第五章 三角函數(shù)（章末復(fù)習(xí)）-2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)重難點(diǎn)手冊(cè)（三角函數(shù)篇人教A版2019必修第一冊(cè)）

◎◎◎◎◎◎章末復(fù)習(xí)◎◎◎◎◎◎1.知識(shí)系統(tǒng)整合2.規(guī)律方法收藏1．在任意角和弧度制的學(xué)習(xí)中，要區(qū)分開角的各種定義，如：銳角一定是第一象限角，而第一象限角不全是銳角，概念要搞清；角度制和弧度制表示角不能混用，如：α＝2kπ＋30°，k∈Z，這種表示法不正確．2．任意角的三角函數(shù)，首先要考慮定義域，其次要深刻認(rèn)識(shí)三角函數(shù)符號(hào)的含義，sinα＝≠sin×α；誘導(dǎo)公式的記憶要結(jié)合三角函數(shù)的定義去記憶．3．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin2α＋cos2α＝1及＝tanα，必須牢記這兩個(gè)基本關(guān)系式，并能應(yīng)用它們進(jìn)行三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)、證明，在應(yīng)用中，注意掌握解題的技巧，能靈活運(yùn)用公式．在應(yīng)用平方關(guān)系求某個(gè)角的另一個(gè)三角函數(shù)值時(shí)，要注意根式前面的符號(hào)的確定．4．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式一至六不僅要正確、熟練地掌握其記憶的訣竅，更要能靈活地運(yùn)用．(1)－α角的三角函數(shù)是把負(fù)角轉(zhuǎn)化為正角；(2)2kπ＋α(k∈Z)角的三角函數(shù)是化任意角為[0,2π)內(nèi)的角；(3)±α，π±α，±α，2π－α角的三角函數(shù)是化非銳角為銳角；(4)化負(fù)為正→化大為小→化為銳角；(5)記憶規(guī)律：奇變偶同，象限定號(hào)．5．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)五點(diǎn)法作圖是畫三角函數(shù)圖象的基本方法，要切實(shí)掌握，作圖時(shí)自變量要用弧度制，作出的圖象要正規(guī)．(2)奇偶性、單調(diào)性、最值、周期是三角函數(shù)的重要性質(zhì)，f(x＋T)＝f(x)應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是自變量x本身加常數(shù)才是周期，如f(2x＋T)＝f(2x)，T不是f(2x)的周期．解答三角函數(shù)的單調(diào)性的題目一定要注意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則，更要注意定義域．6．使用本章公式時(shí)，應(yīng)注意公式的正用、逆用以及變形應(yīng)用．如兩角和與差的正切公式tan(α±β)＝，其變形公式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)應(yīng)用廣泛；公式cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α的變形公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，cos2α＝，sin2α＝常用來(lái)升冪或降冪．7．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)主要掌握由函數(shù)y＝sinx的圖象到函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的平移、伸縮等變換．注意各種變換對(duì)圖象的影響，注意各物理量的意義，A，ω，φ與各種變換的關(guān)系．8．三角函數(shù)的應(yīng)用(1)根據(jù)圖象建立解析式；(2)根據(jù)解析式作出圖象；(3)將實(shí)際問(wèn)題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)模型；(4)利用收集到的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖進(jìn)行函數(shù)模擬．在建立三角函數(shù)模型的時(shí)候，要注意從數(shù)據(jù)的周而復(fù)始的特點(diǎn)以及數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)兩個(gè)方面來(lái)考慮．3學(xué)科思想培優(yōu)一、三角函數(shù)變形的常見方法在進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)或求值時(shí)，細(xì)心觀察題目的特征，靈活、恰當(dāng)?shù)剡x用公式，統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、降低次數(shù)是三角函數(shù)關(guān)系式變形的出發(fā)點(diǎn)．