廣東省江門(mén)市嶺東北中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

廣東省江門(mén)市嶺東北中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù)，則集合中元素個(gè)數(shù)是 （）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．4個(gè)參考答案：A2.已知集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|＞0}，則A∩（?RB）=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|0＜x≤1} D．{x|1＜x＜2}參考答案：C【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【專(zhuān)題】集合．【分析】分別求出A與B中不等式的解集，確定出A與B，根據(jù)全集R求出B的補(bǔ)集，找出A與B補(bǔ)集的交集即可．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|＞0}，∴A={x|0＜x＜2}，B={x|x＞1，或x＜﹣1}，∴?RB═{x|﹣1≤x≤1}，∴A∩（?RB）={x|0＜x≤1}，故選：C【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵．3.若是等差數(shù)列，首項(xiàng)，則使前n項(xiàng)和成立的最大自然數(shù)n是：（

）

A．4005

B．4008

C．4007

D．4006參考答案：D4.一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，則幾何體的體積為（）A．2 B． C．3 D．參考答案：D【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】由已知中的三視圖可得該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的三棱柱切去一個(gè)三棱錐所得的組合體，進(jìn)而得到答案．【解答】解：由已知中的三視圖可得該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的三棱柱切去一個(gè)三棱錐所得的組合體，棱柱和棱錐底面面積S=×2×2=2，棱柱高為：2，故棱柱的體積為：4，棱錐的高為：1，故棱錐的體積為：，故組合體的體積V=4﹣=，故選：D．5.已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位，若a﹣i與2+bi互為共軛復(fù)數(shù)，則（a+bi）2=（）A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i參考答案：D【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】由條件利用共軛復(fù)數(shù)的定義求得a、b的值，即可得到（a+bi）2的值．【解答】解：∵a﹣i與2+bi互為共軛復(fù)數(shù)，則a=2、b=1，∴（a+bi）2=（2+i）2=3+4i，故選：D．6.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減的函數(shù)為（

）A． B． C． D．參考答案：B對(duì)于，函數(shù)是奇函數(shù)，不滿(mǎn)足題意；對(duì)于，，函數(shù)是偶函數(shù)，在區(qū)間上，，函數(shù)單調(diào)遞減，故滿(mǎn)足題意；對(duì)于，函數(shù)是偶函數(shù)，在區(qū)間上，，函數(shù)單調(diào)遞增，故不滿(mǎn)足題意；對(duì)于，函數(shù)是偶函數(shù)，在區(qū)間上，不是單調(diào)函數(shù)，故不滿(mǎn)足題意，故選B.

7.已知平面向量為單位向量，，則向量的夾角為A．

B． C． D．參考答案：D考點(diǎn)：數(shù)量積的應(yīng)用因?yàn)椋?/p>

所以

故答案為：D8.已知,則的最小值為 A．12 B．24 C．36 D．48參考答案：B9.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，則數(shù)列的前2019項(xiàng)和為（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，可得，，聯(lián)立解得，，可得．利用裂項(xiàng)求和方法即可得出．【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，，，聯(lián)立解得：，．．則數(shù)列的前2019項(xiàng)和．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、裂項(xiàng)求和方法，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力，屬于中檔題．10.若復(fù)數(shù)(其中i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量a，若向量與垂直，則的值為_(kāi)_________參考答案：

12.設(shè)函數(shù)f（x）=sin，若存在f（x）的極值點(diǎn)x0滿(mǎn)足x02+[f（x0）]2＜m2，則m的取值范圍是．參考答案：（﹣∞﹣2）∪（2，+∞）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】由題意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，再由題意x02+[f（x0）]2＜m2，可得當(dāng)m2最小時(shí)，|x0|最小，而|x0|最小為|m|，繼而可得關(guān)于m的不等式，解得即可．【解答】解：由題意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，可得當(dāng)m2最小時(shí)，|x0|最小，而|x0|最小為|m|，∴m2＞m2+3，∴m2＞4．解得m＞2，或m＜﹣2，故m的取值范圍是（﹣∞﹣2）∪（2，+∞）故答案為：（﹣∞﹣2）∪（2，+∞）【點(diǎn)評(píng)】本題主要正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)的定義，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題13.已知拋物線(xiàn)：，過(guò)點(diǎn)和的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：試題分析：顯然，直線(xiàn)方程為，即，由，消去得，由題意，解得．考點(diǎn)：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系．【名師點(diǎn)睛】直線(xiàn)與拋物線(xiàn)位置關(guān)系有相交，相切，相離三種，判斷方法是：把直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立方程組，消去一個(gè)未知數(shù)后得一個(gè)一元二次方程，相交，有兩個(gè)交點(diǎn)，相切，有一個(gè)公共點(diǎn)，相離，無(wú)公共點(diǎn)，注意有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)不一定是相切，也能與對(duì)稱(chēng)軸平行，為相交．14.如圖是一個(gè)空間幾何體的主視圖（正視圖）、

