江蘇省蘇州市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題

第=page11頁，共=sectionpages11頁【新結(jié)構(gòu)】2023-2024學(xué)年江蘇省蘇州市高一下學(xué)期4月期中調(diào)研數(shù)學(xué)試題?一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)(3?i)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知單位向量a，b的夾角為2π3，則|aA.1 B.2 C.3 3.i是虛數(shù)單位，則z=11?A.12+12i B.124.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若a=1，A=A.24 B.22 C.5.已知向量a=(3,?4)，b=A.(3,0) B.(326.下列命題正確的是(

)A.AB?AC=BC

B.若向量a=(2023,2024)，把a(bǔ)向右平移2個單位，得到的向量的坐標(biāo)為(2025,2024)

C.在△A7.蘇州國際金融中心為地處蘇州工業(yè)園區(qū)湖東CBD核心區(qū)的一棟摩天大樓，曾獲2020年度CTBUH全球高層建筑卓越獎.建筑整體采用“鯉魚跳龍門”之“魚”作為象征主題，以“魚躍龍門”為設(shè)計理念，呈鯉魚飛躍之勢寓意繁榮昌盛，大樓面向金雞湖，迎水展開，如魚尾般曼妙的弧線，從水面沿裙房一直延伸至主塔樓.某測量愛好者在過國際金融中心底部(當(dāng)作點Q)一直線上位于Q同側(cè)兩點A，B分別測得金融中心頂部點P的仰角依次為30°，45°，已知AB的長度為330米，則金融中心的高度約為(

)

A.350米 B.400米 C.450米 D.500米8.在平行四邊形ABCD中，E為CD的中點，BF=13BC，AF與BE交于點G，若BAA.27a+17b B.1二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.在△ABC中，下列說法正確的是A.若A>B>C，則sinA>sinB>sinC

B.若A>B>10.z1，z2是復(fù)數(shù)，下列說法正確的是(

)A.若z12<0，則z1是純虛數(shù)

B.若|z1|=|z2|，則z12=z11.已知P是邊長為1的正六邊形ABCDEF內(nèi)一點(含邊界)，且AP=AB+λA.△PCD的面積為定值 B.?λ使得|PC|>|P三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知a，b為兩個不共線的非零向量，若ka+b與a?2b13.△ABC中，若sin(A+14.已知△ABC的外接圓半徑為1，則AB四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)點在第一象限，且|z|=(1)(2)設(shè)復(fù)數(shù)z、z2、z?z2在復(fù)平面上對應(yīng)點分別為A、B、16.(本小題15分)已知向量OA，OB不共線，點P滿足OP=證明：(1)若x=y=1(2)x+y=1是A17.(本小題15分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A、B、C滿足：A在x軸的正半軸上，C的橫坐標(biāo)是?7210，|OA|=|OB|(1)求cos(2)求β?18.(本小題17分)

如圖，在平面四邊形ABCD中，已知AD=1，CD=2，△A(1)若α=π(2)若α∈(π19.(本小題17分)

某高一數(shù)學(xué)研究小組，在研究邊長為1的正方形ABCD某些問題時，發(fā)現(xiàn)可以在不作輔助線的情況下，用高中所學(xué)知識解決或驗證下列有趣的現(xiàn)象.

若P，Q分別為邊AB，DA上的動點，當(dāng)△APQ的周長為2時，PQ有最小值(圖1)、∠PCQ為定值(圖2)、C到PQ的距離為定值(圖3).請你分別解以上問題.

(1)如圖1，求PQ的最小值;

(2)如圖2，證明：∠PCQ為定值答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.

由(3?i)(4?i)=11?72.【答案】C

【解析】【分析】本題考查了向量的數(shù)量積，是基礎(chǔ)題

利用向量的數(shù)量積計算得結(jié)論.【解答】解：

兩個單位向量a?,b?的夾角為2π3.【答案】B

【解析】【分析】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算計算出z=12+【解答】解：復(fù)數(shù)z=11?i=14.【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

在△ABC【解答】解：在△ABC中，由正弦定理得a5.【答案】A

【解析】【分析】本題考查了投影向量的計算，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量模的坐標(biāo)表示，屬于較易題．

求得a?b=6，

|b|=2，利用投影向量的定義即可求解.

【解答】解：∵a=(3,?4)，b=(2,6.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了向量的減法運(yùn)算，向量平行(共線)關(guān)系的坐標(biāo)表示，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，充分條件及其判斷和向量的加法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

利用向量的減法運(yùn)算對A進(jìn)行判斷，利用向量平行(共線)關(guān)系的坐標(biāo)表示對B進(jìn)行判斷，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合充分條件的判斷對C進(jìn)行判斷，利用向量的加法運(yùn)算，結(jié)合平面幾何知識對D進(jìn)行判斷，從而得結(jié)論.

【解答】

解：對于A.因為AB?AC=CB，故A錯誤；

對于B.因為向量a=(2023,2024)，所以把a(bǔ)向右平移2個單位，得到的向量的坐標(biāo)為(2023,2024)，故B錯誤；

對于C.在△ABC中，當(dāng)A=C=π6時，滿足AB7.【答案】C

【解析】【分析】本題考查解三角形在實際問題中的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.

