第03講 極值與最值（七大題型）（講義）-2024年高考數(shù)學復習講練測（新教材新高考）（解析版）

第第頁第03講極值與最值目錄考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點取得極值的必要和充分條件．（2）會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值．（3）會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值．2022年乙卷第16題，5分2022年I卷第10題，5分2022年甲卷第6題，5分2021年I卷第15題，5分2021年乙卷第10題，5分高考對最值、極值的考查相對穩(wěn)定，屬于重點考查的內(nèi)容．高考在本節(jié)內(nèi)容上無論試題怎樣變化，我們只要把握好導數(shù)作為研究函數(shù)的有力工具這一點，將函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等本質(zhì)問題利用圖像直觀明了地展示出來，其余的就是具體問題的轉(zhuǎn)化了．最終的落腳點一定是函數(shù)的單調(diào)性與最值，因為它們是導數(shù)永恒的主題．知識點一：極值與最值1、函數(shù)的極值函數(shù)在點附近有定義，如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極大值，記作．如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點．求可導函數(shù)極值的一般步驟（1）先確定函數(shù)的定義域；（2）求導數(shù)；（3）求方程的根；（4）檢驗在方程的根的左右兩側(cè)的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負，那么函數(shù)在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個根處取得極小值．注：①可導函數(shù)在點處取得極值的充要條件是：是導函數(shù)的變號零點，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號導號．②是為極值點的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點．另外，極值點也可以是不可導的，如函數(shù)，在極小值點是不可導的，于是有如下結(jié)論：為可導函數(shù)的極值點；但為的極值點．2、函數(shù)的最值函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點之間的最小者．導函數(shù)為（1）當時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．（2）當時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進行：（1）求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．注：①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對函數(shù)在整個區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點處的函數(shù)值；②函數(shù)的極值點必是開區(qū)間的點，不能是區(qū)間的端點；③函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間端點處取得．【解題方法總結(jié)】（1）若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；（2）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（小）值，且值域為，則不等式在區(qū)間D上恒成立．不等式在區(qū)間D上恒成立．（3）若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；（4）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲担缰涤驗?，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解不等式在區(qū)間D上有解（5）對于任意的，總存在，使得；（6）對于任意的，總存在，使得；（7）若存在，對于任意的，使得；（8）若存在，對于任意的，使得；（9）對于任意的，使得；（10）對于任意的，使得；（11）若存在，總存在，使得（12）若存在，總存在，使得．題型一：求函數(shù)的極值與極值點【例1】（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)存在一個極大值與一個極小值滿足，則至少有（

）個單調(diào)區(qū)間.A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】若函數(shù)存在一個極大值與一個極小值，則至少有3個單調(diào)區(qū)間，若有3個單調(diào)區(qū)間，不妨設(shè)的定義域為，若，其中可以為，可以為，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（若定義域為內(nèi)不連續(xù)不影響總體單調(diào)性），故，不合題意，若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有，不合題意；若有4個單調(diào)區(qū)間，例如的定義域為，則，令，解得或，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)存在一個極大值與一個極小值，且，滿足題意，此時有4個單調(diào)區(qū)間，綜上所述：至少有4個單調(diào)區(qū)間.故選：B.【對點訓練1】（2023·全國·高三專題練習）已知定義在R上的函數(shù)f（x），其導函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（

