2020-2021學(xué)年天津市和平區(qū)高一年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年天津市和平區(qū)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共9小題，共36.0分)

5cos(27r+a)tan(7r+a)

1.化間一嬴殍荷一的結(jié)果為()

A.1B.—1C.tanaD.—tana

2.設(shè)集合/={%/—1<%<3},8={%/%2_3%+2<0},貝IJ/D(CRB)可表示為()

A.[-1,1]U(2,3)B.[-1,1]U[2,3)

C.(1,2)D.(-oo,+oo)

3.8.下列命題為真命題的是

A.已知日，貝U“|x|”是“r^i”的充分不必要條件

B.已知數(shù)列a為等比數(shù)列，則“??”是“目”的既不充分也不必要條件

C.已知兩個(gè)平面日，S,若兩條異面直線目滿足I―■且日//0,B〃日，則

回//0

D.IX|,使IXJ成立

4.已知函數(shù)/(%)=2V3sin(^-+2cos三,函數(shù)g(%)=/(%)-zn在區(qū)間［0,4兀］上恰有三個(gè)不同的

零點(diǎn)%i，&，％3，則/(%1+%2+%3)=()

A.-1B.-V3C.1D.2

5.已知函數(shù)/(%)滿足：(1)對(duì)于任意的%1，X2ER,有/(%1+%2)=/(/)?/(%2)；(2)滿足“對(duì)任

意修，XER,且小中尤2,都有“力―<0”,下列函數(shù)滿足這些條件的函數(shù)是()

2如一％2

A./(%)=InxB./(x)=一

C./(x)=ax(0<a<1)D./(x)=ax(a>1)

6.實(shí)數(shù)Y滿足log：1=3-sin仇貝心1-2：一江一冬的值為()

A.6B.一6c.0D.10

7.①若/(x)是定義在［一1,1］上的偶函數(shù)，且在［一1,0］上是增函數(shù)，9e(H，/(s譏8)>/(COS0).

②若銳角a、￡滿足cosa>sin/?,則a+/?<].

③函數(shù)/O）=2s出?-2X）+1的單調(diào)增區(qū)間為即一行水兀+凈,kez

(4)cos(x+^)>—?的解集為{x|~+2/CTT<x<^-+2kn,k&Z}

其中真命題的個(gè)數(shù)有()

A.0B.1C.2D.3

8.已知q=，"=2；c=則。，b,c的大小關(guān)系為()

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

9.已知f(x—2)="久一”且fQo)=0，則久。所在的區(qū)間為()

A.(0,Z)B.(1,2)C.(2,3)D.(4,5)

二、單空題(本大題共6小題，共24.0分)

10.①y=2/+1的最小值為6；

②當(dāng)a>。，b>。時(shí),i+i+2V^>4；

@y=%(1-2%)2,(o<%<》最大值為/

④當(dāng)且僅當(dāng)a,b均為正數(shù)時(shí)，恒成立.

以上命題是真命題的是.

11.若a>0,b>0,且ln(a+b)=0,則：的最小值是

12.定義運(yùn)算。bsin&,3sin6+2cos6

—ad一加,若=0,則-的--值-是--.---------

Cdcos633sin9—cos0

13.下列說法:

①“mxGR,使2%>3”的否定是"VxGR,使2》<3y”；

②若正數(shù)比，y滿足x+3y=5xy,則3比+4y的最小值為三；

③命題“函數(shù)/（久）在久=久。處有極值，則「（久°）=0”的否命題是真命題；

④是（一8,0）U（0,+8）上的奇函數(shù),X>0時(shí)的解析式是/（久）=2*,則x<0時(shí)的解析式為/（久）=

其中正確的說法是.

14.求值：仞2+22+。。如5+仞5=.

