2024年初三下冊數(shù)學(xué)專項用函數(shù)觀點看一元二次方程-鞏固練習（基礎(chǔ)）

2024年初三下冊數(shù)學(xué)專項用函數(shù)觀點看一元二次方程—鞏固練習（基礎(chǔ)）【鞏固練習】一、選擇題

1.拋物線與x軸的交點個數(shù)為()A．0B．1C．2D．以上答案都不對2．（2015?溫州模擬）已知二次函數(shù)y=x2+2x﹣10，小明利用計算器列出了下表：x﹣4.1﹣4.2﹣4.3﹣4.4x2+2x﹣10﹣1.39﹣0.76﹣0.110.56那么方程x2+2x﹣10=0的一個近似根是（） A．﹣4.1 B． ﹣4.2 C． ﹣4.3 D．﹣4.43．已知函數(shù)與函數(shù)的圖象大致如圖所示．若，則自變量x的取值范圍是()A．B．C．或D．或4．如圖所示，拋物線與雙曲線的交點A的橫坐標是1，則關(guān)于x的不等式的解集是()A．B．C．D．5．二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列選項正確的是()A．a(chǎn)＞0，b＞0，B．a(chǎn)＜0，c＞0，C．a(chǎn)＞0，b＜0，D．a(chǎn)＞0，c＜0，第3題第4題第5題第6題6．如圖所示，二次函數(shù)(a≠0)的圖象經(jīng)過點(-1，2)，且與x軸交點的橫坐標分別為、，其中，，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有()A．1個B．2個C．3個D．4個二、填空題7．二次函數(shù)的圖象與x軸交點坐標為；與y軸的交點坐標為．8．已知二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，則m的取值范圍為．9．拋物線與直線y＝-3x+3的交點坐標為．10．（2014秋?河南期末）如圖是拋物線y=ax2+bx+c的圖象的一部分，請你根據(jù)圖象寫出方程ax2+bx+c=0的兩根是．11．如圖所示，已知拋物線經(jīng)過點(0，-3)，請你確定一個b的值，使該拋物線與x軸的一個交點在(1，0)和(3，0)之間，你所確定的b的值是________．12．如圖所示，二次函數(shù)(a≠0)．圖象的頂點為D，其圖象與x軸的交點A、B的橫坐標分別為-1和3，與y軸負半軸交于點C．下面四個結(jié)論：①；②；③只有當時，△ABD是等腰直角三角形；④使△ACB為等腰三角形的a的值可以有三個．那么其中正確的結(jié)論是________．(只填你認為正確結(jié)論的序號)三、解答題13．已知函數(shù)(m是常數(shù))(1)求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象都經(jīng)過y軸上的一個定點；(2)若該函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，求m的值．14.已知拋物線與x軸沒有交點．(1)求c的取值范圍；(2)試確定直線經(jīng)過的象限，并說明理由．15．（2014?上城區(qū)校級模擬）已知關(guān)于x的函數(shù)y=（k﹣1）x2+4x+k的圖象與坐標軸只有2個交點，求k的值．【答案與解析】一、選擇題

