2024年初一下冊數(shù)學(xué)專項練習(xí)75三元一次方程組(基礎(chǔ)) 知識講解

2024年初一下冊數(shù)學(xué)專項練習(xí)三元一次方程組（基礎(chǔ)）知識講解【學(xué)習(xí)目標】1．理解三元一次方程(或組)的含義；2．會解簡單的三元一次方程組；3.會列三元一次方程組解決有關(guān)實際問題.【要點梳理】要點一、三元一次方程及三元一次方程組的概念1.三元一次方程的定義含有三個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．要點詮釋：(1)三元一次方程的條件：①是整式方程，②含有三個未知數(shù)，③含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是1次．(2)三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不為零．2．三元一次方程組的定義一般地，由幾個一次方程組成，并且含有三個未知數(shù)的方程組，叫做三元一次方程組.要點詮釋：(1)三個方程中不一定每一個方程中都含有三個未知數(shù)，只要三個方程共含有三個未知量即可．（2）在實際問題中含有三個未知數(shù)，當(dāng)這三個未知數(shù)同時滿足三個相等關(guān)系時，可以建立三元一次方程組求解．要點二、三元一次方程組的解法解三元一次方程組的一般步驟(1)利用代入法或加減法，把方程組中一個方程與另兩個方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個未知數(shù)的二元一次方程組；(2)解這個二元一次方程組，求出兩個未知數(shù)的值；(3)將求得的兩個未知數(shù)的值代入原方程組中的一個系數(shù)比較簡單的方程，得到一個一元一次方程；(4)解這個一元一次方程，求出最后一個未知數(shù)的值；(5)將求得的三個未知數(shù)的值用“{”合寫在一起．要點詮釋：（1）解三元一次方程組的基本思路是：通過“代入”或“加減”消元，把“三元”化為“二元”．使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組，進而轉(zhuǎn)化為解一元一次方程．其思想方法是：（2）有些特殊的方程組可用特殊的消元法，解題時要根據(jù)各方程特點尋求其較簡單的解法．要點三、三元一次方程組的應(yīng)用列三元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟1．弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母(如x，y，z)表示題目中的兩個(或三個)未知數(shù)；2．找出能夠表達應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系；3．根據(jù)這些相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程并組成方程組；4．解這個方程組，求出未知數(shù)的值；5．寫出答案(包括單位名稱)．要點詮釋：(1)解實際應(yīng)用題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的應(yīng)該舍去．(2)“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱，應(yīng)注意單位是否統(tǒng)一．(3)一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)，就應(yīng)列出幾個方程并組成方程組．【典型例題】類型一、三元一次方程及三元一次方程組的概念1.下列方程組中是三元一次方程組的是()A．B．C．D．【答案】D【解析】A選項中與中未知數(shù)項的次數(shù)為2次，故A選項不是；B選項中，，不是整式，故B選項不是；C選項中有四個未知數(shù)，故C選項不是；D項符合三元一次方程組的定義．【總結(jié)升華】理解三元一次方程組的定義要注意以下幾點：(1)方程組中的每一個方程都是一次方程；(2)一般地，如果三個一次方程合起來共有三個未知數(shù)，它們就能組成一個三元一次方程組．類型二、三元一次方程組的解法2.