四年級奧數(shù)講義教案庫

目錄編寫說明：……………（2）第一講：速算與巧算…………………（3）第二講：周期性問題…………………（13）第三講：行程問題……………………（22）第四講：流水行船問題………………（30）第五講：巧求周長和面積……………（38）第六講：等差數(shù)列……………………（46）第七講：應用問題綜合強化…………（56）第八講：期中考試……………………（65）第九講：奇偶分析法…………………（68）第十講：染色與操作問題……………（77）第十一講：數(shù)陣圖與數(shù)字謎…………（87）第十二講：排列組合…………………（99）第十三講：邏輯推理…………………（110）第十四講：最大與最小………………（123）第十五講：期末考試…………………（132）第一講速算與巧算編寫說明計算是一個學生學習數(shù)學的基石，幾乎在每個學期我們都要來學習計算的方法和技巧，在四年級春季第十一講中，我們按照方法思路進行分類，給學生講解了以下幾種類型：湊整求和、找基準數(shù)、分組求解、自然數(shù)的分拆、連續(xù)自然數(shù)求和巧設中間數(shù)的方法.在暑假的講義設置中我們以“復習回憶+在原有知識基礎上的提高、新知識的學習”這樣的模版進行講解.作業(yè)設置在5道中等題量左右，減少暑假連續(xù)學習的壓力，幫助孩子們更好的吸收所學的知識.在講解講義時，我們提倡教師在條件允許的情況下，盡可能的舉一反三、整節(jié)課的講解用一條或幾條主線把它串起來，將題目的原由告訴孩子，幫助他踏實的學好每個知識點.在講義中，我們在現(xiàn)有條件下盡可能的幫助教師突現(xiàn)以上幾點，希望我們編寫者與講解者能攜手共進，將我們“思而行”的奧數(shù)教育推向新的高度！內(nèi)容概述小朋友們，這節(jié)課我們又一同走進了“計算的海洋”，還記得四年級春季第十一講的速算與巧算中學習到的內(nèi)容嗎？在那節(jié)課中我們學到了以下幾種方法：湊整求和、找基準數(shù)、分組求解、自然數(shù)的分拆和幾個常用技巧！學習完以后，相信聰明的你會發(fā)現(xiàn)自己能快速正確的做出更多的題目了！可有時候，還有許多我們卻摸不著頭腦！那是因為在速算的方法技巧中還蘊藏了許多我們沒有學習到的東西！那么這節(jié)課讓我們一起來走進去探討一下吧！你還記得嗎【復習1】（我愛數(shù)學夏令營）計算：6.11+9.22+8.33+7.44+5.55+4.56+3.67+2.78+1.89分析：原式=（6.11+1.89）+（9.22+2.78）+（8.33+3.67）+（7.44+4.56）+5.55=8+12+12+12+5.55=49.55【復習2】（06香港圣公會小學奧林匹克）計算：3.72-2.73+4.6+5.28-0.27+6.4分析：原式=（3.72+5.28）+（4.6+6.4）-（2.73+0.27）=9+11-3=17.【復習3】(華羅庚學校五年級入學考試試題)8×(3.1-2.85)×12.5×(1.62＋2.38)-3.27分析：初看這道題好像不能用簡便方法進行計算.但是里面有特殊數(shù)8、12.5,所以可以先算一步,再用簡便方法進行計算.原式=8×0.25×12.5×4－3.27=(8×12.5)×(0.25×4)-3.27=100-3.27=96.73【復習4】（04陳省身杯數(shù)學邀請賽）（56789+67895+78956+89567+95678）÷7分析：原式=（5+6+7+8+9）×11111÷7=5×11111=55555.觀察可知5、6、7、8、9在萬、千、百、十、個位各出現(xiàn)過一次.【復習5】計算：l-2+3-4+5-6+…+2005-2006+2007分析：原式=l+3-2+5-4+7-6+…+2005+2007-2006=1+1×1003=1004，分組求和的思路.巧用運算律在速算的過程中，如果加入運算律的應用，會有意想不到的效果！我們一起先來看看常用的一些運算律和結(jié)論吧！在計算過程中，最常用的技巧之一是靈活熟練地運用運算律.運算律有：加法交換律：a＋b=b＋a加法結(jié)合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)乘法交換律：ab=ba乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)分配律：a(b＋c)=ab＋ac（反過來就是提取公因數(shù)）減法（括號）的性質(zhì)：a-b-c=a-(b＋c)除法的性質(zhì)：a÷(b×c)=a÷b÷c(a＋b)÷c=a÷c＋b÷c(a-b)÷c=a÷c-b÷c和不變的規(guī)律：如果一個加數(shù)增加另一個加數(shù)減少同一個數(shù)，它們的和不變.積不變的規(guī)律：如果一個因數(shù)擴大幾倍，另一個因數(shù)縮小相同的倍數(shù)，積不變.商不變的規(guī)律：如果除數(shù)和被除數(shù)同時擴大或縮小相同的倍數(shù)，商不變.（04陳省身杯數(shù)學邀請賽）計算：3.1415×252-3.1415×152分析：（法1）：題中的三項都有因數(shù)34.5，容易想到把34.5作為公因數(shù)提取出來(把乘法分配律反過來用)，從而使計算簡便.原式=34.5×(8.23＋2.77—1)=34.5×10=345.（法2）：原式=3.1415×（252-152）=3.1415×（25+15）×（25-15）=3.1415×40×10=1256.6應用下面的平方差公式【回憶鞏固】ａ、ｂ代表任意數(shù)字，（ａ＋ｂ）×（ａ－ｂ）＝ａ×ａ－ｂ×ｂ，這個公式在數(shù)學上稱為平方差公式。原數(shù)平方數(shù)原數(shù)平方數(shù)111211625612144172891316918324141961936115225【回憶鞏固】用簡便方法求292和822的值．（此為春季所學內(nèi)容）分析：求一位數(shù)的平方，在乘法口訣的九九表中已經(jīng)被同學們熟知，如7×7=49．對于兩位數(shù)的平方，大多數(shù)同學只是背熟了10～20的平方，如右表，而21～99的平方就不大熟悉了．有沒有什么竅門，能夠迅速算出兩位數(shù)的平方呢?這里向同學們介紹一種方法——湊整補零法．所謂湊整補零法，就是用所求數(shù)與最接近的整十數(shù)的差，通過移多補少，將所求數(shù)轉(zhuǎn)化成一個整十數(shù)乘以另一數(shù)，再加上零頭的平方數(shù)．292=29×29=(29+1)×(29—1)+1=30×28+1=840+1=841822=82×82=(82-2)×(82+2)+22=80×84+4=6724由上例看出，因為29比30少l，所以給29“補”l，這叫“補少”；因為82比80多2，所以從82中“移走”2，這叫“移多”．因為是兩個相同數(shù)相乘，所以對其中一個數(shù)“移多補少”后，還需要在另一個數(shù)上“找齊”．本例中，給一個29補1，就要給另一個29減l；給一個82減了2，就要給另一個82加上2．最后，還要加上“移多補少”的數(shù)的平方．（06香港圣公會小學奧林匹克）計算：8.88×0.15+265×0.0888+5.2×8.88+0.888×20分析：原式=8.88×0.15+8.88×2.65+8.88×5.2+8.88×2=8.88×（0.15+2.65+5.2+2）=8.88×10=88.8根據(jù)“一個因數(shù)擴大若干倍，另一個因數(shù)縮小相同的倍數(shù)，積不變”的道理，進行適當變換，提取公因式，進而湊整求和.【鞏固】計算6.25×0.16＋264×0.0625＋5.2×6.25＋0.625×20分析：原式=6.25×0.16＋2.64×6.25＋5.2×6.25＋6.25×2=6.25×(O.16＋2.64＋5.2＋2)=62.5【鞏固】（04陳省身杯數(shù)學邀請賽）計算：85.42×7903.29-286.5×790.329+79032.9×4.323分析：原式=790329×（0.8542-0.2865+0.4323）=790329×1=790329【拓展】（我愛數(shù)學夏令營）計算：6.25×8.27×16+3.75×0.827×8分析:原式=6.25×16×8.27+3.75×0.8×8.27=8.27×（6.25×16+3.75×0.8）=8.27×（100+3）=8.27×100+8.27×3=851.81（希望杯數(shù)學邀請賽初賽）計算7.816×1.45＋3.14×2.184＋1.69×7.816分析：不難看出式子是7.816出現(xiàn)過兩次，聯(lián)想提取公因數(shù)。