15.若函數(shù)/（久）=償;[2：-2,久>0,則不等式〃/⑺）<押解集為

三、解答題(本大題共5小題，共40.0分)

16.已知函數(shù)/(%)=sinx-2cos2

(1)求/?)的值；

(2)當(dāng)%G時(shí)，求函數(shù)/(%)的值域；

(3)若直線％=%。是函數(shù)y=/(4%)圖象的對(duì)稱軸，且%°E［0,,求久°的值.

—-J—z+B-Z—B———

17.已知」4E是△2BC的兩個(gè)內(nèi)角，a=J2cos-----i+sin--------j(其中i./?是互相垂直

22

的單位向量)，若舊=巫.

⑴試問是否為定值，若是定值，請(qǐng)求出，否則說明理由；

(2)求fanC的最大值，并判斷此時(shí)三角形的形狀?

18.求函數(shù)y=3sin(2久+》，久e［0,兀］的單調(diào)遞減區(qū)間.

19.已知函數(shù)/(%)=,sin2久—,cos2x,x&R.

(1)若對(duì)于任意％e［一事自，都有/⑺2a成立，求a的取值范圍；

(2)若先將y=/(x)的圖象上每個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，然后再向左平移5個(gè)單位得

到函數(shù)y=g(x)的圖象，求函數(shù)y=g(x)-之在區(qū)間［一2兀,47rl內(nèi)的所有零點(diǎn)之和.

20.已知數(shù)〃久)=sin(3%+卬)(3>0,\<p\<》的部分圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)/(%)的解析式，并求/(%)出的單遞增區(qū)間;

e,

(2)若f(&)=:%0[pf]求cos2出的值.

參考答案及解析

1.答案：A

,..cos（27r+a）tan（7T+a）_cosatana_sina_（

解析：角牛：，cos（生-a）—sina—sina一，

故選:A.

由條件利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡所給的式子，可得結(jié)果.

本題主要考查利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡求值，屬于基礎(chǔ)題.

2.答案：B

解析：

本題考查集合的交集補(bǔ)集的混合運(yùn)算，涉及一元二次不等式求解，屬于基礎(chǔ)題目.

解：B={x/1<x<2}>CRB={%/%<1或久>2},

則2nCRB={x/-l<x<1或2<x<3].

故選8.

3.答案：C

解析：

LHJ

故答案為C.

4.答案：A

解析：解：/(%)=2V3(sin^cos^-cos^sin^)+2cos^=V3sin^-cos^=2sin(^-^)f

ZDZDZZZZo

要使g(x)=/(x)-TH在區(qū)間［0,4兀］上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則需函數(shù)y=/(x)的圖象與直線y=zn有

三個(gè)不同的交點(diǎn)，

作出函數(shù)/。)的大致圖象如下圖所示，

不妨設(shè)/＜尤2＜尤3，由圖象可知，x1=0,%3=47r,2sin(^-5=-l,則￡—￡=

87T

???%2=

?,87r,.207r

???%1+%2+%3=0+—+471=—,

f(%i+x2+x3)=2s出(厚一2)=—1.

故選：A.

化簡函數(shù)/(X),作出/(X)的大致圖象，觀察圖象可求得比1，X2,冷的值，進(jìn)而求得/'(*1+*2+%3)?

本題考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想及運(yùn)算求解能

力，屬于中檔題.

5.答案：C

解析：解：對(duì)任意X】，xeR,且久1片冷，都有，3)-"犯)＜0，，,

2%］一%2

.??函數(shù)f(x)在R上為減函數(shù),故排除4B,D

X

??,對(duì)于任意的Xl，X2eR,有/'(久1+%2)=f(l)"(%2)；

對(duì)于C,/(x)=ax,/'(%］+.2)=a(%+x2)=必1?a〉=f(久力?/(%2),成立，

故選：C

由題意得到函數(shù)/(?在R上為減函數(shù)，故排除4B,D,再進(jìn)一步驗(yàn)證c是否成立，利用指數(shù)累的性

質(zhì)即可得到C滿足條件.

