隨機過程的功率譜密度

隨機過程的功率譜密度§3.1功率譜密度函數(shù)3.1.1確定信號的頻譜和能量譜密度

第2頁,共63頁，2024年2月25日，星期天§3.1功率譜密度函數(shù)3.1.1確定信號的頻譜和能量譜密度確定信號是在的非周期實函數(shù)，的傅立葉變換存在的充要條件是：(1).滿足狄利赫利條件(2).總能量有限，即第3頁,共63頁，2024年2月25日，星期天則信號的傅立葉變換為傅立葉反變換為根據(jù)巴塞伐(Parseval)定理(總能量的譜表達式)

稱為信號的能量譜密度。第4頁,共63頁，2024年2月25日，星期天3.1.2隨機過程的功率譜密度隨機過程的樣本函數(shù)不滿足傅立葉存在的絕對可積和能量可積條件，傅立葉不存在。圖3-1樣本函數(shù)第5頁,共63頁，2024年2月25日，星期天采取截斷函數(shù)規(guī)范化隨機信號，使之滿足傅立葉變換條件。截斷函數(shù)定義為：圖3-2及截斷函數(shù)

保留有限區(qū)間的數(shù)據(jù)置其它區(qū)間為0第6頁,共63頁，2024年2月25日，星期天

當T為有限值時，截斷函數(shù)滿足傅立葉變換條件，傅立葉變換為傅立葉反變換為由巴塞伐定理得對上式兩邊除2T第7頁,共63頁，2024年2月25日，星期天第8頁,共63頁，2024年2月25日，星期天樣本函數(shù)在時間區(qū)間的平均功率。由于樣本函數(shù)是隨機過程的任何一個樣本函數(shù)，取決于隨機試驗，平均功率具有隨機性?？刹捎眉掀骄龢颖竞瘮?shù)的隨機性，即兩邊取極限第9頁,共63頁，2024年2月25日，星期天若設上式表示為

稱為隨機過程的功率譜密度。如隨機過程是寬平穩(wěn)過程時，則第10頁,共63頁，2024年2月25日，星期天§3.2功率譜密度與自相關函數(shù)之間的關系及其性質自相關函數(shù)是從時間域上描述隨機過程統(tǒng)計特性的重要特征。功率譜密度是從頻率域上描述隨機過程統(tǒng)計特性的重要特征。自相關函數(shù)功率譜密度？自相關函數(shù)功率譜密度隨機過程?timefrequency圖3-3功率譜密度與自相關函數(shù)第11頁,共63頁，2024年2月25日，星期天3.2.1維納—辛欽定理平穩(wěn)各態(tài)歷經隨機過程的自相關函數(shù)和功率譜密度有如下關系：證明：由功率譜密度函數(shù)定義功率譜密度與自相關函數(shù)是傅立葉變換對第12頁,共63頁，2024年2月25日，星期天在區(qū)間定義則有令則

得證。功率譜密度與自相關函數(shù)時間平均值是傅立葉變換對第13頁,共63頁，2024年2月25日，星期天3.2.2功率譜密度的性質1.功率譜密度為非負實函數(shù)，即證明:根據(jù)功率譜密度定義2.功率譜密度函數(shù)為的偶函數(shù),即第14頁,共63頁，2024年2月25日，星期天

證明:由功率譜與自相關函數(shù)的關系同理

第15頁,共63頁，2024年2月25日，星期天平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度是可積函數(shù),即證明:對于平穩(wěn)隨機過程有平穩(wěn)隨機過程的均方值有限平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度可積,即第16頁,共63頁，2024年2月25日，星期天4.功率譜與相關函數(shù)隨機過程平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)各經歷態(tài)過程第17頁,共63頁，2024年2月25日，星期天圖3-4隨機過程及其功率譜密度函數(shù)非負實數(shù)可積偶函數(shù)第18頁,共63頁，2024年2月25日，星期天3.2.3功率譜與平均功率平均功率是功率譜在頻率空間的積分證明：平穩(wěn)各態(tài)歷經第19頁,共63頁，2024年2月25日，星期天2.特定頻率上平均功率3.單邊譜密度與雙邊譜密度物理譜密度函數(shù)第20頁,共63頁，2024年2月25日，星期天