）A．B．函數(shù)在x＝c處取得最大值，在處取得最小值C．函數(shù)在x＝c處取得極大值，在處取得極小值D．函數(shù)的最小值為【答案】C【解析】由題圖可知，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又a<b<c，所以，故A不正確．因為，，且當時，；當c<x<e時，；當x>e時，．所以函數(shù)在x＝c處取得極大值，但不一定取得最大值，在x＝e處取得極小值，不一定是最小值，故B不正確，C正確．由題圖可知，當時，，所以函數(shù)在[d，e]上單調(diào)遞減，從而，所以D不正確．故選：C．【對點訓練2】（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)的導函數(shù)為，則“在上有兩個零點”是“在上有兩個極值點”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】只有當在上有兩個變號零點時，在上才有兩個極值點，故充分性不成立；若在上有兩個極值點，則在上有兩個變號零點，則在上至少有兩個零點，故必要性不成立.綜上，“在上有兩個零點”是“在上有兩個極值點”的既不充分也不必要條件，故選：D.【對點訓練3】（2023·廣西南寧·南寧三中?？家荒＃┰O(shè)函數(shù)，，為的導函數(shù)．(1)當時，過點作曲線的切線，求切點坐標；(2)若，，且和的零點均在集合中，求的極小值．【解析】（1）當時，，求導得，設(shè)過點作曲線的切線的切點為，則，于是切線方程為，即，因為切線過點，即有，解得或，所以切點坐標為，.（2）當，時，，求導得，令，得或，依題意，，都在集合中，且，，當時，，且，則，，，當時，，且，則，，不符合題意，因此，，，，當或時，，當時，，于是函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得極小值為.【對點訓練4】（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)．(1)證明：當時，有唯一的極值點為，并求取最大值時的值；(2)當時，討論極值點的個數(shù)．【解析】（1）證明：當，時，，可得的定義域為，且，令，解得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以當時，有唯一的極小值，即有唯一的極值點為，由，令，設(shè)，可得，由，解得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以當，即時，有唯一的極大值，即取得最大值，所以當?shù)淖畲笾禃r，.（2）當時，的定義域為，且，①當時，時恒成立，此時單調(diào)遞增，所以極值點的個數(shù)為個；②當時，設(shè)，即（i）當，即時，可得，即對恒成立，即在上無變號零點，所以此時極值點的個數(shù)為個；（ii）當，即時，設(shè)的兩零點為，且，，，可得即在上有個變號零點，所以此時極值點的個數(shù)為個；綜上所述，當時，的極值點的個數(shù)為；當時，的極值點的個數(shù)為.【對點訓練5】（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）已知函數(shù).求的極值；【解析】因為函數(shù)，所以，設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增.又，所以當時，；當時，.又因為對恒成立，所以當時，；當時，.即在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，沒有極小值.【解題方法總結(jié)】1、因此，在求函數(shù)極值問題中，一定要檢驗方程根左右的符號，更要注意變號后極大值與極小值是否與已知有矛盾．2、原函數(shù)出現(xiàn)極值時，導函數(shù)正處于零點，歸納起來一句話：原極導零．這個零點必須穿越軸，否則不是極值點．判斷口訣：從左往右找穿越（導函數(shù)與軸的交點）；上坡低頭找極小，下坡抬頭找極大．題型二：根據(jù)極值、極值點求參數(shù)【例2】（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)在處取得極大值4，則（

）A．8 B． C．2 D．【答案】B【解析】因為，所以，所以，解得，經(jīng)檢驗，符合題意，所以.故選：B【對點訓練6】（2023·陜西商洛·統(tǒng)考三模）若函數(shù)無極值，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，所以，因為無極值，所以，解得，所以a的取值范圍為．故選：A.【對點訓練7】（2023·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）函數(shù)在區(qū)間上存在極值，則的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】函數(shù)的定義域為，，令，，所以當時，，當時，，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以，又因為當時，則，，所以存在唯一，使得，所以函數(shù)在時，時，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以要使函數(shù)在區(qū)間上存在極值，所以的最大值為3，故選:B.【對點訓練8】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在處取得極小值，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為函數(shù)，則，要使函數(shù)在處取得極小值，則，故選：B.【對點訓練9】（2023·廣東梅州·梅州市梅江區(qū)梅州中學?？寄M預測）已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】的定義域是，，令，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.要使有兩個極值點，則，此時，構(gòu)造函數(shù)，所以在上遞增，所以，所以，所以實數(shù)a的取值范圍.故選：D【對點訓練10】（2023·江蘇揚州·高三揚州市新華中學?？