第02講 成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析（五大題型）（講義）-2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）（解析版）

第第頁第02講成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析目錄考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.（2）理解一元線性回歸模型和2×2列聯(lián)表，會(huì)運(yùn)用這些方法解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.（3）會(huì)利用統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析．2023年上海卷第14題，4分2023年天津卷第7題，5分2023年甲卷（文）第19題，12分2022年I卷第20題，12分從近五年的全國(guó)卷的考查情況來看，本節(jié)是高考的熱點(diǎn)，主要以解答題形式出現(xiàn)，經(jīng)常與概率綜合出題，一般難度為中等．也可能以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，難度不大．主要以應(yīng)用題的方式出現(xiàn)，多與經(jīng)濟(jì)、生活實(shí)際相聯(lián)系，需要在復(fù)雜的題目描述中找出數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，并且運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題．知識(shí)點(diǎn)一、變量間的相關(guān)關(guān)系1、變量之間的相關(guān)關(guān)系當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性，則這兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系．由于相關(guān)關(guān)系的不確定性，在尋找變量之間相關(guān)關(guān)系的過程中，統(tǒng)計(jì)發(fā)揮著非常重要的作用．我們可以通過收集大量的數(shù)據(jù)，在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，對(duì)它們的關(guān)系作出判斷．注意：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系是不同的，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而且函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，但相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．2、散點(diǎn)圖將樣本中的個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)描在平面直角坐標(biāo)系中，所得圖形叫做散點(diǎn)圖．根據(jù)散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布可以直觀地判斷兩個(gè)變量之間的關(guān)系．（1）如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)，如圖（1）所示；（2）如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為負(fù)相關(guān)，如圖（2）所示．3、相關(guān)系數(shù)若相應(yīng)于變量的取值，變量的觀測(cè)值為，則變量與的相關(guān)系數(shù)，通常用來衡量與之間的線性關(guān)系的強(qiáng)弱，的范圍為．（1）當(dāng)時(shí)，表示兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)時(shí)，表示兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．（2）越接近，表示兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；越接近，表示兩個(gè)變量間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．當(dāng)時(shí)，所有數(shù)據(jù)點(diǎn)都在一條直線上．（3）通常當(dāng)時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．知識(shí)點(diǎn)二、線性回歸1、線性回歸線性回歸是研究不具備確定的函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量之間的關(guān)系（相關(guān)關(guān)系）的方法．對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回歸方程的求法為其中，，，（，）稱為樣本點(diǎn)的中心．2、殘差分析對(duì)于預(yù)報(bào)變量，通過觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值，通過回歸方程得到的稱為預(yù)測(cè)值，觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值等于殘差，稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差，即有．殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過對(duì)殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析．（1）殘差圖通過殘差分析，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，其中這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精確度越高；反之，不合適．（2）通過殘差平方和分析，如果殘差平方和越小，則說明選用的模型的擬合效果越好；反之，不合適．（3）相關(guān)指數(shù)用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是：．越接近于，說明殘差的平方和越小，也表示回歸的效果越好．知識(shí)點(diǎn)三、非線性回歸解答非線性擬合問題，要先根據(jù)散點(diǎn)圖選擇合適的函數(shù)類型，設(shè)出回歸方程，通過換元將陌生的非線性回歸方程化歸轉(zhuǎn)化為我們熟悉的線性回歸方程．求出樣本數(shù)據(jù)換元后的值，然后根據(jù)線性回歸方程的計(jì)算方法計(jì)算變換后的線性回歸方程系數(shù)，還原后即可求出非線性回歸方程，再利用回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)預(yù)測(cè)，注意計(jì)算要細(xì)心，避免計(jì)算錯(cuò)誤．1、建立非線性回歸模型的基本步驟：（1）確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)是解釋變量，哪個(gè)是預(yù)報(bào)變量；（2）畫出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（是否存在非線性關(guān)系）；（3）由經(jīng)驗(yàn)確定非線性回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈非線性關(guān)系，一般選用反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)模型等）；（4）通過換元，將非線性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線性回歸方程模型；（5）按照公式計(jì)算線性回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法），得到線性回歸方程；（6）消去新元，得到非線性回歸方程；（7）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常．若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等．知識(shí)點(diǎn)四、獨(dú)立性檢驗(yàn)1、分類變量和列聯(lián)表（1）分類變量：變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量．（2）列聯(lián)表：①定義：列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表稱為列聯(lián)表．②2×2列聯(lián)表．一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{，}和{，}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2×2列聯(lián)表）為總計(jì)總計(jì)從列表中，依據(jù)與的值可直觀得出結(jié)論：兩個(gè)變量是否有關(guān)系．2、等高條形圖（1）等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖表示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征．（2）觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)與相差很大，就判斷兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系．3、獨(dú)立性檢驗(yàn)計(jì)算隨機(jī)變量利用的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)．0．100．050．0100．0050．0012．7063．8416．6357．87910．828【解題方法總結(jié)】常見的非線性回歸模型（1）指數(shù)函數(shù)型（且，）兩邊取自然對(duì)數(shù)，，即，令，原方程變?yōu)?，然后按線性回歸模型求出，．（2）對(duì)數(shù)函數(shù)型令，原方程變?yōu)?，然后按線性回歸模型求出，．（3）冪函數(shù)型兩邊取常用對(duì)數(shù)，，即，令，原方程變?yōu)?，然后按線性回歸模型求出，．（4）二次函數(shù)型令，原方程變?yōu)椋缓蟀淳€性回歸模型求出，．（5）反比例函數(shù)型型令，原方程變?yōu)椋缓蟀淳€性回歸模型求出，．題型一：變量間的相關(guān)關(guān)系例1．（2023·河北·高三校聯(lián)考期末）下列四幅殘差分析圖中，與一元線性回歸模型擬合精度最高的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【解析】用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適，帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高，顯然D選項(xiàng)的擬合精度最高.故選：D.例2．（2023·天津薊州·高三?？奸_學(xué)考試）對(duì)兩個(gè)變量，進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得線性相關(guān)系數(shù)，對(duì)兩個(gè)變量，進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得線性相關(guān)系數(shù)，則下列判斷正確的是（

）A．變量與正相關(guān)，變量與負(fù)相關(guān)，變量與的線性相關(guān)性較強(qiáng)B．變量與負(fù)相關(guān)，變量與正相關(guān)，變量與的線性相關(guān)性較強(qiáng)C．變量與正相關(guān)，變量與負(fù)相關(guān)，變量與的線性相關(guān)性較強(qiáng)D．變量與負(fù)相關(guān)，變量與正相關(guān)，變量與的線性相關(guān)性較強(qiáng)【答案】C【解析】因?yàn)榫€性相關(guān)系數(shù)，所以，正相關(guān)，因?yàn)榫€性相關(guān)系數(shù)，所以，負(fù)相關(guān)，又因?yàn)?，所以變量，的線性相關(guān)性比，的線性相關(guān)性強(qiáng)，故A、B、D錯(cuò)誤，C正確.故選：C.例3．（2023·寧夏吳忠·高三鹽池高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在如圖所示的散點(diǎn)圖中，若去掉點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）

