考研數(shù)學(xué)三(定積分及應(yīng)用)模擬試卷6(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)三（定積分及應(yīng)用）模擬試卷6(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。1．下列廣義積分發(fā)散的是()．A．∫-11B．∫-11C．∫0+∞e-x2dxD．∫2+∞正確答案：A解析：∫-11中，x=0為該廣義積分的瑕點(diǎn)，且sinx～x1，由1≥1，得廣義積分∫-11發(fā)散；為該廣義積分的瑕點(diǎn)，且收斂，同理∫01也收斂，故∫-11收斂；∫0+∞e-x2dx中，e-x2為連續(xù)函數(shù)，因?yàn)閤2e-x2=0，所以∫0+∞e-x2dx收斂；根據(jù)廣義積分收斂的定義，∫2+∞收斂，選A．知識(shí)模塊：定積分及應(yīng)用2．設(shè)f(x)，g(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且g(x)＜f(x)＜m，則由曲線y=g(x)，y=f(x)及直線x=a，x=b所圍成的平面區(qū)域繞直線y=m旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積為()．A．π∫ab[2m-f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]dxB．π∫ab[2m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x)]dxC．π∫ab[m-f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]dxD．π∫ab[m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x)]dx正確答案：B解析：由元素法的思想，對(duì)[x，x+dx][a，b]，dV={π[m-g(x)]2-π[m-f(x)]2)dx=π[2m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x]dx．則V=π∫ab[2m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x)]dx，選B．知識(shí)模塊：定積分及應(yīng)用填空題3．=________.正確答案：ln2-解析：=∫01xln(1+x2)dx=ln(1+x2)d(1+x2)∫12lntdt=lnt｜12=∫12t=ln2-知識(shí)模塊：定積分及應(yīng)用4．∫02=________.正確答案：解析：知識(shí)模塊：定積分及應(yīng)用5．=_______．正確答案：解析：知識(shí)模塊：定積分及應(yīng)用6．=_________.正確答案：解析：因?yàn)樵赱-a，a]上連續(xù)的函數(shù)f(x)有∫-aaf(x)dx=∫0a[f(x)+f(-x)]dx，所以知識(shí)模塊：定積分及應(yīng)用7．設(shè)f(x)=e-t2dt，則∫01=_________.正確答案：e-1-1解析：=-2∫01=-∫01e-xdx=e-1-1．知識(shí)模塊：定積分及應(yīng)用8．∫0+∞x7e-x2dx=______．正確答案：3解析：∫0+∞x7e-x2dx=∫0+∞x6e-x2d(x2)=∫0+∞t3e-tdt==3．知識(shí)模塊：定積分及應(yīng)用9．曲線y=x4e-x2(x≥0)與x軸圍成的區(qū)域面積為________．正確答案：解析：A=∫0+∞x4e-x2dx∫0+∞t2e-t.e-tdt知識(shí)模塊：定積分及應(yīng)用解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。10．設(shè)f(x)=xe2x+2∫01f(x)dx，求∫01f(x)dx．正確答案：令A(yù)=∫01f(x)dx，對(duì)f(x)=xe2x+2∫01f(x)dx兩邊積分，得A=∫01xe2xdx+2A，解得A=∫01f(x)dx=-∫01xe2xdx=∫01xd(e2x)=涉及知識(shí)點(diǎn)：定積分及應(yīng)用11．設(shè)L：，過原點(diǎn)O作L的切線OP，設(shè)OP、L及x軸圍成的區(qū)域?yàn)镈．(1)求切線方程；(2)求區(qū)域D的面積；(3)求區(qū)域D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積．正確答案：(1)設(shè)切點(diǎn)為由，解得a=2，切點(diǎn)為P(2，1)，故切線OP：y=(2)區(qū)域D的面積為(3)區(qū)域D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為涉及知識(shí)點(diǎn)：定積分及應(yīng)用12．設(shè)φ(x)=∫sinxcos2xln(1+t2)dt，求φ’(x)．正確答案：φ’(x)=-2ln(1+cos22x)sin2x-ln(1+sin2x)cosx．涉及知識(shí)點(diǎn)：定積分及應(yīng)用13．求∫01xarctanxdx．正確答案：∫01xarctanxdx=∫01arctanxd(x2)=x2arctanx｜01-dx涉及知識(shí)點(diǎn)：定積分及應(yīng)用14．求∫02π｜sinx-cosx｜dx．正確答案：∫02π｜sinx-cosx｜dx=｜sinx｜dx涉及知識(shí)點(diǎn)：定積分及應(yīng)用15．求∫01正確答案：涉及知識(shí)點(diǎn)：定積分及應(yīng)用16．設(shè)y’=arctan(x-1)2，y(0)=0，求∫01y(x)dx．正確答案：∫01y(x)dx=xy(x)∫01-∫01xarctan(x-1)2dx=y(1)-∫01(x-1)arctan(x-1)2d(x-1)-∫01arctan(x-1)2dx=∫01arctan(x-1)2d(x-1)2=∫01arctantdt=(tarctant｜01-∫01涉及知識(shí)點(diǎn)：定積分及應(yīng)用17．