－函數(shù)功率譜密度指單位帶寬上平均功率；直流與周期平穩(wěn)隨機過程在頻率軸有離散譜線；圖3-5周期平穩(wěn)隨機過程及其功率譜密度零帶寬上有限功率無限的功率譜密度第21頁,共63頁，2024年2月25日，星期天隨機過程的功率譜密度不一定可積，即－函數(shù)圖3-6－函數(shù)第22頁,共63頁，2024年2月25日，星期天利用－函數(shù)，含有直流分量或周期分量的平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度可表示為圖3-7直流分量圖3-8周期分量第23頁,共63頁，2024年2月25日，星期天若功率譜密度函數(shù)為常數(shù)，則自相關函數(shù)為—函數(shù)。圖3-9常功率譜函數(shù)圖3-10自相關函數(shù)第24頁,共63頁，2024年2月25日，星期天例3-1平穩(wěn)隨機過程的自相關函數(shù)為求該隨機過程的功率譜密度函數(shù)。解：由維納－辛欽定理，有第25頁,共63頁，2024年2月25日，星期天圖3-11例3-1第26頁,共63頁，2024年2月25日，星期天3.2.4幾種常見的與

第27頁,共63頁，2024年2月25日，星期天例3-2已知平穩(wěn)隨機過程，具有功率譜密度為求該過程的自相關函數(shù)。解：由上例可知，若自相關函數(shù)具有的形式，則功率譜密度為，本題中則自相關函數(shù)具有如下形式第28頁,共63頁，2024年2月25日，星期天顯然因此所以自相關函數(shù)為第29頁,共63頁，2024年2月25日，星期天§3.3平穩(wěn)隨機過程的自相關函數(shù)時間和等效功率譜帶寬自相關函數(shù)反映隨機過程在不同時刻的關聯(lián)程度。功率譜密度函數(shù)描述隨機過程的平均功率沿頻率軸的分布。自相關時間從數(shù)量上直觀描述隨機過程的在時間上關聯(lián)范圍。等效功率帶寬從數(shù)量上直觀描述隨機過程在頻率上分布范圍。第30頁,共63頁，2024年2月25日，星期天3.3.1自相關時間相同的數(shù)學期望相同的方差(a)(b)圖3-12和的樣本函數(shù)曲線(b)圖3-13和的自相關函數(shù)(a)第31頁,共63頁，2024年2月25日，星期天因為，有由于擴展比要大一些，因此

能描述相關程度(b)(a)圖3-14自相關時間第32頁,共63頁，2024年2月25日，星期天自相關時間定義：通常，當時，可認為與的相關性已經很弱，實際上已經不相關了。第33頁,共63頁，2024年2月25日，星期天3.3.2等效功率譜帶寬(a)(b)圖3-15和的樣本函數(shù)曲線相同的數(shù)學期望相同的方差(a)(b)圖3-15功率譜第34頁,共63頁，2024年2月25日，星期天因為，且所以

能描述出隨機過程起伏程度圖3-15等效功率帶寬第35頁,共63頁，2024年2月25日，星期天等效功率帶寬定義：通常，說明了中起伏的最高頻率。第36頁,共63頁，2024年2月25日，星期天3.3.3時間帶寬乘積

