數(shù)

能夠由觀察值平均值求出。

舉例26/57例10在一個放射性物質(zhì)試驗中，共觀察了N=2608次，每次觀察時間為7.5秒，并統(tǒng)計抵達指定區(qū)域內(nèi)質(zhì)點數(shù)。放射粒子數(shù)i觀察次數(shù)Ni頻率fi概率pi0123456789≥10572033835255324082731394527160.02190.07780.14690.0.20400.15640.10470.05330.01720.01040.00610.02090.08070.15620.0.19490.15090.09730.05380.02600.01120.0066總計260811觀察到有i個質(zhì)點次數(shù)為Ni,則

表示有i個質(zhì)點頻率，而pi=P(i;3.870)表示參數(shù)為

概率

27/57例11

設(shè)每分鐘經(jīng)過某交通道口汽車流量X服從泊松分布，且已知在一分鐘內(nèi)無汽車經(jīng)過與恰有一輛汽車經(jīng)過概率相等，求一分鐘內(nèi)最少有兩輛汽車經(jīng)過概率。解：設(shè)X～P（λ），由P（X=0）=P（X=1），知故有λ=1，所以所求概率為P（X≥2）=1―P（X=0）―P（X=1）28/57泊松定理

實際應(yīng)用中：當n較大,p較小，np適中時，即可用泊松公式近似替換二項概率公式二項分布泊松近似ThePoissonApproximationtotheBinomialDistribution29/57幾何分布若隨機變量X分布律為則稱X服從幾何分布。P(X=k)=

其中p+q=1,0<p<1

例12在一個貝努里試驗中，每次試驗成功概率為p，失敗概率為q=1-p(0<p<1),設(shè)試驗進行到第X次才出現(xiàn)成功，求X分布律。X取值為1,2，…，且對應(yīng)概率為P47

11解：30/57§4.3連續(xù)隨機變量

定義

設(shè)X為一隨機變量，分布函數(shù)為F(x),若存在非負實函數(shù)f(x),使對任意實數(shù)x，有則稱X為連續(xù)型隨機變量，f(x)

稱為X概率密度函數(shù),簡稱概率密度或密度函數(shù).Probabilitydensityfunctionp.d.f.一、概率密度函數(shù)定義31/57二、概率密度函數(shù)性質(zhì)1、非負性2、規(guī)范性能夠依據(jù)這兩個性質(zhì)來判斷一個函數(shù)是不是某個連續(xù)型隨機變量密度函數(shù)。32/573、密度函數(shù)在區(qū)間上積分=

隨機變量在區(qū)間上取值概率33/574、密度函數(shù)和分布函數(shù)關(guān)系積分關(guān)系導數(shù)關(guān)系概率密度f(x)不是隨機變量X取值x概率,而是X在點x概率分布密集程度,f(x)大小能反應(yīng)出X取x附近值概率大小.34/57連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)在實數(shù)域內(nèi)處處連續(xù)P（X=a）=0P(a

X<b)=P(a<X

b)=P(a

X

b)=P(a<X<b)X取值在某區(qū)間概率等于密度函數(shù)在此區(qū)間上定積分連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)性質(zhì)所以，連續(xù)型隨機變量取任意指定實數(shù)值a概率為0=F(b)-F(a)35/57已知分布函數(shù)求密度函數(shù)例13設(shè)隨機變量X分布函數(shù)求X密度函數(shù)，并計算P(X≤1)和P(X>2).解：X密度函數(shù)P(X≤1)＝F（1）P(X>2)＝1－P(X≤2)＝1－F（2）36/57例14設(shè)連續(xù)型隨機變量X密度函數(shù)為

求：1、c值；2、F(x)；3、P（－1＜X＜1）。解：1、因為t0237/572、t02積分區(qū)域：（－∞,x]xtt02xxxt02t02（1）（2）（3）38/573、P（－1＜X＜1）＝F（1）－F（－1）＝1/8.或利用密度函數(shù)求概率：P（－1＜X＜1）39/571、均勻分布若連續(xù)型隨機變量X概率密度為則稱X在區(qū)間

（a，b）上服從均勻分布．記為X~U(a,b)定義分布函數(shù)三、幾個慣用連續(xù)型分布40/570abxX“等可能”地取區(qū)間（a,b）中值，這里“等可能”了解為：X落在區(qū)間（a,b)中任意等長度子區(qū)間內(nèi)可能性是相同?；蛘哒f它落在子區(qū)間內(nèi)概率只依賴于子區(qū)間長度而與子區(qū)間位置無關(guān)。0abx（）

cd意義41/57例15

102電車每5分鐘發(fā)一班，在任一時刻

某一乘客到了車站。求乘客候車時間不超出2分鐘概率。

解：設(shè)隨機變量X為候車時間，則X服從（0，5）上均勻分布，即X～U（0，5），則X密度函數(shù)故所求概率為42/57例16

設(shè)K在[-1，5]上服從均勻分布，求方程有實根概率。解：方程有實數(shù)根即而密度函數(shù)為故所求概率為43/572、指數(shù)分布若連續(xù)型隨機變量X概率密度為定義分布函數(shù)則稱X服從參數(shù)為指數(shù)分布.44/57例14

設(shè)打一次電話所用時間X～E（0.2），（單位：分），若剛好有些人先你進入公用電話亭（只有一臺電話），求:（1）你等候時間超出5分鐘概率，（2）你等候時間在5分鐘到10分鐘概率。解：因為X～E（0.2），故其密度函數(shù)為故所求概率分別為(1)P（X＞5）=(2)P（5＜X＜10）=45/573、正態(tài)分布若隨機變量X密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為μ，σ正態(tài)分布。記為分布函數(shù)為46/57

(1)單峰對稱

密度曲線關(guān)于直線x=

對稱；(p43)(2) f(

)＝maxf(x)＝正態(tài)分布幾個特征：47/57(3)

大小直接影響概率分布越大，曲線越平坦，越小，曲線越陡峻，。正態(tài)分布也稱為高斯(Gauss)分布48/57標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布性質(zhì)密度函數(shù)分布函數(shù)當b>0時，值可由表查得49/5750/57例15，求P（X≤1.5），P（｜X｜＜1.