湖南省懷化市興隆鎮(zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析

湖南省懷化市興隆鎮(zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F(xiàn)為邊BC的三等分點(diǎn)，則=（）A．B．C．D．參考答案：A略2.已知，，，則（

）A.2 B. C.1 D.0參考答案：A【分析】根據(jù)向量垂直的定義即可得到關(guān)于的方程，解方程即可得到答案。【詳解】，，，又，，即，解得，，，故答案選A?！军c(diǎn)睛】本題主要考查向量坐標(biāo)的表示，向量垂直的關(guān)系以及向量模的公式，屬于基礎(chǔ)題。3.曲線y=ex在點(diǎn)A（0，1）處的切線斜率為(

) A．1 B．2 C．e D．參考答案：A考點(diǎn)：直線的斜率；導(dǎo)數(shù)的幾何意義．專題：計(jì)算題．分析：由曲線的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，然后把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=0代入，求出對應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值即為切線方程的斜率．解答： 解：由y=ex，得到y(tǒng)′=ex，把x=0代入得：y′（0）=e0=1，則曲線y=ex在點(diǎn)A（0，1）處的切線斜率為1．故選A．點(diǎn)評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，是一道基礎(chǔ)題．4.已知滿足約束條件則的最小值是（

）A．

B． C．

D．參考答案：D

5.已知全集為,集合,,則(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：C略6.為得到函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的A．縱坐標(biāo)伸長到原來的倍，橫坐標(biāo)向左平移B．縱坐標(biāo)縮短到原來的倍，橫坐標(biāo)向左平移C．縱坐標(biāo)伸長到原來的倍，橫坐標(biāo)向左平移D．縱坐標(biāo)縮短到原來的倍，橫坐標(biāo)向左平移參考答案：C略7.已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，設(shè)，則的大小關(guān)系是（

）A. B. C. D.參考答案：C,，，因?yàn)椋驗(yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，選C.8.左圖是某高三學(xué)生進(jìn)入高中三年來的數(shù)學(xué)考試成績的莖葉圖，圖中第1次到14次的考試成績依次記為右圖是統(tǒng)計(jì)莖葉圖中成績在一定范圍內(nèi)考試次數(shù)的一個(gè)算法流程圖。那么算法流程圖輸出的結(jié)果是（

）A． B． C． D． 參考答案：D略9.設(shè)全集,，則圖中陰影部分表示的集合為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B，。圖中陰影部分為，所以，所以，選B.10.曲線與曲線所圍成的圖形的面積為（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)實(shí)數(shù)滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為8，則的最小值為

參考答案：4

12.已知復(fù)數(shù)，是z的共軛復(fù)數(shù)，則___________.參考答案：

13.在△中，若，則

．參考答案：根據(jù)正弦定理可得，即，解得，因?yàn)椋?，所以，所以?4.在銳角中，，，則的值等于

；的取值范圍為

.參考答案：；.

略15.已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖2所示，其中俯視圖是頂角為的等腰三角形，則該三棱錐的外接球體積為

．參考答案：略16.若對任意恒意義,則實(shí)數(shù)的范圍____________.

參考答案：略17.已知集合A={－2，－1}，B={－1，2，3}，則___________．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=ax3+x2﹣a2x（a＞0），存在實(shí)數(shù)x1，x2滿足下列條件：①x1＜x2；②f′（x1）=f′（x2）=0；③|x1|+|x2|=2．（1）證明：0＜a≤3；（2）求b的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】（1）由題意可得f′（x）=3ax2+2x﹣a2，再根據(jù)方程f′（x）=0有解，利用判別式大于或等于零，求得a的范圍．（2）由b=3a2（3﹣a）=﹣3a3+9a2，可得b′=﹣9a2+18a，令b′=0，求得a=0，或a=2．再根據(jù)在（0，2]上，b′＞0，函數(shù)b是增函數(shù)，求得b的范圍．【解答】解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax3+x2﹣a2x，∴f′（x）=3ax2+2x﹣a2，∵滿足①x1＜x2；②f′（x1）=f′（x2）=0，∴．∵|x1|+|x2|=2，∴x2﹣x1=2．∴的兩個(gè)實(shí)根，∵方程有解，∴，即a的范圍為（0，3]．（2）由b=3a2（3﹣a）=﹣3a3+9a2，∴b′=﹣9a2+18a，令b′=0，求得a=0，或a=2，∴故有0≤b≤12．19.（本小題滿分14分）已知函數(shù)在處取得極值為（1）求的值；（2）若有極大值28，求在上的最大值。參考答案：(Ⅰ)因故