計(jì)算下列定積分：正確答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)涉及知識(shí)點(diǎn)：定積分及應(yīng)用18．設(shè)f(x)=求∫02πf(x-π)dx．正確答案：∫02πf(x-π)dx=∫02πf(x-π)d(x-π)=∫-ππF’(x)dx=∫-π0+∫0πxsin2xdx=-arctan(cosx)｜-π0+∫0πsin2xdx涉及知識(shí)點(diǎn)：定積分及應(yīng)用19．求+sin2x]cos2xdx．正確答案：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以+sin2x]cos2xdx=sin2xcos2xdx=sin2x(1-sin2x)dx=2(I2-I4)涉及知識(shí)點(diǎn)：定積分及應(yīng)用20．求函數(shù)f(x)=∫0x2(2-t)e-tdt的最大值與最小值．正確答案：因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以只研究f(x)在[0，+∞)內(nèi)的最大值與最小值即可．令f’(x)=2x(2-x2)e-x2=0，得f(x)的唯一駐點(diǎn)為x=當(dāng)x∈(0，)時(shí)，f’(x)＞0，當(dāng)x∈(，+∞)時(shí)，f’(x)＜0，注意到駐點(diǎn)的唯一性，則x=及x=為函數(shù)f(x)的最大值點(diǎn)，最大值為因?yàn)閒(+∞)=f(-∞)=I(2-t)e-tdt=1及f(0)=0，所以最小值為0．涉及知識(shí)點(diǎn)：定積分及應(yīng)用21．設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，證明：∫abf(x)dx=(b-a)∫01f[a+(b-a)x]dx．正確答案：∫abf(x)dx∫01f[a+(b-a)t].(b-a)dt=(b-a)∫01f[a+(b-a)t]dt=(b-a)∫01f[a+(b-a)x]dx．涉及知識(shí)點(diǎn)：定積分及應(yīng)用22．設(shè)f(x)在區(qū)間[0，1]上可積，當(dāng)0≤x＜y≤1時(shí)，｜f(x)-f(y)｜≤｜arctanx-arctany｜，又f(1)=0，證明：｜∫01f(x)dx｜≤ln2．正確答案：由｜f(x)｜=｜f(x)-f(1)｜≤｜arctanx-arctan1｜=｜arctanx-｜得｜∫01f(x)dx｜≤∫01｜f(x)｜dx≤∫01｜arctanx-｜dx=∫01(-arctanx)dx=-∫01arctanxdx=-xarctanx｜01+∫01ln(1+x2)｜01=ln2．涉及知識(shí)點(diǎn)：定積分及應(yīng)用23．設(shè)f(t)在[0，π]上連續(xù)，在(0，π)內(nèi)可導(dǎo)，且∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)sinxdx=0．證明：存在ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)=0．正確答案：令F(x)=∫0xf(t)sintdt，因?yàn)镕(0)=F(π)=0，所以存在x1∈(0，π)，使得F’(x1)=0，即f(x1)sinx1=0，又因?yàn)閟inx1≠0，所以f(x1)=0．設(shè)x1是f(x)在(0，π)內(nèi)唯一的零點(diǎn)，則當(dāng)x∈(0，π)且x≠x1時(shí)，有sin(x-x1)f(x)恒正或恒負(fù)，于是∫0πsin(x-x1)f(x)dx≠0．而∫0πsin(x-x1)f(x)dx=cosx1∫0πf(x)sinxdx-sinx1∫0πf(x)cosxdx=0，矛盾，所以f(x)在(0，π)內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn)．不妨設(shè)f(x1)=f(x2)=0，x1，x2∈(0，π)且x1＜x2，由羅爾定理，存在ξ∈(x1，x2)(0，π)，使得f’(ξ)=0．涉及知識(shí)點(diǎn)：定積分及應(yīng)用24．求曲線y=x2-2x與直線y=0，x=1，x=3所圍成區(qū)域的面積S，并求該區(qū)域繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V．正確答案：所求面積為S=∫12｜f(x)｜dx=J(2x-x2)dx+I(x2-2x)dx=(x2-x3)｜12+(x3-x2)｜23=2；Vy=2π∫13x｜f(x)｜dx=2π[∫12x(2x-x2)dx+∫23x(x2-2x)dx]=2π[(x3-x4)｜12+(x4-x3)｜23]=9π．涉及知識(shí)點(diǎn)：定積分及應(yīng)用25．設(shè)L：y=sinx(0≤x≤)，由x=0，L及y=sint圍成面積S1(t)；由y=sint，L及x=圍成面積S2(t)，其中0≤t≤(1)t取何值時(shí)，S(t)=S1(t)+S2(t)取最小值?(2)t取何值時(shí)，S(t)=S1(t)+S2(t)取最大值?正確答案：S1(t)=tsint-∫0tsinxdx=tsint+cost=1，S2(t)=sinxdx-sint=cost-sint，S(t)=S1(t)+S2(t)=sint+2cost-1．由S’(t)=cost=0得(1)當(dāng)t=時(shí)，S(t)最小，且最小面積為(2)當(dāng)t=0時(shí)，S(t)最大，且最大面積為S(0)=1．涉及知識(shí)點(diǎn)：定積分及應(yīng)用26．曲線y=(x-1)(x-2)和x軸圍成平面圖形，求此平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積．正確答案：取[x，x+dx][1，2]，dV=2πx｜(x-1)(