在等式y(tǒng)=ax2+bx+c中，當(dāng)x=﹣1時，y=0；當(dāng)x=2時，y=3；當(dāng)x=5時，y=60．求a，b，c的值．【思路點撥】由“當(dāng)x=﹣1時，y=0；當(dāng)x=2時，y=3；當(dāng)x=5時，y=60”即可得出關(guān)于a、b、c的三元一次方程組，解方程組即可得出結(jié)論．【答案與解析】解：根據(jù)題意，得，②﹣①，得a+b=1④；③﹣①，得4a+b=10⑤．④與⑤組成二元一次方程組，解這個方程組，得，把代入①，得c=﹣5．因此，即a，b，c的值分別為3，﹣2，﹣5．【總結(jié)升華】本題考查了解三元一次方程組，解題的關(guān)鍵是得出關(guān)于a、b、c的三元一次方程組．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大.舉一反三：【變式】解方程組：【答案】解：①+②得：①×2+③得：由此可得方程組：④－⑤得：，將代入⑤知：將，代入①得：所以方程組的解為：3.解方程組【答案與解析】解法一：原方程可化為：由①③得：，④將④代入②得：，得：⑤將⑤代入④中兩式，得：，所以方程組的解為：解法二：設(shè)，則將③代入②得：，將代入③得：，所以方程組的解為：【總結(jié)升華】對于這類特殊的方程組，可根據(jù)其方程組中方程的特點，采用一些特殊的解法(如設(shè)比例系數(shù)等)來解．舉一反三：【變式】若三元一次方程組的解使ax+2y+z=0，則a的值為（）A．1 B．0 C．﹣2 D．4【答案】B．解：，①+②+③得：x+y+z=1④，把①代入④得：z=﹣4，把②代入④得：y=2，把③代入④得：x=3，把x=3，y=2，z=﹣4代入方程得：3a+4﹣4=0，解得：a=0．類型三、三元一次方程組的應(yīng)用4.購買鉛筆7支，作業(yè)本3本，圓珠筆1支共需3元；購買鉛筆10支，作業(yè)本4本，圓珠筆1支共需4元，則購買鉛筆11支、作業(yè)本5本圓珠筆2支共需元．【思路點撥】首先假設(shè)鉛筆的單價是x元，作業(yè)本的單價是y元，圓珠筆的單價是z元．購買鉛筆11支，作業(yè)本5本，圓珠筆2支共需a元．根據(jù)題目說明列出方程組，解方程組求出a的值，即為所求結(jié)果．【答案】5．【解析】解：設(shè)鉛筆的單價是x元，作業(yè)本的單價是y元，圓珠筆的單價是z元．購買鉛筆11支，作業(yè)本5本，圓珠筆2支共需a元．則由題意得：，由②﹣①得3x+y=1，④由②+①得17x+7y+2z=7，⑤由⑤﹣④×2﹣③得0=5﹣a，解得：a=5.【總結(jié)升華】本題考查了列三元一次不定方程組解實際問題的運用，在解決實際問題時，若未知量較多，要考慮設(shè)三個未知數(shù)，但同時應(yīng)注意，設(shè)幾個未知數(shù)，就要找到幾個等量關(guān)系列幾個方程．舉一反三：【變式】現(xiàn)有面值為2元、1元和5角的人民幣共24張，幣值共計29元，其中面值為2元的比1元的少6張，求三種人民幣各多少張?【答案】解：設(shè)面值為2元、1元和5角的人民幣分別為x張、y張和z張．依題意，得把③分別代入①和②，得⑤×2，得6x+z＝46⑥⑥-④，得4x＝28，x＝7．把x＝7代入③，得y＝13．把x＝7，y＝13代入①，得z＝4．∴方程組的解是．答：面值為2元、l元和5角的人民幣分別為7張、13張和4張．三元一次方程組（提高）知識講解【學(xué)習(xí)目標】1．理解三元一次方程(或組)的含義；2．會解簡單的三元一次方程組；3.會列三元一次方程組解決有關(guān)實際問題.【要點梳理】要點一、三元一次方程及三元一次方程組的概念1.三元一次方程的定義:含有三個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．要點詮釋：(1)三元一次方程的條件：①是整式方程，②含有三個未知數(shù)，③含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是1次．(2)三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不為零．2．三元一次方程組的定義：一般地，由幾個一次方程組成，并且含有三個未知數(shù)的方程組，叫做三元一次方程組.要點詮釋：(1)三個方程中不一定每一個方程中都含有三個未知數(shù)，只要三個方程共含有三個未知量即可．