1.【答案】C；【解析】∵一元二次方程的根的判別式為△＝，∵，∴△＝．故拋物線與x軸有兩個交點．2.【答案】C；【解析】根據(jù)表格得，當﹣4.4＜x＜﹣4.3時，﹣0.11＜y＜0.56，即﹣0.11＜x2+2x﹣10＜0.56，∵0距﹣0.11近一些，∴方程x2+2x﹣10=0的一個近似根是﹣4.3，故選C．3.【答案】B；【解析】設(shè)與的交點橫坐標為，()，觀察圖象可知，當時，自變量x的取值范圍是，所以關(guān)鍵要求出拋物線與直線交點的橫坐標，聯(lián)立，可得．解得，，∴．4.【答案】D；【解析】不等式可變形為，由與關(guān)于原點對稱，所以與的交點與點A關(guān)于原點對稱，其橫坐標為-1，可畫如圖所示，觀察圖象可知的解集是．5.【答案】A；【解析】由拋物線開口向上，知a＞0，又∵拋物線與y軸的交點(0，c)在y軸負半軸，∴c＜0．由對稱軸在y軸左側(cè)，∴，∴b＞0．又∵拋物線與x軸有兩個交點，∴，故選A．6.【答案】D；【解析】由圖象可知，當時，y＜0．所以，即①成立；因為，，所以，又因為拋物線開口向下，所以a＜0，所以，即②成立；因為圖象經(jīng)過點(-1，2)，所以，所以，即④亦成立(注意a＜0，兩邊乘以4a時不等號要反向)；由圖象經(jīng)過點(-1，2)，所以，即，又∵，∴．∴，即，∴，所以③成立．二、填空題7．【答案】(，0)，(，0)；(0，-1)．【解析】對于，令x＝0，則y＝-1．∴拋物線與y軸的交點坐標是(0，-1)．令y＝0，則．解得，．∴拋物線與x軸的交點坐標是(，0)，(，0)．8．【答案】；【解析】∵二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，∴．即，解得．9．【答案】(-3，12)，(1，0)．【解析】∵拋物線與直線y＝-3x+3的交點的橫坐標、縱坐標相同．故可聯(lián)立，∴，，．將x1＝-3，x2＝1代入y＝-3x+3中得方程組的解為，．∴拋物線與直線y＝-3x+3的交點坐標為(-3，12)，(1，0)．10．【答案】x1=﹣3，x2=1；【解析】∵由圖可知，拋物線與x軸的一個交點坐標為（﹣3，0），對稱軸為直線x=﹣1，∴設(shè)拋物線與x軸的另一交點為（x，0），則=﹣1，解得x=1，∴方程ax2+bx+c=0的兩根是x1=﹣3，x2=1．11．【答案】等；【解析】由題意的一個根在1與3之間，假設(shè)根為，代入得∴，答案不唯一.12．【答案】①③；【解析】拋物線的對稱軸為，∴，，①正確；②當時，即，②錯；③當時，頂點D的坐標為（1，-2），△ABD為等腰直角三角形，又∵拋物線的開口向上，加之∠DAB，∠DBA不可能為直角，所以只有時，△ABD是等腰直角三角形，∴③正確；△ACB為等腰三角形，有三種可能性：ⅰ)AC＝AB；ⅱ)BC＝AB；ⅲ)AC＝BC．∵OA≠OB，∴ⅲ)不可能成立，故以△ABC為等腰三角形的點C的位置只有兩個，因此a的值也只能是兩個，∴④錯.三、解答題13.【答案與解析】解：(1)當x＝0時，y＝1，所以不論m為何值，函數(shù)的圖象經(jīng)過y軸上的一個定點(0，1)．(2)①當m＝0時，函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點；②當m≠0時，若函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，則方程有兩個相等的實數(shù)根，所以△＝(-6)2-4m＝0，m＝9．綜上，若函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，則m的值為0或9．14.【答案與解析】解：（1）∵拋物線與x軸沒有交點∴△＜0，即．解得，（2）∵∴直線隨x的增大而增大，∵∴直線經(jīng)過第一、二、三象限．15.【答案與解析】解：分情況討論：（?。﹌﹣1=0時，得k=1．此時y=4x+1與坐標軸有兩個交點，符合題意；（ⅱ）k﹣1≠0時，得到一個二次函數(shù)．①拋物線與x軸只有一個交點，△=16﹣4k（k﹣1）=0，解得k=；②拋物線與x軸有兩個交點，其中一個交點是（0，0），把（0，0）代入函數(shù)解析式，得k=0．∴k=1或0或．用函數(shù)觀點看一元二次方程—知識講解（基礎(chǔ)）【學(xué)習目標】1.會用圖象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系；2.會求拋物線與x軸交點的坐標，掌握二次函數(shù)與不等式之間的聯(lián)系；3.經(jīng)歷探索驗證二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程，學(xué)會用函數(shù)的觀點去看方程和用數(shù)形結(jié)合的思想去解決問題．【要點梳理】要點一、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1.二次函數(shù)圖象與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況

