2023-2024學年湖南省婁底市雙峰一中等五校重點中學高考適應性考試數學試卷含解析

2023-2024學年湖南省婁底市雙峰一中等五校重點中學高考適應性考試數學試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一小商販準備用元錢在一批發(fā)市場購買甲、乙兩種小商品，甲每件進價元，乙每件進價元，甲商品每賣出去件可賺元，乙商品每賣出去件可賺元.該商販若想獲取最大收益，則購買甲、乙兩種商品的件數應分別為（）A．甲件，乙件 B．甲件，乙件 C．甲件，乙件 D．甲件，乙件2．在中，在邊上滿足，為的中點，則（）.A． B． C． D．3．已知復數z=2i1-i，則A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．若，則的值為（）A． B． C． D．5．在“一帶一路”知識測驗后，甲、乙、丙三人對成績進行預測．甲：我的成績比乙高．乙：丙的成績比我和甲的都高．丙：我的成績比乙高．成績公布后，三人成績互不相同且只有一個人預測正確，那么三人按成績由高到低的次序為A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，當輸出的時，則輸入的的值為()A．-2 B．-1 C． D．7．設集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}，B＝{x|﹣2≤x≤3，x∈Z}，則A∩B＝（）A．（﹣1，3] B．[﹣1，3] C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}8．已知向量，，則與的夾角為（）A． B． C． D．9．若，滿足約束條件，則的取值范圍為（）A． B． C． D．10．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E、F且EF=，則下列結論中錯誤的是（）A．AC⊥BE B．EF平面ABCDC．三棱錐A-BEF的體積為定值 D．異面直線AE,BF所成的角為定值11．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的右焦點為，若F到直線的距離為，則E的離心率為()A． B． C． D．12．已知雙曲線的右焦點為F，過右頂點A且與x軸垂直的直線交雙曲線的一條漸近線于M點，MF的中點恰好在雙曲線C上，則C的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．假設10公里長跑，甲跑出優(yōu)秀的概率為，乙跑出優(yōu)秀的概率為，丙跑出優(yōu)秀的概率為，則甲、乙、丙三人同時參加10公里長跑，剛好有2人跑出優(yōu)秀的概率為________．14．“學習強國”學習平臺是由中宣部主管，以深入學習宣傳新時代中國特色社會主義思想為主要內容，立足全體黨員、面向全社會的優(yōu)質平臺，現(xiàn)已日益成為老百姓了解國家動態(tài)，緊跟時代脈搏的熱門app.該款軟件主要設有“閱讀文章”和“視聽學習”兩個學習板塊和“每日答題”、“每周答題”、“專項答題”、“挑戰(zhàn)答題”四個答題板塊.某人在學習過程中，將六大板塊依次各完成一次，則“閱讀文章”與“視聽學習”兩大學習板塊之間最多間隔一個答題板塊的學習方法有________種.15．若函數在和上均單調遞增，則實數的取值范圍為________．16．袋中裝有兩個紅球、三個白球，四個黃球，從中任取四個球，則其中三種顏色的球均有的概率為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知三點在拋物線上.（Ⅰ）當點的坐標為時，若直線過點，求此時直線與直線的斜率之積；（Ⅱ）當，且時，求面積的最小值.18．（12分）已知均為正實數，函數的最小值為.證明：（1）；（2）.19．（12分）已知函數（1）求函數的單調遞增區(qū)間（2）記函數的圖象為曲線，設點是曲線上不同兩點，如果在曲線上存在點，使得①；②曲線在點M處的切線平行于直線AB，則稱函數存在“中值和諧切線”，當時，函數是否存在“中值和諧切線”請說明理由20．（12分）如圖1，在等腰梯形中，兩腰，底邊，，，是的三等分點，是的中點.分別沿，將四邊形和折起，使，重合于點，得到如圖2所示的幾何體.在圖2中，，分別為，的中點.（1）證明：平面.（2）求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）的內角，，的對邊分別為，，，其面積記為，滿足.（1）求；（2）若，求的值.22．（10分）近幾年一種新奇水果深受廣大消費者的喜愛，一位農戶發(fā)揮聰明才智，把這種露天種植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的經濟效益．根據資料顯示，產出的新奇水果的箱數x（單位：十箱）與成本y（單位：千元）的關系如下：x13412y51．522．58y與x可用回歸方程（其中，為常數）進行模擬．（Ⅰ）若該農戶產出的該新奇水果的價格為150元/箱，試預測該新奇水果100箱的利潤是多少元．|．（Ⅱ）據統(tǒng)計，10月份的連續(xù)11天中該農戶每天為甲地配送的該新奇水果的箱數的頻率分布直方圖如圖所示．（i）若從箱數在內的天數中隨機抽取2天，估計恰有1天的水果箱數在內的概率；（ⅱ）求這11天該農戶每天為甲地配送的該新奇水果的箱數的平均值．（每組用該組區(qū)間的中點值作代表）參考數據與公式：設，則0.541.81.530.45線性回歸直線中，，．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由題意列出約束條件和目標函數，數形結合即可解決.【詳解】設購買甲、乙兩種商品的件數應分別，利潤為元，由題意，畫出可行域如圖所示，顯然當經過時，最大.故選：D.【點睛】本題考查線性目標函數的線性規(guī)劃問題，解決此類問題要注意判斷，是否是整數，是否是非負數，并準確的畫出可行域，本題是一道基礎題.2、B【解析】

