福建省泉州市豐澤區(qū)北峰中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年福建省泉州市豐澤區(qū)北峰中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列方程中，是一元二次方程的是(

)A. B. C. D.2.下列運(yùn)算，錯誤的是(

)A. B. C. D.3.下列各式中，能與合并的是(

)A. B. C. D.4.一元二次方程配方后可化為(

)A. B. C. D.5.下列線段成比例的是(

)A.1，2，3，4 B.5，6，7，8 C.2，4，4，8 D.3，5，6，96.如圖，∽，若，，那么(

)A.

B.

C.

D.7.已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(

)A. B. C.且 D.且8.某商店以每件60元的價格購進(jìn)一批貨物，零售價為每件80元時，可以賣出100件按相關(guān)規(guī)定零售價不能超過80元如果零售價在80元的基礎(chǔ)上每降價1元，可以多賣出10件，當(dāng)零售價在80元的基礎(chǔ)上降價x元時，能獲得2160元的利潤，根據(jù)題意，可列方程為(

)A. B.

C. D.9.如圖，H為平行四邊形ABCD中AD邊上一點(diǎn)，且，AC和BH交于點(diǎn)K，則AK：KC等于(

)

A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.2：310.

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11.若二次根式有意義，則x的取值范圍是______.12.若，則的值為______.13.如圖，已知，BD：：2，，那么______.

14.已知m是方程的一個根，則代數(shù)式的值等于______.15.如圖，某小區(qū)有一塊長為30m，寬為24m的矩形空地，計(jì)劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為，兩塊綠地之間及周邊有寬度相等的人行通道，則人行通道的寬度為_________________________

16.如圖，是等腰直角三角形，，E為AC上的一點(diǎn)，過A作交BD的延長線于D，若，則______.

三、計(jì)算題：本大題共2小題，共16分。17.計(jì)算：18.解方程：四、解答題：本題共7小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。19.本小題8分

先化簡，再求值：，其中20.本小題8分

已知關(guān)于x的一元二次方程

若方程的一個根為2，求m的值；

求證：不論m為何值，該方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.21.本小題8分

如圖，矩形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，于

與相似嗎？請說明理由．

若，，，求DF的長．22.本小題10分

在的正方形方格中，和的頂點(diǎn)都在邊長為1的小正方形的頂點(diǎn)上.

填空：______，______；

判斷與是否相似，并證明你的結(jié)論.23.本小題10分

李師傅今年初開了一家商店，九月份開始贏利，十月份的贏利是3000元，十二月份的贏利是3630元，且從十月到十二月，每月贏利的平均增長率都相同．

求每月贏利的平均增長率；

按照這個增長率，預(yù)計(jì)明年一月份的贏利將達(dá)到多少元？24.本小題12分

如圖1，中，點(diǎn)D在線段BA延長線上，點(diǎn)E在線段BC延長線上，且，交直線CD于點(diǎn)P，交直線AB于點(diǎn)F，

當(dāng)，，時，求線段PE的長.

若將“點(diǎn)D在線段BA延長線上，點(diǎn)E在線段BC延長線上”改為“點(diǎn)D在線段BA上，點(diǎn)E在線段CB延長線上”，其他條件不變?nèi)鐖D圖2中是否存在與AC相等的線段？若存在，請找出，并加以證明；若不存在，請說明理由.

25.本小題14分

如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線BC經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)P為直線BC上一點(diǎn)，連接AC、

求直線BC的解析式；

如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上，時，求P點(diǎn)坐標(biāo)；

如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上移動，將沿AC翻折得到，直線與直線BC交于點(diǎn)D，的面積為7，求點(diǎn)D坐標(biāo)直接寫出結(jié)果

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：A、是一元一次方程，故A錯誤；

B、是一元二次方程，故B正確；

C、是二元二次方程，故C錯誤；

D、是分式方程，故D錯誤；

故選：

本題根據(jù)一元二次方程的定義解答．一元二次方程必須滿足四個條件：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項(xiàng)系數(shù)不為0；是整式方程；含有一個未知數(shù)．由這四個條件對四個選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，滿足這四個條件者為正確答案．