A．樣本相關(guān)系數(shù)變大B．變量與變量的相關(guān)程度變?nèi)魿．變量與變量呈正相關(guān)D．變量與變量的相關(guān)程度變強(qiáng)【答案】D【解析】由散點(diǎn)圖知，自變量與因變量呈負(fù)相關(guān)，即，故C錯(cuò)誤；去掉點(diǎn)后，進(jìn)一步接近1，所以變小，故A錯(cuò)誤；去掉點(diǎn)后，與的線性相關(guān)加強(qiáng)，即相關(guān)程度變強(qiáng)，故B錯(cuò)誤，D正確．故選：D．變式1．（2023·四川成都·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知建筑地基沉降預(yù)測(cè)對(duì)于保證施工安全，實(shí)現(xiàn)信息化監(jiān)控有著重要意義．某工程師建立了四個(gè)函數(shù)模型來模擬建筑地基沉降隨時(shí)間的變化趨勢(shì)，并用相關(guān)指數(shù)、誤差平方和、均方根值三個(gè)指標(biāo)來衡量擬合效果．相關(guān)指數(shù)越接近1表明模型的擬合效果越好，誤差平方和越小表明誤差越小，均方根值越小越好．依此判斷下面指標(biāo)對(duì)應(yīng)的模型擬合效果最好的是（

）A．相關(guān)指數(shù)誤差平方和均方根值0.9498.4910.499B．相關(guān)指數(shù)誤差平方和均方根值0.9334.1790.436C．相關(guān)指數(shù)誤差平方和均方根值0.9971.7010.141D．相關(guān)指數(shù)誤差平方和均方根值0.9972.8990.326【答案】C【解析】相關(guān)指數(shù)越接近于1，擬合效果越好，比較相關(guān)指數(shù)知，可選C，D，誤差平方和及均方根值都越小，擬合效果越好，觀察誤差平方和和均方根值，知C的擬合效果最好．故選：C.變式2．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對(duì)，A，B兩變量的線性相關(guān)性做試驗(yàn)，并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m如下表:甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103則能體現(xiàn)A，B兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性的是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【解析】在驗(yàn)證兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系中，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，相關(guān)性越強(qiáng)，在四個(gè)選項(xiàng)中只有丁的相關(guān)系數(shù)最大，殘差平方和越小，相關(guān)性越強(qiáng)，只有丁的殘差平方和最小，綜上可知丁的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)、兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性，故選：D．變式3．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考三模）觀察下列四幅殘差圖，滿足一元線性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差的假定的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)一元線性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差的假定，殘差應(yīng)是均值為0、方差為的隨機(jī)變量的觀測(cè)值.對(duì)于A選項(xiàng)，殘差與觀測(cè)時(shí)間有線性關(guān)系，故A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，殘差比較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對(duì)稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)；故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，殘差與觀測(cè)時(shí)間有非線性關(guān)系，故C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，殘差的方差不是一個(gè)常數(shù)，隨著觀測(cè)時(shí)間變大而變大，故D錯(cuò).故選：B.變式4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分別對(duì)一組變量進(jìn)行線性相關(guān)試驗(yàn)，并分別計(jì)算出相關(guān)系數(shù)，則線性相關(guān)程度最高的是（

）甲乙丙丁0.870.910.580.83A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【解析】因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)越大，線性相關(guān)程度越強(qiáng)，所以線性相關(guān)程度最高的是乙.故選：B變式5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）給出下列有關(guān)線性回歸分析的四個(gè)命題：①線性回歸直線未必過樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)的中心；②回歸直線就是散點(diǎn)圖中經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)最多的那條直線；③當(dāng)相關(guān)系數(shù)時(shí)，兩個(gè)變量正相關(guān)；④如果兩個(gè)變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)就越接近于.其中真命題的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對(duì)于①，線性回歸直線一定過樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)的中心，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，回歸直線在散點(diǎn)圖中可能不經(jīng)過任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)相關(guān)系數(shù)時(shí)，兩個(gè)變量正相關(guān)，故③正確；對(duì)于④，如果兩個(gè)變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)性系數(shù)就越接近于或，故④錯(cuò)誤.故真命題的個(gè)數(shù)為1，故選：A.【解題方法總結(jié)】判定兩個(gè)變量相關(guān)性的方法（1）畫散點(diǎn)圖：點(diǎn)的分布從左下角到右上角，兩個(gè)變量正相關(guān)；點(diǎn)的分布從左上角到右下角，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．（2）樣本相關(guān)系數(shù)：當(dāng)r>0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，負(fù)相關(guān)；|r|越接近于1，相關(guān)性越強(qiáng)．（3）經(jīng)驗(yàn)回歸方程：當(dāng)時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)時(shí)，負(fù)相關(guān)．題型二：一元線性回歸模型例4．（2023·天津薊州·高三?？奸_學(xué)考試）為研究某種細(xì)菌在特定環(huán)境下，隨時(shí)間變化的繁殖情況，得到如下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：天數(shù)天

繁殖個(gè)數(shù)千個(gè)

由最小二乘法得與的線性回歸方程為，則當(dāng)時(shí)，繁殖個(gè)數(shù)的預(yù)測(cè)值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題中數(shù)據(jù)可得：，，因?yàn)榛貧w直線必過樣本中心，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，，故選：B例5．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）某社區(qū)為了豐富退休人員的業(yè)余文化生活，自2018年以來，始終堅(jiān)持開展“悅讀小屋讀書活動(dòng)”.下表是對(duì)2018年以來近5年該社區(qū)退休人員的年人均借閱量的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)：年份20182019202020212022年份代碼12345年人均借閱量（冊(cè)）162228（參考數(shù)據(jù)：）通過分析散點(diǎn)圖的特征后，年人均借閱量關(guān)于年份代碼的回歸分析模型為，則2023年的年人均借閱量約為（

