2024年初三下冊數(shù)學(xué)專項(xiàng)比例線段及黃金分割（基礎(chǔ)） 鞏固練習(xí)

2024年初三下冊數(shù)學(xué)專項(xiàng)比例線段及黃金分割（基礎(chǔ)）鞏固練習(xí)【鞏固練習(xí)】一.選擇題1.在比例尺為1︰1000000的地圖上，相距3

cm的兩地，它們的實(shí)際距離為（）.

A.3

kmB.30

kmC.300

kmD.3000

km2.（2016?濱江區(qū)模擬）由5a=6b（a≠0），可得比例式（）A． B． C． D．3.若，且3a-2b+c=3，則2a+4b-3c的值是（）.A．14B.42C.7D.4.如果（x+y）：（x-y）=3，那么x：y等于（）.A.-2B.2C.-3D.35.（2014秋?滕州市校級期末）已知點(diǎn)P是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)（AP＞PB），則PB：AB的值為（）.A.B.C.D.6.美是一種感覺，當(dāng)人體下半身長與身高的比值越接近0.618時(shí)，越給人一種美感．如圖，某女士身高165cm，下半身長x與身高l的比值是0.60，為盡可能達(dá)到好的效果，她應(yīng)穿的高跟鞋的高度大約為（）.A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm二.填空題7.（2015?慈溪市一模）若3a=4b，則=.8.（2016?浦東新區(qū)一模）已知，那么=．9．已知：，則________________．10.已知?jiǎng)t.11.如圖是一種貝殼的俯視圖，點(diǎn)C分線段AB近似于黃金分割．已知AB=10cm，則AC的長約為__________cm（結(jié)果精確到0.1cm）.12.如圖，△ABC頂角是36°的等腰三角形（底與腰的比為的三角形是黃金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黃金三角形，已知AB=4，則DE=__________．三.綜合題13.（2014春?通川區(qū)校級期中）已知：，求代數(shù)式的值．14.若，且2a-b+3c=21，求4a-3b+c的值．

15.圖1是一張寬與長之比為：1的矩形紙片，我們稱這樣的矩形為黃金矩形．同學(xué)們都知道按圖2所示的折疊方法進(jìn)行折疊，折疊后再展開，可以得到一個(gè)正方形ABEF和一個(gè)矩形EFDC，那么EFDC這個(gè)矩形還是黃金矩形嗎？若是，請根據(jù)圖2證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由．

【答案與解析】一、選擇題

1．【答案】B．【解析】圖上距離︰實(shí)際距離＝比例尺．2.【答案】D.【解析】A、?ab=30，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、?ab=30，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、?6a=5b，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、?5（a﹣b）=b，即5a=6b，故選項(xiàng)正確．故選D．3．【答案】D．【解析】設(shè)a=5k，則b=7k，c=8k，又3a-2b+c=3，則15k-14k+8k=3，

得k=，

即a=，b=，c=，所以2a+4b-3c=．故選D．4．【答案】B.5．【答案】B.【解析】根據(jù)題意得AP=AB，所以PB=AB﹣AP=AB，所以PB：AB=．6．【答案】C.【解析】根據(jù)已知條件得下半身長是165×0.60=99cm，

設(shè)需要穿的高跟鞋是ycm，則根據(jù)黃金分割的定義得：=0.618，

解得：y≈8cm．故選C．二、填空題

7.【答案】；【解析】兩邊都除以3b，得=.8.【答案】．【解析】∵的兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)是y、1，兩個(gè)外項(xiàng)是x、3，∴，根據(jù)合比定理，知==4；又∵上式的兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)是x和4，兩個(gè)外項(xiàng)是x+y和1，∴．9.【答案】．【解析】由題意，，即4（x+y）=7y，4x=3y，