在本章所涉及的變形中，常用的變形方法有切化弦、弦化切和“1”的代換．1．切化弦當(dāng)三角函數(shù)式中三角函數(shù)名稱較多時(shí)，往往把三角函數(shù)化為弦，再化簡(jiǎn)變形．【典例1】求證：sinα（1+tanα）+cosα（1+1tanα）【解析】證明：右邊＝sinα（1+tanα）+cosα（1+1＝sinα+sin2＝sinα+1-cos2=12．弦化切已知tanα的值，求關(guān)于sinα，cosα的齊次分式(sinα，cosα的次數(shù)相同)的值，可將求值式變?yōu)殛P(guān)于tanα的代數(shù)式，此方法亦稱為“弦化切”．【典例2】已知，求下列代數(shù)式的值．（1）；（2）．【解析】（1）．（2）【典例3】已知2cos2α+3cosαsinα﹣3sin2α＝1，α∈（-3π2，﹣（1）tanα；（2）2sinα-3cosα4sinα-9cosα【解析】∵2cos2α+3cosαsinα﹣3sin2α＝1，α∈（-3π2，﹣∴cos2α+3cosαsinα﹣4sin2α＝0，∴1+3tanα﹣4tan2α＝0，解得tanα＝1（舍）或tanα=-14．∴tanα（2）2sinα-3cosα4sinα-9cosα=2tanα-34tanα-93．“1”的代換在三角函數(shù)中，有時(shí)會(huì)含有常數(shù)1，常數(shù)1雖然非常簡(jiǎn)單，但有些三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)卻需要利用三角函數(shù)公式將1代換為三角函數(shù)式，常見的代換方法：1＝sin2α＋cos2α等．【典例4】已知tan2α＝2tan2β+1，求證：sin2β＝2sin2α﹣1．【解答】∴tan2α＝2tan2β+1，tan2α+1＝2（tan2β+1）即sin2α+co可得：1可得：cos2β＝2cos2α∴1﹣sin2β＝2（1﹣sin2α）即sin2β＝2sin2α﹣1，得證．二、求三角函數(shù)值域與最值的常見類型求三角函數(shù)的值域或最值主要依據(jù)是利用三角函數(shù)的圖象或三角函數(shù)的有界性，這就要求我們必須掌握好三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．1．形如y＝asinx＋b(a≠0)型的函數(shù)求解形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)的函數(shù)的最值或值域問(wèn)題時(shí)，利用正、余弦函數(shù)的有界性(－1≤sinx，cosx≤1)求解，注意對(duì)a正、負(fù)的討論．【典例5】已知y＝asinx+b的最大值為3，最小值為﹣1，求a，b的值．【解答】解：∵y＝αsinx+b的最大值為3，最小值為﹣1，∴當(dāng)a＞0時(shí)，a+b=3-a+b=-1，解得a＝2，b當(dāng)a＜0時(shí)，-a+b=3a+b=-1，解得a＝﹣2，b∴a＝±2，b＝1．【典例6】已知函數(shù)y＝3﹣4cos（2x+π3），x∈[-π3，π【解析】函數(shù)y＝3﹣4cos（2x+π3），由于x∈[-π所以：-π≤2x+π3≤2π3當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)ymin＝﹣1當(dāng)x＝﹣2．形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型的函數(shù)求解形如y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋c)，x∈D的函數(shù)的值域或最值時(shí)，通過(guò)換元，令t＝sinx(或cosx)，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，利用配方法求值域或最值即可．求解過(guò)程中要注意t＝sinx(或cosx)的有界性．【典例7】求函數(shù)y＝sin2x+2cosx(π【解析】函數(shù)的解析式：y＝sin2x+2cosx＝﹣cos2x+2cosx+1，∵π3≤x≤2π結(jié)合復(fù)合型二次函數(shù)的性質(zhì)可得：二次函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸為cosx＝1，則函數(shù)的最小值為：-(-則函數(shù)的最大值為：-(三、三角函數(shù)的化簡(jiǎn)在具體實(shí)施過(guò)程中，應(yīng)著重抓住“角”的統(tǒng)一．通過(guò)觀察角、函數(shù)名、項(xiàng)的次數(shù)等，找到突破口，利用切化弦、升冪、降冪、逆用公式等手段將其化簡(jiǎn)．最后結(jié)果應(yīng)為：(1)能求值盡量求值；(2)三角函數(shù)名稱盡量少；(3)項(xiàng)數(shù)盡量少；(4)次數(shù)盡量低；(5)分母、根號(hào)下盡量不含三角函數(shù)．