）A．31 B．32 C．33 D．34【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以，?所以回歸方程為，當(dāng)時(shí)，.故選：C.例6．（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知x，y的對(duì)應(yīng)值如下表所示：x02468y111若y與x線性相關(guān)，且回歸直線方程為，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】，又回歸直線方程為，所以，解得.故選：B.變式6．（2023·廣西南寧·南寧二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某單位在當(dāng)?shù)囟c(diǎn)幫扶某村種植一種草莓，并把這種原本露天種植的草莓搬到了大棚里，獲得了很好的經(jīng)濟(jì)效益．根據(jù)資料顯示，產(chǎn)出的草莓的箱數(shù)x（單位：箱）與成本y（單位：千元）的關(guān)系如下：x102030406080y(1)根據(jù)散點(diǎn)圖可以認(rèn)為x與y之間存在線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)用最小二乘法求出線性回歸方程（，用分?jǐn)?shù)表示）(2)某農(nóng)戶種植的草莓主要以300元/箱的價(jià)格給當(dāng)?shù)卮笮蜕坛┴?，多余的草莓全部?00元/箱的價(jià)格銷售給當(dāng)?shù)匦∩特湥畵?jù)統(tǒng)計(jì)，往年1月份當(dāng)?shù)卮笮蜕坛葺男枨罅繛?0箱、100箱、150箱、200箱的概率分別為，，，，根據(jù)回歸方程以及往年商超草莓的需求情況進(jìn)行預(yù)測(cè)，求今年1月份農(nóng)戶草莓的種植量為200箱時(shí)所獲得的利潤(rùn)情況．（最后結(jié)果精確到個(gè)位）附：，，在線性回歸直線方程中，．【解析】（1）因?yàn)?，，所以，由題意可知，所以，又因?yàn)?，所以回歸方程為．（2）由回歸方程知，若農(nóng)戶草莓的種植量為200箱，則成本為（千元）．設(shè)農(nóng)戶草莓的種植量為200箱時(shí)的收入為元，200箱草莓供給大型商超和小商販分別箱和，顯然，由題意，因此以及Y的可能取值如下表：5010015020015010050045000500005500060000所以Y的分布列為：Y45000500005500060000P所以，所以預(yù)測(cè)所獲利潤(rùn)約為元．變式7．（2023·江西·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）某新能源汽車銷售部對(duì)今年1月至7月的銷售量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)與分析，因不慎丟失一些數(shù)據(jù)，現(xiàn)整理出如下統(tǒng)計(jì)表與一些分析數(shù)據(jù)：月份1月2月3月4月5月6月7月月份代號(hào)1234567銷售量（單位：萬輛）15.637.739.644.5其中.(1)若，，成遞增的等差數(shù)列，求從7個(gè)月的銷售量中任取1個(gè)，月銷售量不高于27萬輛的概率；(2)若，與的樣本相關(guān)系數(shù)，求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)今年8月份的銷售量（精確到0.1）.附：相關(guān)系數(shù)，線性回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.參考數(shù)據(jù)：，.【解析】（1）因?yàn)?所以，所以，又，，成遞增的等差數(shù)列，所以且，所以，且，所以月銷售量不高于27萬輛的有15.6，，共3個(gè)，又基本事件總數(shù)為7，故所求概率為.（2）由表中數(shù)據(jù)可知，由和，得，所以，由，，得，故關(guān)于的線性回歸方程為.當(dāng)時(shí)，，所以預(yù)測(cè)今年8月份的銷售量大約為50.4萬輛.變式8．（2023·四川成都·高三石室中學(xué)校考開學(xué)考試）已知某綠豆新品種發(fā)芽的適宜溫度在之間，一農(nóng)學(xué)實(shí)驗(yàn)室研究人員為研究溫度x（）與綠豆新品種發(fā)芽數(shù)y（顆）之間的關(guān)系，每組選取了成熟種子50顆，分別在對(duì)應(yīng)的的溫度環(huán)境下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到如下散點(diǎn)圖：

其中，，．(1)運(yùn)用相關(guān)系數(shù)進(jìn)行分析說明，是否可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系？(2)求出關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)在的溫度下，種子的發(fā)芽的顆數(shù)．參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸直線方程，其中，．參考數(shù)據(jù)：．【解析】（1）根據(jù)題意，得．，．因而相關(guān)系數(shù)．由于很接近1，∴可以用線性回歸方程模型擬合y與x的關(guān)系．（2），，∴關(guān)于的回歸方程為．若，則顆．∴在的溫度下，預(yù)測(cè)種子的發(fā)芽顆數(shù)為44．變式9．（2023·安徽亳州·蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）為調(diào)查某地區(qū)植被覆蓋面積x（單位：公頃）和野生動(dòng)物數(shù)量y的關(guān)系，某研究小組將該地區(qū)等面積花分為400個(gè)區(qū)塊，從中隨機(jī)抽取40個(gè)區(qū)塊，得到樣本數(shù)據(jù)（），部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：x…2.73.63.23.9…y…50.663.752.154.3…經(jīng)計(jì)算得：，，，.(1)利用最小二乘估計(jì)建立y關(guān)于x的線性回歸方程；(2)該小組又利用這組數(shù)據(jù)建立了x關(guān)于y的線性回歸方程，并把這兩條擬合直線畫在同一坐標(biāo)系下，橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的意義與植被覆蓋面積x和野生動(dòng)物數(shù)量y一致.設(shè)前者與后者的斜率分別為，，比較，的大小關(guān)系，并證明.附：y關(guān)于x的回歸方程中，斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，，

【解析】（1），，，，故回歸方程為；（2）x關(guān)于y的線性回歸方程為，，，則，r為y與x的相關(guān)系數(shù)，又，，，故，即，下證：，若，則，即恒成立，代入表格中的一組數(shù)據(jù)得：，矛盾，故.綜上，y關(guān)于x的回歸方程為.【解題方法總結(jié)】求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟題型三：非線性回歸例7．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若需要刻畫預(yù)報(bào)變量和解釋變量的相關(guān)關(guān)系，且從已知數(shù)據(jù)中知道預(yù)報(bào)變量隨著解釋變量的增大而減小，并且隨著解釋變量的增大，預(yù)報(bào)變量大致趨于一個(gè)確定的值，為擬合和之間的關(guān)系，應(yīng)使用以下回歸方程中的（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A：因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞增且，所以隨著的增大而增大，不合題意，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞增且，所以隨著的增大而減小，當(dāng)解釋變量，，不合題意，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞增且，所以隨著的增大而減小，當(dāng)解釋變量，，不合題意，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減且，所以隨著的增大而減小，當(dāng)解釋變量，，故D錯(cuò)誤；故選：D．例8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）云計(jì)算是信息技術(shù)發(fā)展的集中體現(xiàn)，近年來，我國(guó)云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模持續(xù)增長(zhǎng).已知某科技公司2018年至2022年云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模數(shù)據(jù)，且市場(chǎng)規(guī)模y與年份代碼x的關(guān)系可以用模型（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）擬合，設(shè)，得到數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表如下：年份2018年2019年2020年2021年2022年年份代碼x12345云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模y/千萬元7.4112036.666.722.433.64由上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則2025年該科技公司云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模y的估計(jì)值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，即?jīng)驗(yàn)回歸方程，當(dāng)時(shí)，，所以，即2025年該科技公司云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模y的估計(jì)值為，故選：B例9．（多選題）（2023·福建廈門·廈門一中?？既＃┰趯?duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行回歸分析時(shí)，若兩個(gè)變量不呈線性相關(guān)關(guān)系，可以建立含兩個(gè)待定參數(shù)的非線性模型，并引入中間變量將其轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系，再利用最小二乘法進(jìn)行線性回歸分析.下列選項(xiàng)為四個(gè)同學(xué)根據(jù)自己所得數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖建立的非線性模型，且散點(diǎn)圖的樣本點(diǎn)均位于第一象限，則其中可以根據(jù)上述方法進(jìn)行回歸分析的模型有（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：，令則；對(duì)于選項(xiàng)B：令；對(duì)于選項(xiàng)C：即令則；對(duì)于選項(xiàng)D：令則此時(shí)斜率為，與最小二乘法不符．故選：ABC變式10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知變量的關(guān)系可以用模型擬合，設(shè)，其變換后得到一組數(shù)據(jù)如下．由上表可得線性回歸方程，則（

