2023-2024學(xué)年東莞中學(xué)高二數(shù)學(xué)4月模擬聯(lián)測(cè)試卷附答案解析

-2024學(xué)年東莞中學(xué)高二數(shù)學(xué)4月模擬聯(lián)測(cè)試卷試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘2024.4注意事項(xiàng)：1.考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率為（

）A． B． C． D．12．如圖，已知每條線路僅含一條通路，當(dāng)一條電路從處到處接通時(shí)，不同的線路可以有（

）A．5條 B．6條 C．7條 D．8條3．若，則（

）A． B．4 C．2 D．4．如圖所示的是的導(dǎo)函數(shù)的圖象，下列四個(gè)結(jié)論：①在區(qū)間上是增函數(shù)；②是的極小值點(diǎn)；③的零點(diǎn)為和；④是的極大值點(diǎn)．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A．①② B．②③ C．③④ D．①③④5．若的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為10，則的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．66．函數(shù)在上的圖象大致為（）A．B．C．D．7．某高中安排4名同學(xué)（不同姓）到甲、乙、丙3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，若每名同學(xué)只去一個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，其中張同學(xué)不去乙小區(qū)，則不同的分配方案種數(shù)為（

）A．36 B．24 C．48 D．128．已知函數(shù)，若對(duì)任意都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．若m，n為正整數(shù)且，則（