原式=7.816×（1.45＋1.69）＋3.14×2.184=7.816×3.14＋3.14×2.184=3.14×10=31.4（05我愛數(shù)學夏令營）計算：147.75×8.4+4.792+409×2.1+0.9521×479分析：原式=（147.75×4+409）×2.1+（0.0479+0.9521）×479=1000×2.1+479=2579計算11.8×43—860×0.09分析：觀察題中的每一個數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)：860=43×20，可把20與O.09結(jié)合.原式=11.8×43—43×20×0.09=11.8×43—43×1.8=43×(11.8—1.8)=430【前鋪】計算：20.06×37+200.6×2.3+1.003×800分析：原式=20.06×37+20.06×23+20.06×40=20.06×（37+23+40）=200641.2×8.1+11×8.75+537×0.19分析：原式=41.2×8.1+11×8.75+537×0.19=41.2×8.1+11×8.75+（41.2+12.5）×1.9=41.2×（8.1+1.9）+11×8.75+12.5×1.9=412+11×8.75+12.5×1.9=412+1.1×87.5+12.5×1.9=412+1.1×12.5×7+12.5×1.9=412+12.5×8×1.2=532【鞏固】計算31.4×36+64×43.9分析：首先拿31.4×36+64×31.4講解，要求學生要觀察主要要把36和64湊在一起，這樣前面有31.4，后面沒有，所以思路分析很明顯。原式=31.4×36+64×（31.4+12.5）=3140+800=3940（希望杯數(shù)學邀請賽決賽）計算8.1×1.3－8÷1.3＋1.9×1.3＋11.9÷1.3分析：原式=8.1×1.3＋1.9×1.3＋11.9÷1.3－8÷1.3=(8.1＋1.9)×1.3＋（11.9－8）÷1.3=10×1.3＋3.9÷1.3=16，【前鋪】計算：11.1×4÷9×3÷7.4×2.分析：原式=3×3.7×4÷9×3÷3.7÷2×2=（3×3÷9）×（3.7÷3.7）×4÷2×2=4.【前鋪】（06香港圣公會小學奧林匹克）計算：1998÷28+802÷28分析：原式=（1998+802）÷28=2800÷28=100.注意除數(shù)相同有類似提取公因數(shù)的方法.【鞏固】計算：2003×2001÷111+2003×73÷37分析：原式=2003×（2001+73×3）÷111=2003×2220÷111=40060下面有兩個小數(shù)：試求a＋b，a—b，a×b，a÷b.分析：只需記住小數(shù)的四則計算法則就能正確算出.a＋b，a的小數(shù)點后面有1998位，b的小數(shù)點后面有2000位.小數(shù)加法要求數(shù)位對齊，然后按整數(shù)的加法法則計算，所以a—b，方法與a＋b一樣，數(shù)位對齊，還要注意退位和補零.因為由12500—8=12492，所以a×b，a×b的小數(shù)點后面應該有1998＋2000位，但125×8=1000，所以：a÷b，將a、b同時擴大倍，得到：.周期性數(shù)字周期性數(shù)字就是由相同的數(shù)字重復寫幾遍而來，這些數(shù)字可以利用規(guī)律來巧妙分解如：123123123=123000000+123000+123=123×1000000+123×1000+123=123×1001001由此我們可以巧妙的發(fā)現(xiàn)上面數(shù)字其實就是看有幾個周期，這樣原來的數(shù)就可以分解成一個周期數(shù)乘以1001001這種類型的數(shù)，0的個數(shù)就是每個周期內(nèi)的數(shù)字個數(shù)減一.也可以這樣理解，其實就是在每個周期數(shù)最后一位下填1，然后看1的中間隔幾個數(shù)就填幾個0.如：47564756=4756×10001計算2005×20062006-2006×20052005分析：原式=2005×2006×10001-2006×2005×10001=0【鞏固】計算：1997×20002000-2000×19971997分析：原式=1997×2000×10001-2000×1997×10001=0.（希望杯數(shù)學邀請賽培訓題）計算2006×20052006-2005×20062005分析：發(fā)現(xiàn)后面周期性數(shù)字都多1，這樣先轉(zhuǎn)化成周期性數(shù)字.原式=2006×（20052005+1）-2005×（20062006-1）=2006×20052005+2006-2005×20062006+2005=4011【鞏固】（05我愛數(shù)學夏令營）計算：333×332332333–332×333333332分析：原式=333×（332332332+1）-332×（333333333-1）=333×（1001001×332+1）-332×（333×1001001-1）=333+332=665【拓展】（04全國小學奧林匹克）計算：55555×666667+44445×666666–155555分析：原式=55555×666666+55555+44445×666666-155555=（55555+44445）×666666-100000=66666500000從簡單情況找規(guī)律計算：分析：從簡單情況入手找規(guī)律.9×9=81；99×99=9801；999×999=998001，……所以：=.【鞏固】計算：分析：3×132=396；33×1332=43956；333×13332=4439556，……所以：=.計算：分析：這道題目，你會發(fā)現(xiàn)無規(guī)律可循.這時我們就要從這個思路走出來，，原式可將上式除以3即可得到，，學生平時做題時注意對典型例題的記憶.求的末三位數(shù)字.分析：原式的末三位和每個數(shù)字的末三位有關(guān)系，有2007個3，2006個30，2005個300，則2007×3+2006×30+2005×300=6021+60180+601500=667701，原式末三位數(shù)字為701.附加題目【附1】（走進美妙數(shù)學花園）若A=1921，B=1949，C=1976，D=2004，求：（A+B+C-D）+（A+B+D-C）+（A+C+D-B）+（B+C+D-A）的值.分析：原式=（A+B+C+D）×2=（1921+1949+1976+2004）×2=15700.【附2】（04全國小學奧林匹克）1.23452+0.76552+2.469×0.7655分析：1.23452+0.7655×（0.7655+2.469）=1.23452+0.7655×（1.235+2）=1.2345×（1.2345+0.7655）+0.7655×2=2×2=4【附3】計算：63÷34×51÷72×64÷36分析：原式=63×51×64÷34÷72÷36=（9×7×3×17×2×4×8）÷（17×2×8×9×4×9）=7/3【附4】765×213÷27+765×327÷27分析：原式=765÷27×（213+327）=765÷27×540=765×540÷27=765×20=15300【附5】2828÷28+34965÷35分析：原式=2828÷4÷7+34965÷5÷7=707÷7+6993÷7=7700÷7=1100【附6】計算：（224466-2244.66）÷（112233-1122.33）分析：原式=2×（112233-1122.33）÷（112233-1122.33）=2.【附7】計算：9039030÷43043分析：原式=903×10010÷（43×1001）=903÷43×10010÷1001=210【附8】計算：（747×127+492）÷（746×128-127）分析：原式=（746×127+127+492）÷（746×127+746-127）=（746×127+619）÷（746×127+619）=1練習一1.（希望杯數(shù)學邀請賽決賽）計算2.005×390+20.05×41＋200.5×2分析：原式=2.005×390+2.005×410＋2.005×200=2.005×（390＋410＋200）=2.005×1000=20052.