（2）在實際問題中含有三個未知數(shù)，當(dāng)這三個未知數(shù)同時滿足三個相等關(guān)系時，可以建立三元一次方程組求解．要點二、三元一次方程組的解法解三元一次方程組的一般步驟(1)利用代入法或加減法，把方程組中一個方程與另兩個方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個未知數(shù)的二元一次方程組；(2)解這個二元一次方程組，求出兩個未知數(shù)的值；(3)將求得的兩個未知數(shù)的值代入原方程組中的一個系數(shù)比較簡單的方程，得到一個一元一次方程；(4)解這個一元一次方程，求出最后一個未知數(shù)的值；(5)將求得的三個未知數(shù)的值用“{”合寫在一起．要點詮釋：（1）解三元一次方程組的基本思路是：通過“代入”或“加減”消元，把“三元”化為“二元”．使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組，進而轉(zhuǎn)化為解一元一次方程．其思想方法是：（2）有些特殊的方程組可用特殊的消元法，解題時要根據(jù)各方程特點尋求其較簡單的解法．要點三、三元一次方程組的應(yīng)用列三元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：1．弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母(如x，y，z)表示題目中的兩個(或三個)未知數(shù)；2．找出能夠表達應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系；3．根據(jù)這些相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程并組成方程組；4．解這個方程組，求出未知數(shù)的值；5．寫出答案(包括單位名稱)．要點詮釋：(1)解實際應(yīng)用題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的應(yīng)該舍去．(2)“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱，應(yīng)注意單位是否統(tǒng)一．(3)一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)，就應(yīng)列出幾個方程并組成方程組．【典型例題】類型一、三元一次方程及三元一次方程組的概念1.下列方程組不是三元一次方程組的是（）．A．B．C．D．【思路點撥】根據(jù)三元一次方程組的定義來求解，對A、B、C、D四個選項進行一一驗證．【答案】B【解析】解：由題意知，含有三個相同的未知數(shù)，每個方程中含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1次，并且一共有三個方程，叫做三元一次方程組．

A、滿足三元一次方程組的定義，故A選項錯誤；

B、x2-4=0，未知量x的次數(shù)為2次，∴不是三元一次方程，故B選項正確；

C、滿足三元一次方程組的定義，故C選項錯誤；

D、滿足三元一次方程組的定義，故D選項錯誤；

故選B．【總結(jié)升華】三元一次方程組中的方程不一定都是三元一次方程，并且有時需對方程化簡后再根據(jù)三元一次方程組的定義進行判斷．類型二、三元一次方程組的解法2.若x：y：z=2：7：5，x﹣2y+3z=6，求的值．【思路點撥】根據(jù)x：y：z=2：7：5，設(shè)x=2k，y=7k，z=5k，代入x﹣2y+3z=6得出方程，求出方程的解，即可求出x、y、z的值，最后代入求出即可．【答案與解析】解：∵x：y：z=2：7：5，∴設(shè)x=2k，y=7k，z=5k，代入x﹣2y+3z=6得：2k﹣14k+15k=6，解得：k=2，∴x=4，y=14，z=10，∴==0.18．【總結(jié)升華】若某一方程是比例形式，則先引入?yún)?shù)，后消元．舉一反三：【變式】解方程組【答案】解：由①，得3x＝2y，即，④由②，得5y＝4z，即，⑤把④、⑤代入③，得．解得y＝12．⑥把⑥代入④，得x＝8，把⑥代入⑤，得z＝15．所以原方程組的解為3.已知方程組的解使得代數(shù)式x-2y+3z的值等于-10，求a的值．