）x12345z2451014A． B． C． D．【答案】B【解析】由表格數(shù)據(jù)知，．即樣本中心點(diǎn)為，由，得，即，所以，即，可得，故選：B．變式11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某校課外學(xué)習(xí)小組研究某作物種子的發(fā)芽率和溫度（單位：）的關(guān)系，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到如圖所示的散點(diǎn)圖.由此散點(diǎn)圖判斷，最適宜作為發(fā)芽率和溫度的回歸方程類型的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由散點(diǎn)圖可見，數(shù)據(jù)分布成遞增趨勢(shì)，但是呈現(xiàn)上凸效果，即增加緩慢.A中，是直線型，均勻增長(zhǎng)，不符合要求；B中，是二次函數(shù)型，圖象呈現(xiàn)下凸，增長(zhǎng)也較快，不符合要求；C中，是指數(shù)型，爆炸式增長(zhǎng)，增長(zhǎng)快，不符合要求；D中，是對(duì)數(shù)型，增長(zhǎng)緩慢，符合要求.故對(duì)數(shù)型最適宜該回歸模型.故選：D.變式12．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）蘭溪楊梅從5月15日起開始陸續(xù)上市，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到楊梅銷售價(jià)格（單位：Q元/千克）與上市時(shí)間t（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表所示：時(shí)間t/（單位：天）102070銷售價(jià)格Q（單位：元/千克）10050100根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)模型中選取一個(gè)描述楊梅銷售價(jià)格Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系：.利用你選取的函數(shù)模型，在以下四個(gè)日期中，楊梅銷售價(jià)格最低的日期為（

）A．6月5日 B．6月15日 C．6月25日 D．7月5日【答案】C【解析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，描述楊梅銷售價(jià)格Q與上市時(shí)間Q的變化關(guān)系不可能是常數(shù)函數(shù)、也不可能是單調(diào)函數(shù)，函數(shù)在時(shí)均為單調(diào)函數(shù)，這與表格中的數(shù)據(jù)不吻合，所以應(yīng)選取進(jìn)行描述，將表中數(shù)據(jù)代入可得，解得，所以，，所以當(dāng)時(shí)楊梅銷售價(jià)格最低，而6月5日時(shí)，6月15日時(shí)，6月25日時(shí)，7月5日時(shí)，所以時(shí)楊梅銷售價(jià)格最低.故選：C.變式13．（2023·四川瀘州·高三四川省瀘縣第四中學(xué)?？奸_學(xué)考試）抗體藥物的研發(fā)是生物技術(shù)制藥領(lǐng)域的一個(gè)重要組成部分，抗體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的關(guān)系成為研究抗體藥物的一個(gè)重要方面.某研究團(tuán)隊(duì)收集了10組抗體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的數(shù)據(jù)，并對(duì)這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值，抗體藥物攝入量為x（單位：），體內(nèi)抗體數(shù)量為y（單位：）.29.2121634.4

(1)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，我們選擇作為體內(nèi)抗體數(shù)量y關(guān)于抗體藥物攝入量x的回歸方程，將兩邊取對(duì)數(shù)，得，可以看出與具有線性相關(guān)關(guān)系，試根據(jù)參考數(shù)據(jù)建立關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測(cè)抗體藥物攝入量為時(shí)，體內(nèi)抗體數(shù)量的值；(2)經(jīng)技術(shù)改造后，該抗體藥物的有效率z大幅提高，經(jīng)試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)得z服從正態(tài)分布，那這種抗體藥物的有效率超過0.54的概率約為多少？附：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，；②若隨機(jī)變量，則有，，；③取.【解析】（1）將兩邊取對(duì)數(shù)，得，設(shè)，，則回歸方程變?yōu)椋杀碇袛?shù)據(jù)可知，，，所以，，所以，即，故y關(guān)于x的回歸方程為，當(dāng)時(shí)，.（2）因?yàn)閦服從正態(tài)分布，其中，，所以，所以，故這種抗體藥物的有效率z超過0.54的概率約為.變式14．（2023·江西贛州·高三?？茧A段練習(xí)）為了研究某種細(xì)菌隨天數(shù)變化的繁殖個(gè)數(shù)，收集數(shù)據(jù)如下：天數(shù)123456繁殖個(gè)數(shù)612254995190

(1)在圖中作出繁殖個(gè)數(shù)關(guān)于天數(shù)變化的散點(diǎn)圖，并由散點(diǎn)圖判斷（為常數(shù)）與（為常數(shù)，且）哪一個(gè)適宜作為繁殖個(gè)數(shù)關(guān)于天數(shù)變化的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)對(duì)于非線性回歸方程（為常數(shù)，且），令，可以得到繁殖個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)z關(guān)于天數(shù)x具有線性關(guān)系及一些統(tǒng)計(jì)量的值．3.5062.833.5317.50596.5712.09（ⅰ）證明：“對(duì)于非線性回歸方程，令，可以得到繁殖個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)關(guān)于天數(shù)具有線性關(guān)系（即為常數(shù)）”；（ⅱ）根據(jù)（?。┑呐袛嘟Y(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)保留2位小數(shù)）．附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為．【解析】（1）作出散點(diǎn)圖如圖所示．由散點(diǎn)圖看出樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)型曲線的周圍，故選擇為回歸方程較宜．（2）（i）由已知：令，則，則，，即．所以繁殖個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)關(guān)于天數(shù)具有線性關(guān)系．（ii）由（i）知繁殖個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)關(guān)于天數(shù)可以用線性回歸方程來擬合．由表中數(shù)據(jù)可得，，，得到關(guān)于的線性回歸方程為，又，因此細(xì)菌的繁殖個(gè)數(shù)關(guān)于天數(shù)的非線性回歸方程為．變式15．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）在正常生產(chǎn)條件下，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為化肥的有效利用率近似服從正態(tài)分布，而化肥施肥量因農(nóng)作物的種類不同每畝也存在差異.(1)假設(shè)生產(chǎn)條件正常，記表示化肥的有效利用率，求；(2)課題組為研究每畝化肥施用量與某農(nóng)作物畝產(chǎn)量之間的關(guān)系，收集了10組數(shù)據(jù)，并對(duì)這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.其中每畝化肥施用量為（單位：公斤），糧食畝產(chǎn)量為（單位：百公斤）

