2022-2023學(xué)年江蘇省南京市外國語學(xué)校等四校高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2022-2023學(xué)年江蘇省南京市外國語學(xué)校等四校高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．）1．若集合，，則（）A． B．C． D．2．若，則的實部為（）A．1 B．2 C．3 D．103．打羽毛球是一項全民喜愛的體育活動，標準的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，測得每根羽毛在球托之外的長為7cm，球托之外由羽毛圍成的部分可看成一個圓臺的側(cè)面，測得頂端所圍成的直徑是，底部所圍成圓的直徑是，據(jù)此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的面積大約為（）A． B． C． D．4．若函數(shù)在恰好存在兩個零點和兩個極值點，則（）A． B． C． D．5．已知點P在橢圓上，點Q在圓，其中c為橢圓C的半焦距，若的最大值恰好等于橢圓C的長軸長，則橢圓C的離心率為（）A． B． C． D．6．在△ABC中，若向量在上的投影向量為，則的最大值為（）A． B． C． D．7．設(shè)，，，則（）A． B． C． D．8．四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為的正方形，側(cè)面△PAD為正三角形，則其外接球體積最小值為（）A． B． C． D．二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）9．在△ABC中，記角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，，則（）A． B．向量，夾角的最小值為C．內(nèi)角A的最大值為 D．△ABC面積的最小值為10．在棱長為1的正方體中，E為的中點，則（）A． B．BE與所成的角為C．四面體的體積為 D．與平面所成的角為11．已知O為坐標原點，直線與拋物線相交于，兩點，且△AOB的面積為，則（）A．B．AB的中點到y(tǒng)軸的距離為3C．點滿足D．過點作C的切線，切點為M，N，則O與直線MN距離的最小值為112．已知函數(shù)是定義域為R的可導(dǎo)函數(shù)，．若是奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于直線對稱，則（）A．B．曲線在點處的切線的傾斜角為C．是周期函數(shù)（是的導(dǎo)函數(shù)）D．的圖象關(guān)于點中心對稱三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13．若非零向量與滿足：，且，，則的最大值為______．14．德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出最大視角問題，這一問題的一般描述是：已知點A，B是∠MON的ON邊上的兩個定點，C是OM邊上的動點，當C在何處時，∠ACB最大？問題的結(jié)論是：當且僅當△ABC的外接圓與OM相切于點C時，∠ACB最大．人們稱這一命題為米勒定理．已知，，，則∠ACB最大時，______．15．已知函數(shù)的定義域R，，，且．若數(shù)列是首項為0，公差為2的等差數(shù)列，則______．16．已知函數(shù)，，若與的圖象上有且僅有2對關(guān)于原點對稱的點，則實數(shù)a的取值范圍為______．四、解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．設(shè)為數(shù)列的前n項和，已知，且，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前20項和．18．隨著經(jīng)濟的發(fā)展，富裕起來的人們健康意識日益提升，越來越多的人走向公園、場館，投入健身運動中，成為一道美麗的運動風景線．某興趣小組為了解本市不同年齡段的市民每周鍛煉時長情況，隨機抽取300人進行調(diào)查，得到如下表的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：周平均鍛煉時間少于5小時周平均鍛煉時間不少于5小時合計50歲以下12010022050歲以上（含50）305080合計150150300（1）運用獨立性檢驗的思想方法判斷：是否有99%以上的把握認為，周平均鍛煉時長與年齡有關(guān)聯(lián)？并說明理由．（2）現(xiàn)從20歲以上（含50）的樣本中按周平均鍛煉時間是否少于5小時，用分層抽樣法抽取8人做進行一步訪談，最后再從這8人中隨機抽取3人填寫調(diào)查問卷．記抽取3人中周平均鍛煉時間是不少于5小時的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．19．記銳角△ABC的角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．（1）求角A的大小；（2）若，求BC邊上的高的取值范圍．20．如圖1，梯形ABCD中，，，，將△ABC沿對角線AC翻折，使點B至點P，且使平面PAC⊥平面ACD，如圖2．（1）求證：PA⊥CD；（2）連接PD，當四面體PACD體積最大時，求二面角C－PA－D的大?。?1．已知函數(shù)在是減函數(shù)．（1）求實數(shù)a的取值范圍；（2）記，當時，①求證：在區(qū)間內(nèi)存在唯一極值點（記為）；②求證：．22．已知雙曲線C的中心為坐標原點，焦點在坐標軸上，且點，，三個點中有且僅有兩點在雙曲線C上．（1）求雙曲線C的標準方程；（2）直線l交雙曲線C于y軸右側(cè)兩個不同點的E，F(xiàn)，連接DE，DF分別交直線AB于點G，H．若直線DE與直線DF的斜率互為相反數(shù)，證明：為定值．參考答案一、單項選擇題1．【答案】D2．【答案】C3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】D6．【答案】C7．【答案】B8．【答案】C二、多項選擇題9．【答案】AC10．【答案】ACD11．【答案】BC12．【答案】BCD三、填空題13．【答案】14．【答案】15．【答案】102316．【答案】四、解答題17．【解析】（1）由題意，時，，令有所以，時有，兩式相減得：，時，因為，所以，即是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以；（2）由（1）得，所以18．【解析】（1）答：有99%以上的把握認為周平均鍛煉時長與年齡有關(guān)；（2）由題意得8人樣本中有3人周平均鍛煉時長少于5小時，有5人周平均鍛煉時長不少于5小時．X的可能取值為0，1，2，3，則，，，X的分布列為X0123P所以19．【解析】（1）因為，所以．（2）設(shè)BC邊上高為h，垂足為H，設(shè)，則，所以，，由（1）得，所以，因為，所以，即，所以20．【解析】（1）設(shè)AC中點為M，因為，所以PM⊥AC，因為PM⊥AC，面PAC⊥面ACD，面PAC，面面，所以PM⊥面ACD，又因為面ACD，所以PM⊥CD；（2）由（1）可得CD⊥面PAC，設(shè)AD中點為N，以M為原點，MC所在直線為x軸，MN所在直線為y軸，MP所在直線為z軸建立空間直角坐標系，則，，，，，由已知，，設(shè)，則，即當時體積最大，此時，，，，面PAC的一個法向量為，設(shè)面PDA的法向量為，則，令，由所以，即二面角C－PA－D的大小為．21．【解析】（1）由題意得時，恒成立，且導(dǎo)函數(shù)無連續(xù)零點，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以要滿足題意則，即；（2）①時因為，所以，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，又有所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，又因為所以存在滿足，即題意得證；②要證：，即證：，即證，即證，即證，即證因為，所以，，即成立，所以得證．22．【解析】（1）由題意A，B不可能同時在雙曲線上，若A，D在雙曲線上，則，解得雙曲線方程為：；若