2022年北京初二（下）期末數(shù)學試卷匯編：一元二次方程和它的解法

第1頁/共1頁2022北京初二（下）期末數(shù)學匯編一元二次方程和它的解法一、單選題1．（2022·北京平谷·八年級期末）把一元二次方程配方后，下列變形正確的是（

）A． B． C． D．2．（2022·北京通州·八年級期末）如果，那么的值是（

）A．0 B．2 C．0，2 D．0，3．（2022·北京通州·八年級期末）一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是（

）A．1，3， B．0，3，4 C．0，，4 D．1，，4．（2022·北京房山·八年級期末）方程的根的情況是（

）A．有兩個相等實數(shù)根 B．有兩個不相等實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．無法判斷5．（2022·北京順義·八年級期末）一元二次方程配方后可化為（

）A． B． C． D．6．（2022·北京順義·八年級期末）方程的解是（

）A． B． C．， D．，7．（2022·北京石景山·八年級期末）用配方法解一元二次方程，此方程可化為（

）A． B． C． D．8．（2022·北京昌平·八年級期末）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（

）A． B． C． D．二、填空題9．（2022·北京通州·八年級期末）若關于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，則c的值為______．10．（2022·北京延慶·八年級期末）關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是________________．11．（2022·北京平谷·八年級期末）若關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則m的值是_____．12．（2022·北京門頭溝·八年級期末）如果關于的一元二次方程的一個根為，那么的值為______．13．（2022·北京順義·八年級期末）若關于x的方程的一個根是-1，則m的值是______．14．（2022·北京房山·八年級期末）關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍為_______．15．（2022·北京石景山·八年級期末）一元二次方程的解為_____________．16．（2022·北京順義·八年級期末）已知關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為______．三、解答題17．（2022·北京延慶·八年級期末）已知關于的一元二次方程．(1)如果該方程有兩個相等的實數(shù)根，求m的值；(2)如果該方程有一個根小于0，求m的取值范圍．18．（2022·北京延慶·八年級期末）解方程：(1)；(2)．19．（2022·北京平谷·八年級期末）已知關于x的一元二次方程x2?mx+m?2=0．(1)求證：此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若此方程有一個根是0，求出m的值和另一個根．20．（2022·北京平谷·八年級期末）解方程：(1)；(2)21．（2022·北京門頭溝·八年級期末）閱讀材料，并回答問題：王林在學習一元二次方程時，解方程的過程如下：解：①②③④，⑤，⑥問題：(1)王林解方程的方法是______；A．直接開平方法

B．配方法

C．公式法

D．因式分解法(2)上述解答過程中，從______步開始出現(xiàn)了錯誤（填序號），發(fā)生錯誤的原因是______；(3)在下面的空白處，寫出正確的解答過程．22．（2022·北京門頭溝·八年級期末）已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)當取正整數(shù)時，求此時方程的根．23．（2022·北京門頭溝·八年級期末）用適當?shù)姆椒ń夥匠蹋海?4．（2022·北京房山·八年級期末）已知關于x的一元二次方程．(1)當時，不解方程，判斷方程根的情況，并說明理由．(2)若方程有兩個相等的非零實數(shù)根，寫出一組滿足條件的m，n的值，并求此時方程的根．25．（2022·北京房山·八年級期末）解方程：(1)；(2)（用配方法）26．（2022·北京順義·八年級期末）已知：關于x的方程．(1)請判斷這個方程根的情況；(2)若該方程的一個根小于1，求k的取值范圍．27．（2022·北京石景山·八年級期末）已知關于x的一元二次方程．(1)求證：對于任意實數(shù)m，該方程總有兩個不相等實數(shù)根；(2)如果此方程有一個根為0，求m的值．28．（2022·北京石景山·八年級期末）用適當?shù)姆椒ń夥匠蹋海?9．（2022·北京昌平·八年級期末）已知關于x的一元二次方程．(1)求證：無論m為何值，方程總有兩個實數(shù)根；(2)若方程只有一個根為負數(shù)，求m的取值范圍．30．（2022·北京朝陽·八年級期末）對于平面直角坐標系xOy中的直線l：與矩形OABC給出如下定義：設直線l與坐標軸交于點M，N（M，N不重合），直線與矩形OABC的兩邊交于點P，Q（P，Q不重合），稱線段MN，PQ的較小值為直線l的關聯(lián)距離，記作，特別地，當MN＝PQ時，．已知A（6，0），B（6，3），C（0，3）．(1)若，則MN＝______，PQ＝______；(2)若，，則b的值為______；(3)若，直接寫出的最大值及此時以M，N，P，Q為頂點的四邊形的對角線交點坐標．