）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，則（

）A．的值域?yàn)镽 B．有兩個(gè)極值點(diǎn)C．有兩個(gè)零點(diǎn) D．方程有三個(gè)根11．已知函數(shù)，且關(guān)于的方程有3個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的最大值是 B．在上單調(diào)遞減C．的取值范圍是 D．的取值范圍是三、填空題：共3小題，每小題5分，共15分，請(qǐng)將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上.12．在的展開式中,的系數(shù)為.用數(shù)字作答）13．2023年10月11日，習(xí)近平總書記在江西省上饒市考察，他來到婺源縣秋口鎮(zhèn)王村石門自然村了解推進(jìn)鄉(xiāng)村振興等情況．其中婺源“曬秋”展開的是一幅鄉(xiāng)村振興新圖景．當(dāng)?shù)匕傩詹粌H要晾曬農(nóng)產(chǎn)品使其得到更好的保存和售賣，更要考慮曬出獨(dú)一無二的“中國最美的符號(hào)”．當(dāng)?shù)匕傩宅F(xiàn)將“金色南瓜”“白色扁豆”“紅色辣椒”“黃色皇菊”四種農(nóng)產(chǎn)品全部曬入如圖所示的5個(gè)小區(qū)域中，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只能曬一種農(nóng)產(chǎn)品，且相鄰區(qū)域的農(nóng)產(chǎn)品不能相同，則不同的晾曬方案種數(shù)為．（用數(shù)字作答）14．已知函數(shù)在時(shí)有極值0，則．四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知函數(shù)，且.(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.16．已知，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為.(1)求的值；(2)求的值（結(jié)果可以保留指數(shù)形式）.17．從1到7這7個(gè)數(shù)字中取2個(gè)偶數(shù)、3個(gè)奇數(shù)，排成一個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).求：(1)共有多少個(gè)五位數(shù)？(2)其中偶數(shù)排在一起，奇數(shù)也排在一起的有多少個(gè)？(3)其中兩個(gè)偶數(shù)不相鄰的有多少個(gè)？18．設(shè)函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)的圖象總在直線的下方，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若方程有兩個(gè)不相等的根，且的導(dǎo)函數(shù)為，證明：．1．D【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，令求出即為切線的斜率.【詳解】令，得，得故選：D2．D【分析】根據(jù)分類加法、分步乘法計(jì)數(shù)原理求得正確答案.【詳解】由題意知可以按上、下兩條線路分為兩類，上線路中有條，下線路中有條.根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，不同的線路可以有條.故選：D3．B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，分母是自變量的改變量即，所以把所求的式子分母變?yōu)榧纯汕蠼?【詳解】故選：B4．A【分析】利用導(dǎo)函數(shù)的圖象，對(duì)①②③④四個(gè)選項(xiàng)逐一分析可得答案．【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故①正確，②正確；又和是的零點(diǎn)（是極值點(diǎn)），不是的零點(diǎn)，且不是的極大值點(diǎn)，故③④均錯(cuò)誤；故選：A5．B【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為，解得或（舍），故選：B.6．A【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷函數(shù)圖象的形狀.【詳解】因?yàn)?，所以，所以函?shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故排除答案CD，又，，設(shè)，，則，.所以在上為增函數(shù)，又，所以在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，故排除B.故選：A7．B【分析】分張同學(xué)單獨(dú)一組和與其他人一組，先排張同學(xué)，再分組分配即可.【詳解】張同學(xué)單獨(dú)一組，由于張同學(xué)不去乙小區(qū)，所以先排張同學(xué)共有種，再將其余三人分成兩組共有，再分配到另外兩個(gè)小區(qū)共有，此種情況共有種；張同學(xué)與其他同學(xué)在一組，先排張同學(xué)共有種，其余三人三組全排列共有，此種共有12種，所以共有24種.故選：B8．A【分析】根據(jù)題意，得到，設(shè)，轉(zhuǎn)化為為單調(diào)遞增函數(shù)，再由，利用導(dǎo)數(shù)和分段函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由不等式，可得，設(shè)，因?yàn)閷?duì)任意都有，則為單調(diào)遞增函數(shù)，又因?yàn)?，可得，?dāng)時(shí)，，可得，因?yàn)闀r(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，則滿足，解得，又由為遞減函數(shù)，則，可得，且滿足，即，解得或，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.9．A【分析】根據(jù)組合數(shù)和排列數(shù)的計(jì)算公式和性質(zhì)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一計(jì)算即可判斷.【詳解】對(duì)A：由組合數(shù)性質(zhì)：可知，A正確；對(duì)B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：，，左右兩邊不相等，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：，故D錯(cuò)誤.故選：A10．BCD【分析】求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，求得函數(shù)極值，即可判斷B；判斷出函數(shù)值的正負(fù)情況，作出函數(shù)圖象，可得函數(shù)值域，即可判斷A，C；數(shù)形結(jié)合，利用圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可判斷方程的根的個(gè)數(shù)，判斷D.【詳解】由題意知，，則，由，得或，當(dāng)或時(shí)，，在上均單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，故和分別為函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，即有兩個(gè)極值點(diǎn)，B正確；又為函數(shù)的極大值，為函數(shù)的極小值，令，即，即或，令，即，即，由此可作出的圖象：結(jié)合圖象可知函數(shù)的值域?yàn)?