2020-2021學年河北省衡水市高一（下）期末數(shù)學試卷（解析版）

2020-2021學年河北省衡水市安平中學高一（下）期末數(shù)學試卷

一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分）.

1.如表是?；@球隊某隊員若干場比賽的得分數(shù)據(jù).

每場比賽得分36710111330

頻數(shù)2123111

則該隊員得分的40百分位數(shù)是（）

A.5B.6C.7D.8

2.復數(shù)z滿足W（1-z）=|1+》|,則復數(shù)z的實部與虛部之和為)

A.V2B.-血C.1D.0

3.若尸是等邊三角形ABC所在平面外一點，且PA=P3=PC,D,E,P分別是AB,BC,

CA的中點，則下列結(jié)論中不正確的是（）

A.〃平面PDFB.平面P4E

C.平面PAE_L平面ABCD.平面PDF_L平面ABC

4.已知@=（IT,2t-1,0）,b=（2,t,t）,則|匕-al的最小值為（）

A.V5B.遍C.如D.73

5.某電視臺的夏日水上闖關節(jié)目中的前四關的過關率分別為?，4,-I，只有通過前

6552

一關才能進入下一關，其中，第三關有兩次闖關機會，且通過每關相互獨立.一選手參

加該節(jié)目，則該選手能進入第四關的概率為（）

「12

Ac.—D送

-2525

11a

6.設△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若-，------+-------=~;>cosC=_T'

tanAtanBsinA4

aW=68,則△ABC的面積為（)

A.2>/3B.V15C.4D.2點

7.在△ABC中，M為3c邊上的中點,N為AC邊上的點，且標而；點尸為AM與

BN的交點，則下列說法正確的是（

A-----*]-----*_L]----->c一1一1一

A.BP=^BA+^BCB-BP=]BA+”C

c—*3—*1—*n-*2—*1—*

c-BP=^BA+^BCD-BP=§BA+§BC

8.在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”.如

圖，四棱錐尸-ABC。為陽馬，側(cè)棱PA，底面ABC。，PA=AB=AD,E為棱PA的中點,

則直線CE與平面PAD所成角的正弦值為（）

D

A.—B.豆C.返D.返

3322

二、多項選擇題（本題共4小題，每題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項

是符合題目要求的全部答對得5分，部分答對得3分，答錯不得分）

9.某學校為了調(diào)查高二年級學生周末閱讀時間情況，隨機選取了100名學生，繪制了如圖

所示頻率分布直方圖，則（）

B.中位數(shù)的估計值為35

C.平均數(shù)的估計值為29.2

D.樣本中有25名同學閱讀時間不低于40分鐘

10.已知復數(shù)Zl,Z2CC,下列結(jié)論正確的有（）

A.z1+z2=z1+z2

B.若Z1Z2=O,則Zl,Z2中至少有一個為0

C.|Z1Z2|=|Z1||Z2|

D.若z：+zg=O，則zi=Z2=0

H.拋擲一枚骰子1次，記“向上的點數(shù)是4,5,6”為事件4“向上的點數(shù)是1,2”為

事件8,“向上的點數(shù)是1,2,3”為事件C,“向上的點數(shù)是1,2,3,4”為事件D

則下列關于事件A,B,C,。判斷正確的有（）

A.A與8是互斥事件但不是對立事件

B.A與C是互斥事件也是對立事件

C.A與。是互斥事件

D.C與。不是對立事件也不是互斥事件

12.在棱長為2的正方體ABCO-4B1C1。中，點尸是棱的中點，點。是底面AiBCQi

上的動點，且APLDiQ,則下列說法正確的有（）

JT

A.0P與。1。所成角的最大值為二

4

B.四面體ABPQ的體積不變

C.△A41Q的面積有最小值空5

5

D.平面。iPQ截正方體所得截面面積不變

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知向量？=（-1,2）,^=（%,-6）,且筋=27+3總筋=彳+2年，若4B,C

三點共線，則實數(shù)x的值為.

14.2020年初，湖北成為全國新冠疫情最嚴重的省份，面臨醫(yī)務人員不足，醫(yī)療物資緊缺

等諸多困難，全國人民心系湖北，志愿者紛紛馳援.若某醫(yī)療團隊從3名男醫(yī)生和2名

女醫(yī)生志愿者中，隨機選取2名醫(yī)生赴湖北支援，則至少有1名女醫(yī)生被選中的概率

為.