參考答案1．C【分析】掌握配方法解一元二次方程即可得出答案．【詳解】，，，故選C．【點睛】本題考查了用配方法解一元二次方程，準確掌握方法是本題的關鍵．2．D【分析】利用因式分解法求解即可．【詳解】解：∵，∴，即或，故選：D．【點睛】本題考查因式分解法解一元二次方程．能正確對等式左邊分解因式是解題關鍵．3．D【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）中，ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項，直接進行判斷即可．【詳解】解：一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是1，-3，-4．故選：D．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在說明二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項時，一定要帶上前面的符號．4．C【分析】根據(jù)一元二次方程的判別式，即可得出?=-30,方程無實數(shù)根.【詳解】一元二次方程x2-x+1=0的判別式，?=1-4=-30,所以，方程無實數(shù)根,答案:C.【點睛】記住當?<0時，方程無實數(shù)根；當?=0,方程有相等的實數(shù)根；當?>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根.5．D【分析】方程移項后，兩項加上一次項系數(shù)的一半的平方配方得到結(jié)果，即可作出判斷．【詳解】方程移項得：，配方得：，即，故選：D．【點睛】此題考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握完全平方公式是解決本題的關鍵．6．C【分析】利用直接開平方法解一元二次方程即可．【詳解】解：原方程化為，∴，，故選：C．【點睛】本題考查解一元二次方程，根據(jù)方程結(jié)構(gòu)靈活選用一元二次方程的解法是解答的關鍵．7．A【分析】將常數(shù)項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后可得答案．【詳解】解：，，則，即，故選：A．【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，解題的關鍵是熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法．8．A【分析】根據(jù)二次項系數(shù)為1的一元二次方程的配方步驟：①將常數(shù)項移到等于號的右邊，②兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半的平方，轉(zhuǎn)化成完全平方式即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，故選A．【點睛】本題考查了一元二次方程中的配方法，熟練掌握配方的步驟是解答本題的關鍵．9．9【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式進行計算即可得到答案．【詳解】解：△=（-6）2-4c=0，解得c=9，故答案為9．【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式，根據(jù)根的情況列出方程是解題的關鍵．10．【分析】根據(jù)一元二次方程根有兩個不相等的實數(shù)根時，判別式，代入計算即可得出答案．【詳解】解：由題可知，，解得，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，掌握根的判別式的符號與一元二次方程根的關系是本題的關鍵．11．2【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關系可知，?=b2-4ac=0時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，代入即可得出答案．【詳解】解：由題可知，，解得，故答案為：2．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關系，?=b2-4ac=0是本題的關鍵．12．-3【分析】把x=1代入已知方程可以列出關于a的新方程，通過解新方程即可求得a的值．【詳解】關于的一元二次方程的一個根為，，解得，．故答案是：．【點睛】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立．13．【分析】把代入方程進行求解即可．【詳解】解：把代入方程可得：，解得：．故答案為：．【點睛】本題主要考查一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程的解是解題的關鍵．14．m＞2且m≠3【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到3?m≠0且Δ＞0，然后解不等式組即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：3?m≠0且Δ＝（?2）2?4（3?m）＞0，解得：m＞2且m≠3．故答案為：m＞2且m≠3．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2?4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義．15．，【分析】利用因式分解法解方程．【詳解】解：（x-2）（x-5）＝0，x-2＝0或x-5＝0，所以，．故答案為，．【點睛】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右邊變形為0，然后把方程左邊進行因式分解，這樣把一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．16．1【分析】由關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，即可得判別式△，繼而可求得的值．