得x=y，∴．10.【答案】【解析】提示：設(shè)11.【答案】6.2或3.8．【解析】由題意知AC：AB=BC：AC，

∴AC：AB≈0.618，

∴AC=0.618×10cm≈6.2（結(jié)果精確到0.1cm）或AC=10-6.2=3.8．

故答案為：6.2或3.8．12.【答案】6-2．【解析】根據(jù)題意可知，BC=AB，

∵△ABC頂角是36°的等腰三角形，

∴AB=AC，∠ABC=∠C=72°，

又∵△BDC也是黃金三角形，

∴∠CBD=36°，BC=BD，

∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=36°=∠A，

∴BD=AD，同理可證DE=DC，

∴DE=DC=AC-AD=AB-BC=AB-AB=6-2．

故答案為：6-2．三、解答題13.【解析】解：設(shè)=t，∴，解得，，∴==．14.【解析】令=k，則a+2=3k，b=4k，c+5=6k，

即a=3k-2，b=4k，c=6k-5，

∵2a-b+3c=21，

∴2（3k-2）-4k+3（6k-5）=21，

∴k=2．

∴a=4，b=8，c=7．

∴4a-3b+c=4×4-3×8+7=-1．15.【解析】矩形EFDC是黃金矩形，

證明：∵四邊形ABEF是正方形，

∴AB=DC=AF，

又∵=，

∴=，

即點(diǎn)F是線段AD的黃金分割點(diǎn)．

∴=，

∴=，

∴矩形CDFE是黃金矩形．比例線段及黃金分割（基礎(chǔ)）知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、了解兩條線段的比和比例線段的概念并能根據(jù)條件寫出比例線段；2、會運(yùn)用比例線段解決簡單的實(shí)際問題；3、掌握黃金分割的定義并能確定一條線段的黃金分割點(diǎn).【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、比例線段【高清課堂：394495圖形的相似預(yù)備知識】1．成比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段．2．比例的性質(zhì)：（1）基本性質(zhì)：如果，那么.（2）合比性質(zhì)：如果如果要點(diǎn)詮釋：（1）兩條線段的長度必須用同一長度單位表示，若單位長度不同，先化成同一單位，再求它們的比；（2）兩條線段的比，沒有長度單位，它與所采用的長度單位無關(guān)；（3）兩條線段的長度都是正數(shù)，所以兩條線段的比值總是正數(shù)．要點(diǎn)二、黃金分割1.定義：點(diǎn)C把線段AB分割成AC和CB兩段,如果,那么線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比.要點(diǎn)詮釋：≈0.618AB(叫做黃金分割值).2.作一條線段的黃金分割點(diǎn)：圖4－7如圖，已知線段AB，按照如下方法作圖：（1）經(jīng)過點(diǎn)B作BD⊥AB，使BD=AB.（2）連接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.則點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn).要點(diǎn)詮釋：一條線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè).【典型例題】類型一、比例線段1.（2016?蘭州模擬）若a：b=2：3，則下列各式中正確的式子是（）A．2a=3b B．3a=2b C． D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)比例的性質(zhì)，對選項(xiàng)一一分析，選擇正確答案．【答案】B．【解析】A、2a=3b?a：b=3：2，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、3a=2b?a：b=2：3，故選項(xiàng)正確；C、=?b：a=2：3，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、=?a：b=3：2，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選B．【總結(jié)升華】考查了比例的性質(zhì)．在比例里，兩個(gè)外項(xiàng)的乘積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的乘積．舉一反三：【變式】（2015?崇明縣一模）已知=，那么下列等式中，不一定正確的是（）．A．2a=5bB.C.a+b=7D.【答案】C．2.設(shè)，求的值．【思路點(diǎn)撥】由已知條件利用解方程的思想不能求出x，y，z的值，因此用設(shè)參數(shù)法代入化簡．