復(fù)變-積分變換省公開課金獎全國賽課一等獎微課獲獎?wù)n件

積分變換哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院馮國峰1/96引言變換：原問題變換較易處理問題直接求解較難求解原問題解逆變換在變換域里解比如：對數(shù)變換、解析幾何坐標(biāo)變換、高等代數(shù)中線性變換；在積分中變量代換和積分運算化簡；在微分方程中所作自變量或未知函數(shù)變換；復(fù)變函數(shù)保角變換；積分變換。2/96引言積分變換：經(jīng)過積分運算，把一個函數(shù)變成另一個函數(shù)變換。

積分域；積分變換核；象原函數(shù)；稱為象函數(shù)。3/96引言當(dāng)選取不一樣積分域和變換核時，就得到不一樣名稱積分變換。傅里葉（Fourier）變換：變換核為；積分域拉普拉斯（Laplace）變換：變換核為；積分域Z變換、梅林（Mellin）變換、漢科爾（Hankel）變換，小波變換。4/96引言普通來說，當(dāng)用積分變換去求解微分方程或其它方程時，在積分變換之下，原來偏微分方程能夠降低自變量個數(shù)，直至變成常微分方程；原來常微分方程能夠變成代數(shù)方程，從而使得在函數(shù)類B中運算簡化，找出在B中一個解，再經(jīng)過逆變換，就得到原來要在函數(shù)類A中所求解。（當(dāng)然，上述求變換與求逆變換是能夠依賴于積分變換表來完成）。5/96第一章傅立葉（Fourier）變換

第1節(jié)傅立葉積分公式第2節(jié)傅立葉變換第3節(jié)傅立葉變換性質(zhì)第4節(jié)卷積與相關(guān)函數(shù)

6/961-1傅立葉積分公式假如是以T為周期周期函數(shù)，而且在上滿足狄利克雷（Dirichlet）條件：即函數(shù)在上滿足：1、連續(xù)或至多只有有限個第一類間斷點；2、至多只有有限個極值點。那么在上連續(xù)點t處，能夠展開成傅里葉級數(shù)。若t是間斷點，則7/961-1傅立葉積分公式級數(shù)三角形式：其中8/961-1傅立葉積分公式傅里葉級數(shù)復(fù)指數(shù)形式：9/961-1傅立葉積分公式傅里葉積分公式10/961-1傅立葉積分公式[傅里葉積分定理]若在任何有限區(qū)間上滿足狄利克雷條件，而且在無限區(qū)間上絕對可積（即積分收斂），則有

11/961-1傅立葉積分公式傅里葉積分公式三角形式：12/961-1傅立葉積分公式傅里葉正弦積分公式傅里葉余弦積分公式

13/961-1傅立葉積分公式[例1-1]求函數(shù)傅里葉積分表示式。[解]14/961-1傅立葉積分公式狄利克雷積分:[例1-2]證實15/961-2傅立葉變換傅里葉積分公式：傅里葉變換：傅立葉逆變換：16/961-2傅立葉變換在不考慮在間斷點取值時，和經(jīng)過指定積分運算能夠相同表示，即

和在傅里葉變換下是一一對應(yīng)。為此，稱和組成了一個傅里葉變換對，記為。它們有相同奇偶性。17/961-2傅立葉變換傅里葉正弦積分公式：傅里葉正弦變換式（正弦變換）：傅里葉正弦逆變換式：18/961-2傅立葉變換傅里葉余弦積分公式：傅里葉余弦變換式（余弦變換）：傅里葉余弦逆變換式：19/961-2傅立葉變換[例1]求單邊指數(shù)衰減函數(shù)（其中為常數(shù)）傅里葉變換和傅里葉積分公式。[解]當(dāng)時，上式左端應(yīng)為20/961-2傅立葉變換21/961-2傅立葉變換[例2]設(shè)，，試證：和是一對傅里葉變換對。[證實][注]為傅里葉核，即使它在不絕對可積，但其傅里葉變換是存在。22/961-2傅立葉變換[例3]求矩形脈沖函數(shù)傅里葉變換，且利用傅里葉積分公式證實：23/961-2傅立葉變換[例5]求函數(shù)正弦變換和余弦變換。[解]24/961-2傅立葉變換[例6]求積分方程[解]25/961-2傅立葉變換傅里葉變換物理意義——頻譜