求二次函數(shù)(a≠0)的圖象與x軸的交點坐標，就是令y＝0，求中x的值的問題．此時二次函數(shù)就轉(zhuǎn)化為一元二次方程，因此一元二次方程根的個數(shù)決定了拋物線與x軸的交點的個數(shù)，它們的關(guān)系如下表：判別式二次函數(shù)一元二次方程圖象與x軸的交點坐標根的情況△＞0拋物線與x軸交于，兩點，且，此時稱拋物線與x軸相交一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根△＝0拋物線與x軸交切于這一點，此時稱拋物線與x軸相切一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根△＜0拋物線與x軸無交點，此時稱拋物線與x軸相離一元二次方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解（或稱無實數(shù)根）要點詮釋：

二次函數(shù)圖象與x軸的交點的個數(shù)由的值來確定的.(1)當二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點時，，方程有兩個不相等的實根；

(2)當二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點時，，方程有兩個相等的實根；

(3)當二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點時，，方程沒有實根.

2.拋物線與直線的交點問題拋物線與x軸的兩個交點的問題實質(zhì)就是拋物線與直線的交點問題．我們把它延伸到求拋物線(a≠0)與y軸交點和二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．拋物線(a≠0)與y軸的交點是(0，c)．拋物線(a≠0)與一次函數(shù)(k≠0)的交點個數(shù)由方程組的解的個數(shù)決定．當方程組有兩組不同的解時兩函數(shù)圖象有兩個交點；當方程組有兩組相同的解時兩函數(shù)圖象只有一個交點；當方程組無解時兩函數(shù)圖象沒有交點．總之，探究直線與拋物線的交點的問題，最終是討論方程(組)的解的問題．要點詮釋：求兩函數(shù)圖象交點的問題主要運用轉(zhuǎn)化思想，即將函數(shù)的交點問題轉(zhuǎn)化為求方程組解的問題或者將求方程組的解的問題轉(zhuǎn)化為求拋物線與直線的交點問題．要點二、利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似解

用圖象法解一元二次方程的步驟：

1.作二次函數(shù)的圖象，由圖象確定交點個數(shù)，即方程解的個數(shù)；

2.確定一元二次方程的根的取值范圍．即確定拋物線與x軸交點的橫坐標的大致范圍；

3.在(2)確定的范圍內(nèi)，用計算器進行探索.即在(2)確定的范圍內(nèi)，從大到小或從小到大依次取值，用表格的形式求出相應(yīng)的y值．

4.確定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所對應(yīng)的x值即是一元二次方的近似根．

要點詮釋：

求一元二次方程的近似解的方法（圖象法）：

(1)直接作出函數(shù)的圖象，則圖象與x軸交點的橫坐標就是方程的根；

(2)先將方程變?yōu)樵僭谕蛔鴺讼抵挟嫵鰭佄锞€和直線圖象交點的橫坐標就是方程的根；

(3)將方程化為，移項后得，設(shè)和，在同一坐標系中畫出拋物線和直線的圖象，圖象交點的橫坐標即為方程的根.要點三、拋物線與x軸的兩個交點之間的距離公式當△＞0時，設(shè)拋物線與x軸的兩個交點為A(，0)，B(，0)，則、是一元二次方程的兩個根．由根與系數(shù)的關(guān)系得，．∴即（△＞0）要點四、拋物線與不等式的關(guān)系二次函數(shù)(a≠0)與一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之間的關(guān)系如下：判別式拋物線與x軸的交點不等式的解集不等式的解集△＞0或△＝0（或）無解△＜0全體實數(shù)無解注：a＜0的情況請同學(xué)們自己完成．要點詮釋：拋物線在x軸上方的部分點的縱坐標都為正，所對應(yīng)的x的所有值就是不等式的解集；在x軸下方的部分點的縱坐標都為負，所對應(yīng)的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果帶有等號，其解集也相應(yīng)帶有等號．【典型例題】類型一、二次函數(shù)圖象與坐標軸交點1．已知二次函數(shù)y=(m-2)x2+2mx+m+1，其中m為常數(shù)，且滿足-1<m<2，試判斷此拋物線的開口方向，與x軸有無交點，與y軸的交點在x軸上方還是在x軸下方.