側(cè)視圖、俯視圖，如果直角三角形的直角邊

長(zhǎng)均為1，那么這個(gè)幾何體的體積為_(kāi)_________..

參考答案：15.已知，，，則的最小值是

．參考答案：416.已知α，β是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同直線(xiàn)，l⊥α，m?β．給出下列命題：①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③m∥α?l⊥β；

④l⊥β?m∥α．其中正確的命題是．（填寫(xiě)所有正確命題的序號(hào)）．參考答案：①④【考點(diǎn)】空間中直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系．【分析】在①中，由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理得l⊥m；在②中，l與m相交、平行或異面；在③中，l與β相交或平行；在④中，由已知得α∥β，從而m∥α．【解答】解：由α，β是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同直線(xiàn)，l⊥α，m?β，知：在①中，α∥β?l⊥m，由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理得l⊥m，故①正確；在②中，α⊥β?l與m相交、平行或異面，故②錯(cuò)誤；在③中，m∥α?l與β相交或平行，故③錯(cuò)誤；在④中，l⊥β?α∥β?m∥α，故④正確．故答案為：①④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．17.如圖，一不規(guī)則區(qū)域內(nèi)，有一邊長(zhǎng)為米的正方形，向區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地撒顆黃豆，數(shù)得落在正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）的黃豆數(shù)為顆，以此實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計(jì)出該不規(guī)則圖形的面積為

平方米.（用分?jǐn)?shù)作答）參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，左右頂點(diǎn)分別為A，B，經(jīng)過(guò)橢圓左焦點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于C、D（異于A，B）兩點(diǎn)．(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求四邊形的面積的最大值；(3)若是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），是否存在兩定點(diǎn)使得為定值，若存在求出該定值，若不存在說(shuō)明理由．參考答案：(1)由題設(shè)知：因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)為，所以橢圓中的，又由橢圓的長(zhǎng)軸為4，得，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

…………4分(2)法一直線(xiàn)斜率不為零，，代入橢圓方程得：則有：

…………5分（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立）

四邊形的面積的最大值為4

…………8分

法二：當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，的方程為：，此時(shí)…………5分當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為：

(其中)即代入橢圓方程得：，…………5分

綜上所述：四邊形的面積的最大值為4

…………8分(3)由，可得…①又因?yàn)?/p>

……②

由①②可得： ……11分由橢圓的定義存在兩定點(diǎn)使得

………12分19.在中，角所對(duì)的邊分別為，且，（1）求的值；

（2）若，求的最大值。參考答案：解：(1)因?yàn)?所以原式==

==(2)由余弦定理得:

所以所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值.20.設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對(duì)任意，都有，其中為數(shù)列的前項(xiàng)和。(1)求證數(shù)列是等差數(shù)列；(2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為T(mén)n,試證明不等式成立.參考答案：（Ⅰ）∵，當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得，即，又，∴.

當(dāng)時(shí),,∴,又,∴.所以,數(shù)列是以3為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）,,∴.設(shè),；∵，

∴∴

==.又，,綜上所述：不等式成立.21.（本小題滿(mǎn)分10分）選修4－1:幾何證明選講

如圖所示，AC為⊙O的直徑，D為的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)．

（I）求證：DE∥AB；

（Ⅱ）求證：AC·BC=2AD·CD．

參考答案：（Ⅰ）連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．因?yàn)闉榈闹睆?，所以，即所以? ………5分（Ⅱ）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又,則．又因?yàn)?，，所以∽．所以?………10分22.（本小題共13分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）若在區(qū)間上的最大值與