，A錯(cuò)誤；由以上分析可知，只有當(dāng)或時(shí)，，即有兩個(gè)零點(diǎn)，C正確；作出直線，由于，結(jié)合圖象可知與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，故方程有三個(gè)根，D正確，故選：BCD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題涉及到函數(shù)的值域以及函數(shù)單調(diào)性和零點(diǎn)、方程的根等問題，綜合性強(qiáng)，解答時(shí)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，確定極值，從而作出圖象，數(shù)形結(jié)合，解決函數(shù)的零點(diǎn)以及方程的根的問題.11．ABD【分析】對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，進(jìn)而可判斷選項(xiàng)A，B；令，將問題轉(zhuǎn)化為和共有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，結(jié)合的圖象判斷選項(xiàng)C，D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，B，由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則的最大值為，故A，B均正確；對(duì)于C，D，當(dāng)時(shí)，趨于0，當(dāng)時(shí)，趨于，故可作的草圖如圖，令，則，設(shè)方程的兩根為，若是方程的根，則，方程為僅有1根，不合題意；因?yàn)榉匠逃?個(gè)不等的根，所以或，當(dāng)時(shí)，，解得，所以，不合題意，當(dāng)時(shí)，有，解得，所以的取值范圍為.故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.12．【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理寫出通項(xiàng)公式,要求自變量的二次方的系數(shù),只要使得指數(shù)等于,得出式子中的系數(shù)的表示式,得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈耐?xiàng)公式為:,令,得,所以的系數(shù)為.故答案為:.13．48【分析】按照分步計(jì)數(shù)原理，結(jié)合排列組合知識(shí)進(jìn)行求解.【詳解】中間區(qū)域可從四種農(nóng)產(chǎn)品中選一種，有種選擇，剩余的4個(gè)區(qū)域只能選擇剩余的3種農(nóng)產(chǎn)品，故會(huì)有1種農(nóng)產(chǎn)品重復(fù)，將重復(fù)的農(nóng)產(chǎn)品選出，有種選擇，且將重復(fù)的農(nóng)產(chǎn)品放入相對(duì)的兩個(gè)區(qū)域內(nèi)晾曬，有2種選擇，剩余的農(nóng)產(chǎn)品放入剩余的兩個(gè)區(qū)域，有種選擇，故有種方案.故答案為：4814．11【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意列出方程組，求得的值，經(jīng)驗(yàn)證后，即可確定的值，即可求得答案.【詳解】由函數(shù)，得，由題意得，解得或，當(dāng)時(shí)，，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)在R上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，令，則或，令，則，即在上均單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極小值，且，則，即符合題意，故，故答案為：1115．(1)；(2)增區(qū)間為，；減區(qū)間為.【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)已知求得，再由導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程；（2）由（1）有，求單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】（1）由題設(shè)，則，所以且，則，，所以點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）由（1），當(dāng)，即或，當(dāng),即,故在區(qū)間，上遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以的增區(qū)間為，；減區(qū)間為.16．(1)；(2)或148160.【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)展開式的項(xiàng)數(shù)確定展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大值為和，列出方程求解即得；（2）將代入二項(xiàng)式，分別對(duì)賦值和，再將兩式左右分別相減化簡(jiǎn)即得.【詳解】（1）因展開式中共有8項(xiàng)，最中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即和，依題知，解得；（2）由（1）可得，當(dāng)時(shí)，①，當(dāng)時(shí)，②，由①-②：，即得：.17．(1)1440(2)288(3)864【分析】（1）先取出奇數(shù)和偶數(shù)，再排列即可；（2）利用捆綁法求解即可；（3）利用插空法求解即可.【詳解】（1）依題意，從1到7這7個(gè)數(shù)字中取2個(gè)偶數(shù)、3個(gè)奇數(shù)，共有（種）情況，共有（個(gè)）五位數(shù)；（2）把選出的偶數(shù)捆綁在一起，把選出的奇數(shù)也捆綁在一起，再全排列，故其中偶數(shù)排在一起，奇數(shù)也排在一起的有（個(gè)）；（3）先排3個(gè)奇數(shù)，2個(gè)偶數(shù)插空，故其中兩個(gè)偶數(shù)不相鄰的共有（個(gè)）.18．(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求解；（2）解法一：由題意知.利用導(dǎo)數(shù)分類討論含參的函數(shù)的單調(diào)性，求出，建立不等式，解之即可求解；解法二：利用參變分離法可得，構(gòu)建新函數(shù)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，結(jié)合恒成立問題分析求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，令，解得或．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）方法一：函數(shù)的圖象總在直線的下方，可知.，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，無最大值，故不成立；當(dāng)時(shí)，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故為函數(shù)的唯一極大值點(diǎn)，所以函數(shù)的最大值為，由題意，有，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．方法二：函數(shù)的圖象總在直線的下方，可知恒成立，即對(duì)于恒成立，于是有，令，，則只需求的最小值即可．，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取到極小值，也就是最小值為，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．19．(1)詳解見解析；(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分類討論含參的函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）由（1）知，，令，利用導(dǎo)數(shù)可得在上單調(diào)遞增，得，進(jìn)而，結(jié)合基本不等式即可證明.【詳解】（1），則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，，所以函數(shù)在上