【答案與解析】∵-1<m<2.

∴m-2<0，拋物線開口向下，

又m+1>0，拋物線與y軸的交點在x軸上方.

Δ=4m2-4(m-2)(m+1)

=4m2-4(m2-m-2)

=4m+8

=4(m+1)+4>0.

∴拋物線與x軸有兩個不同的交點.

【總結(jié)升華】此題目也可以用數(shù)形結(jié)合方法來判斷拋物線與x軸有兩個不同交點(用拋物線與y軸的交點C在x軸上方，開口向下，必與x軸有兩個不同交點).

舉一反三：【高清課程名稱：用函數(shù)觀點看一元二次方程高清ID號：356568關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：例3-4】【變式】二次函數(shù)y=mx2+(2m-1)x+m+1的圖象總在x軸的上方，求m的取值范圍。【答案】據(jù)題意，列類型二、利用圖象法求一元二次方程的解2．用圖象法求一元二次方程的近似解(精確到0.1)．【答案與解析】解法1：，即對稱軸為x＝1，頂點坐標為(1，-2)．列表如下：x122.53-2-10.252描點連線，畫出圖象在對稱軸右邊的部分，利用對稱性畫出圖象在對稱軸左邊的部分，即得函數(shù)圖象如圖所示．由圖象知，當x≈-0.4或x≈2.4時，y＝0．因此方程的解的近似值為-0.4或2.4．解法2：將方程變形得．在同一坐標系中畫出函數(shù)與y＝2x+1的圖象如圖所示．拋物線與直線y＝2x+1交于A、B，過A、B分別作x軸的垂線，垂足橫坐標分別約為-0.4或2.4，所以方程的近似解為x1≈-0.4，x2≈2.4．【總結(jié)升華】本題的第一種解法是先求出對稱軸及頂點坐標，利用其對稱性作出整個函數(shù)的圖象，從而觀察得方程的近似解．第二種解法是把其轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點，由于函數(shù)與y＝2x+1的圖象簡單易作，這種解法很有新意，同學(xué)們要注意從不同的角度去分析，培養(yǎng)多向思維的能力．可畫出函數(shù)的圖象，觀察其與x軸的交點坐標，也可轉(zhuǎn)化為求直線y＝2x+1與拋物線的交點的橫坐標．類型三、二次函數(shù)與一元二次方程的綜合運用3．（2015?通州區(qū)二模）已知：關(guān)于x的方程：mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0．（1）求證：無論m取何值時，方程恒有實數(shù)根；（2）若關(guān)于x的二次函數(shù)y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的圖象與x軸兩交點間的距離為2時，求拋物線的解析式．【答案與解析】解：（1）①當m=0時，原方程可化為x﹣2=0，解得x=2；②當m≠0時，方程為一元二次方程，△=[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣2）=m2+2m+1=（m+1）2≥0，故方程有兩個實數(shù)根；故無論m為何值，方程恒有實數(shù)根．（2）∵二次函數(shù)y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的圖象與x軸兩交點間的距離為2，∴=2，整理得，3m2﹣2m﹣1=0，解得m1=1（舍去），m2=﹣．則函數(shù)解析式為y=x2﹣2x或y=﹣x2+2x﹣．【總結(jié)升華】本題考查了拋物線與x軸的交點，熟悉根的判別式及二次函數(shù)與x軸的交點間的距離公式是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【高清課程名稱：用函數(shù)觀點看一元二次方程高清ID號：356568關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：例6】【變式】（2015?杭州模擬）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x﹣n=0沒有實數(shù)根，則拋物線y=x2﹣x﹣n的頂點在（） A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限【答案】A.提示：∵拋物線y=x2﹣x﹣n的對稱軸x=﹣=，∴可知拋物線的頂點在y軸的右側(cè)，又∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x﹣n=0沒有實數(shù)根，∴開口向上的y=x2﹣x﹣n與x軸沒有交點，∴拋物線y=x2﹣x﹣n的頂點在第一象限．故選A．4．已知：如圖所示，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B；二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于B、C兩點，與x軸交于D、E兩點，且D點坐標為（1，0）．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)求四邊形BDEC的面積S．【答案與解析】(1)將B(0，1)，D(1，0)的坐標代入得解之所以拋物線的解析式為．(2)設(shè)C(，)，則有解得∴C(4，3)．由圖可知：．又由拋物線的對稱軸為可知E(2，0)．∴.【總結(jié)升華】由圖象知，拋物線經(jīng)過點B(0，1)，D(1，0)．將B、D兩點坐標代入拋物線的解析式中求出b、c的值．再聯(lián)立方程組求出點C的坐標．由拋物線對稱性求出點E的坐標．由，求出面積S．用函數(shù)觀點看一元二次方程—知識講解（提高）1.會用圖象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系；2.會求拋物線與x軸交點的坐標，掌握二次函數(shù)與不等式之間的聯(lián)系；3.經(jīng)歷探索驗證二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程，學(xué)會用函數(shù)的觀點去看方程和用數(shù)形結(jié)合的思想去解決問題．【要點梳理】要點一、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1.二次函數(shù)圖象與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況

