自動控制原理二階系統(tǒng)時(shí)域分析

自動控制原理二階系統(tǒng)時(shí)域分析第2頁,共45頁，2024年2月25日，星期天第3頁,共45頁，2024年2月25日，星期天+-第4頁,共45頁，2024年2月25日，星期天一、二階系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型標(biāo)準(zhǔn)形式：自然振蕩頻率，單位為rad/s阻尼比第5頁,共45頁，2024年2月25日，星期天標(biāo)準(zhǔn)形式：第6頁,共45頁，2024年2月25日，星期天閉環(huán)特征方程：標(biāo)準(zhǔn)形式：閉環(huán)特征根：第7頁,共45頁，2024年2月25日，星期天單位階躍輸入r(t)=1(t)時(shí)，其二階系統(tǒng)的輸出的拉氏變換為顯然，隨著阻尼比ζ的不同,二階系統(tǒng)特征根(極點(diǎn))也不相同，系統(tǒng)的響應(yīng)形式也不同。以下研究

n一定，阻尼比ζ不同時(shí)的單位階躍響應(yīng)。二、二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)第8頁,共45頁，2024年2月25日，星期天1、<0:負(fù)阻尼系統(tǒng)××

j<-1××j

-1<<0t1c(t)0發(fā)散振蕩兩個特征根位于S右半平面，輸出響應(yīng)含有模態(tài)，具有正冪指數(shù)，動態(tài)過程發(fā)散振蕩或單調(diào)發(fā)散。第9頁,共45頁，2024年2月25日，星期天2、=0:無阻尼系統(tǒng)兩個特征根為一對共軛純虛根：s1,2=±j

n××j

=0t12c(t)0等幅振蕩第10頁,共45頁，2024年2月25日，星期天3、0<<1:欠阻尼系統(tǒng)兩個特征根為一對負(fù)實(shí)部共軛復(fù)根：令：，稱為有阻尼振蕩頻率第11頁,共45頁，2024年2月25日，星期天（1）單位階躍響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)分量瞬態(tài)分量第12頁,共45頁，2024年2月25日，星期天欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)兩部分組成：

a.瞬態(tài)部分是衰減的正弦振蕩曲線，衰減速度取決于特征根實(shí)部的絕對值ζωn(即σ，特征根實(shí)部）的大小,b.振蕩角頻率為阻尼振蕩角頻率

d（特征根虛部)。

c.穩(wěn)態(tài)部分等于1，表明不存在穩(wěn)態(tài)誤差；1c(t)

nt0衰減振蕩第13頁,共45頁，2024年2月25日，星期天

階躍響應(yīng)從零第一次升到穩(wěn)態(tài)所需的的時(shí)間。上升時(shí)間tr

單位階躍響應(yīng)

?即

?得

?此時(shí)(2)動態(tài)性能指標(biāo)第14頁,共45頁，2024年2月25日，星期天

單位階躍響應(yīng)超過穩(wěn)態(tài)值達(dá)到第一個峰值所需要的時(shí)間。

峰值時(shí)間tp第15頁,共45頁，2024年2月25日，星期天

單位階躍響應(yīng)中最大超出量與穩(wěn)態(tài)值之比。

超調(diào)量

%第16頁,共45頁，2024年2月25日，星期天

單位階躍響應(yīng)進(jìn)入±

誤差帶的最小時(shí)間。

調(diào)節(jié)時(shí)間ts

欠阻尼二階系統(tǒng)的一對包絡(luò)線如圖

c(t)t01包絡(luò)線（=5%時(shí)）?工程上通常用包絡(luò)線代替實(shí)際曲線來估算。

解得（=2%時(shí)）第17頁,共45頁，2024年2月25日，星期天例題：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，要求系統(tǒng)性能指標(biāo)σ％＝20％，tp=1s（1）求系統(tǒng)阻尼比，自然振蕩頻率。（2）確定K與τ的值。（3）求阻尼振蕩頻率，阻尼角（4）計(jì)算上升時(shí)間tr和調(diào)節(jié)時(shí)間ts。第18頁,共45頁，2024年2月25日，星期天閉環(huán)傳遞函數(shù)