【答案與解析】設(shè)＝k則x＝2k，y＝3k，z＝4k原式＝＝＝【總結(jié)升華】解此類題學(xué)生容易誤認(rèn)為設(shè)k后，未知數(shù)越多更不易解出，實(shí)際上分子、分母能產(chǎn)生公因式約去．類型二、黃金分割3.如圖所示，矩形ABCD是黃金矩形（即＝≈0.618），如果在其內(nèi)作正方形CDEF，得到一個(gè)小矩形ABFE，試問矩形ABFE是否也是黃金矩形？【思路點(diǎn)撥】（1）矩形的寬與長之比值為，則這種矩形叫做黃金矩形．（2）要說明ABFE是不是黃金矩形只要證明＝即可．【答案與解析】矩形ABFE是黃金矩形．理由如下：因?yàn)椋剑剿跃匦蜛BFE也是黃金矩形．【總結(jié)升華】判斷四邊形是否是黃金矩形，要根據(jù)實(shí)際條件靈活選擇判斷方法.舉一反三：【變式】以長為2的線段AB為邊作正方形ABCD，取AB的中點(diǎn)P，連接PD，在BA的延長線上取點(diǎn)F，使PF＝PD，以AF為邊作正方形AMEF，點(diǎn)M在AD上，如圖所示，（1）求AM，DM的長，（2）試說明AM2=AD·DM（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，你能找出圖中的黃金分割點(diǎn)嗎？【答案】（1）∵正方形ABCD的邊長是2，P是AB中點(diǎn)，∴AD＝AB＝2，AP＝1，∠BAD＝90°，∴PD＝。∵PF＝PD，∴AF＝，在正方形ABCD中，AM＝AF＝，MD＝AD－AM＝3－（2）由（1）得AD×DM＝2（3－）＝6－2，∴AM2=AD·DM．（3）如圖中的M點(diǎn)是線段AD的黃金分割點(diǎn)．4.（2015?慈溪市一模）如圖，扇子的圓心角為x°，余下扇形的圓心角為y°，x與y的比通常按黃金比來設(shè)計(jì)，這樣的扇子外形比較美觀，若黃金比取0.6，則x為（）.A.144°B.135°C.136°D.108°【答案】B.【解析】由扇子的圓心角為x°，余下扇形的圓心角為y°，黃金比為0.6，根據(jù)題意得：x：y=0.6=3：5，又∵x+y=360，則x=360×=135【總結(jié)升華】此題考查了黃金分割，以及比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出x與y的關(guān)系式.相似形和比例線段（提高）知識講解1、了解兩條線段的比和比例線段的概念并能根據(jù)條件寫出比例線段；2、會運(yùn)用比例線段解決簡單的實(shí)際問題；3、掌握黃金分割的定義并能確定一條線段的黃金分割點(diǎn).【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、比例線段【高清課堂：394495圖形的相似預(yù)備知識】1．成比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段．2．比例的性質(zhì)：（1）基本性質(zhì)：如果，那么.（2）合比性質(zhì)：如果如果要點(diǎn)詮釋：（1）兩條線段的長度必須用同一長度單位表示，若單位長度不同，先化成同一單位，再求它們的比；（2）兩條線段的比，沒有長度單位，它與所采用的長度單位無關(guān)；（3）兩條線段的長度都是正數(shù)，所以兩條線段的比值總是正數(shù)．要點(diǎn)二、黃金分割1.定義：點(diǎn)C把線段AB分割成AC和CB兩段,如果,那么線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比.要點(diǎn)詮釋：≈0.618AB(叫做黃金分割值).2.作一條線段的黃金分割點(diǎn)：圖4－7如圖，已知線段AB，按照如下方法作圖：（1）經(jīng)過點(diǎn)B作BD⊥AB，使BD=AB.（2）連接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.則點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn).要點(diǎn)詮釋：一條線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè).【典型例題】類型一、比例線段1.（2016春?上海校級月考）已知，（1）求的值；（2）如果，求x的值．【思路點(diǎn)撥】（1）令===k，則x=2k，y=3k，z=4k，再代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）把x=2k，y=3k，z=4k代入=y﹣z，求出k的值即可．【答案與解析】解：（1）∵==，∴令===k，則x=2k，y=3k，z=4k，∴===﹣1；（2）∵x=2k，y=3k，z=4k，=y﹣z，∴x+3=（y﹣z）2，即2k+3=（3k﹣4k）2，解得k=﹣1或k=3(舍去)，∴x=﹣2．