1非正弦周期函數(shù)頻譜2非周期函數(shù)頻譜26/961-2傅立葉變換1非正弦周期函數(shù)頻譜27/961-2傅立葉變換第n次諧波：第n次諧波頻率：第n次諧波振幅：基波：基頻：相位：28/961-2傅立葉變換復(fù)指數(shù)形式：29/961-2傅立葉變換這些直線段稱為譜線，而全體稱為周期函數(shù)振動頻譜（簡稱為頻譜）。頻率與振幅關(guān)系圖稱為頻譜圖。周期函數(shù)有離散頻譜。

30/961-2傅立葉變換[例7]周期矩形脈沖波在一個周期內(nèi)表示式為設(shè)和，分別作出對應(yīng)頻譜圖。31/961-2傅立葉變換2非周期函數(shù)頻譜傅立葉變換又稱為頻譜密度函數(shù)，它模稱為振幅頻譜，也簡稱為頻譜。因為是連續(xù)改變，這時頻譜圖是連續(xù)曲線，所以稱這種頻譜為連續(xù)頻譜。也就是說，非周期函數(shù)有連續(xù)頻譜圖。對一個時間函數(shù)作傅立葉變換，就是求這個時間函數(shù)頻譜函數(shù)。注意，32/961-2傅立葉變換定義幅角主值為函數(shù)相角頻譜。

33/961-2傅立葉變換[例8]求單邊指數(shù)衰減函數(shù)振幅頻譜和相角頻譜。[解]34/961-2傅立葉變換[例9]求單位脈沖函數(shù)振幅頻譜和相角頻譜。[解]35/96第3節(jié)單位脈沖函數(shù)1、物理意義2、定義3、性質(zhì)4、導(dǎo)數(shù)及其性質(zhì)5、廣義傅立葉變換36/96第3節(jié)單位脈沖函數(shù)1、單位脈沖函數(shù)物理意義：（1）集中質(zhì)量密度；（2）電學(xué)中集中電荷。37/96第3節(jié)單位脈沖函數(shù)2、單位脈沖函數(shù)定義：（1）類似普通函數(shù)形式定義

函數(shù)是滿足以下兩個條件函數(shù)。（1）（2）（2）普通函數(shù)序列極限形式定義

（3）第三種定義

38/96第3節(jié)單位脈沖函數(shù)多維函數(shù)定義：（1）（2）性質(zhì)：39/96第3節(jié)單位脈沖函數(shù)3、單位脈沖函數(shù)性質(zhì)：（1）線性性質(zhì)：（2）分段性質(zhì)：40/96第3節(jié)單位脈沖函數(shù)3、單位脈沖函數(shù)性質(zhì)：（3）篩選性質(zhì)：（4）時間尺度變換性質(zhì)：推論：41/96第3節(jié)單位脈沖函數(shù)3、單位脈沖函數(shù)性質(zhì)：（5）乘以時間函數(shù)性質(zhì)推論：

（6）單位階躍函數(shù)，或稱為海維塞（Heaviside）函數(shù)。42/96第3節(jié)單位脈沖函數(shù)4、單位脈沖函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其性質(zhì)：K階導(dǎo)數(shù)：（1）（2）（3）43/96第3節(jié)單位脈沖函數(shù)4、單位脈沖函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其性質(zhì)：（4）（5）44/96第3節(jié)單位脈沖函數(shù)3、廣義傅立葉變換：（1）極限意義下傅立葉變換