第19頁,共45頁，2024年2月25日，星期天4、＝1:臨界阻尼系統(tǒng)兩個特征根為一對相等負(fù)實(shí)根××

j＝11c(t)t0單調(diào)上升過程第20頁,共45頁，2024年2月25日，星期天5、>1:過阻尼系統(tǒng)兩個特征根為一對不相等負(fù)實(shí)數(shù)實(shí)根××j>1第21頁,共45頁，2024年2月25日，星期天1c(t)t0單調(diào)上升過程第22頁,共45頁，2024年2月25日，星期天過阻尼二階系統(tǒng)性能指標(biāo)(P84)=1，T1/T2=1,ts=4.75T1,

n=1/T1第23頁,共45頁，2024年2月25日，星期天例題：設(shè)角度隨動系統(tǒng)如圖所示，T=0.1為伺服電機(jī)時(shí)間常數(shù)，若要求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)無超調(diào)，且調(diào)節(jié)時(shí)間ts≤1s，問K應(yīng)取多大？此時(shí)上升時(shí)間等于多少？解：閉環(huán)傳遞函數(shù)為為使系統(tǒng)具有盡量快的響應(yīng)速度，取

=1,2

n=1/T=10,

n=5rad/s,

n2=K/T=10K,K=2.5=1，T1/T2=1,ts=4.75T1,

n=1/T1,T1=0.2,ts=4.75T1=0.95≤1s,

tr=3.5/5=0.7s第24頁,共45頁，2024年2月25日，星期天0123456789101112

nt

c(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0以上幾種情況的單位階躍響應(yīng)曲線如下圖：

=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.0?

在0<<1,

越小，超調(diào)量越大，平穩(wěn)性越差，調(diào)節(jié)時(shí)間ts長；

?

=0.7，調(diào)節(jié)時(shí)間短，而超調(diào)量

%<5%，平穩(wěn)性也好，故稱ζ=0.7為最佳阻尼比。工程希望

=0.4～0.8為宜；?在

≥1

,

越大，系統(tǒng)響應(yīng)速度慢，調(diào)節(jié)時(shí)間ts也長。第25頁,共45頁，2024年2月25日，星期天三、二階系統(tǒng)的性能改善改善二階系統(tǒng)性能的兩種方法：比例-微分控制測速反饋控制第26頁,共45頁，2024年2月25日，星期天1、比例－微分控制R(s)(-)C(s)Go(s)Tds+1第27頁,共45頁，2024年2月25日，星期天可見，比例－微分控制不改變開環(huán)增益。R(s)(-)C(s)Go(s)Tds+1第28頁,共45頁，2024年2月25日，星期天可見，比例－微分控制不改變自然振蕩頻率和開環(huán)增益，但增大阻尼比，以抑制振蕩，減少超調(diào)量。比例－微分控制相當(dāng)于增加了一個零點(diǎn)，故稱為有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)。R(s)(-)C(s)Go(s)Tds+1第29頁,共45頁，2024年2月25日，星期天特點(diǎn):

(1)引入比例微分控制，系統(tǒng)阻尼增加，其對振蕩的抑制強(qiáng)于閉環(huán)零點(diǎn)對振蕩的擴(kuò)大。因此，總體是使超調(diào)減弱，改善平穩(wěn)性；

(2)

閉環(huán)零點(diǎn)的出現(xiàn)，加快了系統(tǒng)響應(yīng)速度，克服了阻尼過大，響應(yīng)速度慢的缺點(diǎn)?？焖傩院推椒€(wěn)性均提高。

(3)不影響開環(huán)增益，即不影響系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，自然振蕩頻率不變。

第30頁,共45頁，2024年2月25日，星期天注意：微分對于噪聲（高頻噪聲）有放大作用，在輸入端噪聲較強(qiáng)時(shí)，不宜采用比例-微分控制。此時(shí)，可考慮用測速－反饋控制。第31頁,共45頁，2024年2月25日，星期天2、測速－反饋控制R(s)(-)C(s)KtS(-)測速－反饋控制可見，開環(huán)增益減小。舉例第32頁,共45頁，2024年2月25日，星期天圖1-13b函數(shù)記錄儀原理方塊圖第33頁,共45頁，2024年2月25日，星期天閉環(huán)傳遞函數(shù)：特點(diǎn)：（1）測速反饋可以使阻尼比增加，振蕩和超調(diào)減小，改善了系統(tǒng)平穩(wěn)性；但不影響系統(tǒng)的自然頻率；（2）測速反饋不增加閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)，對系統(tǒng)性能改善的程度與比例-微分控制是不一樣的；（3）測速反饋會降低系統(tǒng)原來的開環(huán)增益，通過增益補(bǔ)償，可不影響原系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。R(s)(-)C(s)KtS(-)第34頁,共45頁，2024年2月25日，星期天例題：設(shè)控制系統(tǒng)如圖所示，其中（a）為比例控制系統(tǒng)，（b）為測速反饋控制系統(tǒng)，若使系統(tǒng)（b）的阻尼比為