本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.【答案】A

【解析】解：A、，故此選項(xiàng)錯誤，符合題意；

B、，正確，不合題意；

C、，正確，不合題意；

D、，正確，不合題意；

故選：

直接利用二次根式的混合運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．

此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．3.【答案】C

【解析】解：，與不能合并，故本選項(xiàng)不符合題意；

B.，與不能合并，故本選項(xiàng)不符合題意；

C.，與能合并，故本選項(xiàng)符合題意；

D.，與不能合并，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：

根據(jù)同類二次根式的定義逐個判斷即可．

本題考查了同類二次根式的定義，能熟記同類二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵，幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式叫同類二次根式．4.【答案】D

【解析】解：，

，

，

，

故選：

利用解一元二次方程-配方法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．

本題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握解一元二次方程-配方法是解題的關(guān)鍵．5.【答案】C

【解析】解：A、，故四條線段不成比例，不符合題意；

B、，故四條線段不成比例，不符合題意；

C、，故四條線段成比例，符合題意；

D、，故四條線段不成比例，不符合題意．

故選：

如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．對選項(xiàng)一一分析，排除錯誤答案．

本題考查了比例線段，熟記成比例線段的定義是解題的關(guān)鍵．注意在線段兩兩相乘的時候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進(jìn)行判斷．6.【答案】A

【解析】解：∽，，

在中，

，，

即，

故選：

由∽，，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等，即可求得的度數(shù)，又由三角形的內(nèi)角和等于，即可求得的度數(shù)．

此題考查了相似三角形的性質(zhì)與三角形內(nèi)角定理．題目比較簡單，注意相似三角形的對應(yīng)角相等．7.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，方程無實(shí)數(shù)根．

利用一元二次方程的定義和判別式的意義得到且，然后求出兩個不等式的公共部分即可．

【解答】

解：根據(jù)題意得且，

解得且

故選8.【答案】B

【解析】解：設(shè)零售價在80元的基礎(chǔ)上降價x元時，能獲得2160元的利潤，

則，

故選：

設(shè)零售價在80元的基礎(chǔ)上降價x元時，能獲得2160元的利潤根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論；

考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能夠讀懂題意并找到題目中的等量關(guān)系，難度不大．9.【答案】B

【解析】解：，

，

四邊形ABCD是平行四邊形，

，，

∽，

，

故選

根據(jù)“”求出AH：AD即AE：BC的值是1：3，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出AK：KC的值．

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，比例式的變形是解題的關(guān)鍵．10.【答案】

【解析】

11.【答案】

【解析】解：根據(jù)二次根式有意義的條件，，

故答案為：

根據(jù)二次根式的性質(zhì)可知，被開方數(shù)大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范圍．

此題考查了二次根式有意義的條件，只要保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)即可．12.【答案】

【解析】解：

設(shè)，則，

故答案為：

設(shè)，則，代入代數(shù)式再化簡即可．

本題考查分式的化簡，設(shè)出參數(shù)并代入化簡是解題關(guān)鍵．13.【答案】6

【解析】解：，

，

：：2，，

，

，

故答案為：

根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得到結(jié)論．

本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．14.【答案】3

【解析】解：把代入方程可得：，

所以，

故答案是：

將代入原方程即可求的值．

此題考查了一元二次方程的解，解題時應(yīng)注意把當(dāng)成一個整體．利用了整體的思想．15.【答案】2

【解析】解：設(shè)人行通道的寬度為x米，將兩塊矩形綠地合在一起長為，寬為，

由已知得：，

整理得：，

解得：，，

當(dāng)時，，，不符合題意舍去，

即

答：人行通道的寬度為2米．

故答案為

設(shè)人行通道的寬度為x米，將兩塊矩形綠地合在一起長為，寬為，根據(jù)矩形綠地的面積為，即可列出關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，經(jīng)檢驗(yàn)后得出不符合題意，此題得解．

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出關(guān)于x的一元二次方程是解題的關(guān)鍵．16.【答案】

【解析】解：，

可以假設(shè)，，則，

，

，

，

，

，

∽，

，

，

，

，

故答案為：

設(shè)，，則，想辦法用k表示AD，BE即可解決問題．

本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)，正確尋找相似三角形解決問題．17.【答案】解：原式