若則[例1]考查符號函數(shù)傅立葉變換。[解]45/96第3節(jié)單位脈沖函數(shù)（2）函數(shù)傅立葉變換

46/96第3節(jié)單位脈沖函數(shù)[例2]證實單位階躍函數(shù)傅立葉變換為[例3]求正弦函數(shù)傅立葉變換。[解]47/96第4節(jié)傅立葉變換性質(zhì)1、線性性質(zhì)2、對稱性質(zhì)3、相同性質(zhì)4、位移性質(zhì)5、微分性質(zhì)6、積分性質(zhì)7、卷積與卷積定理48/96第4節(jié)傅立葉變換性質(zhì)1、線性性質(zhì)：49/96第4節(jié)傅立葉變換性質(zhì)2、對稱性質(zhì)：50/96第4節(jié)傅立葉變換性質(zhì)3、相同性質(zhì)：翻轉(zhuǎn)公式：

51/96第4節(jié)傅立葉變換性質(zhì)4、位移性質(zhì)：時移性：頻移性：52/96第4節(jié)傅立葉變換性質(zhì)5、微分性質(zhì)：假如在連續(xù)或只有有限個可去間斷點，且當(dāng)時，，則53/96第4節(jié)傅立葉變換性質(zhì)6、積分性質(zhì)：設(shè)（1）若則（2）54/96第4節(jié)傅立葉變換性質(zhì)7、卷積與卷積定理卷積：卷積性質(zhì)：（1）交換律：（2）結(jié)合律：（3）對加法分配律：

55/96第4節(jié)傅立葉變換性質(zhì)7、卷積與卷積定理[卷積定理]

[頻譜卷積定理]

56/96積分變換哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院馮國峰57/96第二章拉普拉斯（Laplace）變換第1節(jié)

Laplace變換概念第2節(jié)Laplace變換基本性質(zhì)

第3節(jié)象原函數(shù)求法

第4節(jié)Laplace變換應(yīng)用

58/962-1Laplace變換概念[傅里葉積分定理]若在任何有限區(qū)間上滿足狄利克雷條件，而且在無限區(qū)間上絕對可積（即積分收斂），則有

59/962-1Laplace變換概念Fourier變換局限：（1）絕對可積條件較強，許多簡單常見函數(shù)（如單位階躍函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及線性函數(shù)等）都不滿足這個條件，都不能作古典Fourier變換。（2）能夠進行Fourier變換函數(shù)必須在整個數(shù)軸上有定義，但在物理和無線電技術(shù)等實際應(yīng)用中，許多以時間t作為自變量函數(shù)往往在時是無意義或是不需要考慮，像這么函數(shù)都不能取Fourier變換。60/962-1Laplace變換概念怎樣克服上述兩個缺點？（1）單位階躍函數(shù)用乘以，這么得到，在時就等于零，在時仍為，就有可能使其積分區(qū)間由變?yōu)?1/962-1Laplace變換概念（2）對于許多在不絕對可積函數(shù)，往往是因為當(dāng)時，其絕對值減小太慢緣故。因為指數(shù)衰減函數(shù)有當(dāng)時衰減得很快特點，所以假如用去乘，只要充分大，普通可使當(dāng)時絕對值就衰減得很快，使得能夠變得絕對可積。62/962-1Laplace變換概念設(shè)是定義在上實（或復(fù)）值函數(shù)，假如積分（s是一個復(fù)變量）在s某個區(qū)域內(nèi)存在，則由此積分確定函數(shù)可寫為，稱復(fù)函數(shù)為函數(shù)