求二次函數(shù)(a≠0)的圖象與x軸的交點坐標，就是令y＝0，求中x的值的問題．此時二次函數(shù)就轉(zhuǎn)化為一元二次方程，因此一元二次方程根的個數(shù)決定了拋物線與x軸的交點的個數(shù)，它們的關(guān)系如下表：判別式二次函數(shù)一元二次方程圖象與x軸的交點坐標根的情況△＞0拋物線與x軸交于，兩點，且，此時稱拋物線與x軸相交一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根△＝0拋物線與x軸交切于這一點，此時稱拋物線與x軸相切一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根△＜0拋物線與x軸無交點，此時稱拋物線與x軸相離一元二次方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解（或稱無實數(shù)根）要點詮釋：

二次函數(shù)圖象與x軸的交點的個數(shù)由的值來確定的.(1)當二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點時，，方程有兩個不相等的實根；

(2)當二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點時，，方程有兩個相等的實根；

(3)當二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點時，，方程沒有實根.

2.拋物線與直線的交點問題拋物線與x軸的兩個交點的問題實質(zhì)就是拋物線與直線的交點問題．我們把它延伸到求拋物線(a≠0)與y軸交點和二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．拋物線(a≠0)與y軸的交點是(0，c)．拋物線(a≠0)與一次函數(shù)(k≠0)的交點個數(shù)由方程組的解的個數(shù)決定．當方程組有兩組不同的解時兩函數(shù)圖象有兩個交點；當方程組有兩組相同的解時兩函數(shù)圖象只有一個交點；當方程組無解時兩函數(shù)圖象沒有交點．總之，探究直線與拋物線的交點的問題，最終是討論方程(組)的解的問題．要點詮釋：求兩函數(shù)圖象交點的問題主要運用轉(zhuǎn)化思想，即將函數(shù)的交點問題轉(zhuǎn)化為求方程組解的問題或者將求方程組的解的問題轉(zhuǎn)化為求拋物線與直線的交點問題．要點二、利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似解