奸_學考試）若x＝a是函數(shù)的極大值點，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，令，得：當，即此時在區(qū)間單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，符合x＝a是函數(shù)的極大值點，反之，當，即，此時在區(qū)間單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，x＝a是函數(shù)的極小值點，不符合題意；當，即，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點.綜上得：.故選：A.【解題方法總結(jié)】根據(jù)函數(shù)的極值（點）求參數(shù)的兩個要領(lǐng)（1）列式：根據(jù)極值點處導數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；（2）驗證：求解后驗證根的合理性．題型三：求函數(shù)的最值（不含參）【例3】（2023·山東淄博·山東省淄博實驗中學?？既＃┮阎瘮?shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求在區(qū)間上的最大值；【解析】（1）因為，所以，則，又，所以曲線在點處的切線方程為.（2）令，則，當時，，在上單調(diào)遞增.因為，，所以，使得.所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，又，，所以.【對點訓練11】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）已知函數(shù)在區(qū)間上最大值為M，最小值為m，則的值是_______.【答案】【解析】由題意，，，在上，故函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，，故的值是.故答案為：【對點訓練12】（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，則的最大值是________．【答案】【解析】因為，所以.當時，，所以在單調(diào)遞增；當時，，所以在單調(diào)遞減；所以.故答案為：.【對點訓練13】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為______.【答案】/0.5【解析】因為，所以，記，，則，因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故當時，函數(shù)有最小值為，故答案為：【對點訓練14】（2023·山西·高三校聯(lián)考階段練習）已知，且，則的最小值為__________.【答案】1【解析】因為，，所以，所以，且，所以，設(shè)，，則，因為，所以，在上為增函數(shù)，因為，所以，則，所以，所以，令，則，令，則，則在上為增函數(shù)，令得，即，則存在唯一實數(shù)，使得，即，所以當時，，，當時，，，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以.所以的最小值為.故答案為：.【對點訓練15】（2023·海南?？凇そy(tǒng)考模擬預測）已知正實數(shù)，滿足：，則的最小值為______.【答案】【解析】由可得：,所以，，設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，則，所以，所以，所以，令，令，解得：；令，解得：；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.故的最小值為.故答案為：.【解題方法總結(jié)】求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點的函數(shù)值，與的各極值進行比較得到函數(shù)的最值．題型四：求函數(shù)的最值（含參）【例4】（2023·天津和平·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，，其中.(1)若曲線在處的切線與曲線在處的切線平行，求的值；(2)若時，求函數(shù)的最小值；(3)若的最小值為，證明：當時，.【解析】（1）因為，，所以，，所以，，因為兩條切線平行，所以，解得（2）由（1）可知，令，即，即，即，又，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時，函數(shù)的最小值為.（3）證明：因為，，，令，則，即，所以當時解得，所以在上單調(diào)遞增，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，所以在處取得極小值即最小值，所以，即的最小值為的解析式為，，則，令，解得，所以當時，即在上單調(diào)遞增，當時，即在上單調(diào)遞增，所以在處取得極大值即最大值，即，所以，即當時，總有.【對點訓練16】（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)，．討論函數(shù)的最值；【解析】函數(shù)的定義域為，，當時，，在上單調(diào)遞增，無最值；當時，令，得，所以在上單調(diào)遞減；令，得，所以在單調(diào)遞增，所以的最小值為，無最大值．綜上，當時，無最值；當時，的最小值為，無最大值．【對點訓練17】（2023·四川成都·成都七中?？寄M預測）已知函數(shù)，其中．(1)若a=2，求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，求的最小值．（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1）由題設(shè)，則，且，所以，當時，當時，所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）由題意，所以，即，又，且，當或時，或時，所以、上遞減，、上遞增，又極小值，故最小值為.【對點訓練18】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．(1)當時，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(2)當時，求在內(nèi)的最大值；【解析】（1）當時，，，且．當時，，，則，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增．（2），令，則，由且，可得，，則，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，又當時，，所以，在內(nèi)單調(diào)遞增，故．【對點訓練19】（2023·湖南長沙·湖南師大附中?？寄M預測）已知函數(shù)．(1)若存在最大值M，證明：；(2)在（1）的條件下，設(shè)函數(shù)，求的最小值（用含M，k的代數(shù)式表示）．【解析】（1）的定義域為，，