象函數(shù)或Laplace變換，記為。稱為象原函數(shù)或Laplace逆變換，記為。又稱這兩個函數(shù)為Laplace變換對，記為。63/962-1Laplace變換概念（1）Laplace變換實際上就是一個單邊廣義Fourier變換。（2）Laplace變換復(fù)反演積分公式：（3）Laplace變換象原函數(shù)與象函數(shù)是一一對應(yīng)。64/962-1Laplace變換概念[例]求單位階躍函數(shù)、符號函數(shù)及Laplace變換。[解]65/962-1Laplace變換概念[例2]求Laplace變換。[例3]求Laplace變換（k為復(fù)常數(shù)）。[解]66/962-1Laplace變換概念[定義]對實變量復(fù)值函數(shù)，假如存在兩個常數(shù)及，使得對于一切，都成立即增加速度不超出某一指數(shù)函數(shù)，則稱為指數(shù)級函數(shù)，稱它增大是不超出指數(shù)級，c為它增加指數(shù)。67/962-1Laplace變換概念[例]，此處，此處，此處，此處。它們都是指數(shù)級函數(shù)。不過對于函數(shù)，不論選M及c多么大，總有，所以它不是指數(shù)級函數(shù)。68/962-1Laplace變換概念[Laplace變換存在定理]若函數(shù)滿足以下條件：（1）當(dāng)時，；（2）在任一有限區(qū)間上分段連續(xù)，間斷點個數(shù)是有限個，且都是第一類間斷點。（3）是指數(shù)級函數(shù)。則Laplace變換在半平面上一定存在，而且為解析函數(shù)。69/962-1Laplace變換概念說明：（1）Laplace變換存在定理條件是充分，而不是必要。即若不滿足存在定理條件下，Laplace變換仍可能存在。（2）一個函數(shù)增大是不超出指數(shù)級要比函數(shù)要絕對可積條件相比，前者條件要弱得多。由此可見，對于一些問題（如在線性系統(tǒng)分析中），Laplace變換應(yīng)用范圍就更為廣泛。70/962-1Laplace變換概念說明：（3）工程技術(shù)中所碰到函數(shù)大部分是存在Laplace變換，但像，這類函數(shù)是不存在Laplace變換。（4）假如為指數(shù)級函數(shù)，則其增加指數(shù)不唯一。把能使成立一切x最大下界記作c，稱它為Laplace變換收斂坐標(biāo)。在復(fù)平面上，直線稱為Laplace積分收斂軸。71/962-1Laplace變換概念[例4]三角函數(shù)Laplace變換。72/962-1Laplace變換概念[例]求冪函數(shù)（m為整數(shù)）Laplace變換。[解]伽瑪（Gamma）函數(shù)：73/962-1Laplace變換概念周期函數(shù)Laplace變換：設(shè)在內(nèi)是以T為周期函數(shù)，即且在一個周期內(nèi)分段連續(xù)，則有74/962-2Laplace變換基本性質(zhì)1、線性性質(zhì)

2、相同性質(zhì)

3、延遲性質(zhì)4、位移性質(zhì)5、微分性質(zhì)6、積分性質(zhì)7、卷積與卷積定理

75/962-2Laplace變換基本性質(zhì)1、線性性質(zhì)

76/962-2Laplace變換基本性質(zhì)2、相同性質(zhì)77/962-2Laplace變換基本性質(zhì)3、延遲性質(zhì)78/962-2Laplace變換基本性質(zhì)4、位移性質(zhì)79/962-2Laplace變換基本性質(zhì)5、微分性質(zhì)80/962-2Laplace變換基本性質(zhì)6、積分性質(zhì)若積分存在，81/962-2Laplace變換基本性質(zhì)7、卷積與卷積定理

82/962-2Laplace變換基本性質(zhì)7、卷積與卷積定理[卷積定理]

83/962-3象原函數(shù)求法[（推廣）若當(dāng)引理]設(shè)以為中心，R為半徑左半圓弧復(fù)變量s一個函數(shù)滿足：（1）它在左半平面上除有限個奇點外是解析。（2）對于s，當(dāng)時趨于零。則對充分大，函數(shù)沿半圓周積分存在，且對任意，有。84/962-3象原函數(shù)求法[展開定理]假如在整個復(fù)平面s上除了有限個奇點外都解析，而且全部奇點都在半平面內(nèi)。而且當(dāng)時，。則在連續(xù)點t處，有其中為復(fù)變函數(shù)在奇點處留數(shù)。85/962-3象原函數(shù)求法留數(shù)計算：（1）單極點：（2）復(fù)極點：86/962-3象原函數(shù)求法[例4]求逆變換。[解]這里，是單零點，為二級零點。由展開定理可得：87/962-4Laplace變換應(yīng)用1、解常系數(shù)線性微分方程初值問題2、求解常系數(shù)線性微分方程邊值問題3、解一些變系數(shù)線性微分方程4、求解一些積分方程、微分積分