參考數(shù)據(jù)：65091.552.51478.630.5151546.5，，2，，.（i）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與，哪一個(gè)適宜作為該農(nóng)作物畝產(chǎn)量關(guān)于每畝化肥施用量的回歸方程（給出判斷即可，不必說明理由）；（ii）根據(jù)（i）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；并預(yù)測(cè)每畝化肥施用量為27公斤時(shí)，糧食畝產(chǎn)量的值.附：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)，2，3，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，；②若隨機(jī)變量，則，.【解析】（1）由，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，可得.（2）（i）由散點(diǎn)圖可知與的關(guān)系不是線性關(guān)系，所以適宜作為糧食畝產(chǎn)量關(guān)于每畝化肥施用量的回歸方程；（ii）因?yàn)椋?，令，則，由表可得，所以，所以，所以，所以，當(dāng)時(shí)，（百公斤）變式16．（2023·重慶·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）某公司為了解年研發(fā)資金投入量x（單位:億元）對(duì)年銷售額y（單位:億元）的影響.對(duì)公司近12年的年研發(fā)資金投入量xi和年銷售額yi的數(shù)據(jù)，進(jìn)行了對(duì)比分析，建立了兩個(gè)模型:①，②，其中α，β，λ，t均為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，并得到一些統(tǒng)計(jì)量的值.令，經(jīng)計(jì)算得如下數(shù)據(jù):20667724604.20312502153.0814(1)請(qǐng)從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個(gè)模型擬合程度更好?(2)（?。└鶕?jù)分析及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程;（ⅱ）若下一年銷售額y需達(dá)到90億元，預(yù)測(cè)下一年的研發(fā)資金投入量x是多少億元?附:①相關(guān)系數(shù)，回歸直中公式分別為;②參考數(shù)據(jù)：.【解析】（1）設(shè)模型①和②的相關(guān)系數(shù)分別為r1，r2.由題意可得：，，所以，由相關(guān)系數(shù)的相關(guān)性質(zhì)可得，模型②的擬合程度更好.（2）（?。┯桑?）知，選擇模型②.先建立v關(guān)于x的線性回歸方程，因?yàn)?，可得，即，可得，所以v關(guān)于x的線性回歸方程為，即；（ⅱ）下一年銷售額需達(dá)到90億元，即，代入，得，因?yàn)?，則，所以，故預(yù)測(cè)下一年的研發(fā)資金投入量約是21.67億元.變式17．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考三模）經(jīng)觀測(cè)，長(zhǎng)江中某魚類的產(chǎn)卵數(shù)與溫度有關(guān)，現(xiàn)將收集到的溫度和產(chǎn)卵數(shù)的10組觀測(cè)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量表.360表中

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為與之間的回歸方程模型并求出關(guān)于回歸方程；（給出判斷即可，不必說明理由）(2)某興趣小組抽取兩批魚卵，已知第一批中共有6個(gè)魚卵，其中“死卵”有2個(gè)；第二批中共有8個(gè)魚卵，其中“死卵”有3個(gè)．現(xiàn)隨機(jī)挑選一批，然后從該批次中隨機(jī)取出2個(gè)魚卵，求取出“死卵”個(gè)數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為.【解析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，看出樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)函數(shù)的周圍，所以適宜作為與之間的回歸方程模型；令，則，，關(guān)于的回歸方程為.（2）由題意，設(shè)隨機(jī)挑選一批，取出兩個(gè)魚卵，其中“死卵”個(gè)數(shù)為，則的取值為，設(shè)“所取兩個(gè)魚卵來自第批”，所以，設(shè)“所取兩個(gè)魚卵有個(gè)”“死卵”，由全概率公式，，，所以取出“死卵”個(gè)數(shù)的分布列為：012.所以取出“死卵”個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望.變式18．（2023·廣西南寧·南寧三中校考一模）數(shù)據(jù)顯示中國(guó)車載音樂已步入快速發(fā)展期，隨著車載音樂的商業(yè)化模式進(jìn)一步完善，市場(chǎng)將持續(xù)擴(kuò)大，下表為2018－2022年中國(guó)車載音樂市場(chǎng)規(guī)模（單位：十億元），其中年份2018—2022對(duì)應(yīng)的代碼分別為1-5．年份代碼12345車載音樂市場(chǎng)規(guī)模2.83.97.312.017.0(1)由上表數(shù)據(jù)知，可用指數(shù)函數(shù)模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)建立關(guān)于的回歸方程；(2)根據(jù)上述數(shù)據(jù)求得關(guān)于的回歸方程后，預(yù)測(cè)2024年的中國(guó)車載音樂市場(chǎng)規(guī)模．參考數(shù)據(jù)：1.9433.821.71.626.84其中，．參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，．【解析】（1）因?yàn)?，所以兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，得，設(shè)，所以，設(shè)，，則，因?yàn)椋?，所以，，所以，，所以，，所以?）把2024年代碼代入方程，得（十億元）故預(yù)測(cè)2024年的中國(guó)車載音樂市場(chǎng)規(guī)模45.628（十億元）變式19．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）當(dāng)前移動(dòng)網(wǎng)絡(luò)已融入社會(huì)生活的方方面面，深刻改變了人們的溝通?交流乃至整個(gè)生活方式.4G網(wǎng)絡(luò)雖然解決了人與人隨時(shí)隨地通信的問題，但隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)快速發(fā)展，其已難以滿足未來移動(dòng)數(shù)據(jù)流量暴漲的需求，而5G作為一種新型移動(dòng)通信網(wǎng)絡(luò)，不但可以解決人與人的通信問題，而且還可以為用戶提供增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)?虛擬現(xiàn)實(shí)?超高清（3D）視頻等更加身臨其境的極致業(yè)務(wù)體驗(yàn)，更重要的是還可以解決人與物?物與物的通信問題，從而滿足移動(dòng)醫(yī)療?車聯(lián)網(wǎng)?智能家居?工業(yè)控制?環(huán)境監(jiān)測(cè)等物聯(lián)網(wǎng)應(yīng)用需求，為更好的滿足消費(fèi)者對(duì)5G網(wǎng)絡(luò)的需求，中國(guó)電信在某地區(qū)推出了六款不同價(jià)位的流量套餐，每款套餐的月資費(fèi)x（單位：元）與購買人數(shù)y（單位：萬人）的數(shù)據(jù)如下表：套餐ABCDEF月資費(fèi)x（元）384858687888購買人數(shù)y（萬人）16.818.820.722.424.025.5對(duì)數(shù)據(jù)作初步的處理，相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表：75.324.618.3101.4其中，且繪圖發(fā)現(xiàn)，散點(diǎn)集中在一條直線附近.(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程；(2)已知流量套餐受關(guān)注度通過指標(biāo)來測(cè)定，當(dāng)時(shí)相應(yīng)的流量套餐受大眾的歡迎程度更高，被指定為“主打套餐”.現(xiàn)有一家四口從這六款套餐中，購買不同的四款各自使用.記四人中使用“主打套督”的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和期望.附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)值分別為.【解析】（1）因?yàn)樯Ⅻc(diǎn)集中在一條直線附近，設(shè)回歸方程為，由，則，，故變量關(guān)于的回歸方程為.又，故，綜上，關(guān)于的回歸方程為；（2）由，解得，而，所以即為“主打套餐”.則四人中使用“主打套餐”的人數(shù)服從超幾何分布，又：一共只有6種套餐，一家4口選擇不同的套餐，所以X的取值只能是，且，分布列為234期望.【解題方法總結(jié)】換元法變成一元線性回歸模型題型四：列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)例10．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中校考模擬預(yù)測(cè)）四川省將從2022年秋季入學(xué)的高一年級(jí)學(xué)生開始實(shí)行高考綜合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”為首選科目，即物理與歷史二選一.某校為了解學(xué)生的首選意愿，對(duì)部分高一學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查，制作出如下兩個(gè)等高條形圖，根據(jù)條形圖信息，下列結(jié)論正確的是（