15.在△ABC中，ZABC=45°,ZACB=60Q,延長BC到D,使得C￡>=5,

2

則AD的長為.

16.已知半徑為5的球面上有P,A,B,C四點，滿足/ACB=90°,AC=7,BC=J元，

則球心O到平面ABC的距離為,三棱錐P-ABC體積的最大值為.

四.解答題（本題共6道小題，共70分.解答應寫出文字說明和演算步驟）

17.在①口-3=2巨，②G+E）E=卷，③三個條件中任選一個，補充在下面

問題中，然后解答補充完整的題目.

已知向量7=(cosa,sina),1=(cos。，sin0),,若——<p<0,

22

且sinp=------,求sina.

18.將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，事件A：“兩數(shù)之和為8”，事件B：“兩

數(shù)之和是3的倍數(shù)”，事件C：“兩個數(shù)均為偶數(shù)”.

(I)寫出該試驗的基本事件空間0,并求事件A發(fā)生的概率；

(II)求事件B發(fā)生的概率；

(III)事件A與事件C至少有一個發(fā)生的概率.

19.如圖，在四棱錐尸-ABC。中，AB//CD,AB=2CD=2,PC=亞，尸。=晶，點、E,F

分別為棱AB,PB的中點，且PB=2AR求證：

(1)平面P4O〃平面CEF；

(2)平面平面PAC.

P

A

20.已知點A(0,1,-1),B(2,2,1),向量之=水，b=OB>計算：

(1)求向量5的單位向量可；

⑵求12a-bIT-3al;

(3)cos<Ca,b〉；

(4)求點B到直線。4的距離.

21.某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，

未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天

需求量與當天最高氣溫(單位：。C)有關.如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶；

如果最高氣溫位于區(qū)間［20,25),需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20,需求量為

200瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面

的頻數(shù)分布表:

最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天數(shù)216362574

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

(1)求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；

(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為丫(單位：元)，當六月份這種酸奶一天的進

貨量為450瓶時，寫出y的所有可能值，并估計y大于零的概率.

22.如圖所示，某鎮(zhèn)有一塊空地△OAB,其中。4=3而，OB=3y[^m,ZAOB^9Q°.當

地鎮(zhèn)政府規(guī)劃將這塊空地改造成一個旅游景點，擬在中間挖一個人工湖△OMN,其中

N都在邊A,8上,且/MON=30°,挖出的泥土堆放在△OAM地帶上形成假山，剩下

的aOBN地帶開設兒童游樂場.為安全起見，需在△OAN的一周安裝防護網(wǎng).

(1)當匏時，求防護網(wǎng)的總長度；

(2)若要求挖人工湖用地△(?阿的面積是堆假山用地的面積的?倍，試確定

NAOM的大??；

(3)為節(jié)省投入資金，人工湖△OMN的面積要盡可能小，問如何設計施工方案，可使

△0MN的面積最??？最小面積是多少？

B

K

M

O

參考答案

一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分）.

1.如表是?；@球隊某隊員若干場比賽的得分數(shù)據(jù).

每場比賽得分36710111330

頻數(shù)2123111

則該隊員得分的40百分位數(shù)是（）

A.5B.6C.7D.8

解：由表可知頻數(shù)共計11,11X0.4=4.4,

可得該隊員得分的40百分位數(shù)是第5個得分為7.

故選：C.

2.復數(shù)z滿足W（1-z）=H+z|,則復數(shù)z的實部與虛部之和為（）

A.&B.-42C.1D.0

解：Vz（1-z）=|l+z|,z（1-0（1+0=5/2（1+z）,z=^+^z

.=V2_V2.

22_

則復數(shù)Z的實部與虛部之和=返-返=0.

22

故選：D.