（05南京市少年數(shù)學智力冬令營）計算：3.142+68.6×1.314分析：原式=3.142+68.6×1.314=3.142+68.6×（1+0.314）=3.14×3.14+68.6+68.6×0.314=68.6+3.14×（3.14+6.86）=100.3.計算4.83×0.59＋0.41×1.59－0.324×5.9分析：原式=4.83×0.59－3.24×0.59＋0.41×1.59=(4.83—3.24)×0.59＋0.41×1.59=1.59×0.59＋0.41×1.59=1.594.計算：3.42×76.3+7.63×57.6+9.18×23.7分析：原式=76.3×（3.42+5.76）+9.18×23.7=76.3×9.18+9.18×23.7=9185.計算：9966×6+6678×18分析：原式=3322×3×6+6678×18=（3322+6678）×18=1800006.計算（2×3×5×7×11×13×17×19）÷（38×51×65×77）分析：原式=17．9×17+91÷17-5×17+45÷17分析：原式=（9-5）×17+（91+45）÷17=68+8=768.（05陳省身杯數(shù)學邀請賽）計算：2004×20032002-2002×20032004分析：原式=（2002+2）×20032002-2002×（20032002+2）=2×（20032002-2002）=40060000.9．求的末四位數(shù).分析：原式的末四位有100個1，99個10，98個100，97個1000，100+990+9800+97000=107890，原式的末四位為7890.課外故事成功就是將簡單的事情重復做那天，會場座無虛席，人們在熱切地、焦急地等待著，那位當代最偉大的推銷員，做精彩的演講。當大幕徐徐拉開，舞臺的正中央吊著一個巨大的鐵球。為了這個鐵球，臺上搭起了高大的鐵架。一位老者在人們熱烈的掌聲中，走了出來，站在鐵架的一邊。他穿著一件紅色的運動服，腳下是一雙白色膠鞋人們驚奇地望著他，不知道他要做出什么舉動。這時兩位工作人員，抬著一個大鐵錘，放在老者的面前。主持人這時對觀眾講：請兩位身體強壯的人，到臺上來。好多年輕人站起來，轉(zhuǎn)眼間已有兩名動作快的跑到臺上。老人這時開口和他們講規(guī)則，請他們用這個大鐵錘，去敲打那個吊著的鐵球，直到把它蕩起來。一個年輕人搶著拿起鐵錘，拉開架勢，掄起大錘，全力向那吊著的鐵球砸去，一聲震耳的響聲，那吊球動也沒動。他就用大鐵錘接二連三地砸向吊球，很快他就氣喘吁吁.另一個人也不示弱，接過大鐵錘把吊球打得叮當響，可是鐵球仍舊一動不動。臺下逐漸沒了吶喊聲，觀眾好像認定那是沒用的，就等著老人做出什么解釋。會場恢復了平靜，老人從上衣口袋里掏出一個小錘，然后認真地，面對著那個巨大的鐵球。他用小錘對著鐵球“咚”敲了一下，然后停頓一下，再一次用小錘“咚”敲了一下。人們奇怪地看著，老人就那樣“咚”敲一下，然后停頓一下，就這樣持續(xù)地做。十分鐘過去了，二十分鐘過去了，會場早已開始騷動，有的人干脆叫罵起來，人們用各種聲音和動作發(fā)泄著他們的不滿。老人仍然一小錘一停地工作著，他好像根本沒有聽見人們在喊叫什么。人們開始忿然離去，會場上出現(xiàn)了大塊大塊的空缺。留下來的人們好像也喊累了，會場漸漸地安靜下來大概在老人進行到四十分鐘的時候，坐在前面的一個婦女突然尖叫一聲：“球動了！”剎時間會場立即鴉雀無聲，人們聚精會神地看著那個鐵球。那球以很小的擺度動了起來，不仔細看很難察覺。老人仍舊一小錘一小錘地敲著，人們好像都聽到了那小錘敲打吊球的聲響。吊球在老人一錘一錘的敲打中越蕩越高，它拉動著那個鐵架子“哐、哐”作響，它的巨大威力強烈地震撼著在場的每一個人。終于場上爆發(fā)出一陣陣熱烈的掌聲，在掌聲中，老人轉(zhuǎn)過身來，慢慢地把那把小錘揣進兜里。老人開口講話了，他只說了一句話：在成功的道路上，你沒有耐心去等待成功的到來，那么，你只好用一生的耐心去面對失敗。第二講周期性問題編寫說明在春季講義第十四講中我們已經(jīng)對規(guī)律性問題進行了研究，規(guī)律性問題和周期性問題緊密相連，所以我們在回憶相關(guān)內(nèi)容時主要以規(guī)律性問題為主.在您用思而行講義講解問題時，我們主張教師在條件允許的范圍之內(nèi)，盡量將題目的緣由講解給學生，這樣有利于學生“舉一反三”，逐漸幫助學生擁有研究問題、發(fā)現(xiàn)問題的能力.內(nèi)容概述呵呵!小朋友們你們還記得春季第十四講的“規(guī)律性問題”嗎？在那一講中我們其實已經(jīng)接觸到了周期問題的一些基本概念，規(guī)律性問題和周期問題兩者相互交融，緊密聯(lián)系，在解答問題時它們常常同時會來幫助你！下面讓我們一起先來回憶一下基本概念和幾道有關(guān)周期性問題的習題，然后一同研究幾種新的知識點！基本概念：周期現(xiàn)象：事物在運動變化過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)；周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時間叫周期；解決有關(guān)周期性問題的關(guān)鍵是確定循環(huán)周期.陽歷中有閏日的年份叫閏年，相反就是平年，平年為365天，閏年為366天.在公歷紀年中，平年的二月為28天，閏年的二月為29天.閏年的2月29日為閏日.一般的,能被4整除的年份是閏年,不能被4整除的年份是平年.如:1988年2008年是閏年;2005年2006年2007年是平年.但是如果是世紀年(也就是整百年),就只有能被400整除才是閏年,否則就是平年.如:2000年就是閏年,1900年就是平年.你還記得嗎？【復習1】（華羅庚學校五年級入學考試試題）從算式1998÷8991的除數(shù)和被除數(shù)中各劃去兩個數(shù)字,使得新算式的結(jié)果盡可能小,那么該結(jié)果小數(shù)點后第1998位數(shù)字是多少?分析:除數(shù)劃去兩個數(shù)字最小是18,被除數(shù)劃去兩個數(shù)字最大是99,18÷99=0.1818……,1998÷2正好整除,所以小數(shù)點后面1998位是8.【復習2】（05福建迎春杯）有一串數(shù)列，第一個數(shù)是8，以后每個數(shù)的規(guī)律為：如果前一個數(shù)是奇數(shù)，就將它減去1以后再乘以3；如果前一個數(shù)是偶數(shù)，就將它除以2以后再加上2，那么這串數(shù)列的第102個數(shù)是多少？分析：寫出這串數(shù)的若干項：8、6、5、12、8、6、5、12、……，每四個數(shù)一循環(huán)：102÷4=25…2，所以第102個數(shù)是6.【復習3】有一列數(shù)：2、1000、998、2、996、994、…從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都是它前面兩個數(shù)中大數(shù)減小數(shù)的差，那么在這列數(shù)中第188個數(shù)是幾？分析：我們把這個數(shù)列延伸一下：2、1000、998、2、996、994、2、992、990、2、988、986、…，3間隔兩項出現(xiàn)，大數(shù)（非3的數(shù)）以2為公差減小，如上下劃線所示，每三個一組，每組第二個數(shù)字差為4，188÷3=62……2，所以第188個數(shù)是第63組的第2個數(shù)，為：1000-（63-1）×4=752.數(shù)字大排隊除0外的全體自然數(shù)如右表排列，請問（1）數(shù)43在哪個字母下面?（2）數(shù)47在哪個字母下面?（3）數(shù)56在哪個字母下面?分析：（1）43÷8=5…3，所以它在3的下面，也就是說在C的下面；（2）47÷8=5…7，所以它在7的下面，也就是說在E的下面；（3）56=7×8，所以它在8的下面，也就是說在D的下面。（小數(shù)報數(shù)學競賽初賽）右圖中，任意三個連續(xù)的小圓圈內(nèi)三個數(shù)的連乘積都是891，那么B代表多少？分析：根據(jù)“任意三個連續(xù)的小圓圈內(nèi)三個數(shù)的連乘積都是891”，可知任意一個小圓圈中的數(shù)和與它相隔2個小圓圈的小圓圈中的數(shù)是相同的.于是：B=891÷(9×9)=11.【鞏固】有一個十一位數(shù)，已知它的首位數(shù)字為9，末尾數(shù)字為8，且三個相鄰的數(shù)字之和是24，則第5個數(shù)字是幾？這個數(shù)是多少？