）A．樣本中選擇物理意愿的男生人數(shù)少于選擇歷史意愿的女生人數(shù)B．樣本中女生選擇歷史意愿的人數(shù)多于男生選擇歷史意愿的人數(shù)C．樣本中選擇物理學(xué)科的人數(shù)較多D．樣本中男生人數(shù)少于女生人數(shù)【答案】C【解析】根據(jù)等高條形圖圖1可知樣本中選擇物理學(xué)科的人數(shù)較多，故C正確；根據(jù)等高條形圖圖2可知樣本中男生人數(shù)多于女生人數(shù)，故D錯(cuò)誤；樣本中選擇物理學(xué)科的人數(shù)多于選擇歷史意愿的人數(shù)，而選擇物理意愿的男生比例高，選擇歷史意愿的女生比例低，所以樣本中選擇物理意愿的男生人數(shù)多于選擇歷史意愿的女生人數(shù)，故A錯(cuò)誤；樣本中女生選擇歷史意愿的人數(shù)不一定多于男生選擇歷史意愿的人數(shù)，故B錯(cuò)誤.故選：C.例11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在新高考改革中，浙江省新高考實(shí)行的是7選3的模式，即語數(shù)外三門為必考科目，然后從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)（含信息技術(shù)和通用技術(shù)）7門課中選考3門.某校高二學(xué)生選課情況如下列聯(lián)表一和列聯(lián)表二（單位:人）選物理不選物理總計(jì)男生340110450女生140210350總計(jì)480320800表一選生物不選生物總計(jì)男生150300450女生150200350總計(jì)300500800表二試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析物理和生物選課與性別是否有關(guān)（

）附:A．選物理與性別有關(guān)，選生物與性別有關(guān)B．選物理與性別無關(guān)，選生物與性別有關(guān)C．選物理與性別有關(guān)，選生物與性別無關(guān)D．選物理與性別無關(guān)，選生物與性別無關(guān)【答案】C【解析】由題意，先分析物理課是否與性別有關(guān)：根據(jù)表格數(shù)據(jù)，結(jié)合題干表格數(shù)據(jù)，，因此，有充分證據(jù)推斷選擇物理學(xué)科與性別有關(guān)再分析生物課是否與性別有關(guān)：根據(jù)表格數(shù)據(jù)，結(jié)合題干表格數(shù)據(jù)，，因此，沒有充分證據(jù)推斷選擇生物學(xué)科與性別有關(guān)故選：C例12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）通過隨機(jī)詢問相同數(shù)量的不同性別大學(xué)生在購買食物時(shí)是否看營(yíng)養(yǎng)說明，得知有的男大學(xué)生“不看”，有的女大學(xué)生“不看”，若有99%的把握認(rèn)為性別與是否看營(yíng)養(yǎng)說明之間有關(guān)，則調(diào)查的總?cè)藬?shù)可能為（

）A．150 B．170 C．240 D．175【答案】C【解析】設(shè)男女大學(xué)生各有m人，根據(jù)題意畫出2×2列聯(lián)表，如下圖：看不看合計(jì)男m女m合計(jì)2m所以，因?yàn)橛?9%的把握認(rèn)為性別與對(duì)產(chǎn)品是否滿意有關(guān)，所以，解得，所以總?cè)藬?shù)2m可能為240．故選：C．變式20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）針對(duì)時(shí)下的“短視頻熱”，某高校團(tuán)委對(duì)學(xué)生性別和喜歡短視頻是否有關(guān)聯(lián)進(jìn)行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男生?女生人數(shù)均為人，男生中喜歡短視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生中喜歡短視頻的人數(shù)占女生人數(shù)的.零假設(shè)為：喜歡短視頻和性別相互獨(dú)立.若依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為喜歡短視頻和性別不獨(dú)立，則的最小值為（