記，易知單調(diào)遞增，又因為，所以存在，使得，①當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以無最大值，即不符題意；②當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，因為，所以，所以，所以，即．（2）由（1）可知，且，所以，，令，則，令，解得，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

當時，，又，所以存在，使得，可知，

因為，所以，所以，由（1）可知，，即，因為，所以，所以．設(shè)，易知單調(diào)遞增，且，所以，所以，即的最小值為．【解題方法總結(jié)】若所給的閉區(qū)間含參數(shù)，則需對函數(shù)求導，通過對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最值．題型五：根據(jù)最值求參數(shù)【例5】（2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的極值點個數(shù)；(2)若，的最小值是，求實數(shù)m的所有可能值.【解析】（1）函數(shù)的定義域是，求導得，令，求導得，遞減，遞增，，①當時，，遞減，遞增，有1個極小值點；②當時，，令，則，函數(shù)在上遞增，，即，當時，，此時，使得，令，有，令，，即有在上遞增，，函數(shù)在上遞增，，則，當時，，此時，使得，因此遞減，遞增，遞減，遞增，有3個極值點，所以當時，恰有一個極值點；當時，恰有三個極值點.（2）由（1）知，①當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，令，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，則；②當時，，使得，，使得，遞減，遞增，遞減，遞增，其中，則，顯然符合要求，即有，綜上提，所以m的所有可能值是上的實數(shù).【對點訓練20】（2023·山東·山東省實驗中學?？家荒＃┤艉瘮?shù)在區(qū)間上存在最小值，則整數(shù)的取值可以是______．【答案】（答案不唯一，、均可）【解析】因為，則.由可得，由可得或，所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、，所以，函數(shù)的極大值為，極小值為，令，其中，則，解得，因為函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則，解得，所以，整數(shù)的取值集合為.故答案為：（答案不唯一，、均可）.【對點訓練21】（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實數(shù)的取值范圍為________.【答案】【解析】，所以在和上，，函數(shù)單調(diào)遞減；在上，，函數(shù)單調(diào)遞增；且當時，，即，所以在區(qū)間上有最小值，則：解得.故答案為：【對點訓練22】（2023·福建泉州·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)的最小值為0，則a的取值范圍為______________．【答案】【解析】函數(shù)定義域為，，顯然，當時，，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，因此，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，其取值集合為，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，因此存在，使得，而，于是，不符合題意，當時，，令，，當時，，即在上單調(diào)遞增，，，即有，當時，，即，當且僅當時取等號，因此，當時，，顯然當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，不符合題意，綜上得，，所以則a的取值范圍為.故答案為：【對點訓練23】（2023·江蘇南通·高三校考開學考試）若函數(shù)的最小值為，則______．【答案】【解析】當時，，，當時，，當時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以解得，與矛盾；當時，，(i)若，即，則有在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以解得，與矛盾；(ii)若，即，則有在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以解得，滿足題意；綜上，，故答案為:.【對點訓練24】（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則實數(shù)的取值范圍為_______【答案】【解析】因為，且函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，故只需滿足，所以，解得．故答案為：【對點訓練25】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若函數(shù)在上存在最小值.則實數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】，，當時，，單調(diào)遞減；當或時，，單調(diào)遞增，∴在處取得極小值，在處取得極大值.令，解得或，又∵函數(shù)在上存在最小值，且為開區(qū)間，所以，解得.即的取值范圍是.故答案為：.題型六：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得綜合應用【例6】（2023·天津河北·統(tǒng)考二模）已知，函數(shù)，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)求證：函數(shù)存在極值點，并求極值點的最小值.