用圖象法解一元二次方程的步驟：

1.作二次函數(shù)的圖象，由圖象確定交點個數(shù)，即方程解的個數(shù)；

2.確定一元二次方程的根的取值范圍．即確定拋物線與x軸交點的橫坐標的大致范圍；

3.在(2)確定的范圍內(nèi)，用計算器進行探索.即在(2)確定的范圍內(nèi)，從大到小或從小到大依次取值，用表格的形式求出相應(yīng)的y值．

4.確定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所對應(yīng)的x值即是一元二次方的近似根．

要點詮釋：

求一元二次方程的近似解的方法（圖象法）：

(1)直接作出函數(shù)的圖象，則圖象與x軸交點的橫坐標就是方程的根；

(2)先將方程變?yōu)樵僭谕蛔鴺讼抵挟嫵鰭佄锞€和直線圖象交點的橫坐標就是方程的根；

(3)將方程化為，移項后得，設(shè)和，在同一坐標系中畫出拋物線和直線的圖象，圖象交點的橫坐標即為方程的根.要點三、拋物線與x軸的兩個交點之間的距離公式當△＞0時，設(shè)拋物線與x軸的兩個交點為A(，0)，B(，0)，則、是一元二次方程的兩個根．由根與系數(shù)的關(guān)系得，．∴即（△＞0）．

要點四、拋物線與不等式的關(guān)系二次函數(shù)(a≠0)與一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之間的關(guān)系如下：判別式拋物線與x軸的交點不等式的解集不等式的解集△＞0或△＝0（或）無解△＜0全體實數(shù)無解注：a＜0的情況請同學(xué)們自己完成．要點詮釋：拋物線在x軸上方的部分點的縱坐標都為正，所對應(yīng)的x的所有值就是不等式的解集；在x軸下方的部分點的縱坐標都為負，所對應(yīng)的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果帶有等號，其解集也相應(yīng)帶有等號．【典型例題】類型一、二次函數(shù)圖象與坐標軸交點1.已知拋物線．求：(1)k為何值時，拋物線與x軸有兩個交點；(2)k為何值時，拋物線與x軸有唯一交點；(3)k為何值時，拋物線與x軸沒有交點．【答案與解析】．(1)當，且，即當k＞-3且k≠-1時，拋物線與x軸有兩個交點．(2)當，且2(k+1)≠0．即當k＝-3時，拋物線與x軸有唯一交點．(3)當b2-4ac＝8k+24＜0，且2(k+1)≠0．即當k＜-3時，拋物線與x軸不相交．【總結(jié)升華】根據(jù)拋物線與x軸的交點個數(shù)可確定字母系數(shù)的取值范圍，其方法是根據(jù)拋物線與x軸的交點個數(shù)，推出△值的性質(zhì)，即列出關(guān)于字母系數(shù)的方程(或不等式)，通過方程(或不等式)求解．特別提醒：易忽視二次項系數(shù)2(k+1)≠0這一隱含條件．舉一反三：【高清課程名稱：用函數(shù)觀點看一元二次方程高清ID號：356568關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：例1-2】【變式】（2014秋?越秀區(qū)期末）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題：（1）寫出方程ax2+bx+c=0的兩個根；（2）寫出不等式ax2+bx+c＞0的解集；（3）求y的取值范圍．【答案】解：（1）如圖所示：方程ax2+bx+c=0的兩個根為：﹣5和1；（2）如圖所示：不等式ax2+bx+c＞0的解集為：﹣5＜x＜1；（3）∵拋物線與坐標軸分別交于點A（﹣5，0），B（1，0），C（0，5），設(shè)拋物線解析式為：y=a（x+5）（x﹣1），∵拋物線過點C（0，5），∴5=a×5×（﹣1），解得：a=﹣1，∴拋物線解析式為：y=﹣（x+5）（x﹣1）=﹣x2﹣4x+5，∵a=﹣1＜0，∴當x=﹣=﹣2時，y最大=﹣（﹣2+5）（﹣2﹣1）=9，∴y的取值范圍為：y≤9．類型二、利用圖象法求一元二次方程的解2.利用函數(shù)的圖象，求方程組的解.