）附：，附表：0.050.013.8416.635A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】根據(jù)題意，不妨設(shè)，于是，由于依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為喜歡短視頻和性別不獨(dú)立，根據(jù)表格可知，解得，于是最小值為.故選：C變式21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在一次聯(lián)考后，某校對(duì)甲、乙兩個(gè)文科班的數(shù)學(xué)考試成績(jī)進(jìn)行分析，規(guī)定：大于或等于120分為優(yōu)秀，120分以下為非優(yōu)秀，統(tǒng)計(jì)成績(jī)后，得到如下2×2列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)甲班人數(shù)50乙班人數(shù)20合計(jì)30110附：，其中.根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為數(shù)學(xué)考試成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系的把握為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】?jī)?yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)甲班人數(shù)50乙班人數(shù)20合計(jì)30110由題表中的數(shù)據(jù)可得:,因?yàn)?所以可以認(rèn)為數(shù)學(xué)考試成績(jī)與班級(jí)有失系的把握為.故選：D變式22．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2020年2月，全國(guó)掀起了“停課不停學(xué)”的熱潮，各地教師通過網(wǎng)絡(luò)直播?微課推送等多種方式來指導(dǎo)學(xué)生線上學(xué)習(xí).為了調(diào)查學(xué)生對(duì)網(wǎng)絡(luò)課程的熱愛程度，研究人員隨機(jī)調(diào)查了相同數(shù)量的男?女學(xué)生，發(fā)現(xiàn)有80%的男生喜歡網(wǎng)絡(luò)課程，有40%的女生不喜歡網(wǎng)絡(luò)課程，且有99%的把握但沒有99.9%的把握認(rèn)為是否喜歡網(wǎng)絡(luò)課程與性別有關(guān)，則被調(diào)查的男?女學(xué)生總數(shù)量可能為（

）附：，其中.0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.828A．130 B．190 C．240 D．250【答案】B【解析】依題意，設(shè)男、女學(xué)生的人數(shù)都為，則男、女學(xué)生的總?cè)藬?shù)為，建立列聯(lián)表如下，喜歡網(wǎng)絡(luò)課程不喜歡網(wǎng)絡(luò)課程總計(jì)男生女生總計(jì)故，由題意可得，所以，結(jié)合選項(xiàng)可知，只有B符合題意.故選：B.變式23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）觀察下列各圖，其中兩個(gè)分類變量x，y之間關(guān)系最強(qiáng)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)與相差很大，就判斷兩個(gè)分類變量之量關(guān)系最強(qiáng)．故選：D變式24．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？奸_學(xué)考試）2022年卡塔爾世界杯決賽圈共有32支球隊(duì)參加，歐洲球隊(duì)有13支：其中有5支歐洲球隊(duì)闖入8強(qiáng).比賽進(jìn)入淘汰賽階段后，必須要分出勝負(fù).淘汰賽規(guī)則如下：在比賽常規(guī)時(shí)間90分鐘內(nèi)分出勝負(fù)；比賽結(jié)束，若比分相同.則進(jìn)入30分鐘的加時(shí)賽.在加時(shí)賽分出勝負(fù)，比賽結(jié)束，若加時(shí)賽比分依然相同，就要通過點(diǎn)球大戰(zhàn)來分出最后的勝負(fù).點(diǎn)球大戰(zhàn)分為2個(gè)階段，第一階段：共5輪，雙方每輪各派1名球員，依次踢點(diǎn)球，以5輪的總進(jìn)球數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)，5輪合計(jì)踢進(jìn)點(diǎn)球數(shù)更多的球隊(duì)獲得比賽的勝利.如果第一階段的5輪還是平局，則進(jìn)入第二階段：在該階段雙方每輪各派1名球員，依次踢點(diǎn)球，如果在一輪里，雙方都進(jìn)球或者雙方都不進(jìn)球，則繼續(xù)下一輪，直到某一輪里，一方罰進(jìn)點(diǎn)球，另一方?jīng)]罰進(jìn)，比賽結(jié)束，罰進(jìn)點(diǎn)球的一方獲得最終的勝利.(1)根據(jù)題意填寫下面的列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷32支決賽圈球隊(duì)“闖入8強(qiáng)”與“是歐洲球隊(duì)”是否有關(guān).歐洲球隊(duì)其他球隊(duì)合計(jì)闖入強(qiáng)未闖入強(qiáng)合計(jì)(2)甲、乙兩隊(duì)在淘汰賽相遇，經(jīng)過120分鐘比賽未分出勝負(fù)，雙方進(jìn)入點(diǎn)球大戰(zhàn).已知甲隊(duì)球員每輪踢進(jìn)點(diǎn)球的概率為，乙隊(duì)球員每輪踢進(jìn)點(diǎn)球的概率為，每輪每隊(duì)是否進(jìn)球相互獨(dú)立，在點(diǎn)球大戰(zhàn)中，兩隊(duì)前3輪比分為，試求出甲隊(duì)在第二階段第一輪結(jié)束后獲得最終勝利的概率.參考公式：.【解析】（1）下面為列聯(lián)表：歐洲球隊(duì)其他球隊(duì)合計(jì)進(jìn)入強(qiáng)未進(jìn)入強(qiáng)合計(jì)零假設(shè)支決賽圈球隊(duì)闖入8強(qiáng)與是否為歐洲球隊(duì)無關(guān)，，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為“闖入8強(qiáng)”與“是歐洲球隊(duì)”無關(guān).（2）記“雙方進(jìn)入第二階段比賽”為事件，“第二階段第一輪甲隊(duì)進(jìn)球乙隊(duì)未進(jìn)球”為事件，則“甲隊(duì)在第二階段第一輪結(jié)束后獲得最終勝利”為事件，有，要進(jìn)入第二階段比賽，即第一階段五輪為平局，比分可能為，則，，故.變式25．（2023·廣東東莞·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在“雙減”政策背景之下，某校就推進(jìn)學(xué)校、家庭、社會(huì)體育教育的“一體化”，實(shí)現(xiàn)“教會(huì)、勤練、常賽”的核心任務(wù)．學(xué)校組織人員對(duì)在校學(xué)生“是否喜愛運(yùn)動(dòng)”做了一次隨機(jī)調(diào)查．共隨機(jī)調(diào)查了18名男生和12名女生，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，男、女生中分別有12人和6人喜愛運(yùn)動(dòng)，其余不喜愛．喜歡運(yùn)動(dòng)不喜歡運(yùn)動(dòng)總計(jì)男女總計(jì)(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下列聯(lián)表：0.400.250.100.0100.7081.3232.7066.635根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否據(jù)此推斷性別與喜愛運(yùn)動(dòng)有關(guān)？(2)從被調(diào)查的女生中抽取3人，若其中喜愛運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．附參考公式及參考數(shù)據(jù)：，其中．【解析】（1）由已知數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表如圖，喜愛運(yùn)動(dòng)不喜愛運(yùn)動(dòng)總計(jì)男12618女6612總計(jì)181230假設(shè)是否喜愛運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)，由已知數(shù)據(jù)可求得：，

因此，沒有充分的把握判斷喜愛運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān).（2）喜愛運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為的取值分別為：0，1，2，3，

則有：；；；.