9?8分析：三個相鄰的數(shù)字之和是24，說明第二、三個數(shù)字為24－9=15，即第四個數(shù)字為9，以此類推：99?998再從后往前，即可完成9879?8798798可以增加一個格，要不從右邊開始數(shù)，隔2個數(shù)就相等，馬上就能數(shù)出來?。?5希望杯邀請賽）將100個小球放入依次排列的36個盒子中．如果任意相鄰的5個盒子中的小球總數(shù)均為14，且第1個盒中有2個小球．求第36個盒子中小球的個數(shù)．分析：將36個盒子依次編號為1，2，3，…，36．由于任意相鄰的5個盒子中的小球總數(shù)相等，所以1到5號盒子中小球總數(shù)與2到6號盒子中小球總數(shù)相等．又因為它們均含有2號、3號、4號和5號盒子，所以1號盒子與6號盒子中所含小球數(shù)相同．同理，由6到10號盒子中小球總數(shù)與7到11號盒子中小球總數(shù)相等，可推得6號盒子與11號盒子中所含小球數(shù)相同．按照此規(guī)律可知：1號盒子、6號盒子、11號盒子、16號盒子、21號盒子、26號盒子、31號盒子和36號盒子中小球的個數(shù)相同．末尾數(shù)字的規(guī)律算式的得數(shù)的尾數(shù)是幾？分析：我們只需要看個位就行了,3的個位是3,3×3個位是9,3×3×3個位是7,3×3×3×3個位是1,3×3×3×3×3個位是3,我們發(fā)現(xiàn)四次一循環(huán),2006÷4=501……2,所以算式123×123×123×……×123的得數(shù)的尾數(shù)是9【拓展】an的個位數(shù)字的變化規(guī)律，如下表：從總體而言，可以總結(jié)成：“4個一循環(huán)”【鞏固】求67999的個位數(shù)字.分析：因為67的個位數(shù)是7，所以67n的個位數(shù)隨著n的增大，按7，9，3，1四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn).999÷4＝249……3，所以67999的個位數(shù)字與73的個位數(shù)字相同，即67999的個位數(shù)字是3。求28128－2929的個位數(shù)字.分析：由128÷4＝32知，28128的個位數(shù)與84的個位數(shù)相同，等于6。由29÷2＝14……1知，2929的個位數(shù)與91的個位數(shù)相同，等于9.因為6＜9，在減法中需向十位借位，所以所求個位數(shù)字為16－9＝7.【拓展】算式（367367+762762）×123123的得數(shù)的尾數(shù)是幾？分析：這是一道很經(jīng)典的題目，分別找規(guī)律，我們只看個位數(shù)就夠了：7：7，9，3，1……，367/4=91…3，個位數(shù)是3；2：2，4，8，6……，762/4=190…2，個位數(shù)是4；3：3，9，7，1……，123/4=30…3，個位數(shù)是7；因此個位數(shù)：（3+4）×7=49.圓圈上的數(shù)學游戲（希望杯數(shù)學邀請賽決賽）如右圖，是一片剛剛收割過的稻田，每個小正方形的邊長是1米，A、B、C三點周圍的陰影部分是圓形的水洼。一只小鳥飛來飛去，四處覓食，它最初停留在0號位，過了一會兒，它躍過水洼，飛到關(guān)于A點對稱的1號位；不久，它又飛到關(guān)于B點對稱的2號位；接著，它飛到關(guān)于C點對稱的3號位，再飛到關(guān)于A點對稱的4號位，……，如此繼續(xù)，一直對稱地飛下去。由此推斷，2004號位和0號位之間的距離是多少米？分析：到5號位后回到0號位，因此每六個數(shù)為一個周期，所以2004號和0號在同一位置，它們的距離是0米.（迎春杯刊賽）如右圖，有16把椅子擺成一個圓圈，依次編上從1到16的號碼.現(xiàn)在有一人從第1號椅子順時針前進328個，再逆時針前進485個，又順時針前進328個，再逆時針前進485個，又順時針前進136個，這時他到了第幾號椅子？分析：這個人順時針前進了328+328+136=792個位置，由于792÷16=49…8，所以他走到9號位置.又這個人逆時針共退回485+485=970個位置，由于970÷16＝60…10，因此這個人到了第15(=9+16-10)號椅子.【鞏固】（華杯賽復賽）電子跳蚤每跳一步，可從一個圓圈跳到相鄰的圓圈.現(xiàn)在，一只紅跳蚤從標有數(shù)字“0”的圓圈按順時針方向跳了1991步，落在一個圓圈里.一只黑跳蚤也從標有數(shù)字“0”的圓圈起跳，但它是沿著逆時針方向跳了1949步，落在另一個圓圈里.問：這兩個圓圈里數(shù)字的乘積是多少？分析：電子跳蚤每跳12步就回到了原來位置，由于1991=165×12+11，所以紅跳蚤從標有數(shù)字“0”的圓圈出發(fā)，按順時針方向跳了1991步時，跳到了標有數(shù)字“1l”的圓圈.同理，由1949=162×12+5，知道黑跳蚤從標有數(shù)字“0”的圓圈按逆時針方向跳了162個12步后跳到了標有數(shù)字“7”的圓圈.于是所求的乘積是11×7=77.如右圖，把1～8八個號碼擺成一個圓圈，現(xiàn)有一個小球，第一天從1號開始按順時針方向前進329個位置，第二天接著按逆時針方向前進485個位置，第三天又順時針前進329個位置，第四天再逆時針前進485個位置……如此繼續(xù)下去，問至少經(jīng)過幾天，小球又回到原來的1號位置？分析：根據(jù)題意，小球按順時針、逆時針、順時針、逆時針……兩天一個周期循環(huán)變換方向.每一個周期中，小球?qū)嶋H上是按逆時針方向前進485-329=156（個）位置.156÷8=19……4，就是說，每個周期（2天）中，小球是逆旋轉(zhuǎn)了19周后再逆時針前進4個位置.要使小球回到原來的1號位，至少應逆時針前進8個位置.8÷4=2（個）周期，2×2=4（天），所以至少要用4天，小球才又回到原來“1”號位置.（1）時針如果指在5，那么分針旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動2008周后，鐘表顯示的時間是幾時？（2）時鐘在下午的時候指在5，那么分針旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動2008周后，鐘表顯示的時間是幾時？分析：（1）2008÷12=167…4，5+4=9時；（2）2008÷24=83…16，下午5時即17時，所以17+16-24=9，鐘表顯示的時間是上午9時.我來找找星期幾（美國小學數(shù)學奧林匹克）一月份有三十一天，如果某年的1月1日星期一，這年的2月22日是星期幾?分析：從1月1日到2月22日共經(jīng)過30+22=52天（我們在計算經(jīng)過多少天數(shù)時，都統(tǒng)一算尾不算頭，也就是將明天看作“第一天”），52÷7=7……3，周一往后數(shù)三天就是周四，所以2月22日是星期四.【拓展】（美國長島小學數(shù)學競賽）今天是星期二，從今天算起，第100天是星期幾?分析：100÷7=14……2，因為是從“今天”算做第一天，所以第100天是星期三.（國家公務員考試題改編）1999年的元旦是星期五，那么據(jù)此你知道2005年的元旦是星期幾嗎？分析：00、04是閏年，99、01、02、03是平年，一共度過了：365×6＋2=2192（天），2192÷7=313…1，2005年的元旦是星期六.【鞏固】我國1997年7月1日收回香港的主權(quán)，這天正好是星期二.到今年7月1日十周年慶祝時是星期幾？分析：98、99、01、02、03、05、06、07年是平年，00、04是閏年，從1997年7月1日到2007年7月1日，一共度過了：365×10＋2=3652（天），7天一個周期，3652÷7=521……5，所以2007年7月1日是星期日.【鞏固】1991年2月1日是星期五，那么2000年的2月1日是星期幾？分析：在92、93、94、95、96、97、98、99、2000年中92、96、2000是閏年，但2000年中的閏日并不包含在內(nèi)，所以從1991年2月1日到2000年2月1日共經(jīng)過了：365×9+2=3287，3287÷7=469……4，所以2000年的2月1日是星期二.（06年華羅庚金杯）奶奶告訴小明：“2006年共有53個星期日．”聰明的小明立刻告訴奶奶：2007年的元旦一定是星期（）.分析：2006年有365天，而365=7×52+1．又已知2006年有53個星期日，只能元旦是星期日，且12月31日也是星期日．