由，可得，，再將代入即可.【詳解】因為，所以，故.故選：B.【點睛】本題考查平面向量的線性運算性質以及平面向量基本定理的應用，是一道基礎題.3、C【解析】分析：根據復數的運算，求得復數z，再利用復數的表示，即可得到復數對應的點，得到答案．詳解：由題意，復數z=2i1-i所以復數z在復平面內對應的點的坐標為(-1,-1)，位于復平面內的第三象限，故選C．點睛：本題主要考查了復數的四則運算及復數的表示，其中根據復數的四則運算求解復數z是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力．4、C【解析】

根據，再根據二項式的通項公式進行求解即可.【詳解】因為，所以二項式的展開式的通項公式為：，令，所以，因此有.故選：C【點睛】本題考查了二項式定理的應用，考查了二項式展開式通項公式的應用，考查了數學運算能力5、A【解析】

利用逐一驗證的方法進行求解.【詳解】若甲預測正確，則乙、丙預測錯誤，則甲比乙成績高，丙比乙成績低，故3人成績由高到低依次為甲，乙，丙；若乙預測正確，則丙預測也正確，不符合題意；若丙預測正確，則甲必預測錯誤，丙比乙的成績高，乙比甲成績高，即丙比甲，乙成績都高，即乙預測正確，不符合題意，故選A．【點睛】本題將數學知識與時政結合，主要考查推理判斷能力．題目有一定難度，注重了基礎知識、邏輯推理能力的考查．6、B【解析】若輸入，則執(zhí)行循環(huán)得結束循環(huán)，輸出，與題意輸出的矛盾；若輸入，則執(zhí)行循環(huán)得結束循環(huán)，輸出，符合題意；若輸入，則執(zhí)行循環(huán)得結束循環(huán)，輸出，與題意輸出的矛盾；若輸入，則執(zhí)行循環(huán)得結束循環(huán)，輸出，與題意輸出的矛盾；綜上選B.7、C【解析】

先求集合A，再用列舉法表示出集合B，再根據交集的定義求解即可．【詳解】解：∵集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}＝{y|y＞﹣1}，B＝{x|﹣2≤x≤3，x∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B＝{0，1，2，3}，故選：C．【點睛】本題主要考查集合的交集運算，屬于基礎題．8、B【解析】

由已知向量的坐標，利用平面向量的夾角公式，直接可求出結果.【詳解】解：由題意得，設與的夾角為，，由于向量夾角范圍為：，∴.故選：B.【點睛】本題考查利用平面向量的數量積求兩向量的夾角，注意向量夾角的范圍.9、B【解析】

根據約束條件作出可行域，找到使直線的截距取最值得點，相應坐標代入即可求得取值范圍.【詳解】畫出可行域，如圖所示：由圖可知，當直線經過點時，取得最小值－5；經過點時，取得最大值5，故.故選：B【點睛】本題考查根據線性規(guī)劃求范圍，屬于基礎題.10、D【解析】

A．通過線面的垂直關系可證真假；B．根據線面平行可證真假；C．根據三棱錐的體積計算的公式可證真假；D．根據列舉特殊情況可證真假.【詳解】A．因為，所以平面，又因為平面，所以，故正確；B．因為，所以，且平面，平面，所以平面，故正確；C．因為為定值，到平面的距離為，所以為定值，故正確；D．當，，取為，如下圖所示：因為，所以異面直線所成角為，且，當，，取為，如下圖所示：因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以異面直線所成角為，且，由此可知：異面直線所成角不是定值，故錯誤.故選：D.【點睛】本題考查立體幾何中的綜合應用，涉及到線面垂直與線面平行的證明、異面直線所成角以及三棱錐體積的計算，難度較難.注意求解異面直線所成角時，將直線平移至同一平面內.11、A【解析】

由已知可得到直線的傾斜角為，有，再利用即可解決.【詳解】由F到直線的距離為，得直線的傾斜角為，所以，即，解得.故選：A.【點睛】本題考查橢圓離心率的問題，一般求橢圓離心率的問題時，通常是構造關于的方程或不等式，本題是一道容易題.12、A【解析】

設，則MF的中點坐標為，代入雙曲線的方程可得的關系，再轉化成關于的齊次方程，求出的值，即可得答案.【詳解】雙曲線的右頂點為，右焦點為，M所在直線為，不妨設，∴MF的中點坐標為.代入方程可得，∴，∴，∴（負值舍去）.故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意構造的齊次方程.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