3.若尸是等邊三角形ABC所在平面外一點，且PA=PB=PC,D,E,尸分別是AB,BC,

CA的中點，則下列結(jié)論中不正確的是（）

A.BC〃平面POEB.。尸_L平面尸AE

C.平面PAE_L平面ABCD.平面PDRL平面ABC

解：是等邊三角形ABC所在平面外一點，且PA=PB=PC,

D,E,尸分別是AB,BC,C4的中點，

C.DF//BC,

PDF,BCC平面POE,：.BC//^\^PDF,故A正確;

；PA=PB=PC,E是3c中點，

：.PE_LBC,AELBC,

,：PEr\AE=E,平面PAE,

?CDF//BC,...DEL平面尸AE,故B正確；

：2C_L平面PAE,3Cu平面ABC,

平面PAEL平面ABC,故C正確；

^AEC\DF=O,連結(jié)尸O,不是等邊三角形ABC的重心，，尸。與平面ABC不垂直,

平面PDF與平面ABC不垂直，故。錯誤.

故選：D.

4.已知W=(1-f,2r-1,0),己=(2,t,0,則后-』的最小值為()

A.臟B.在C.&D.如

解：,.?三一W=(2，，，力~(1-21-1,0)=(1+r,1-1,t),

；?lb-~al=V(l+t)2+(l-t)2+t2=V3t2+2-

故當t=o時，E-Z?有最小值等于

故選：c.

5.某電視臺的夏日水上闖關節(jié)目中的前四關的過關率分別為g,4,卷，《，只有通過前

6552

一關才能進入下一關，其中，第三關有兩次闖關機會，且通過每關相互獨立.一選手參

加該節(jié)目，則該選手能進入第四關的概率為()

解：該選手能進入第四關的概率為x4x-l-4^4><(i-4)x名染.

655655525

故選：D.

6.設△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cosC=J，

tanAtanBsinA4

次+爐=68,則△ABC的面積為()

A.273B.4C.4D.2V5

角軍.由]+]a可得.sinAcosB+cosAsinB—a即sinC—

tanAtanBsinAsinAsinBsinAsinAsinB

a

sinA

所以￡■=〃，即c—ab,

b

又。2+62=68,cosC=—,

4

所以。2=辟+。2_2QZ?COSC=68-2cX—,

4

即2c2+c-136=0,解得c=8,或。=-孝■（舍去）,

所以而=8,

2

又sinC=71-cosC=^

所以△ABC的面積為S^ABC=~cibs\nC=J]5.

故選：B.

7.在AABC中，M為BC邊上的中點，N為AC邊上的點，且菽=￡前；點、P為AM與

BN的交點，則下列說法正確的是（）

—.1—.1——.1—.1—.

A-BP=yBA+^BCB.BP=-BA+^BC

C-BP=-|BA+^BCd-BP=|-BA+yBC

解：設而=入面5,AP=^AM,因為/為BC邊上的中點，N為AC邊上的點，且訕=告前,

所以而=屈=入（前部=入＜BA+-1-AC）=入＜BA+-1BC-領）="|入■或《入而

又而=誣+而=而+^^=而+^（面i-市）=港+以方前-而）=（1r）記+牛筋,

由于向量裾與向量前不共線，

7人=1-|1A=—

則由平面向量基本定理知：\，解得4,

1XwII1

32I"2

所以BP=,BA+wBG

故選：B.

8.在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”.如

圖，四棱錐尸-A3C。為陽馬，側(cè)棱PA，底面ABC。，PA=AB=AD,E為棱PA的中點,

則直線CE與平面PAD所成角的正弦值為（）

D.乎

解：如圖，側(cè)棱尸A_L底面A5C。，尸Au平面PAD,

則平面平面ABCD,

底面ABCD為矩形，，CDLAD,

而平面PADA平面ABCD^AD,：.C￡）_L平面PAD.

連接ED,則ED為CE在平面PAD上的射影，

則NCE。為CE與底面PAD所成角，

設尸A=AB=AD=2a,則AE=a,ED=

EC=VED2<D2=V5a2+4a2=3a.

；.si叱CED;型^?上.

CE3a3

即直線CE與平面PAD所成角的正弦值為弓.

o

故選：A.

二、多項選擇題（本題共4小題，每題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項

是符合題目要求的全部答對得5分，部分答對得3分，答錯不得分）

9.某學校為了調(diào)查高二年級學生周末閱讀時間情況，隨機選取了100名學生，繪制了如圖

所示頻率分布直方圖，則（)

B.中位數(shù)的估計值為35

C.平均數(shù)的估計值為29.2

D.樣本中有25名同學閱讀時間不低于40分鐘

解：由頻率分布直方圖知（30,40］的頻率最大，因此眾數(shù)估計值為獨署=35,故A選

項正確，

V［0,30］的頻率為0.1+0.18+0.22=0.5,

.?.中位數(shù)為30,故3選項正確，

平均值估計為5X0.1+15X0.18+25X0.22+35X0.25+45X0.2+55X0.05=29.2,故C選項

正確，

不低于40分鐘的人數(shù)為100X（0.2+0.05）=25,故。選項正確.