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題

6.答案：A

解析：本小題主要考查對(duì)數(shù)與指數(shù)的互化，正弦函數(shù)的值域，絕對(duì)值的意義和性質(zhì)，不等式性質(zhì)的

應(yīng)用.求出X=3(3"譏。)e［9,81］是解題的關(guān)鍵.

解：由于-lwsinew1,

???2<3—sin0<4.又log3*=3—sind,

.■-x=3?-si響G［9,81］.

所以|x-2|-|x-8|=x-2-%+8=6.

故選：A.

7.答案：B

解析：

本題考查命題真假的判斷，三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

根據(jù)題意，依次分析所給的4個(gè)命題：對(duì)于①，結(jié)合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的性質(zhì)，分析可得f(x)在

區(qū)間［0,1］上為減函數(shù)，又由86弓()，有S譏8>cos。，則有/'(s譏。)<f(cos。)；對(duì)于②，利用誘

導(dǎo)公式分析可得sin0—a)>s譏/?,又由正弦函數(shù)的性質(zhì)，則有a>0,即戊+0<奈對(duì)于③,

將"久)的解析式變形可得f(x)=-2s出(2“一$+1,令2"+當(dāng)2%-仁2卜兀+等k&Z,解可

得/(?的遞增區(qū)間，可得③錯(cuò)誤；對(duì)于④，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)分析可得④錯(cuò)誤；綜合可得答案.

解：根據(jù)題意，依次分析所給的4個(gè)命題：

對(duì)于①，是定義在［—1,1］上的偶函數(shù)，且在［-1,0］上是增函數(shù)，則/。)在區(qū)間［0,1］上為減函數(shù),

又由86(5］),有s譏。>cos8〉0,則有/(sin?)</(cos。)；故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，若銳角a、￡滿足cosa〉sin0,BPsin(j-a)>sin(i,又由0<］-a<］0</?<p

則有T-a>S，即a+S<》故②正確；

對(duì)于③，f。)=2sin(^-2x)+1=-2sin(2x-1)+1,令2/OT+^<2x-^<2/OT+y,kEZ,

解可得k兀+居WxWIcrt+keZ,

其單調(diào)遞增區(qū)間為他兀+工,/OT+詈］,kez,故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④)，若cos(%+^)>—/，則有2Mr—譽(yù)<%+々<2/C7T+T，kEZ,解可得2/CTT—TT<%<2/CTT+

2冗j_?

—,keZ,

3

即cos(%+-)>—組的解集為｛久|2/CTT—n<x<2/CTT+kEZ｝；故④錯(cuò)誤；

623

四個(gè)命題中，只有②是正確的；

故選：B.

8.答案：C

3

解析：M：va=42>4=64^b=2昊(1,2)，c=5：>5：>2，

又c<5,

故a>c>b.

故選：C.

結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及特殊點(diǎn)的函數(shù)值分別確定a,b,c的范圍，即可比較大小

本題主要考查了利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)試題.

9答案:A

解析：解：已知/(%-2)=Inx-1,

可得/(%)=ln(%+2)-%￡(-2,+8)上，函數(shù)是連續(xù)增函數(shù)，

/(0)=Zn2-1<0,

/(I)=伉3-；2>0,

由函數(shù)的零點(diǎn)判定定理可知/Go)=。，則%。所在的區(qū)間為(0,1).

故選：A.

求出函數(shù)的解析式，利用零點(diǎn)判定定理判斷求解即可.

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)判定定理的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查，基礎(chǔ)題.

10.答案：②③

解析：解：①取％=-1時(shí)，y=2x2+^=-2<6,因此是假命題；

②當(dāng)a>0,6>0時(shí)，-+-+2>Jab22R+2y/ab>4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b>0時(shí)取等號(hào)，是真命題；

abA/ab

③y=x(l-2x)2,(o<x<1),y=ix4久(1-2x)(1-2x)<1(-4x+1-2^+1-2^3=A,當(dāng)且僅當(dāng)

%=%寸取等號(hào).因此其最大值為白，是真命題；

④當(dāng)且僅當(dāng)￡>0時(shí)，恒成立，因此是假命題.