分跑出優(yōu)秀的人為：甲、乙和甲、丙和乙、丙三種情況分別計算再求和即可.【詳解】剛好有2人跑出優(yōu)秀有三種情況：其一是只有甲、乙兩人跑出優(yōu)秀的概率為；其二是只有甲、丙兩人跑出優(yōu)秀的概率為；其三是只有乙、丙兩人跑出優(yōu)秀的概率為,三種情況相加得.即剛好有2人跑出優(yōu)秀的概率為.故答案為：【點睛】本題主要考查了分類方法求解事件概率的問題,屬于基礎題.14、【解析】

先分間隔一個與不間隔分類計數，再根據捆綁法求排列數,最后求和得結果.【詳解】若“閱讀文章”與“視聽學習”兩大學習板塊相鄰，則學習方法有種;若“閱讀文章”與“視聽學習”兩大學習板塊之間間隔一個答題板塊的學習方法有種;因此共有種.故答案為：【點睛】本題考查排列組合實際問題，考查基本分析求解能力，屬基礎題.15、【解析】

化簡函數，求出在上的單調遞增區(qū)間，然后根據在和上均單調遞增，列出不等式求解即可．【詳解】由知，當時，在和上單調遞增，在和上均單調遞增，，

，

的取值范圍為：．

故答案為：．【點睛】本題主要考查了三角函數的圖象與性質，關鍵是根據函數的單調性列出關于m的方程組，屬中檔題．16、【解析】

基本事件總數n126，其中三種顏色的球都有包含的基本事件個數m72，由此能求出其中三種顏色的球都有的概率．【詳解】解：袋中有2個紅球，3個白球和4個黃球，從中任取4個球，基本事件總數n126，其中三種顏色的球都有，可能是2個紅球，1個白球和1個黃球或1個紅球，2個白球和1個黃球或1個紅球，1個白球和2個黃球，所以包含的基本事件個數m72，∴其中三種顏色的球都有的概率是p．故答案為：．【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）16.【解析】

（Ⅰ）設出直線的方程并代入拋物線方程，利用韋達定理以及斜率公式，變形可得；（Ⅱ）利用，，的斜率，求得的坐標，，再用基本不等式求得的最小值，從而可得三角形的面積的最小值．【詳解】解：（Ⅰ）設直線的方程為.聯(lián)立方程組，得，，故，.所以；（Ⅱ）不妨設的三個頂點中的兩個頂點在軸右側（包括軸），設，，，的斜率為，又，則，①因為，所以②由①②得，，（且）從而當且僅當時取“”號，從而，所以面積的最小值為.【點睛】本題考查了直線與拋物線的綜合，屬于中檔題．18、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】

（1）運用絕對值不等式的性質，注意等號成立的條件，即可求得最小值，再運用柯西不等式，即可得到最小值.（2）利用基本不等式即可得到結論，注意等號成立的條件.【詳解】（1）由題意，則函數，又函數的最小值為，即，由柯西不等式得，當且僅當時取“=”.故.（2）由題意，利用基本不等式可得，，，（以上三式當且僅當時同時取“=”）由（1）知，，所以，將以上三式相加得即.【點睛】本題主要考查絕對值不等式、柯西不等式等基礎知識，考查運算能力，屬于中檔題.19、（1）見解析（2）不存在，見解析【解析】

（1）求出函數的導數，通過討論的范圍求出函數的單調區(qū)間即可；（2）求出函數的導數，結合導數的幾何意義，再令，轉化為方程有解問題，即可說明.【詳解】(1)函數的定義域為，所以當時，；，所以函數在上單調遞增當時，①當時，函數在上遞增②，顯然無增區(qū)間；③當時，，函數在上遞增，綜上當函數在上單調遞增.當時函數在上單調遞增；當時函數無單調遞增區(qū)間當時函數在上單調遞增(2)假設函數存在“中值相依切線”設是曲線上不同的兩個點，且則曲線在點處的切線的斜率為，.令，則，單調遞增，，故無解，假設不成立綜上，假設不成立，所以不存在“中值相依切線”【點睛】本題考查了函數的單調性，導數的幾何意義，考查導數的應用以及分類討論和轉化思想，屬于中檔題．20、（1）證明見解析（2）【解析】

(1)先證，再證，由可得平面，從而推出平面；(2)建立空間直角坐標系，求出平面的法向量與，坐標代入線面角的正弦值公式即可得解.【詳解】（1）證明：連接，，由圖1知，四邊形為菱形，且，所以是正三角形，從而.同理可證，，所以平面.又，所以平面，因為平面，所以平面平面.易知，且為的中點，所以，所以平面.（2）解：由（1）可知，，且四邊形為正方形.設的中點為，以為原點，以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，所以，，.設平面的法向量為，由得取.設直線與平面所成的角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的證明，直線與平面所成的角，要求一定的空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力，屬于基礎題.21、（1）；（2）【解析】

（1）根據三角形面積公式及平面向量數量積定義代入公式，即可求得，進而求得的值；（2）根據正