所以2007年的元旦是星期一.【鞏固】（香港圣公會奧林匹克）一個月最多有5個星期日，在一年的12個月中，有5個星期日的月份最多有幾個月?分析：1月1日是星期日，全年就有53個星期日。每月至少有4個星期日，53-4×12=5，多出5個星期日，在5個月中．即最多有5個月有5個星期日．某年的10月有5個星期六，4個星期日，問這一年的十月一日是星期幾？分析：星期六后面必有星期日，所以10月31號是星期六，30÷7=4……2，往前數(shù)2天是周四.【鞏固】1993年一月份有4個星期四、5個星期五，1993年1月4日是星期______.分析：由已知，1號是星期五，因此1993年1月4日是星期一.附加題目【附1】實驗室里有一個計數(shù)器，一圈一共24個格，按照順時針順序標了0～23這24個數(shù).每經(jīng)過8分鐘，指針就會順時針方向跳一次；每跳一次，就要跳過7格.今天晚上十一點的時候，指針正好從3跳到10，那么明天早上9點23分的時候，指針指著的數(shù)是幾？分析：從晚上11點到早上9點23分的時候，共經(jīng)過了623分鐘，623÷8=77…7，指針跳過：77×7=539（格），539÷24=22…11，所以相當于從10順時針跳11格，是21格.【附2】（01明心杯數(shù)學挑戰(zhàn)賽）如右圖，電子跳蚤游戲盤為△ABC，AB=8，AC=9，BC=10．如果電子跳蚤開始時在BC邊上的Po點，BPo=4．第一步跳蚤跳到AC邊上P1點，且CP1=CPo；第二步跳蚤從P1跳到AB邊上P2點，且AP2=AP1；第三步跳蚤從P2跳回到BC邊上P3點，且BP3=BP2；跳蚤按上述規(guī)則跳下去，第2001次落點為P2001，請計算Po與P2001之間的距離．分析：因為BP0=4，所以CP0=10-4=6．第一步：從P0→P1，CP1=CP0=6，所以AP1=9-6=3；第二步：從P1→P2，AP2=AP1=3，所以BP2=8-3=5；第三步：從P2→P3，BP3=BP2=5，所以CP3=10-5=5；第四步：從P3→P4，CP4=CP3=5，所以AP4=9-5=4；第五步：從P4→P5，AP5=AP4=4，所以BP5=8-4=4；第六步：從P5→P6，BP6=BP5=4．可以看出，P6與P0點重合，而2001=6×333+3，故P2001點與P3點重合.P0與P2001之間的距離就是P0與P3之間的距離，等于：BP3一BP0=5-4=1．【附3】（05香港圣公會奧林匹克）某月有31天，有4個星期一和4個星期四，那么這個月的20日是星期幾？分析：4個星期一和4個星期四，意味著有4個周一、二、三、四，31－4×4=15，即星期五、星期六、星期日各有5個，1日、2日、3日是星期五、星期六、星期日，因此20日是星期三.【附4】（迎春杯刊賽）甲、乙、丙三名學生，每天早晨輪流為李奶奶取牛奶.甲第一次取奶是星期一，那么甲第100次取奶是星期().分析：甲第100次取奶，意味著甲、乙、丙三名學生已經(jīng)都取過99次，所以甲的第100次，在總的次數(shù)中是第99×3+1=298，過了297次，297÷7=42……3，所以是星期四.【附5】(華羅庚學校五年級入學考試試題)甲、乙、丙、丁四位醫(yī)生依次每天輪流到農(nóng)村衛(wèi)生所義診.甲第30次義診是星期三，那么當丙首次在周日義診時，丁醫(yī)生已經(jīng)下鄉(xiāng)義診幾次了？分析：甲第30次義診是在總次數(shù)的第4×29+1=117（次），117÷7=16……5，從星期三往前數(shù)5天，由周期性知甲第一次義診時間是在星期六，甲前7次義診分別是星期六、三、日、四、一、五、二.丙在周日義診是甲周五義診之后的兩天，所以那是丙第6次去義診.由于丁在丙后一天義診，他已經(jīng)去過5次.【附6】（05年華羅庚金杯）從冬至之日起每九天分為一段，依次稱之為一九，二九，…，九九．2004年的冬至為12月21日，2005年的立春是2月4日．問：立春之日是幾九的第幾天?；分析：從2004年12月21日到2005年2月4日共計有11+31+4=46(天)，46=5×9+1，所以立春之日是六九的第一天．故民間有“春打六九頭”之俗語．【附7】（保良局亞洲區(qū)城市數(shù)學競賽）每一年至少有一次星期五是某月的13日，但出現(xiàn)的次數(shù)不會超過三次.1998年正好有三次，分別在二月、三月和十一月．請問：下一次剛好又有三個月的13日是星期五的是公元哪一年?分析：365=52×7+l，則平年52周多1天，閏年52周多2天．1998～2008年之間有三個閏年，共多14天(即2周)，所以，2009年2月、3月、11月的13日又均在星期五．【附8】如右圖所示的數(shù)表中，從左往右依次看作五列.第99行右邊第一個數(shù)是幾？2006出現(xiàn)在第幾行，第幾列？分析：（1）每7個數(shù)，分成兩行一個周期，99÷2=49……1，相當于49個周期多一行，也就是50個周期第一行。第98行中最大的那個數(shù)為：（49×7-1）×2=684或者總共是7×49=343個數(shù)，所以342×2=684，所以第99行從左到右的數(shù)依次為：686、688、690，第99行右邊第一個數(shù)是690.（2）2006÷2+1=1004，1004÷7=143……3，所以在第287行，第5列.練習二1．（小學數(shù)學奧林匹克初賽）如果時鐘現(xiàn)在表示的時間是18點整，那么分針旋轉(zhuǎn)1990圈之后是幾點鐘？分析：1990÷24=82……22，18+22-24=16，于是分針旋轉(zhuǎn)1990圈后是16點鐘.2．除0外的自然數(shù)都按右表排列，問：（1）21排在第幾列的下面?（2）32排在第幾列的下面?（3）54排在第幾列的下面?分析：我們可以把7個看成一組（1）21=3×7，所以21在7的下面，所以在第二列；（2）32÷7=4…4，所以32在4的下面，所以在第七列；（3）54÷7=7…5，所以54在5的下面，所以在第六列。3．2008個數(shù)排成一排，其中任意五個相鄰數(shù)之和都是2008，已知第1個數(shù)是1，第9個數(shù)是9，第90個數(shù)是9，第102個數(shù)是3，那么第2008個數(shù)是；分析：根據(jù)題意可知，5個數(shù)一循環(huán)，前5個數(shù)分別為：1、3、1986、9、9，2008÷5=401…3，所以第2008個數(shù)是1986.4．求291+3291的個位數(shù)字。分析：因為2n的個位數(shù)字按2，4，8，6四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，91÷4＝22……3，所以，291的個位數(shù)字與23的個位數(shù)字相同，等于8.類似地，3n的個位數(shù)字按3，9，7，1四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)：291÷4＝72……3，所以3291與33的個位數(shù)相同，等于7.最后得到291+3291的個位數(shù)字與8+7的個位數(shù)字相同，等于5.5．（迎春杯刊賽）元旦是星期日，那么同年的國慶節(jié)是星期_______.分析：平年元旦到國慶節(jié)經(jīng)過273天.由于273÷7=39，故平年的國慶節(jié)是周日；閏年元旦到國慶節(jié)經(jīng)過274天，由于274÷7=39…1，故閏年的國慶節(jié)是星期一.6．（迎春杯刊賽）陽歷1978年1月1日是星期日，那么陽歷2000年的1月1日是星期_______.分析：從1978年1月1日到2000年1月1日經(jīng)過22年.這個期間內(nèi)1980、1984、1988、1992、1996是閏年，其余年份是平年.于是這22年的總天數(shù)：365×22+5=8035.這樣，問題轉(zhuǎn)化為求8035被7除所得的余數(shù).8035÷7=1147…6，公元2000年1月1日是星期六.課外故事永遠看得起自己有一天某個農(nóng)夫的一頭驢子，不小心掉進一口枯井里，農(nóng)夫絞盡腦汁想辦法救出驢子，但幾個小時過去了，驢子還在井里痛苦地哀嚎著.最后，這位農(nóng)夫決定放棄，他想這頭驢子年紀大了，不值得大費周章去把它救出來，不過無論如何，這口井還是得填起來。于是農(nóng)夫便請來左鄰右舍幫忙一起將井中的驢子埋了，以免除它的痛苦.