【答案與解析】在同一直角坐標系中畫出函數(shù)和的圖象，

如圖，得到它們的交點坐標(-2，0)，(3，15)，

則方程組的解為.【總結(jié)升華】可以通過畫出函數(shù)和的圖象，得到它們的交點，從而得到方程組的解.類型三、二次函數(shù)與一元二次方程的綜合運用3.已知關(guān)于x的二次函數(shù)．(1)探究m滿足什么條件時，二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點的個數(shù)為2，1，0．(2)設(shè)二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點為A(，0)，B(，0)，且與y軸的交點為C，它的頂點為M，求直線CM的解析式．【答案與解析】(1)令y＝0，得：，△＝，當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，即，∴．此時，y的圖象與x軸有兩個交點．當△＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根，即，∴．此時，y的圖象與x軸只有一個交點．當△＜0時，方程沒有實數(shù)根，即，∴．此時，y的圖象與x軸沒有交點．∴當時，y的圖象與x軸的交點的個數(shù)為2；當時，y的圖象與x軸的交點的個數(shù)為1；當時，y的圖象與x軸的交點的個數(shù)為0．(2)由根與系數(shù)的關(guān)系得，．．∵，∴，∴，解得：，．∵，∴m＝-1．∴．令x＝0，得，∴二次函數(shù)y的圖象與y軸的交點C的坐標為(0，2)．又，∴頂點M的坐標為．設(shè)過C(0，2)與M的直線解析式為，則解得∴直線CM的解析式為．【總結(jié)升華】根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程，再利用判別式，討論二次函數(shù)的圖象與x軸的交點個數(shù)，利用根與系數(shù)關(guān)系建立關(guān)于m的方程，求出m值，得二次函數(shù)解析式，分別求出C點、M點坐標，進而求出直線方程．舉一反三：【變式】已知拋物線．（1）求拋物線的頂點坐標；（2）若，且拋物線與軸交于整數(shù)點，求此拋物線的解析式．【答案】（1）依題意，得，∴，∴拋物線的頂點坐標為．（2）∵拋物線與軸交于整數(shù)點，∴的根是整數(shù)．∴．∵，∴是整數(shù)．∴是完全平方數(shù)．∵，∴，∴取1，4，9，．當時，；當時，；當時，．∴的值為2或或．∴拋物線的解析式為或或．4.（2015?中山模擬）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A（﹣3，0）和B（1，0）兩點，交y軸于點C（0，3），點C、D是二次函數(shù)圖象上的一對對稱點，一次函數(shù)的圖象過點B、D．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍；（3）若直線與y軸的交點為E，連結(jié)AD、AE，求△ADE的面積．【答案與解析】解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常數(shù)），根據(jù)題意得，解得：，所以二次函數(shù)的解析式為：y=﹣x2﹣2x+3；（2）如圖，一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍是：x＜﹣2或x＞1．（3）∵對稱軸：x=﹣1．∴D（﹣2，3）；設(shè)直線BD：y=mx+n代入B（1，0），D（﹣2，3）：，解得：，故直線BD的解析式為：y=﹣x+1，把x=0代入求得E（0，1）∴OE=1，又∵AB=4∴S△ADE=×4×3﹣×4×1=4．【總結(jié)升華】此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．用函數(shù)觀點看一元二次方程—鞏固練習（提高）【鞏固練習】一、選擇題