【思路點撥】由題意可知，此方程組中的a是已知數(shù)，x、y、z是未知數(shù)，先解方程組，求出x，y，z(含有a的代數(shù)式)，然后把求得的x、y、z代入等式x-2y+3z＝-10，可得關(guān)于a的一元一次方程，解這個方程，即可求得a的值．【答案與解析】解法一：②-①，得z-x＝2a④③+④，得2z＝6a，z＝3a把z＝3a分別代入②和③，得y＝2a，x＝a．∴．把x＝a，y＝2a，z＝3a代入x-2y+3z＝10得a-2×2a+3×3a＝-10．解得．解法二：①+②+③，得2(x+y+z)＝12a．即x+y+z=6a④④-①，得z＝3a，④-②，得x＝a，④-③，得y＝2a．∴，把x＝a，y＝2a，z＝3a代入x-2y+3z＝10得a-2×2a+3×3a＝-10．解得．【總結(jié)升華】當(dāng)方程組中三個方程的未知數(shù)的系數(shù)都相同時，可以運用此題解法2中的技巧解這類方程組．舉一反三：【變式】若，則x：y：z＝.【答案】類型三、三元一次方程組的應(yīng)用4.小明到某服裝商場進行社會調(diào)查，了解到該商場為了激勵營業(yè)員的工作積極性，實行“月總收入=基本工資+計件獎金”的方法，并獲得如下信息：營業(yè)員A：月銷售件數(shù)200件，月總收入2400元；營業(yè)員B：月銷售件數(shù)300件，月總收入2700元；假設(shè)營業(yè)員的月基本工資為x元，銷售每件服裝獎勵y元．（1）求x、y的值；（2）若某營業(yè)員的月總收入不低于3100元，那么他當(dāng)月至少要賣服裝多少件？（3）商場為了多銷售服裝，對顧客推薦一種購買方式：如果購買甲3件，乙2件，丙1件共需350元；如果購買甲1件，乙2件，丙3件共需370元．某顧客想購買甲、乙、丙各一件共需多少元？【思路點撥】（1）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，從而可以得到x、y的值；（2）由題意可以列出相應(yīng)的不等式，從而可以得到某營業(yè)員至少需要賣出服裝的件數(shù)；（3）由題意可得相應(yīng)的三元一次方程組，通過變形即可得到問題的答案．【答案與解析】解：（1）由題意，得，解得即x的值為1800，y的值為3；（2）設(shè)某營業(yè)員當(dāng)月賣服裝m件，由題意得，1800+3m≥3100，解得，，∵m只能為正整數(shù)，∴m最小為434，即某營業(yè)員當(dāng)月至少要賣434件；（3）設(shè)一件甲為a元，一件乙為b元，一件丙為c元，則，將兩等式相加得，4a+4b+4c=720，則a+b+c=180，即購買一件甲、一件乙、一件丙共需180元．【總結(jié)升華】本題考查三元一次方程組的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組或不等式．舉一反三：【變式】有鉛筆、練習(xí)本、圓珠筆三種學(xué)習(xí)用品，若購鉛筆3支，練習(xí)本7本，圓珠筆1支共需3.15元；若購鉛筆4支，練習(xí)本8本，圓珠筆2支共需4.2元，那么，購鉛筆、練習(xí)本、圓珠筆各1件共需（）A．1.2元 B．1.05元 C．0.95元 D．0.9元【答案】B．解：設(shè)購一支鉛筆，一本練習(xí)本，一支圓珠筆分別需要x，y，z元，根據(jù)題意得，②﹣①得x+y+z=1.05（元）．實際問題與二元一次方程組（一）（基礎(chǔ)）知識講解【學(xué)習(xí)目標】1．以含有多個未知數(shù)的實際問題為背景，經(jīng)歷“分析數(shù)量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)，列方程組，解方程組和檢驗結(jié)果”的過程，體會方程組是刻畫現(xiàn)實世界中含有多個未知數(shù)問題的數(shù)學(xué)模型；2.熟練掌握用方程組解決和差倍分，配套，工程等實際問題.【要點梳理】要點一、常見的一些等量關(guān)系（一）1.和差倍分問題：增長量＝原有量×增長率較大量＝較小量＋多余量，總量＝倍數(shù)×倍量.2.產(chǎn)品配套問題：解這類問題的基本等量關(guān)系是：加工總量成比例.3.工程問題：工作量＝工作效率×工作時間，各部分勞動量之和＝總量.4.利潤問題：商品利潤＝商品售價－商品進價，.要點二、實際問題與二元一次方程組1.列方程組解應(yīng)用題的基本思想列方程組解應(yīng)用題，是把“未知”轉(zhuǎn)換成“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的等量關(guān)系．