農(nóng)夫的鄰居們?nèi)耸忠话宴P子，開始將泥土鏟進枯井中。當這頭驢子了解到自己的處境時，剛開始哭得很凄慘。但出人意料的是，一會兒之后這頭驢子就安靜下來了。農(nóng)夫好奇地探頭往井底一看，出現(xiàn)在眼前的景象令他大吃一驚：當鏟進井里的泥土落在驢子的背部時，驢子的反應令人稱奇──它將泥土抖落在一旁，然后站到鏟進的泥土堆上面！就這樣，驢子將大家鏟倒在它身上的泥土全數(shù)抖落在井底，然后再站上去。很快地，這只驢子便得意地上升到井口，然后在眾人驚訝的表情中快步地跑開了！第三講行程問題編寫說明在四年級春季的學習中，我們已經(jīng)研究了行程問題中一些最基本的相遇與追擊以及火車過橋問題.在暑期的三、四講中我們將繼續(xù)研究綜合行程問題和流水行船問題.學生對行程問題大都很“暈”，常常不知從何下手，鑒于此，我們盡量按照類別進行介紹，幫助學生一步一步找到解決各個類型的一些思路.在安排行程的題目時，我們選用的題目難度并不大，希望教師能引導孩子們，克服心理恐懼，能部分獨立解答相應階段的行程問題，增加孩子的自信與興趣！以上觀點僅供交流！內(nèi)容概述行程問題是一類常見的重要應用題，在歷次數(shù)學競賽中經(jīng)常出現(xiàn)．行程問題包括：相遇問題、追及問題、流水行船問題、環(huán)形行程問題等等，思維靈活性大，輻射面廣，但萬變不離根本，就是距離、速度、時間三個基本量之間的關(guān)系，即：距離=速度×時間.在這三個量中，已知兩個，可求出第三個未知量．這一講就是通過例題加深對這三個基本數(shù)量關(guān)系的理解.解決行程問題時，畫圖分析是一個非常有效的方法，我們一定要養(yǎng)成畫圖解決問題的好習慣！你還記得嗎【復習1】甲、乙兩輛汽車從東、西兩地同時相向開出，甲車每小時行56千米，乙車每小時行48千米，兩車在離中點32千米處相遇.求東、西兩地間的距離是多少千米?分析：畫圖分析.相遇時甲車比乙車多行：32×2=64(千米)，甲車每小時比乙車多行：56-48=8(千米)，甲、乙兩車從同時出發(fā)到相遇要：64÷8=8(小時)，東、西兩地間的距離是：(56+48)×8=832(千米).【復習2】如右圖，A，B是圓的直徑的兩端，甲在A點，乙在B點同時出發(fā)反向而行，兩人在C點第一次相遇，在D點第二次相遇。已知C離A有80米，D離B有60米，求這個圓的周長.分析：從A點出發(fā)到第一次相遇，兩人共走了0.5圈；從A點出發(fā)到第二次相遇，兩人共走了1.5圈。因為1.5÷0.5＝3，所以第二相遇時甲走的路程是第一次相遇時的3倍，即弧ACD=AC×3=240（米），則弧AB=240—BD=180（米），圓周長為180×2=360（米）【復習3】兩名運動員在湖的周圍環(huán)形道上練習長跑.甲每分鐘跑250米，乙每分鐘跑200米，兩人同時同地同向出發(fā)，經(jīng)過45分鐘甲追上乙；如果兩人同時同地反向出發(fā)，經(jīng)過多少分鐘兩人相遇？分析：在封閉的環(huán)形道上同向運動屬追及問題，反向運動屬相遇問題.同地出發(fā)，其實追及路程或相隔距離就是環(huán)形道一周的長.這道題的解題關(guān)鍵就是先求出環(huán)形道一周的長度.環(huán)形道一周的長度：（250-200）×45=2250（米）.反向出發(fā)的相遇時間：2250÷（250+200）=5（分鐘）.平均速度汽車往返于A，B兩地，去時速度為40千米／時，要想來回的平均速度為48千米／時，回來時的速度應為多少？分析：假設AB兩地之間的距離為480÷2=240千米，那么總時間=480÷48=10（小時），回來時的速度=240÷（10-240÷40）=60（千米/時）.【前鋪】汽車上山以30千米／時的速度，到達山頂后立即以60千米／時的速度下山.求該車的平均速度.分析：注意平均速度=總路程÷總時間，我們可以把上山的路程看作“1”，那么就有：（1+1）÷（）=40（千米／時），在這里我們使用的是特殊值代入法，當然可以選擇其他方便計算的數(shù)值，比如上山路程可以看作60千米，總時間=（60÷30）+（60÷60）=3，總路程=60×2=120，平均速度=120÷3=40（千米/時）.一只螞蟻沿等邊三角形的三條邊由A點開始爬行一周.在三條邊上它每分鐘分別爬行50cm，20cm，40cm（如右圖）.它爬行一周平均每分鐘爬行多少厘米？分析：假設每條邊長為200厘米，則總時間=200÷50+200÷20+200÷40=4+10+5=19（分鐘），爬行一周的平均速度=200×3÷19=（厘米/分鐘）.老王開汽車從A到B為平地（見右圖），車速是30千米／時；從B到C為上山路，車速是22.5千米／時；從C到D為下山路，車速是36千米／時.已知下山路是上山路的2倍，從A到D全程為72千米，老王開車從A到D共需要多少時間？分析：設上山路為x千米，下山路為2x千米，則上下山的平均速度是：（x+2x）÷（x÷22.5+2x÷36）=30（千米/時），正好是平地的速度，所以行AD總路程的平均速度就是30千米/時，與平地路程的長短無關(guān).因此共需要72÷30＝2.4（時）.沿途數(shù)車小明放學后，沿某路公共汽車路線以不變速度步行回家，該路公共汽車也以不變速度不停地運行.每隔9分鐘就有輛公共汽車從后面超過他，每隔7分鐘就遇到迎面開來的一輛公共汽車.問：該路公共汽車每隔多少分鐘發(fā)一次車?公共汽車的速度是小明步行速度的幾倍?分析：假設小明在路上向前行走了63（7、9的最小公倍數(shù)）分鐘后，立即回頭再走63分鐘，回到原地.這時在前63分鐘他迎面遇到63÷7=9（輛）車，后63分鐘有63÷9=7（輛）車追上他，那么在兩個63分鐘里他共遇到朝同一方向開來的16輛車，所以發(fā)車的時間間隔為：63×2÷（9+7）=（分）.公共汽車的發(fā)車時間以及速度都是不變的，所以車與車之間的間隔也是固定不變的.根據(jù)每隔9分鐘就有輛公共汽車從后面超過他，我們可以得到：間隔=9×（車速-步速）；每隔7分鐘就遇到迎面開來的一輛公共汽車，我們可以得到：間隔=7×（車速+步速），所以9×（車速-步速）=7×（車速+步速），化簡可得：車速=8倍的步速.【鞏固】小紅放學后沿著公共汽車的線路以4千米／時的速度往家走，一邊走一邊數(shù)來往的公共汽車.到家時迎面來的公共汽車數(shù)了11輛，后面追過的公共汽車數(shù)了9輛.如果公共汽車按相等的時間間隔發(fā)車，那么公共汽車的平均速度是多少?分析：我們可以假設小紅放學走到家共用99分鐘，那么條件就可以轉(zhuǎn)化為：“每隔9分鐘就有輛公共汽車迎面開來，每隔11分鐘就有輛公共汽車從后面超過他”.根據(jù)汽車間隔一定，可得：間隔=11×（車速-步速）=9×（車速+步速），化簡可得：車速=10倍的步速.所以車速為40千米/時.一條電車線路的起點站和終點站分別是甲站和乙站，每隔5分鐘有一輛電車從甲站發(fā)出開往乙站，全程要走15分鐘.有一個人從乙站出發(fā)沿電車線路騎車前往甲站.他出發(fā)的時候，恰好有一輛電車到達乙站.在路上他又遇到了10輛迎面開來的電車。到達甲站時，恰好又有一輛電車從甲站開出.問他從乙站到甲站用了多少分鐘？分析：騎車人一共看到12輛車，他出發(fā)時看到的是15分鐘前發(fā)的車，此時第4輛車正從甲發(fā)出.騎車中，甲站發(fā)出第4到第12輛車，共9輛，有8個5分鐘的間隔，時間是5×8=40（分鐘）.獵狗追兔一只獵狗正在追趕前方20米處的兔子，已知狗一跳前進3米，兔子一跳前進2.1米，狗跳3次的時間兔子可以跳4次。問：兔子跑出多遠將被獵狗追上？分析：在一個單位時間里，狗跑3×3＝9（米），兔子跑4×2.1＝8.4（米），所以兔子跑的距離為：[20÷（9-8.4）]×8.4=280（米）.獵狗前面26步遠有一只野兔，獵狗追之.兔跑8步的時間狗跑5步，兔跑9步的距離等于狗跑4步的距離.問：兔跑多少步后被獵狗抓獲?此時獵狗跑了多少步?分析：“獵狗前面26步……”顯然指的是獵狗的26步。因為題目中出現(xiàn)“兔跑8步的時間……”和“兔跑9步的距離……”，8與9的最小公倍數(shù)是72，所以可以統(tǒng)一在“兔跑72步”這個情況下考慮.兔跑72步的時間狗跑45步，兔跑72步的距離等于狗跑32步距離，所以在兔跑72步的時間里，狗比兔多跑了45—32=13(步)的路程，這個13步是獵狗的13步.由此推知，要追上26(狗)步，兔跑了72×(26÷13)=144(步)，此時獵狗跑了5×(144÷8)=90(步).【鞏固】野兔逃出80步后獵狗才開始追，野兔跑7步的路程獵狗只需跑3步，野兔跑9步的時間獵狗只能跑5步.