所以喜愛運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為的分布列為：0123故數(shù)學(xué)期望.變式26．（2023·遼寧·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)，是中國(guó)西部第一次舉辦世界性綜合運(yùn)動(dòng)會(huì)，共設(shè)籃球、排球、田徑、游泳等18個(gè)大項(xiàng)、269個(gè)小項(xiàng).該屆賽事約有來自170個(gè)國(guó)家和地區(qū)的1萬余名運(yùn)動(dòng)員及官員赴蓉參加，該屆賽事于2023年7月28日至8月8日在中國(guó)四川省成都市舉行.為了了解關(guān)注該賽事是否與性別有關(guān)，某體育臺(tái)隨機(jī)抽取2000名觀眾進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下2×2列聯(lián)表.男女合計(jì)關(guān)注該賽事600300900不關(guān)注該賽事4007001100合計(jì)100010002000(1)在所有女觀眾中，試估計(jì)她們關(guān)注該賽事的概率（結(jié)果用百分?jǐn)?shù)表示）；(2)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為是否關(guān)注該賽事與性別有關(guān)聯(lián)?附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【解析】（1）女觀眾關(guān)注該賽事的概率約為：.（2）零假設(shè)為：是否關(guān)注該賽事與性別無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為是否關(guān)注該賽事與性別有關(guān)聯(lián).變式27．（2023·安徽滁州·?？级＃榱搜芯繉W(xué)生每天整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題情況，某課題組在某市中學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生調(diào)查了他們期中考試的數(shù)學(xué)成績(jī)和平時(shí)整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題情況，并繪制了下列兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖表，圖1為學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖，圖2為學(xué)生一個(gè)星期內(nèi)整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題天數(shù)的扇形圖.若本次數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分及以上視為優(yōu)秀，將一個(gè)星期有4天及以上整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題視為“經(jīng)常整理”，少于4天視為“不經(jīng)常整理”.已知數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中，經(jīng)常整理錯(cuò)題的學(xué)生占.數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀合計(jì)經(jīng)常整理不經(jīng)常整理合計(jì)(1)求圖1中的值以及學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的上四分位數(shù)；(2)根據(jù)圖1、圖2中的數(shù)據(jù)，補(bǔ)全上方列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與經(jīng)常整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題是否有關(guān)?(3)用頻率估計(jì)概率，在全市中學(xué)生中按“經(jīng)常整理錯(cuò)題”與“不經(jīng)常整理錯(cuò)題”進(jìn)行分層抽樣，隨機(jī)抽取5名學(xué)生，再從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談.求這2名同學(xué)中經(jīng)常整理錯(cuò)題且數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：【解析】（1）由題意可得，解得，學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的上四分位數(shù)為：分；（2）數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的有人，不優(yōu)秀的人人，經(jīng)常整理錯(cuò)題的有人，不經(jīng)常整理錯(cuò)題的是人，經(jīng)常整理錯(cuò)題且成績(jī)優(yōu)秀的有人，則數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀合計(jì)經(jīng)常整理352560不經(jīng)常整理152540合計(jì)5050100零假設(shè)為：數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與經(jīng)常整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到可得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與經(jīng)常整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于；（3）由分層抽樣知，隨機(jī)抽取的5名學(xué)生中經(jīng)常整理錯(cuò)題的有3人，不經(jīng)常整理錯(cuò)題的有2人，則可能取為0，1，2，經(jīng)常整理錯(cuò)題的3名學(xué)生中，恰抽到k人記為事件，則參與座談的2名學(xué)生中經(jīng)常整理錯(cuò)題且數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的恰好抽到人記為事件則，，，，，，，，，故X的分布列如下：X012P則可得X的數(shù)學(xué)期望為變式28．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2022年11月20日，卡塔爾足球世界杯正式開幕，世界杯上的中國(guó)元素隨處可見．從體育場(chǎng)建設(shè)到電力保障，從賽場(chǎng)內(nèi)的裁判到賽場(chǎng)外的吉祥物都是中國(guó)制造，為卡塔爾世界杯提供了強(qiáng)有力的支持．國(guó)內(nèi)也再次掀起足球熱潮．某地足球協(xié)會(huì)組建球隊(duì)參加業(yè)余比賽，該足球隊(duì)教練組為了考查球員甲對(duì)球隊(duì)的貢獻(xiàn)，作出如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)（甲參加過的比賽均分出了輸贏）：球隊(duì)輸球球隊(duì)贏球總計(jì)甲參加23032甲未參加81018總計(jì)104050(1)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該球隊(duì)贏球與甲球員參賽有關(guān)聯(lián)；(2)從該球隊(duì)中任選一人，A表示事件“選中的球員參賽”，B表示事件“球隊(duì)輸球”．與的比值是選中的球員參賽對(duì)球隊(duì)貢獻(xiàn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R．①證明：；②利用球員甲數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，給出，的估計(jì)值，并求出R的估計(jì)值．附：．參考數(shù)據(jù)：a0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828【解析】（1）零假設(shè)為：該球隊(duì)勝利與甲球員參賽無關(guān)．，因?yàn)椋砸罁?jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，所以認(rèn)為該球隊(duì)勝利與甲球員參賽有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005．（2）①證明：②，，．【解題方法總結(jié)】獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表．（2）根據(jù)公式計(jì)算．（3）比較與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)推斷．題型五：誤差分析例13．（2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？家荒＃┠承履茉雌嚿a(chǎn)公司，為了研究某生產(chǎn)環(huán)節(jié)中兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計(jì)樣本數(shù)據(jù)得到如下表格：由表格中的數(shù)據(jù)可以得到與的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，據(jù)此計(jì)算，下列選項(xiàng)中殘差的絕對(duì)值最小的樣本數(shù)據(jù)是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由表格數(shù)據(jù)知：，，，經(jīng)驗(yàn)回歸方程為；對(duì)于A，殘差的絕對(duì)值為；對(duì)于B，殘差的絕對(duì)值為；對(duì)于C，殘差的絕對(duì)值為；對(duì)于D，殘差的絕對(duì)值為；殘差絕對(duì)值最小的樣本數(shù)據(jù)是.故選：C.例14．（2023·云南保山·高三統(tǒng)考期末）新冠肺炎疫情發(fā)生以來，中醫(yī)藥全面參與疫情防控救治，做出了重要貢獻(xiàn).某中醫(yī)藥企業(yè)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到研發(fā)投入（億元）與產(chǎn)品收益（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表：研發(fā)投入（億元）12345產(chǎn)品收益（億元）3791011用最小二乘法求得關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程是，相關(guān)系數(shù)（若，則線性相關(guān)程度一般，若，則線性相關(guān)程度較高），下列說法不正確的有（

）A．變量與正相關(guān)且相關(guān)性較強(qiáng)B．C．當(dāng)時(shí)，的估計(jì)值為40.3D．相應(yīng)于點(diǎn)的殘差為0.8【答案】D【解析】對(duì)于A，由相關(guān)系數(shù)可知變量與正相關(guān)且相關(guān)性較強(qiáng)，故A正確；對(duì)于B