故選：ACD.

10.已知復數(shù)Zi,Z2CC,下列結(jié)論正確的有（）

A.z1+z2=z1+z2

B.若Z1Z2=O,則Zl,Z2中至少有一個為0

c.|ziz2|=|zi||z2|

D.若z；+zg=o，則Z1=Z2=O

解：設Z1=4+初，Z2—c+di,

對于A,z?+z2=(a+c)-(b+d)i,

zj+z2=(a+c)-(b+d)i,

故選項A正確；

對于2,因為ziZ2=(a+bi)(c+由)=(ac-bd)+Qad+bc)i=0,

則(acbd-O,則a=5=0或c=d=o,

[ad+bc=O

所以zi,Z2中至少有一個為0,

故選項B正確；

對于C,由復數(shù)模的運算性質(zhì)可知，|Z1Z2|=|Z1||Z2|,

故選項C正確；

對于。,當Z1=1,Z2=Z,時，Z1+z2=0>

故選項D錯誤.

故選：ABC.

11.拋擲一枚骰子1次，記“向上的點數(shù)是4,5,6”為事件A,“向上的點數(shù)是1,2”為

事件8,“向上的點數(shù)是1,2,3”為事件C,“向上的點數(shù)是1,2,3,4”為事件D

則下列關于事件A,B,C,。判斷正確的有()

A.A與8是互斥事件但不是對立事件

B.A與C是互斥事件也是對立事件

C.A與。是互斥事件

D.C與D不是對立事件也不是互斥事件

解：拋擲一枚骰子1次，記“向上的點數(shù)是4,5,6"為事件A,“向上的點數(shù)是1,2

“為事件2，

“向上的點數(shù)是1,2,3"為事件C,“向上的點數(shù)是1,2,3,4"為事件D,

在4中，A與B不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，是互斥事件但不是對立事件，故A正

確；

在B中，A與C是互斥事件，也是對立事件，故8正確；

在C中，A與。能同時發(fā)生，不是互斥事件，故C錯誤；

在。中，C與。能同時發(fā)生，不是對立事件也不是互斥事件，故。正確.

故選：ABD.

12.在棱長為2的正方體ABCD-ABiCiOi中，點尸是棱BC的中點，點。是底面AiBiGOi

上的動點，且APDQ,則下列說法正確的有()

A.。尸與d。所成角的最大值為二

B.四面體ABP。的體積不變

C.△A41Q的面積有最小值2/5

5

D.平面。iPQ截正方體所得截面面積不變

解：在正方體ABC。-421GA中，平面ABC。，

所以。。1LAP,

因為AP，。。，所以APL平面DAQ,

所以APLO1Q,

因為尸為3c中點，記421中點為E,

所以。位于直線OE上.

A：記BiCi中點為“，連結(jié)E〃，DiH,

易知DiH〃DP,

所以。P與Dig所成角即為/即巴，

因為正方體棱長為1,

所以D[E=D]H=而，EH=V2.

解得：cos/ED/t，

arccos-^>

所以。尸與A。所成角為定值，為

5

故A錯誤；

B：A,B,P三點為定點，

所以SAABP為定值，

因為。位于平面4B1C01中，A,B,尸在平面ABCD中,

所以點。到平面A8P的距離為定值，

所以四面體ABPQ的體積不變，

故B正確；

C：在正方體中，A4i_1_平面AiBiCQi,

所以A4」Qh,

所以S^AA.QVXAA]xA[Q=A1Q,

在RtADiAiE中,A1O1=2,AiE=l,

所以點Ai到DiE的距離的最小值為2g,

所以△A4iQ的面積有最小值為2/5,

5

故C正確；

D：當。不與。重合時，5與。連線即為AE,

故平面DiPQ即為平面DiPE,

此時截面固定，面積為定值，

當。與5重合時，兩點確定一條直線，

則截面確定，此時面積為定值，

故D正確.