【解析】（1）當時，,,,,曲線在點處的切線方程,切線方程.（2）當時，，則令，得；令，得；所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．（3）令，因為，所以方程，有兩個不相等的實根，又因為，所以，令，列表如下:-0+減極小值增所以存在極值點.所以存在使得成立，所以存在使得，所以存在使得對任意的有解，因此需要討論等式左邊的關(guān)于的函數(shù)，記，所以，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增．所以當時，的最小值為．所以需要，即需要，即需要，即需要因為在上單調(diào)遞增，且，所以需要，故的最小值是e．【對點訓練26】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，其中．(1)當時，求函數(shù)在內(nèi)的極值；(2)若函數(shù)在上的最小值為5，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由題意得，當時，，則，令，得，，，在內(nèi)隨x變化而變化的情況如下表所示：x1+0單調(diào)遞增極大值9單調(diào)遞減故在內(nèi)的極大值為9，無極小值；（2），①當時，，且不恒為0，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上，，由題意，則，解得，與矛盾，②當時，，且不恒為0，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在上，，符合題意，③當時，當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上，，由題意，則，即，即，即，解得或，與矛盾，綜上，實數(shù)a的取值范圍為．【對點訓練27】（2023·全國·高三專題練習）已知．(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值點；(2)求函數(shù)在上的最值．【解析】（1）由得．令，解得，，即，．又，所以，．，隨x變化而變化的情況如下表所示：x+0-0+↑極大值↓極小值↑所以函數(shù)在內(nèi)的極大值點為，極小值點為．（2）由題知．，記，則．因為，所以，又，所以，所以函數(shù)單調(diào)遞增，，所以當時，，即，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，即，函數(shù)單調(diào)遞增．，，，顯然，所以函數(shù)在上的最小值為，最大值為．【對點訓練28】（2023·全國·高三專題練習）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．(1)若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，求實數(shù)m的取值范圍；(2)討論函數(shù)的零點個數(shù)；(3)求在內(nèi)的最值．【解析】（1）由已知可得，.因為是函數(shù)的極值點，所以當時，，即，所以.此時有，.令，，則在上恒成立，所以，即在上單調(diào)遞減.又當時，，所以時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.所以，當時，函數(shù)取得極小值，所以，所以．則，所以，．因為，所以.設(shè)，要使在內(nèi)單調(diào)遞減，則應有在內(nèi)恒成立，只需在內(nèi)恒成立，只需在上的最小值即可．當時，滿足條件；當時，，此時，函數(shù)在處有最小值，所以，解得，所以；當時，，此時，要使在上恒成立，所以只需，解得，所以.綜上可知，實數(shù)m的取值范圍為．（2）由已知可得，，則.因為，所以，.當時，有.當時，，所以在上單調(diào)遞增；當時，，所以在上單調(diào)遞減.故的極大值為.又，由零點存在性定理知，可知在內(nèi)存在一個零點.又，故函數(shù)有2個零點．（3）由題可得（且），則.設(shè)，則，令，解得，當時，，所以在上單調(diào)遞減；當時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增.所以，故恒成立.又因為當且時，，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞減，故在內(nèi)的最大值為，最小值為．題型七：不等式恒成立與存在性問題【例7】（2023·貴州黔東南·凱里一中?？寄M預測）若存在實數(shù)（），使得關(guān)于x的不等式對恒成立，則b的最大值是_________.【答案】【解析】當，且時，由，得.設(shè)，則.當時，，在上單調(diào)遞增，當時，，在上單調(diào)遞減.所以，得，等價于，而，當且僅當時等號成立.所以，則，所以，解得，所以b的最大值是.故答案為：【對點訓練29】（2023·陜西安康·高三陜西省安康中學?？茧A段練習）若不等式對恒成立，則a的取值范圍是______.【答案】【解析】令，則，令，，則,當時，；當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以,當x趨近于0時，趨近于，所以，令，，，則，當時，；當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，若恒成立，即恒成立，所以，所以；故答案為：.【對點訓練30】（2023·全國·高三專題練習）若存在，使得不等式成立，則m的取值范圍為______【答案】【解析】存在，要使成立，即，，令，，即，又，設(shè)，，則，則在內(nèi)單調(diào)遞增，，則，在內(nèi)單調(diào)遞增，，故m的取值范圍為．故答案為：.【對點訓練31】（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預測）對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】原題等價于，.令，，則.當時，.當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.所以