由于在點(diǎn)處取得極值

故有即,化簡得解得

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

,

令,得當(dāng)時(shí),故在上為增20.函數(shù)f（x）=，若曲線f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線與直線e2x﹣y+e=0垂直（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）若f（x）在（m，m+1）上存在極值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）求證：當(dāng)x＞1時(shí)，＞．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件可得a=1，求導(dǎo)數(shù)，求單調(diào)區(qū)間和極值，令m＜1＜m+1，解不等式即可得到取值范圍；（2）不等式＞即為?＞，令g（x）=，通過導(dǎo)數(shù)，求得＞，令h（x）=，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證得h（x）＜h（1）=，原不等式即可得證．【解答】解：（1）∵f′（x）=，f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線斜率為﹣，由切線與直線e2x﹣y+e=0垂直，可得f′（e）=﹣，即有﹣=﹣解得得a=1，∴f（x）=，f′（x）=﹣（x＞0）當(dāng)0＜x＜1，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)．∴x=1是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)

又f（x）在（m，m+1）上存在極值∴m＜1＜m+1

即0＜m＜1故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，1）；

（2）不等式＞即為?＞令g（x）=則g′（x）=，再令φ（x）=x﹣lnx，則φ′（x）=1﹣=，∵x＞1∴φ′（x）＞0，φ（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，∴φ（x）＞φ（1）=1＞0，g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，∴x＞1時(shí)，g（x）＞g（1）=2

故＞．令h（x）=，則h′（x）=，∵x＞1∴1﹣ex＜0，h′（x）＜0，即h（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)∴x＞1時(shí)，h（x）＜h（1）=，所以＞h（x），即＞．21.（12分）數(shù)列{}的前項(xiàng)和滿足：．（1）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列{}中是否存在三項(xiàng)，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，請求出一組適合條件的項(xiàng)；若不存在，請說明理由．參考答案：解析：

（1）當(dāng)時(shí)有：兩式相減得：，…………2’∴，又，∴．∴數(shù)列{}是首項(xiàng)6，公比為2的等比數(shù)列．從而，∴．………………6’（2）假設(shè)數(shù)列{}中存在三項(xiàng)，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列，只能是，………………8’，即．∴……………10’、、均為正整數(shù)，∴（*）式左邊為奇數(shù)右邊為偶數(shù)，不可能成立.因此數(shù)列{}中不存在可以構(gòu)成等差數(shù)列的三項(xiàng)………12’22.已知函數(shù)f（x）=x2+alnx﹣x（a≠0），g（x）=x2．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若對于任意的a∈（1，+∞），總存在x1，x2∈[1，a]，使得f（x1）﹣f（x2）＞g（x1）﹣g（x2）+m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣x﹣x2=alnx﹣x，x∈[1，a]．原問題等價(jià)于：對任意的a∈（1，+∞），總存在x1，x2∈[1，a]，使得F（x1）﹣F（x2）＞m成立，即F（x）max﹣F（x）min＞m，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令2x2﹣x+a=0，△=1﹣8a（1）當(dāng)△=1﹣8a≤0，即時(shí)，2x2﹣x+a≥0恒成立，即f′（x）≥0恒成立，故函數(shù)f（x）的單增區(qū)間為（0，+∞），無單減區(qū)間．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）當(dāng)△＞0，即時(shí)，由2x2﹣x+a=0解得或i）當(dāng)時(shí)，0＜x1＜x2，所以當(dāng)或時(shí)f′（x）＞0當(dāng)時(shí)f′（x）＜0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3）當(dāng)a≤0時(shí)，所以當(dāng)時(shí)f′（x）＞0，當(dāng)時(shí)f′（x）＜0；﹣﹣﹣﹣﹣﹣綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）的單增區(qū)間為（0，+∞），無單減區(qū)間．當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）的單增區(qū)間為和，單減區(qū)間為．當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣x﹣x2=alnx﹣x，x∈[1，a]．原問題等價(jià)于：對任意的a∈（1，+∞），總存在x1，x2∈[1，a]，使得F（x1）﹣F（x2）＞m成立，即F（x）max﹣F（x）min＞m．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵，∵a∈（1，+∞），x∈[1，a]，∴F′（x）＞0，∴F（x）在x∈[1，a]上單調(diào)遞增，∴F（x）≤F（x）max﹣F（x）min=F（a）﹣F（1）=alna﹣a+1