2025版高考數學一輪總復習素養(yǎng)提升第8章平面解析幾何第1講直線的傾斜角斜率與直線的方程

定點問題1.(2022·浙江模擬改編)已知直線l：kx－y＋1＋3k＝0(k∈R)．(1)直線l過定點(－3,1).(2)若直線l不過第一象限，則k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3))).(3)若直線l交x軸負半軸于A，交y軸正半軸于B，則S△AOB最小時直線l的方程為x－3y＋6＝0.[解析](1)kx－y＋1＋3k＝0可化為y－1＝k(x＋3)．∴直線l過定點(－3,1)．(2)令x＝0得y＝3k＋1，即直線l在y軸上的截距為3k＋1.由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k<0，,3k＋1≤0))解得k≤－eq\f(1,3).故k的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3))).(3)設直線的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，則eq\f(－3,a)＋eq\f(1,b)＝1(a<0，b>0)，即1＝eq\f(3,－a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(3,－ab))，∴eq\r(－ab)≥2eq\r(3).∴S△AOB＝－eq\f(1,2)ab≥6(當且僅當a＝－6，b＝2時取等號)．∴直線l的方程為eq\f(x,－6)＋eq\f(y,2)＝1，即x－3y＋6＝0.2．(多選題)(2024·江西豐城中學月考)已知點A(－2，－1)，B(2,2)，直線l：2ax－2y＋3a－3＝0上存在點P滿足|PA|＋|PB|＝5，則直線l的傾斜角可能為(BD)A．0 B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,2) D．eq\f(3π,4)[解析]∵|AB|＝eq\r(－2－22＋－1－22)＝5，且|PA|＋|PB|＝5，∴直線l與線段AB恒有交點，∵直線l：y＋eq\f(3,2)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))，∴直線l恒過定點Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(3,2)))，作出示意圖：∵kAC＝eq\f(－1＋\f(3,2),－2＋\f(3,2))＝－1，kBC＝eq\f(2＋\f(3,2),2＋\f(3,2))＝1，所以直線l的斜率的取值范圍為(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故直線l的傾斜角的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，故選BD.名師點撥：確定方程含參數的直線所過定點的方法1．將直線方程寫成點斜式y(tǒng)－y0＝f(λ)(x－x0)，從而確定定點(x0，y0)．2．將直線方程整理成關于參數的方程，由方程中各項系數及常數項為0確定定點．3．給參數取兩個不同值，再解直線方程構成的方程組，從而確定定點坐標．解題時，若直線方程中含有參數，應考慮直線是否過定點．【變式訓練】(2024·福建廈門外國語學校階段測試、遼寧實驗中學月考)已知直線l：(m＋2)x＋(m－1)y＋m－1＝0，若直線l與連接A(1，－2)、B(2,1)兩點的線段總有公共點，則直線l的傾斜角范圍為(D)A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))[解析]直線(x＋y＋1)m＋(2x－y－1)＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋1＝0，,2x－y－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－1，))即直線l過定點P(0，－1)，設直線l的斜率為k，直線l的傾斜角為α，則0≤α<π，顯然直線PA的斜率為eq\f(－1－－2,0－1)＝－1，直線PB的斜率為eq\f(－1－1,0－2)＝1，由于直線l經過點P(0，－1)，且與線段AB總有公共點，則－1≤k≤1，即－1≤tanα≤1，又k＝eq\f(m＋2,1－m)＝－1＋eq\f(3,1－m)≠－1，于是－1<tanα≤1，因此0≤α≤eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)<α<π，