故選：BCD.

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知向量之=(-1,2),三=(尤，-6),且萩=2彳+3%，BC=1+2b>若A，B,C

三點共線，則實數(shù)尤的值為3.

解：向量Z=(-1,2),E=(X，-6),5.AB=2a+3b>BC=a+2b>

.?.標=(-2,4)+(3x,-18)=(-2+3x,-14),

(-l+2x,-10),

??AB,。三點共線，，標//BC，

-14(-l+2x)=-10(-2+3x),解得x=3.

故答案為：3.

14.2020年初，湖北成為全國新冠疫情最嚴重的省份，面臨醫(yī)務人員不足，醫(yī)療物資緊缺

等諸多困難，全國人民心系湖北，志愿者紛紛馳援.若某醫(yī)療團隊從3名男醫(yī)生和2名

女醫(yī)生志愿者中，隨機選取2名醫(yī)生赴湖北支援，則至少有1名女醫(yī)生被選中的概率為

7

"10—'

解：從3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生志愿者中，隨機選取2名醫(yī)生,

則共有提=10種不同的選法，

至少有1名女醫(yī)生被選中，則共有C；C；+cg=7種不同的選法,

所以至少有1名女醫(yī)生被選中的概率為

10

故答案為：—TT-

15.在3c中，AB=^L,ZABC=45°,ZACB=6Q°,延長BC到D,使得CD=5,

2

則AD的長為7.

解：在△ABC中，由正弦定理可得：人，=拙）呼，2=&

sin60V3

T

在△AC。中，由余弦定理可得：

22O22

AD=7CA-K：D-2CAXCDXCOS120=A/3+5-2X3X5XCOS1200=7.

故答案為：7.

16.已知半徑為5的球面上有P,A,B,C四點，滿足NACB=90°,AC=7,元,

則球心。到平面ABC的距離為3,三棱錐尸-ABC體積的最大值為空醫(yī).

---------3—

解：如圖，

在Rt^ACB中，由/ACB=90°,AC=7,BC=^,得AB二任+（任）2=&

設△ACB外接圓的半徑為r,則r=4,設球心為O,三角形ACB外接圓的圓心為0,

由球的性質(zhì)可得，OOi_L平面AC2,在Rt/XOOiA中，可得00[=五二”=3.

即球心0到平面ABC的距離為3；

要使三棱錐P-ABC體積取最大值，則尸為50與球面的交點,

此時P到底面ACB的距離為8,則三棱錐P-ABC體積的最大值為

NgX7x6)X8=駕叵

故答案為：3；空運.

3

四.解答題(本題共6道小題，共70分.解答應寫出文字說明和演算步驟)

17.在①1。方=2工5，②G+E)工="1"，③三個條件中任選一個，補充在下面

55

問題中，然后解答補充完整的題目.

已知向量@=(cosa,sina),b=(cos0,sin0),,若OVaV”-,--^-<p<0,

5

且sin8=------，求sina.

13

解：因為[=(cosa,sina),E=(cos0,sin0),

所以國=后1=1，

選擇方案①：

因為I。鏟誓，所以(/％『=+BPa2+b2-2a-b=f

所以a

因為Z=(cosa,sina),三=(cos0,sin0),

一一

所以W?E=cosacos0+sinasinB=3±,即cos(a-P)=—J,

55

因為OVaV-^,--<p<0,所以0<a-BVm

所以sin(a-0)=Vl-cos2(a-p)=4;

D

因為-券<0<。，sin0=-力，所以cosB='i_siri?B

乙±oXo

一4.19?F

所以sina=sin[(a-p)+0]=sin(a-0)cosp+cos(a-0)sinp=-X—X(------)

513513

_33

-65'

選擇方案②:

因為G+百北建,所以；工+32=葺，所以;1=春

DDD

因為：=(cosa,sina),三=(cos0,sinp),

一一33

所以Z?E=cos(xcosB+sinasinB=±,即cos(a-p)=?，

55

7Tn

因為-丁<0<0,所以0<a-0cit,

所以sin(a-p)=hcus，(a邛)=￡，

因為-三<6<0,sin0=-磊，所以cos0=J].sin?p=舊，

4￡oxo

4.19?R

所以sina=sin[(a-0)+0]=sin(a-0)cosp+cos(a-p)sinp=—X—=-+—X(------)

513513

=33

-65,

選擇方案③:

因為@=(cosa,sina),b=(cosp,sinp),且a-Lb，

所以cosacosB+sinasin0=O,即cos(a-p)=0,

因為OVac},-}<0<0,所以0<a-

IT

所以a-B=g,

因為-g<0<O,sin|3=-磊，所以cosB=,卜sir?B，

/loJ.O

所以sina=sin（^^+0）=cos0="^.