=0.5

，求系統(tǒng)參數(shù)K，并計(jì)算系統(tǒng)（a）和（b）的各項(xiàng)性能指標(biāo)。解：（1）系統(tǒng)(a)的閉環(huán)傳遞函數(shù)第35頁,共45頁，2024年2月25日，星期天解：（2）系統(tǒng)(b)的閉環(huán)傳遞函數(shù)第36頁,共45頁，2024年2月25日，星期天3-4高階系統(tǒng)的時(shí)域分析第37頁,共45頁，2024年2月25日，星期天設(shè)高階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式為設(shè)此傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分別為zi(i=1,2,…,m)和si(i=1,2,…,n),則有令系統(tǒng)所有閉環(huán)零、極點(diǎn)互不相同,且極點(diǎn)有實(shí)數(shù)極點(diǎn)和復(fù)數(shù)極點(diǎn),零點(diǎn)均為實(shí)數(shù)零點(diǎn)。當(dāng)輸入單位階躍函數(shù)時(shí),則有一、高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)第38頁,共45頁，2024年2月25日，星期天式中,n=q+2r,q為實(shí)極點(diǎn)的個數(shù),r為復(fù)數(shù)極點(diǎn)的個數(shù)。將上式展成部分分式得對上式求拉氏反變換得第39頁,共45頁，2024年2月25日，星期天第40頁,共45頁，2024年2月25日，星期天單位階躍函數(shù)作用下高階系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分量為A0,瞬態(tài)分量是一階和二階系統(tǒng)瞬態(tài)分量的合成。若所有閉環(huán)極點(diǎn)均有負(fù)的實(shí)部，則所有暫態(tài)分量趨于零，系統(tǒng)穩(wěn)定。

(1)高階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)各分量的衰減快慢由指數(shù)衰減系數(shù)sj和ζkωnk決定。如果某極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸，那么其相應(yīng)的瞬態(tài)分量持續(xù)時(shí)間較短，對系統(tǒng)暫態(tài)性能的影響就小。第41頁,共45頁，2024年2月25日，星期天

(2)當(dāng)某極點(diǎn)sj靠某零點(diǎn)zi很近，相應(yīng)瞬態(tài)分量的系數(shù)就越小，極端情況下,當(dāng)sj和zi重合時(shí)，對系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)沒有影響。第42頁,共45頁，2024年2月25日，星期天偶極子

當(dāng)極點(diǎn)si與某個零點(diǎn)zj靠得很近時(shí)，它們之間的模值很小，那么該極點(diǎn)所對應(yīng)的系數(shù)Ai也就很小，對應(yīng)暫態(tài)分量的幅值亦很小，故該分量對響應(yīng)的影響可忽略不計(jì)。這樣的一對相距很近的閉環(huán)零極點(diǎn)稱為偶極子。工程上，當(dāng)某極點(diǎn)和某零點(diǎn)之間的距離比它們的模值小一個數(shù)量級時(shí)，就可認(rèn)為這對零極點(diǎn)為偶極子。

偶極子的概念對控制系統(tǒng)的綜合校正是很有用的，有意識地在系統(tǒng)中加入適當(dāng)?shù)牧泓c(diǎn)，可以抵消對系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)過程有不利影響的極點(diǎn)，從而使系統(tǒng)的動態(tài)性能得以改善。第43頁,共45頁，2024年2月25日，星期天二、閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)距離虛軸最近的極點(diǎn)，且其周圍無零點(diǎn)，對過渡過程影響較大。判斷閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的兩個條件如下：

(1)在左半s平面上，距離虛軸最近且附近沒有其他的閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)。

(2)其實(shí)部的長度與其