以上命題是真命題的是②③.

故答案為：②③.

①取x=—1時(shí)，y=2/+：=—2<6,即可判斷出真假；

②當(dāng)a>0,b>0時(shí)，兩次利用基本不等式的性質(zhì)即可判斷出真假；

③y=%(1-2%)2,(0<%<|),可得y=|X4x(1-2x)(1-2%)<(把三上上當(dāng)3=、即可判

斷出真假；

④當(dāng)且僅當(dāng)￡>0時(shí)，恒成立，即可判斷出真假.

本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

11.答案：5+2V6

解析：

本題考查基本不等式求最值，涉及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

由題意可得a+b=l,整體代入可得2+[=(2+J)(a+b)=5+生+(，由基本不等式可得.

abvav'ab

解：va>0,b>0,且ln(a+b)=0,a+Z?=1,

23232b3a2b3a廠

+7)(CL+b)=5H----1——Z5+2-------5+2V6

丁丁bab、ab

當(dāng)且僅噌=卻寸取等號(hào)，結(jié)合a+"1可解得"巡-2且b=3-傳

故答案為：5+2V6.

12.答案：4

解析：本題考查新定義及同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，考查了學(xué)生的計(jì)算能力.

sin&2

解：；=0,

cos63

.?.3sin6-2cos6=0,

即tan9=-,

2

3x-+2

3tan6+2

3=4

',原式=3tang_]3x|.l

故填4.

13.答案：①④

解析：解：①使2*>3工”的否定是“VxeR,使2833工”，故①正確；

12

②若正數(shù)%,y滿足X+3y=5%y,則可+昴=1,

.??3%+4丫=3+4吠囁+勺=那+安等守2再忘若+舁5,

當(dāng)且僅當(dāng)x=i,y=|時(shí)，取最小值5,故②錯(cuò)；

③命題“若函數(shù)/(X)在x=比處有極值，則(。0)=0”的逆命題是“若尸。0)=。，則函數(shù)/(乃在

%=而處有極值"，這是假命題，例如=X3,1(無)=3/,有，(0)=0,但工=0不為極值點(diǎn)，

又否命題與逆命題等價(jià)，故否命題也是假命題，故③錯(cuò)；

④/(%)是(一8,0)U(0,+8)上的奇函數(shù),％>0時(shí)的解析式是/(%)=2%,令％<0,則一%>0,/(-x)=

2-%,又/(一%)=—/(%)，則當(dāng)％<0時(shí)，/(%)=-2-%,故④正確.

故答案為：①④.

①由含有一個(gè)量詞的命題的否定形式，即可判斷；

②運(yùn)用基本不等式求最值.將x+3y=5盯變形為點(diǎn)+2=1,貝反+4y=(3x+4y)x七+劫等

其展開，再運(yùn)用基本不等式，即可求出最小值；

③先寫出逆命題，再舉反例判斷真假，再根據(jù)否命題與逆命題互為等價(jià)命題，即可判斷；

④運(yùn)用奇函數(shù)的定義，設(shè)％<0,則-x>0,運(yùn)用大于0的解析式，再由/(-%)=-/(%),即可得到

小于0的解析式，從而判斷④.

本題以命題的真假判斷為載體，考查基本不等式的運(yùn)用，注意等號(hào)成立的條件，考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0

是函數(shù)具有極值的必要條件，同時(shí)考查函數(shù)的奇偶性及應(yīng)用，求函數(shù)解析式，是一道基礎(chǔ)題.

14.答案:21

解析:解:lg2+22+lo^s+lg5

=lg2+IgS+22+/比5

=1+22-2sgz5

=1+4x5=21.

故答案為：21.

直接利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則化簡求解即可.