問：獵狗至少跑多少步才能追上野兔?分析：“野兔跑7步的路程獵狗只需跑3步，野兔跑9步的時間獵狗只能跑5步.”講條件轉(zhuǎn)化為：“野兔跑35步的路程獵狗只需跑15步，野兔跑27步的時間獵狗只能跑15步.”在獵狗跑15步的時間內(nèi)，獵狗比野兔多跑35-27=8（兔步）.獵狗追上野兔需跑：15×（80÷8）=150（步）.獵狗追趕前方15米處的野兔.獵狗跑3步的時間野兔跑5步，獵狗跑4步的距離野兔要跑7步.獵狗至少跑出多少米才能追上野兔?分析：“獵狗跑3步的時間野兔跑5步，獵狗跑4步的距離野兔要跑7步.”將條件轉(zhuǎn)化為：“獵狗跑12步的時間野兔跑20步，獵狗跑12步的距離野兔要跑21步.”我們也就可以這樣認為：在一個單位時間內(nèi)（獵狗跑12步的時間），獵狗跑了野兔的21步，野兔跑了20步，速度差為野兔的1步.追擊時間=15÷野兔的1步，所以獵狗追擊的距離=（15÷野兔的1步）×野兔的21步=315（米）.狼和狗是死對頭，見面就要相互撕咬.一天，它們同時發(fā)現(xiàn)了對方，它們之間的距離狼要跑568步.如果狼跑9步的時間狗跑7步，狼跑5步的距離等于狗跑4步的距離，那么從它們同時奔向?qū)Ψ降较嘤?，狗跑了多少?狼跑了多少步?分析：由題目條件知，狼跑45步的時間狗跑35步，狼跑45步的距離等于狗跑36步的距離，也就是說，在相同的時間里，狼跑狗的36部，狗跑35步.所以相遇時，狼跑了：（步），狗跑了：288÷9×7=224（步）.多人行程東、西兩城相距75千米．小明從東向西走，每小時走6.5千米；小強從西向東走，每小時走6千米；小輝騎自行車從東向西，每小時騎行15千米．三人同時動身，途中小輝遇見小強即折回向東騎，遇見了小明又折回向西騎，再遇見小強又折回向東騎．這樣往返，直到三人在途中相遇為止．問小輝共走了多少米?分析：在這一過程中，小輝始終在小強與小明之間往返．對于確定小輝與小強或小明的每一次相遇時間和地點，是十分繁瑣并且不必要的．事實上，小輝一直在以每小時15千米的速度騎行．為求出他所騎的路程，只需要求出從開始到最終相遇的時間．而這個時間只要由小強和小明的速度就可以計算．從開始到相遇的時間為：75÷(6.5+6)=6小時．6小時內(nèi)小輝一共騎了15×6=90千米．有甲、乙、丙三人同時同地出發(fā)，繞一個花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙相背而行．甲每分鐘走40米，乙每分鐘走38米，丙每分鐘走36米．出發(fā)后，甲和乙相遇后3分鐘和丙相遇．這花圃的周長是多少米?分析：由已知可知，甲先與乙相遇．在甲乙相遇這段時間里，乙丙所行的路程差正是甲丙在3分鐘內(nèi)相向而行的路程之和：(40+36)×3=228(米)．從出發(fā)到甲乙相遇所用時間為228÷(38-36)=114(分鐘)．所以，花圃的周長為(40+38)×114=8892(米)．【前鋪】甲每分鐘走50米，乙每分鐘走60米，丙每分鐘走70米.甲、乙兩人從A地，丙一人從B地同時相向出發(fā)，丙遇到乙后2分鐘又遇到甲，A、B兩地相距多少米？分析：線段示意圖如右：當乙和丙相遇時，乙和甲相距：(70+50)×2=240(米)，從3人同時出發(fā)到乙、丙相遇經(jīng)過：240÷(60-50)=24(分)，A、B兩地相距：（60+70）×24=130×24=3120(米).附加題目【附1】某司機開車從A城到B城.若按原定速度前進，則可準時到達.當路程走了一半時，司機發(fā)現(xiàn)前一半行程中，實際平均速度只達到原定速度的，如果司機想準時到達B城，那么在后一半的行程中，實際平均速度是原定速度的多少倍？分析：前一半路程用去原定時間的，后一半路程就用去原定時間的2-=，所以實際平均速度是原定速度的倍.【附2】甲、乙兩地相距6千米，某人從甲地步行去乙地，前一半時間平均每分鐘行80米，后一半時間平均每分鐘行70米.問他走后一半路程用了多少分鐘？分析：（法１）全程的平均速度是每分鐘（80+70）÷2=75米，走完全程的時間是6000/75=80分鐘，走前一半路程速度一定是80米，時間是3000÷80=37.5分鐘，后一半路程時間是80-37.5=42.5分鐘（法2）設走一半路程時間是x分鐘，則80x+70x=6×1000，解方程得：x=40分鐘，因為80×40=3200米，大于一半路程3000米，所以走前一半路程速度都是80米，時間是3000÷80=37.5分鐘，后一半路程時間是40+（40-37.5）=42.5分鐘【附3】一只快、中、慢3輛車同時從同一地點出發(fā)，沿同一公路追趕前面的一個騎車人.這3輛車分別用6分鐘、10分鐘、12分鐘追上騎車人.現(xiàn)在知道快車每小時走24千米，中車每小時走20千米，那么，慢車每小時走多少千米？分析：（法1）快車6分鐘行24×1000×6÷60=2400（米），中車10分鐘行20×1000×10÷60=（米），騎車人速度每分鐘行（-2400）÷（10-6）=（米）

慢車12分鐘行2400-×6+×12=3800（米），每小時行3800÷12×60=19000（米）=19（千米）（法2）6分鐘快車追上騎車人時，中車與它們還相差6×（24-20）÷60=0.4千米，10分鐘時，中車又開了4×20÷60=千米，追上騎車人，說明騎車人4分鐘騎了-0.4=千米，即騎車人速度==14（千米/小時），因為快車用6分鐘追上騎車人，由此可知原本三輛汽車落后騎車人6×（24-14）÷60=1千米，12分鐘時，騎車人離三車出發(fā)點1+14×12÷60=3.8千米，所以，慢車速度=（3.8÷12）×60=19千米/小時.【附4】設有甲、乙、丙3人，他們步行的速度相同，騎車的速度也相同，騎車的速度是步行速度的3倍?，F(xiàn)甲從A地去B地，乙、丙從B地去A地，雙方同時出發(fā)。出發(fā)時，甲、乙為步行，丙騎車。途中，當甲、丙相遇時，丙將車給甲騎，自己改為步行，3人仍按各自原有方向繼續(xù)前進；當甲、乙相遇時，甲將車給乙騎，自己重又步行，3人仍按各自原有方向繼續(xù)前進。問：3人之中誰最先達到自己的目的地？誰最后到達目的地？分析：（法1）:如圖，甲與丙在M點相遇，甲走了AM，同時乙也走了同樣距離BN。當甲與乙在P點相遇時，乙一共走了BP，甲還要走PB，而丙只走了MA。所以3人步行的距離，甲=AM+PB，乙=BP，丙=MA。甲最遠，最后到；丙最短，最先到.（法2）：由于每人的步行速度和騎車速度都相同，所以，要知道誰先到、誰后到，只要計算一下各人誰步行最長，誰步行最短.將整個路程分成4份，甲丙最先相遇，丙騎行3份，步行1分；甲先步行了1份，然后騎車與乙相遇，騎行2×=份，總步行4-=份；乙步行1+（2-）=，騎行4-=份，所以，丙最先到，甲最后到.【附5】甲、乙、丙、丁4人在河中先后從同一個地方同速同向游泳，現(xiàn)在甲距起點78米，乙距起點27米，丙距起點23米，丁距起點16米．那么當甲、乙、丙、丁各自繼續(xù)游泳米時，甲距起點的距離剛好為乙、丙、丁3人距起點的距離之和．分析：現(xiàn)在乙、丙、丁3人距起點的距離總和是27+23+16=66米，甲目前比它們的距離之和要多78－66=12米．此后甲每向前游1米，乙、丙、丁3人也都同時向前游了1米，那么甲距起點的距離與那3人的距離總和之差就要減少2米．要使這個差為0，甲應向前游了12÷2=6米．練習三1．有一座橋，過橋需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等.某人騎自行車過橋時，上坡、走平路和下坡的速度分別為4米／秒、6米／秒和8米／秒，求他過橋的平均速度.分析：假設上坡、平路及下坡的路程均為24米，那么總時間=24÷4+24÷6+24÷8=6+4+3=13（秒），過橋的平均速度=24×3÷13=（米/秒）.2．小宇以均勻速度走路上學，他觀察來往的同一路電車，發(fā)現(xiàn)每隔12分鐘有一輛電車從后面超過他，每隔4分鐘有一輛電車迎面而來．如果電車也是勻速行駛的，那么起點站和終點站隔多少分鐘發(fā)一輛電車？分析：（法1）：[12，4]=12，12×2÷（1+3）=6（分鐘）.（法2）：把電車的間隔距離看作1，那么有：車速+人速=，車速-人速=，所以車速=，發(fā)車間隔時間=1÷=6（分鐘）.3．獵狗追趕前方30米處的野兔.獵狗步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步，但是兔子動作快，獵狗跑3步的時間兔子能跑4步.獵狗至少跑出多遠才能追上野兔？