設(shè)金融中心的高度為h，則htan60【解答】

解：設(shè)金融中心的高度為h，則htan60°?htan8.【答案】B

【解析】【分析】根據(jù)題意先設(shè)BG=λBE，AG=μAF，然后再根據(jù)向量線性運(yùn)算算出A【解答】

解：設(shè)BG=λBE，AG=μAF，

∵BA=a，BC=b，

∴BE=BC+CE=b9.【答案】ACD

【解析】【分析】

本題考查正弦定理，考查和差化積公式，屬于一般題.

對于A，由正弦定理及大角對大邊即可判斷；對于B，取A=75°,B=60°,C=45°即可判斷；對于C，根據(jù)余弦定理的單調(diào)性即可判斷；對于D，根據(jù)和差化積公式即可判斷.

【解答】

解：對于A，由正弦定理可得a>b>c?2RsinA>2RsinB>2RsinC

?sinA>sinB>sinC，

結(jié)合大角對大邊得A>B>C?a>b>c，

故A>B>C?a>b>c?

sinA>sinB>10.【答案】AC

【解析】【分析】

本題考查復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、模長公式以及復(fù)數(shù)的概念，對各選項逐項判斷，即可求出結(jié)果.

【解答】

解：設(shè)

z1=a+bi,z2=c+dia,b,c,d∈R，

A選項，若

z12<0，則

a2?b2+2abi<0，

所以

a=0或b=0，當(dāng)

b=0時，

z12=a2≥0不符合題意，故

a=0，

b≠0，

所以z1是純虛數(shù)，故A正確；

B選項，若|z1|=|z2|，則

a2+b2=c2+d2，

11.【答案】AC

【解析】【分析】本題考查了向量的加減與數(shù)乘混合運(yùn)算和共線(平行)向量，屬于基礎(chǔ)題.

利用向量的加減與數(shù)乘混合運(yùn)算和共線(平行)向量，結(jié)合平面幾何知識得點P在線段BE(含端點)【解答】

解：如圖：ABCDEF邊長為1的正六邊形.

因為AP=AB+λAFλ∈R，所以BP=λAFλ∈R，

而P是邊長為1的正六邊形ABCDEF內(nèi)一點(含邊界)，因此點P在線段BE(含端點)上運(yùn)動.

對于A.因為在邊長為1的正六邊形ABCDEF中，BE到CD的距離為32，

所以△PCD的面積為12×1×32=34，為定值，故A正確；

對于B.因為點P在線段BE(含端點)上運(yùn)動，連接AC，

而在正六邊形ABCDEF中，直線BE是線段AC的垂直平分線，所以PA=PC，故B錯誤；

對于C.因為點P在線段BE(含端點)上運(yùn)動，

而在正六邊形ABCDEF中，當(dāng)點P與點B(或E)12.【答案】?1【解析】【分析】本題考查實數(shù)值的求法，考查向量共線的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

由向量ka+b與a?【解答】解：∵a，b是兩個不共線的向量，向量ka+b與a?2b共線，

∴ka+b=13.【答案】4【解析】【分析】

本題考查三角函數(shù)的求值，熟練掌握兩角差的正弦公式，同角三角函數(shù)的平方關(guān)系是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．

由題意先求出cosA+π4=?1??352=?45，再利用兩角差的正弦公式，即可得解．

14.【答案】12【解析】【分析】

本題考查了平面向量的數(shù)量積，正弦定理，積化和差公式，屬于較難題。

AB→?BC→=|AB|?|BC|?cos?(π?B)=?4sin?C15.【答案】解：(1)設(shè)z=x+yi(x,y∈R)，

由題意得z2=(x+yi)2=x2?y2+2xyi，

∴x2+y2所以AB?

【解析】本題是考查復(fù)數(shù)的概念、模及幾何意義，向量的數(shù)量積，屬于中檔題.

(1)設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的式子，根據(jù)所給的模長和z2的虛部為2，得到方程組求解即可；16.【答案】證明：(1)因為x=y=12，所以O(shè)P=12OA+12OB，即2OP=OA+OB，

所以O(shè)P?OA=OB?OP，所以AP=PB，

所以P是線段AB的中點

(2)充分性：若x+y=1，則y=1?x，

所以O(shè)P=【解析】本題考查平面向量的線性運(yùn)算、共線定理和充要條件的證明，屬于一般題.

(1)利用平面向量線性運(yùn)算求得AP=PB，即可求證P是線段AB的中點17.【答案】解：(1)由題意，得|OA|=|OB|=1，點B(cosα,sinα)，

所以O(shè)A?OB=55=cosα，

所以cosα=55，

又α為銳角，所以sinα=1?cos2α=255，

因為鈍角β的終邊與單位圓O的交點C的橫坐標(biāo)是?7210，

所以cosβ【解析】本題考查三角函數(shù)的定義、向量的數(shù)量積和三角恒等變換，屬于一般題.

(1)利用數(shù)量積求cosα，得sinα，由三角函數(shù)的定義求cosβ和sinβ，利用兩角差的余弦即可求解;18.【答案】解：(1)在△ACD中，由余弦定理，AC2=AD2+CD2?2AD?CD?cosα=1+4?2×2×cosπ3=3，

所以AC=3，所以∠DAC=90°，

又因為△ABC為等邊三角形，

【解析】本題考查解三角形、三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于一般題.

(1)利用余弦定理和三角形的面積公式即可求解;

(2)利用正、余弦定理、三角恒等變換和三角形的面積公式求得S19.【答案】解：(1)設(shè)∠QPA=θ，

因為△APQ的周長為2，

所以PQsinθ+PQcosθ+PQ=2，

所以PQ=2sinθ+cosθ+