本題考查對(duì)數(shù)的大蘇打運(yùn)算法則的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

15.答案：[x\x>0或x<0}

解析：解：令即有/⑷<三

4

t<0時(shí)，2f<1<-,可得t<0成立；

4

t>0時(shí)，―/+2t—2<解得t>0成立；

4

由/(%)<0可得一%2+2%-2<0,且％>0,解得％>0；

由/(%)>0可得2%>0且久<0,即有％<0；

又一一+2%—2>0,且黑>0,解得％G0,

綜上可得所求解集為{%[%>0或％<0].

故答案為：{%|%>0或X<0}.

令t=f(x),即有討論t<0,t>0,結(jié)合指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性，解不等式即可

得到所求解集.

本題考查分段函數(shù)的解析式的運(yùn)用，換元法和不等式的解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

16.答案：解：⑴由題意得，/(%)=sinx-cosx-1=V2sin(x--1,

所以fG)=&sinC*)-l=-l；

(2)由(1)得，/(x)=V2sin(x--1

由X6[0,兀]得％_Ee[―：,等]，則V^sin(%_?)e[-y,1]

則&sin(x--1￡[-2,V2-1]

4

所以值域?yàn)閇—2,或—1]

(3)由(1)得，y=/(4x)=V2sin(4x--1,

令sin(4x—3)=±1,得：4x—3=/ot+/(keZ)

解得％=^+*kez),

由ow處+更wN(keZ)得k=0

4164

因此*0=普

lo

解析：(1)用二倍角的余弦公式變形、兩角和的正弦公式化簡解析式，求出的值；

(2)由％的范圍和正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出f(x)的值域；

(3)由(1)求出f(4x)的解析式，由正弦函數(shù)的對(duì)稱軸方程列出方程化簡，由％。G[05]求出久。的值.

本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二倍角的余弦公式變形、兩角和的正弦公式，考查整體思想，化

簡、變形能力.

17.答案：(l)tcm4?tcmB為定值:，證明如下：

由I方『=|,得2cos2等+sin2?|,?-?1+cos(X+B)+-；(/)=|,

即2cos(A+B)=cos(i4—B),即cosAcosB=3sinAsinB,???tanAtanB=|；

(2)tcmC的最大值為-W，此時(shí)△ABC為等腰三角形.

-1

解析：解：(l)tcmA?tcmB為定值才證明如下：

由|方『=|,得2cos2+sin2=|,1+cos(i4+B)+"。丁-')=|,

即2cos(Z+B)=COS(T4—B),WflcosAcosB=3sinAsinB,???tanAtanB=-；

i

(2)vtanAtanB=->0,??.tanA>0,tanB>0,

tan(Z+8)=:::片=|(tanA+tanB)>|x2y/tanA-tanB=遮，???tan(X+B)之遮，即

-tCLTlC之-\/3?

2^2

tanA+tanB=——百

i3,即tcmA=tanB=一,

(tanA-tanB--3

.?.Z=8=30。，tcmC的最大值為一百，此時(shí)△ZBC為等腰三角形.

18.答案：解：由2/CTT+/<2x+：<2/CTT+當(dāng)，k￡Z,

解得左兀+-<X<fc7T+—,

88

當(dāng)k=0時(shí)，%

88

故此時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞減為《，中

解析：根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論.

本題主要考查三角函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的求解，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵.

19.答案：解：(1)f(x~)=—sin2x--cos2x=sin(2x--),

226

???%€［—/丁可得:［冶，爭,

???f(x)=Sin(2x-^)e

???若對(duì)任意久eg,J都有/(x)>a成立，則只需狐》(X)>a即可.

.,.可得：a￡(—oo,--y］-

(2)若先將y=f(x)的圖象上每個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵?/p>

來的2倍，可得函數(shù)解析式為y=sin(x-)-2公田

再向左平移弓個(gè)單位得到函數(shù)y=g(x)=sinx,

由g(%)=。得sinx=I，

］，，，?

由圖可知sin%=在［-2%4兀］上有6個(gè)零點(diǎn)：xr,x2?%3%4%5%6

根據(jù)對(duì)稱性有號(hào)=-4，弩=,