分析：獵狗跑12步的路程兔子要跑21步，獵狗跑12步的時間兔子要跑16步，在獵狗跑12步這個單位時間內(nèi)，兩者的速度差為兔子的5步，所以獵狗追擊距離為：30÷5×21=126（米）.4．有甲、乙、丙三人，甲每分鐘走100米，乙每分鐘走80米，丙每分鐘走75米．現(xiàn)在甲從東村，乙、丙兩人從西村同時出發(fā)相向而行，在途中甲與乙相遇6分鐘后，甲又與丙相遇．那么東、西兩村之間的距離是多少米?分析：如右圖，甲、乙兩人在C地相遇，之后甲、丙在E地相遇，此時乙已經(jīng)走到D地．CD是乙6分鐘的路程，為80×6=480米；EC是甲6分鐘的路程，為100×6=600米．所以ED=480+600=1080米．這個長度就是從開始到甲、丙相遇時乙、丙的距離差．從開始到甲、丙相遇所經(jīng)歷的時間為：1080÷(80-75)=216分鐘．也就是經(jīng)過216分鐘，甲、丙從東、西兩村出發(fā)相遇，所以東、西兩村相距：(100+75)×216=37800米．課外故事一粒種子里有什么在《平凡世界的卓越人生》一書中，牧師羅伯特·H·舒勒寫道：“多年來，我反復向聽眾宣講：任何傻瓜都能數(shù)出一個蘋果有多少粒種子，然而只有神才知曉一粒種子里面有多少個蘋果?！弊髡呤胬障壬囊幻牨姡r(nóng)場主安斯利·米勒對這句話深有體會，他給舒勒先生寄去了一封夾有大豆種子的信。他在信里寫道：“舒勒先生，那是1977年，我種的莊稼幾乎顆粒無收，那年天氣特別糟糕，雨水太多。在10月的收獲季節(jié)，我走在自家的地里，看著滿目的稀稀落落的豆莢，走上去一捏，大多數(shù)都是癟的，我感到心灰意冷。就在那個時候，我猛然看見不遠處有一株大豆特別顯眼。我走過去，小心翼翼地摘下上面全部的豆莢。一共有202個，一個個看上去都碩大飽滿。我把這些豆莢剝開，得到了503顆大豆。我把這些大豆帶回家，整個冬天都放在一個平底罐里，讓它們風干?！暗诙甏禾?，那是對我有特殊意義的一個季節(jié)。我拿出那503顆大豆種子，撒在我家屋后的一小塊地里。那年10月，那塊地讓我收獲了32磅的大豆！到了冬天，我又把種子全部晾干。“1979年，我把那32磅大豆盡數(shù)種在一英畝的田里。那年10月，我總共收獲了2409磅大豆?！?980年的春天，我將大豆種在一塊69英畝的田里，那是我全部的土地。就在那年10月，那塊地大獲豐收，足足收獲了8萬多升大豆，賣了1.5萬美元！“舒勒先生，一株大豆，202個豆莢，503粒大豆，4年以后變成了1.5萬美元。還不錯，不是嗎？‘任何傻瓜都能數(shù)出一個蘋果有多少粒種子，然而只有神才知曉一粒種子里面有多少個蘋果’。一粒種子里面有多少個蘋果？噢，我知道了，我明白了。瞧，我給你寄一粒我收獲的種子?！辈灰∏迫魏挝⑿〉目赡芎蜋C會，那里蘊藏著無限的希望和收獲。第四講流水行船問題編寫說明此講為學生第一次系統(tǒng)接觸“流水行船”問題，所以我們更加關(guān)注學生對基本問題的解答思路及能力！本講為新知識的學習，所以就不再進行“你還記得嗎？”的復習環(huán)節(jié)！這樣一來例題設置稍稍減小，希望能幫助教師緩解一些壓力！基本的流水行船問題在行程問題的基礎上，這一講我們將研究流水行船的問題.船在江河里航行時，除了本身的前進速度外，還受到流水的推送或頂逆，在這種情況下計算船只的航行速度、時間和所行的路程，叫做流水行船問題.另外一種與流水行船問題相類似的問題是“在風中跑步或行車”的問題，其實處理方法是和流水行船完全一致的.行船問題是一類特殊的行程問題，它的特殊之處就是多了一個水流速度，船速：在靜水中行船，單位時間內(nèi)所走的路程叫船速；逆水速度：逆水上行的速度叫逆水速度；順水速度：順水下行的速度叫順水速度；水速：船在水中不借助其他外力只借助水流力量單位時間所漂流的路程叫水流速度(以下簡稱水速)，順水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速.順水行程=順水速度×順水時間逆水行程=逆水速度×逆水時間船速=（順水速度+逆水速度）÷2；水速=（順水速度-逆水速度）÷2.（可理解為和差問題）甲、乙之間的水路是234千米，一只船從甲港到乙港需9小時，從乙港返回甲港需13小時，問船速和水速各為每小時多少千米？分析：從甲到乙順水速度：234÷9＝26（千米/小時）；從乙到甲逆水速度：234÷13＝18（千米/小時）；船速是：（26+18）÷2=22（千米/小時）；水速是：（26-18）÷2＝4（千米/小時）.【前鋪】輪船在靜水中的速度是每小時21千米，輪船自甲港逆水航行8小時到達相距144千米的乙港，再從乙港返回甲港需要多少小時?分析：要求輪船從乙港返回甲港所需的時間，即輪船順水航行144千米所需時間，就要求出順水航行的速度。現(xiàn)在知道輪船在靜水中的速度，只需求出水流速度.根據(jù)已知，自甲港逆水航行8小時，到達相距144千米的乙港，由此可求出輪船的逆水航行的速度.再根據(jù)逆水速度與船速、水速的關(guān)系即可求出水速.水流速度：21—144÷8=21—18=3(千米／小時)，順水速度：2l+3=24(千米／小時)，乙港返回甲港所需時間：144÷24=6(小時).【鞏固】甲、乙兩港相距208千米，一只船從甲港開往乙港，順水8小時到達，從乙港返回甲港，逆水13小時到達．水流速度是多少?分析：順水速度=208÷8=26（千米／小時），逆水速度=208÷13=16（千米／小時），水速=（順水速度－逆水速度）÷2=（26－16）÷2=5（千米／小時）．A、B兩港相距560千米，甲船往返兩港需要105小時，逆流航行比順流航行多了35小時，乙船的靜水速度是甲船靜水速度的2倍，那么乙船往返兩港需要多少小時？分析：先求出甲船往返航行的時間分別是：（105+35）÷2=70小時，（105-35）÷2=35.再求出甲船逆水速度每小時560÷70=8千米，順水速度每小時560÷35=16千米，那么甲船在靜水中的速度是每小時（16+8）÷2=12千米，水流的速度是每小時12-8=4千米，乙船在靜水中的速度是每小時12×2=24千米，所以乙船往返一次所需要的時間是560÷（24+4）+560÷（24-4）=20+28=48小時.甲河是乙河的支流，甲河水速為每小時3千米，乙河水速為每小時2千米．一艘船沿甲河順水航行7小時，行了133千米到達乙河，在乙河中還要逆水航行84千米，問：這艘船還要航行幾小時?分析：船在甲河中的順水速度為：133÷7=19(千米／小時)，船速=19-3=16(千米／小時)．船在乙河中的逆水速度=船速一水速=16-2=14(千米/小時)，逆水時間=逆水行程÷逆水速度=84÷14=6(小時)．一艘輪船在兩個港口間航行，水速為每小時6千米，順水下行需要4小時，返回上行需要7小時．求：這兩個港口之間的距離．分析：兩港口間的距離=順水速度×順水時間=(船速+水速)×順水時間=(船速+6)×4；兩港口間的距離=逆水速度×逆水時間=(船速-6)×7；所以可得：(船速+6)×4=(船速-6)×7，解得：船速=22，可得兩港口間的距離為：(22+6)×4=(22—6)×7=112(千米)．某船從甲地順流而下，5天到達乙地；該船從乙地返回甲地用了7天．問：水從甲地流到乙地用了多少時間?分析：（法1）水流的時間=甲乙兩地間的距離÷水速，而此題并未告訴我們“甲乙兩地間距離”，且根據(jù)已知，順水時間及逆水時間也無法求出，而它又是解決此題順水速度、逆水速度和水速的關(guān)鍵．將甲、乙兩地距離看成單位“1”，則順水每天走全程的，逆水每天走全程的．水速=(順水速度一逆水速度)÷2=，所以水從甲地流到乙地需：（天）.當然，我們還可以把甲乙兩地的距離設成其他方便計算的數(shù)字，這其實就是特殊值代入法?。ǚ?）用方程思路，5×（船速＋水速）=7×（船速—水速），即船速=6×水速，所以輪船順流行5天的路程等于水流5＋5×5＝35（天）的路程，即木筏從A城漂到B城需35天.（法3）逆水比順水多2天到達，即船要多行駛2天，為什么會多2天呢，因為順水時得到了5天的水速幫助，逆水時又要去克服7天的水速，這一切都是靠2天的船速所實現(xiàn)的，即船速等于6天的水速；所以輪船順流行5天的路程等于水流5＋5×6＝35（天）的路程，即木筏從A城漂到B城需35天.一艘小船在河中航行，第一次順流航行33千米，逆流航行11千米，共用11小時；第二次用同樣的時間，順流航行了24千米，逆流航行了14千米.這艘小船的靜水速度和水流速度是多少？分析：（法1）兩次航行順流的路程差：33-24=9（千米），逆流的路程差：14-11=3（千米），也就是說順流航行9千米所用的時間和逆流航行3千米所用時間相同，那么順流航行33千米與逆流航行33÷3=11（千米）時間相同，則逆流速度：（11