變化緩慢，變化快，；起伏頻繁程度低，變化起伏頻繁程度高，。時間帶寬乘積：(a)(b)圖3-16和的樣本函數(shù)曲線相同的數(shù)學期望相同的方差常數(shù)第37頁,共63頁，2024年2月25日，星期天例3-3設隨機過程的自相關函數(shù)為試求該隨機過程的自相關時間和等效功率譜帶寬。解：由自相關函數(shù)定義第38頁,共63頁，2024年2月25日，星期天等效功率譜帶寬第39頁,共63頁，2024年2月25日，星期天例3-4已知平穩(wěn)過程的譜密度為求的自相關函數(shù)，自相關時間和等效帶寬。解：由自相關函數(shù)與功率譜關系有第40頁,共63頁，2024年2月25日，星期天第41頁,共63頁，2024年2月25日，星期天圖3-17例3-4第42頁,共63頁，2024年2月25日，星期天§3.4聯(lián)合平穩(wěn)過程的互功率譜密度自相關函數(shù)反映隨機過程在不同時刻的關聯(lián)程度?；ハ嚓P函數(shù)反映多個隨機過程在不同時刻的關聯(lián)程度。功率譜密度函數(shù)互功率譜密度函數(shù)第43頁,共63頁，2024年2月25日，星期天3.4.1互功率譜隨機過程的樣本函數(shù)不滿足傅立葉存在的絕對可積和能量可積條件。采取截斷函數(shù)規(guī)范化隨機信號，使之滿足傅立葉變換條件。第44頁,共63頁，2024年2月25日，星期天

保留有限區(qū)間的數(shù)據(jù)置其它區(qū)間為0圖3-18樣本函數(shù)及截斷函數(shù)

保留有限區(qū)間的數(shù)據(jù)置其它區(qū)間為0第45頁,共63頁，2024年2月25日，星期天

截斷函數(shù)和滿足傅立葉變換的絕對可積和能量有限條件，即傅立葉變換分別為第46頁,共63頁，2024年2月25日，星期天在時間范圍內，和的互功率為據(jù)巴塞伐定理用代換，則有互功率也可表示為第47頁,共63頁，2024年2月25日，星期天由于和具有隨機性，、和也具有隨機性；為消除單一樣本的隨機性，采取樣本的統(tǒng)計平均來得到隨機過程和的互功率。將時間范圍擴展至，即

設則

互功率譜密度第48頁,共63頁，2024年2月25日，星期天3.4.2互功率譜的物理意義設實隨機過程，它由兩隨機過程和相加：自相關函數(shù)為第49頁,共63頁，2024年2月25日，星期天

對自相關函數(shù)取時間平均則的功率譜密度為是和絞聯(lián)、耦合部分在頻率空間上的表現(xiàn)。第50頁,共63頁，2024年2月25日，星期天3.4.3互功率譜與互相關函數(shù)的關系1.兩個隨機過程和的互相關函數(shù)和互功率譜之間滿足其中第51頁,共63頁，2024年2月25日，星期天證明：根據(jù)互功率譜定義有由傅立葉變換第52頁,共63頁，2024年2月25日，星期天2.若隨機過程和聯(lián)合平穩(wěn)，互相關函數(shù)和互功率譜之間滿足證明：據(jù)聯(lián)合平穩(wěn)過程的性質，有將其帶入一般關系式，就可得此關系。第53頁,共63頁，2024年2月25日，星期天3.4.4互功率譜性質1.2.3.若隨機過程和正交，則4.若隨機過程和不相關，且的均值為常數(shù)，則第54頁,共63頁，2024年2月25日，星期天§3.5白噪聲和色噪聲按功率譜密度函數(shù)的形狀，可分為白噪聲和有色噪聲；白噪聲可分為理想白噪聲和帶限白噪聲。功率譜函數(shù)形狀理想白噪聲帶限白噪聲第55頁,共63頁，2024年2月25日，星期天(a)(b)圖3-19色噪聲(a)和白噪聲(b)第56頁,共63頁，2024年2月25日，星期天(a)(b)圖3-20理想白噪聲(a)和帶限白噪聲(b)第57頁,共63頁，2024年2月25日，星期天3.5.1理想白噪聲定義：若為一個具有零均值的平穩(wěn)隨機過程，其功率譜密度均勻分布在的整個區(qū)間，即其中