【詳解】解：關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，△，解得：，故答案為：1．【點睛】此題考查了一元二次方程判別式的知識，解題的關鍵是注意掌握一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，即可得△．17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，利用判別式即可求解．（2）利用因式分解變形得，可得方程的解，再根據(jù)方程有一個根小于0即可求解．（1）解：依題意，得：，∵方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，∴．（2）解：解得，，∵方程有一個根小于0，∴，∴．【點睛】本題考查了一元二次方程的判別式及根據(jù)根的情況求參數(shù)問題，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．用因式分解法解含在參數(shù)的一元二次方程是本題的難點．18．(1)，(2)，【分析】（1）運用配方法解一元二次方程即可；（2）運用公式法解一元二次方程即可．（1）解：所以，原方程的解為，（2）解：，，∴∴原方程的解為，．【點睛】本題考查了解一元二次方程，靈活選用方法和準確計算是本題的關鍵．19．(1)見解析(2)m=2，方程的另一個根是2．【分析】（1）表示出根的判別式，判斷其值正負即可得證；（2）把x=0代入方程求出m的值，即可確定出另一根．【詳解】（1）證明：Δ=m2-4（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4，∵（m-2）2≥0，∴（m-2）2+4＞0，即Δ＞0，∴方程總有兩個不等實數(shù)根；（2）解：∵方程有一個根是0，∴m-2=0，解得：m=2，∴x2-2x=0，即x（x-2）=0，解得：x1=0，x2=2，∴此方程的另一個根是2．【點睛】此題考查了根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與Δ=b2-4ac有如下關系：（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）Δ=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實數(shù)根．同時考查了一元二次方程的解的定義以及因式分解法解一元二次方程．20．(1)，(2)，【分析】（1）移項后，直接開平方得出結(jié)果．（2）用因式分解法可以得出結(jié)論．（1）解：直接開平方得：解得：，．（2）解：因式分解得：解得：，．【點睛】本題考查一元二次方程的幾種常見解法：開平方法，分解因式法；掌握概念并熟練運用是解題的關鍵．21．(1)B(2)②；方程右邊沒有加上(3)，；正確的解答過程見解析【分析】（1）根據(jù)題意可得王林解方程的方法為配方法，即可；（2）根據(jù)題意可得從步開始出現(xiàn)了錯誤，發(fā)生錯誤的原因是方程右邊沒有加上，即可；（3）利用配方法求出方程的解，即可求解．（1）解：王林解方程的方法為配方法；故選：B；（2）解：上述解答過程中，從步開始出現(xiàn)了錯誤，發(fā)生錯誤的原因是方程右邊沒有加上；故答案為：；方程右邊沒有加上；（3）解：正確解答為：，，，，，，或，所以，．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關鍵．22．(1)的取值范圍為(2)當取正整數(shù)時，此時方程的根為和【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式Δ=b2-4ac＞0，即可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍；（2）由（1）的結(jié)論結(jié)合m為正整數(shù)，即可得出m=1，將其代入原方程，再利用因式分解法解一元二次方程，即可求出原方程的解．【詳解】（1）關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，，解得：，的取值范圍為；（2）為正整數(shù)，，原方程為，即，解得：，，當取正整數(shù)時，此時方程的根為和．【點睛】本題考查了根的判別式以及因式分解法解一元二次方程，解題的關鍵是：（1）牢記“當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”；（2）利用因式分解法求出方程的兩個根．23．，【分析】利用提公因式法把方程的左邊變形，計算即可．【詳解】，解：，或，解得：，．【點睛】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步驟是解題的關鍵．24．(1)方程有兩個不同的實數(shù)根，理由見解析；(2)取m=2，n=1，方程為的根為．（答案不唯一）【分析】（1）將求出根的判別式，其中n=m-3，判斷的范圍，即可判斷方程根的情況；（2）由判別式可得出，若取m=2，n=1，原方程為，即可求出方程的根．(1)解：∵一元二次方程，其中n=m-3，∴，∴方程有兩個不同的實數(shù)根．(2)解：∵要使方程有兩個相等的非零實數(shù)根，∴，取m=2，n=1，則原方程為，解得：．【點睛】本題考查了一元二次方程的判別式，方程(a≠0)其判別式為：，若＞0，則方程有兩個不同的實數(shù)根，若=0，則方程有兩個相同的實數(shù)根，若＜0，則方程無實數(shù)根，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．25．(1)x1=0，x2=5；(2)．【分析】（1）根據(jù)因式分解法即可求解；（2）根據(jù)配方法即可求解．(1)解：，，，∴x=0或x-5=0，∴x1=0，x2=5；(2)解：，，，，，∴．【點睛】此題主要考查一元二次方程的求解，熟練掌握因式分解法解一元二次方程的解法及配方法解一元二次方程是解題的關鍵．26．(1)有兩個實數(shù)根(2)【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式以及完全平方公式，可得原方程有兩個實數(shù)根；（2）由一元二次方程的求根公式可得，，分和兩種情況進行討論即可．（1）解：∵≥0．