18.將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，事件A：“兩數(shù)之和為8”，事件B：”兩

數(shù)之和是3的倍數(shù)”，事件C”兩個數(shù)均為偶數(shù)”.

（I）寫出該試驗的基本事件空間0,并求事件A發(fā)生的概率;

（II）求事件B發(fā)生的概率;

（III）事件A與事件C至少有一個發(fā)生的概率.

解：“）將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù),

。={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5)(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)),共有36個基本事

件，

事件4”兩數(shù)之和為8”，事件A包含的基本事件有：

(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5個基本事件，

事件A發(fā)生的概率為P(A)=旦.

36

(〃)事件8：”兩數(shù)之和是3的倍數(shù)”，

事件B包含的基本事件有12個，分別為：

(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),

(5,1),(5,4),(6,3),(6,6),

事件8發(fā)生的概率尸(B)=4^=4.

363

(/〃)事件A與事件C至少有一個發(fā)生包含的基本事件有11個，分別為：

(2,2),(2,4),(2,6),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),

(6,2),(6,4),(6,6),

事件A與事件C至少有一個發(fā)生的概率為P(AUC)=41.

36

19.如圖，在四棱錐P-ABC。中，AB//CD,AB=2CD=2,PC=&,尸點E,F

分別為棱AB，尸2的中點，且尸3=2AE求證：

(1)平面尸4D〃平面CEF-

(2)平面平面尸AC.

解：⑴證明：因為E是的中點，所以AE，AB=1=CD，

又因為AB〃C。，所以四邊形AEC。是平行四邊形，所以CE〃AD,

因為CEC平面PAD,ADu平面PAD,所以CE〃平面PAD.

又因為尸是尸B的中點，所以E尸〃PA,所以所〃平面PAD,又CECEF=E,所以平面

CE〃平面PAD.

(2)證明：因為CD=1,PC=M，PD=M，滿足尸Z>=cz)2+pc2,所以PC^CD,

.因為AB//CZ),所以A2_LPC.

在△PAB中，PB=2AF,尸是尸8的中點，所以PF=AF=BF,

所以/APF=/PAF,ZBAF=ZABF,

jr

由NAPF+NPAE+NB4F+NABF=it,可得/PAF+NBAFy，所以AB_LPA，

又PAAPC=P,所以AB_L平面PAC,

因為ABu平面PAB,所以平面PAB_L平面PAC.

20.已知點A(0,1,-1),B(2,2,1),向量之=贏，b=0B-計算：

(i)求向量E的單位向量可；

(；2)求|2a-bl，|-3al；

(3)cos<Ca,b〉；

(4)求點2到直線Q4的距離.

解：(1)由已知得：￡=(2,2,1),則l，=j4+4+l=3,

則話備T-

(2)a=(0,1,-1),b=(2,2,1)，

則2a-b=(-2,0,-3)>則|2a-b

-3a=(0,-3,3)>則1-3a|=W^；

=

(3)a=(0,1,-1),b(2,2,1)>

a,bV2

則cos<a,l>=

1^IIbI6

(4)瓦在水上的投影為|0B|cos<a,b>>

lOBlcosC，3=3X乎平,

0/

點B到直線OA的距離d=J|QB|2_

21.某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元,

未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天

需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關.如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶；

如果最高氣溫位于區(qū)間［20,25),需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20,需求量為

200瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面

的頻數(shù)分布表：

最高氣溫[10,15)L15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天數(shù)216362574

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

(1)求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；

(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為丫(單位：元)，當六月份這種酸奶一天的進

貨量為450瓶時，寫出y的所有可能值，并估計y大于零的概率.

解：(1)由前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，

得到最高氣溫位于區(qū)間［20,25)和最高氣溫低于2