【典例8】（2020·駐馬店市基礎(chǔ)教學(xué)研究室高一期末（理））化簡(jiǎn)求值：（1）；（2）.【解析】（1）.（2）.四、三角函數(shù)求值三角函數(shù)求值主要有三種類型，即：(1)“給角求值”，一般給出的角都是非特殊角，從表面看較難，但仔細(xì)觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)這類問(wèn)題中的角與特殊角都有一定的關(guān)系，如和或差為特殊角，當(dāng)然還有可能需要運(yùn)用誘導(dǎo)公式．(2)“給值求值”，即給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些三角函數(shù)的值，這類求值問(wèn)題關(guān)鍵在于結(jié)合條件和結(jié)論中的角，合理拆、配角．當(dāng)然在這個(gè)過(guò)程中要注意角的范圍．(3)“給值求角”，本質(zhì)上還是“給值求值”，只不過(guò)往往求出的是特殊角的值，在求出角之前還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定角，必要時(shí)還要討論角的范圍．【典例9】已知cosα，且0＜β＜α，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ．【解析】（1）∵cosα，且0＜β＜α，∴sinα，tanα，∴tan2α．（2）∵cos（α﹣β），0＜β＜α，∴sin（α﹣β），cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）．五、三角恒等證明三角恒等式的證明，就是應(yīng)用三角公式，通過(guò)適當(dāng)?shù)暮愕茸儞Q，消除三角恒等式兩端結(jié)構(gòu)上的差異，這些差異有以下幾方面：①角的差異；②三角函數(shù)名稱的差異；③三角函數(shù)式結(jié)構(gòu)形式上的差異．針對(duì)上面的差異，選擇合適的方法進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．【典例10】求證：.【解析】∵右邊＝＝左邊，∴原等式成立.六、三角函數(shù)的圖象三角函數(shù)的圖象是研究三角函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)，又是三角函數(shù)性質(zhì)的具體體現(xiàn)．在平時(shí)的考查中，主要體現(xiàn)在三角函數(shù)圖象的變換和解析式的確定，以及通過(guò)對(duì)圖象的描繪、觀察來(lái)討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．【典例11】如圖，是函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0）的一段圖象．（1）求此函數(shù)解析式；（2）分析一下該函數(shù)是如何通過(guò)y＝sinx變換得來(lái)的？【解答】解：（1）由圖象知A=-12-（﹣1）=1T＝2×（2π3-π6）＝π，∴ω=2πT=2，∴再由五點(diǎn)法作圖可得當(dāng)x=π6時(shí)，2×π∴φ=π6，∴所求函數(shù)解析式為y=12（2）把y＝sinx向左平移π6個(gè)單位，得到y(tǒng)＝sin（x+然后縱坐標(biāo)保持不變、橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的12，得到y(tǒng)＝sin（2x+再橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的12得到y(tǒng)=12sin（2最后把函數(shù)y=12sin（2x+π6）的圖象向下平移1個(gè)單位，得到y(tǒng)=七、三角函數(shù)的性質(zhì)1．三角函數(shù)的性質(zhì)，重點(diǎn)應(yīng)掌握函數(shù)y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性，在此基礎(chǔ)上，掌握函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)及y＝Atan(ωx＋φ)的相關(guān)性質(zhì)．2．該熱點(diǎn)是三角函數(shù)的重中之重，考查的形式也不唯一，主、客觀題均有體現(xiàn)，在難度上較前兩熱點(diǎn)有所增加，主觀題以中檔題為主，知識(shí)間的聯(lián)系相對(duì)加大．【典例12】已知函數(shù)f（x）＝logacos（2x-π3）（其中a＞0，且a≠1）．（1）求它的定義域；（2）求它的單調(diào)區(qū)間；（3）判斷它的奇偶性；（4）判斷它的周期性，如果是周期函數(shù)，求出它的周期．【解答】（1）解cos(2x-π3)＞0∴-π∴f（x）的定義域?yàn)?-π（2）設(shè)t=cos(2