∴原方程有兩個實數(shù)根．（2）解：∵，其中，，，，∵∴，若，則，∵該方程的一個根小于1，∴，即，這與矛盾，應舍去；若，則，∵該方程的一個根小于1，∴，即，符合題意，綜上，．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式和求根公式，熟練掌握一元二次方程的求根公式是解題的關鍵．27．(1)見解析；(2)m等于0或2．【分析】（1）根據(jù)a=，b=-（m-1），c=m2-2m，求出Δ=b2-4ac的值，進而作出判斷；（2）把x=0代入方程列出m的一元二次方程，因式分解法解方程即可．(1)證明：∵a=，b=-（m-1），c=m2-2m，∴Δ=b2-4ac=＞0，∴對于任意實數(shù)m，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)當x=0時，m2-2m=0，解得m等于0或2．【點睛】本題主要考查了根的判別式以及一元二次方程的解的知識，解答本題的關鍵是掌握根的判別式△與根個數(shù)的關系以及解一元二次方程的方法步驟，此題難度不大．28．，．【分析】先利用根的判別式差別根的情況，再利用求根公式求解．【詳解】解：在中，，，∴，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，∴，．【點睛】本題主要考查了公式法解一元二次方程，理解根的判別式是解答關鍵．29．(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)根的判別式求出△的值，再進行判斷即可；（2）解方程得到x1=-1，x2=-m+1，根據(jù)方程只有一個根為負數(shù)，得到不等式，解不等式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵a＝1，b＝m，，∴．∵，∴，∴無論m為何值，方程總有兩個實數(shù)根．（2）∵a＝1，b＝m，，∴解方程，得，∴，，∵該方程只有一個根為負數(shù)，∴，解得：．【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式Δ=b2-4ac：當Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0，方程沒有實數(shù)根．30．(1)5，2.5；(2)1或3.5(3)的最大值為2.5，四邊形的對角線交點坐標為()【分析】（1）根據(jù)點坐標及b=3畫出圖形，得到點M，N，P，Q的位置，利用勾股定理求出MN，PQ；（2）分兩種情況：①當MN較小時，②當PQ較小時，分別求出點M，N，P，Q的坐標，利用勾股定理列式計算可得b的值；（3）先確定-3<b<0，兩直線平行，且關系直線對稱，勾股定理求出MN，PQ，當MN=PQ時，求出b=-1.5，當-1.5<b<0時，d1=MN，且d1隨b的減小而增大；當b=-1.5時，d1=MN=PQ；當-3<b<-1.5時，d1=PQ，且d1隨b的減小而增大；故當b=-1.5時，d1有最大值，此時d1=MN=PQ，得到P（0，1.5），Q（2，3），M（2，0），N（0，-1.5），求出d1及△CQP≌△OMN，得到四邊形MNPQ是平行四邊形，進而得到四邊形對角線交點坐標．（1）當b=3時，直線，與x軸交點坐標為M（-4，0），與y軸交點N(0，3)，此時點N與點C重合，直線中，當y=0時，得x=4；當x=6時，得y=1.5，