【解析】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則．先計(jì)算乘法和除法，再合并即可得．18.【答案】解：

，

或，

，

【解析】本題考查了因式分解法解一元二次方程，當(dāng)把方程通過移項(xiàng)把等式的右邊化為0后方程的左邊能因式分解時，一般情況下是把左邊的式子因式分解，再利用積為0的特點(diǎn)解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法，要會靈活運(yùn)用．

通過觀察方程形式，利用因式分解法解方程比較簡單．19.【答案】解：

，

當(dāng)時，原式

【解析】先去括號，再合并同類項(xiàng)，然后把a(bǔ)的值代入化簡后的式子進(jìn)行計(jì)算即可解答．

本題考查了整式的混合運(yùn)算-化簡求值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．20.【答案】解：方程的一個根為2，

，

解得，

即m的值為；

證明：，

無論x取何值，，

即無論x取何值，，

不論m為何值，該方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．

【解析】將代入方程得，解出m的值即可；

計(jì)算，無論x取何值，，即可得出結(jié)論．

本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：①當(dāng)時，方程有兩個不相等的兩個實(shí)數(shù)根；②當(dāng)時，方程有兩個相等的兩個實(shí)數(shù)根；③當(dāng)時，方程無實(shí)數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．21.【答案】解：與相似．理由如下：

四邊形ABCD為矩形，，

，

，

∽

∽

，

在中，，，

答：DF的長為

【解析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和，可得，，即可證明∽

利用∽，得，再利用勾股定理，求出AE的長，然后將已知數(shù)值代入即可求出DF的長．

此題主要考查學(xué)生對相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理和矩形的性質(zhì)的理解和掌握，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．22.【答案】

【解析】解：根據(jù)圖形可得：，，

，

；

相似，理由如下：

在中：，，，

在中：，，，

，，，

，

∽

由圖形可以直接得到：和的度數(shù)，求其和即可；DE的長利用勾股定理即可算出；

根據(jù)勾股定理分別計(jì)算出和的長，再根據(jù)三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似即可得到結(jié)論．

此題主要考查了勾股定理，相似三角形的判定，關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理計(jì)算出三角形的三邊長．23.【答案】解：設(shè)每月贏利的平均增長率為x，

依題意，得：，

解得：，不合題意，舍去

答：每月贏利的平均增長率為

元

答：預(yù)計(jì)明年一月份的贏利將達(dá)到3993元．

【解析】設(shè)每月贏利的平均增長率為x，根據(jù)該商店十月份及十二月份的盈利額，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；

根據(jù)明年一月份的盈利額=今年十二月份的盈利額增長率，即可求出結(jié)論．

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．24.【答案】解：在中，，，，

由勾股定理得：，

，

即，

又，

∽，

：：：CD，

即：，

，，

，

又，

，

點(diǎn)C為BE的中點(diǎn)，

，

為的中位線，

，，

，

點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，

又，

為的中位線，

，

與AC相等的線段是BF，證明如下：

，

而，，

，

，

∽，

：：CD①，

，

∽，

：：BE，

即：AB：：BE②，

由①②得：AC：：BE，

，

【解析】先求出，證和相似，利用相似三角形的性質(zhì)可求出，，進(jìn)而得，再證AC為的中位線得，，然后證FP為的中位線得，據(jù)此即可求出PE的長；

先證，進(jìn)而可證和相似，得AB：：CD①，再由得和相似，進(jìn)而得AB：：BE，根據(jù)已知條件再比較兩個比例式即可得出結(jié)論．

此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，熟練掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．25.【答案】解：設(shè)直線BC的解析式為：，

直線BC經(jīng)過點(diǎn)點(diǎn)和點(diǎn)，

，解得，

直線BC的解析式為：；

當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上，

點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為，

，，

為等腰直角三角形，

，

又，

，

∽，

，

設(shè)34

，點(diǎn)，

，

，

，

過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)Q，

在中，，

即，

或舍去正值，

此時，

；

點(diǎn)，，

直線