1.若二次函數(shù)的最大值為2，則a的值是（）A.4B.-1C.3D.4或-12．已知函數(shù)的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是（）A．k＜0B．k≤4C．k＜4且k≠3D．k≤4且k≠33．方程的實數(shù)根的個數(shù)是（）A.1B.2C.3D.44．如圖所示的二次函數(shù)(a≠0)的圖象中，劉星同學(xué)觀察得出了下面四條信息：(1)；(2)；(3)；(4)．你認為其中錯誤的有()A．2個B．3個C．4個D．1個5．方程的正根的個數(shù)為()A．3個B．2個C．1個D．0個6．（2014?濟寧）“如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個公共點，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根．”請根據(jù)你對這句話的理解，解決下面問題：若m、n（m＜n）是關(guān)于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的兩根，且a＜b，則a、b、m、n的大小關(guān)系是（） A．m＜a＜b＜n B． a＜m＜n＜b C． a＜m＜b＜n D． m＜a＜n＜b二、填空題7．已知二次函數(shù)的圖象的頂點在x軸上，則m的值為．8．如圖所示，函數(shù)y＝(k-8)x2-6x+k的圖象與x軸只有一個公共點，則該公共點的坐標為．第8題第9題9．已知二次函數(shù)(a≠0)的頂點坐標為(-1，-3.2)及部分圖象(如圖所示)，由圖象可知關(guān)于x的一元二次方程的兩個根分別為和________．10．已知二次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則此圖象的頂點A和圖象與x軸的兩個交點B、C構(gòu)成的△ABC的面積是________．11．拋物線（a≠0）滿足條件：（1）；（2）；（3）與x軸有兩個交點，且兩交點間的距離小于2．以下有四個結(jié)論：①；②；③；④，其中所有正確結(jié)論的序號是．12．（2015?大慶校級三模）如圖是二次函數(shù)和一次函數(shù)y2=kx+t的圖象，當y1≥y2時，x的取值范圍是．三、解答題13．已知拋物線與x軸有兩個不同的交點．(1)求k的取值范圍；(2)設(shè)拋物線與x軸交于A、B兩點，且點A在點B的左側(cè)，點D是拋物線的頂點，如果△ABC是等腰直角三角形，求拋物線的解析式．14．如圖所示，已知直線與拋物線交于A、B兩點．(1)求A、B兩點的坐標；(2)如圖所示，取一根橡皮筋，端點分別固定在A、B兩處，用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖在直線AB上方的拋物線上移動，動點P將與A、B兩點構(gòu)成無數(shù)個三角形，這些三角形中是否存在一個面積最大的三角形？如果存在，指出此時P點的坐標；如果不存在，請簡要說明理由．15．（2014?南京）已知二次函數(shù)y=x2﹣2mx+m2+3（m是常數(shù)）．（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸沒有公共點；（2）把該函數(shù)的圖象沿y軸向下平移多少個單位長度后，得到的函數(shù)的圖象與x軸只有一個公共點？【答案與解析】一、選擇題

1.【答案】B；【解析】∵的最大值為2，∴且，解得（舍去）．故選B．2.【答案】B；【解析】當時是一次函數(shù)，即k=3函數(shù)圖象與x軸有一個交點；當k-3≠0時此函數(shù)為二次函數(shù)，當△＝≥0，即k≤4且k≠3時，函數(shù)圖象與x軸有交點．綜上所述，當k≤4時，函數(shù)圖象與x軸有交點，故選B．3.【答案】A；【解析】將判斷這個方程的根的情況轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)與的圖象（如圖）的公共點的情況.4.【答案】D；【解析】由圖象可知，拋物線與x軸有兩個交點，∴，故(1)正確；又拋物線與y軸的交點在(0，1)下方，∴c＜1，故(2)不正確；拋物線的對稱軸在-1與0之間，即，又，∴，即，故(3)正確；當，函數(shù)值小于0，∴a+b+c＜0，故(4)正確．5.【答案】B；【解析】不妨把方程化為拋物線與雙曲線，分別畫出函數(shù)圖象草圖如圖所示．根據(jù)題意知，兩函數(shù)圖象交點的橫坐標即是方程的解，方程有正根，即交點橫坐標為正數(shù)．因在x＞0的范圍內(nèi)，兩函數(shù)的圖象有兩個交點，即方程正根有兩個，故應(yīng)選B．6.【答案】A；【解析