一般來說，有幾個未知量就必須列出幾個方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示的是同類量：②同類量的單位要統(tǒng)一；③方程兩邊的數(shù)要相等.2.列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)：用兩個字母表示問題中的兩個未知數(shù)；列：列出方程組（分析題意，找出兩個等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組）；解：解方程組，求出未知數(shù)的值；驗：檢驗求得的值是否正確和符合實際情形；答：寫出答案．要點詮釋：（1）解實際應(yīng)用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個方程并組成方程組.【典型例題】類型一、和差倍分問題1.電子商務(wù)的快速發(fā)展逐步改變了人們的生活方式，網(wǎng)購已悄然進入千家萬戶．李阿姨在淘寶網(wǎng)上花220元買了1個茶壺和10個茶杯，已知茶壺的單價比茶杯的單價的4倍還多10元．請問茶壺和茶杯的單價分別是多少元？【思路點撥】設(shè)茶壺的單價為x元，茶杯的單價為y元，根據(jù)題意可得，1個茶壺和10個茶杯共花去220元，茶壺的單價比茶杯的單價的4倍還多10元，據(jù)此列方程組求解．【答案與解析】解：設(shè)茶壺的單價為x元，茶杯的單價為y元，由題意得，，解得：．答：茶壺的單價為70元，茶杯的單價為15元．【總結(jié)升華】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程組求解．舉一反三：【變式】根據(jù)如圖提供的信息，可知一個熱水瓶的價格是（）A．7元 B．35元 C．45元 D．50元【答案】C．解：設(shè)水壺單價為x元，杯子單價為y元，則有，解得．答：一個熱水瓶的價格是45元．類型二、配套問題2.某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝，已知每2米的某種布料可做上衣的衣身3個或衣袖5只.現(xiàn)計劃用132米這種布料生產(chǎn)這批秋裝（不考慮布料的損耗），應(yīng)分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？【思路點撥】本題的第一個相等關(guān)系比較容易得出：衣身、衣袖所用布料的和為132米；第二個相等關(guān)系的得出要弄清一整件衣服是怎么樣配套的，即衣袖的數(shù)量等于衣身的數(shù)量的2倍（注意：別把2倍的關(guān)系寫反了）.【答案與解析】解：設(shè)用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套.根據(jù)題意，列方程組得解方程組得答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.【總結(jié)升華】生產(chǎn)中的配套問題很多，如螺釘和螺母的配套、盒身與盒底的配套、桌面與桌腿的配套、衣身與衣袖的配套等.各種配套都有數(shù)量比例，依次設(shè)未知數(shù)，用未知數(shù)可把它們之間的數(shù)量關(guān)系表示出來，從而得到方程組，使問題得以解決，確定等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式】某家具廠生產(chǎn)一種方桌，設(shè)計時1的木材可做50個桌面或300條桌腿.現(xiàn)有10的木材，怎樣分配桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面和桌腿剛好配套，并指出可生產(chǎn)多少張方桌？（提示：一張方桌有一個桌面，4條桌腿）.【答案】解：設(shè)有的木材生產(chǎn)桌面，的木材生產(chǎn)桌腿，由題意得，,.∴方桌有50=300（張）.答：有6的木材生產(chǎn)桌面，4的木材生產(chǎn)桌腿，可生產(chǎn)出300張方桌.類型三、工程問題3.一批機器零件共840個，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，