【總結(jié)升華】本題考查的是比例的性質(zhì)，根據(jù)題意得出x=2k，y=3k，z=4k是解答此題的關(guān)鍵．舉一反三：【高清課堂：394495圖形的相似預(yù)備知識練習(xí)2】【變式】（2015春?扶溝縣期中）若=，則=（）.A.B.C.D.無法確定【答案】C.2.已知：．求k值．【思路點(diǎn)撥】可分a+b+c=0和a+b+c≠0兩種情況代入求值和利用等比性質(zhì)求解.【答案與解析】①當(dāng)a+b+c=0時(shí)，

b+c=-a，c+a=-b，a+b=-c，

∴k為其中任何一個(gè)比值，即k==-1;

②a+b+c≠0時(shí)，

k=．∴k=-1或.【總結(jié)升華】考查比例性質(zhì)的應(yīng)用；分兩種情況探討此題是解決本題的易錯(cuò)點(diǎn)．類型二、黃金分割3.寬與長之比為的矩形叫黃金矩形.如圖：如果在一個(gè)黃金矩形里面畫一個(gè)正方形，那么留下的矩形還是黃金矩形嗎？請證明你的結(jié)論.【答案與解析】∵四邊形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF,又∵,∴，即點(diǎn)F是AD的黃金分割點(diǎn)，∴,即∴，即，∴矩形CDEF是黃金矩形.【總結(jié)升華】根據(jù)黃金矩形的定義去計(jì)算寬與長之比即可.4.（2014春?南京校級月考）（1）已知線段AB=10cm，C是AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，且AC＜BC，求AC長；（2）已知線段a、b、c，a=4cm，b=9cm，線段c是線段a和b的比例中項(xiàng)．求線段c的長．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，知AC是較短線段，由黃金分割的公式：較短的線段=原線段的倍，可得AC=10×，計(jì)算即可；（2）根據(jù)線段比例中項(xiàng)的概念，可得a：c=c：b，可得c2=ab=36，故c的值可求．注意線段不能為負(fù)．．【答案與解析】解：（1）∵線段AB=10cm，C是AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，且AC＜BC，∴AC=10×=15﹣5（cm）；（2）∵線段c是線段a和b的比例中項(xiàng)，a=4cm，b=9cm，∴c2=ab=36，解得c=±6，又∵線段是正數(shù)，∴c=6cm．【總結(jié)升華】本題考查了黃金分割，應(yīng)該識記黃金分割的公式：較短的線段=原線段的倍，較長的線段=原線段的倍．也考查了比例中項(xiàng)的概念．．舉一反三：【變式】（2014秋?章丘市校級期末）已知線段AB=1，C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，則AC的長度為（）A.B.C.或D.以上都不對【答案】C.提示：∵線段AB=1，C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，當(dāng)AC＞BC，∴AC=AB=；當(dāng)AC＜BC，∴BC=AB=，∴AC=AB﹣BC=1﹣=．比例線段及黃金分割（提高）鞏固練習(xí)【鞏固練習(xí)】一．選擇題1.在比例尺為1︰1000000的地圖上，相距3cm的兩地，它們的實(shí)際距離為().

A．3kmB．30kmC．300kmD．3000km2.已知線段滿足把它改寫成比例式，其中錯(cuò)誤的是（）.A.B.C.D.3.（2014?牡丹江）若x：y=1：3，2y=3z，則的值是（）.A.-5B.C.D.54.如圖，已知點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且PA＞PB，若S1表示以PA為邊的正方形的面積，S2表示長為AB、寬為PB的矩形的面積，那么S1（）S2．A.>B.=C.<D.無法確定5.若，則下列式子中不正確的是（）.A.B.C.D.6.（2016?山西）寬與長的比是（約0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值，給我們以協(xié)調(diào)和勻稱的美感．我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形：作正方形ABCD，分別取AD、BC的中點(diǎn)E、F，連接EF：以點(diǎn)F為圓心，以FD為半徑畫弧，交BC的延長線于點(diǎn)G；作GH⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)H，則圖中下列矩形是黃金矩形的是（）A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH二.填空題7.已知，則a：b=______________．8.（2016?奉賢區(qū)一模）線段AB長10cm，點(diǎn)P在線段AB上，且滿足=，那么AP的長為cm．9.已知三個(gè)數(shù)1，2，，請你再寫一個(gè)數(shù)，使這四個(gè)數(shù)能成比例，那么這個(gè)數(shù)是________，（填寫一個(gè)即可）．10.已知若若5x-4y=0,則x:y=________.11.在△ABC和△A'B'C'，中，==．若△ABC的周長等于12，則△A'B'C'的周長等于________．12.如圖所示，頂角A為36°的第一個(gè)黃金三角形△ABC的腰AB=1，底邊與腰之比為K，三角形△BCD為第二個(gè)黃金三角形，依此類推，第2008個(gè)黃金三角形的周長為____________．三．綜合題13.如果，一次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（-1,2），求此一次函數(shù)解析式.14.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．

（1）求∠B的度數(shù)；

（2）我們把有一個(gè)內(nèi)角等于36°的等腰三角形稱為黃金三角形．它的腰長與底邊長的比（或者底邊長與腰長的比）等于黃金比．

①寫出圖中所有的黃金三角形，選一個(gè)說明理由；

②求AD的長；

③在直線AB或BC上是否存在點(diǎn)P（點(diǎn)A、B除外），使△PDC是黃金三角形？若存在，在備用圖中畫出點(diǎn)P，簡要說明畫出點(diǎn)P的方法（不要求證明）；若不存在，說明理由．15.（2014秋?重慶校級月考）如圖，用長為40cm的細(xì)鐵絲圍成一個(gè)矩形ABCD（AB＞AD）．（1）若這個(gè)矩形的面積等于99cm2，求AB的長度；（2）這個(gè)矩形的面積可能等于101cm2嗎？若能，求出AB的長度，若不能，說明理由；（3）若這個(gè)矩形為黃金矩形（AD與AB之比等于黃金比），求該矩形的面積．（結(jié)果保留根號）【答案與解析】一、選擇題1.【答案】B【解析】圖上距離︰實(shí)際距離=1：1000000.2．【答案】B．3．【答案】A．【解析】∵x：y=1：3，∴設(shè)x=k，y=3k，∵2y=3z，∴z=2k，∴==﹣5．故選：A．4．【答案】B．【解析】根據(jù)黃金分割的概念得：，

則==1，即S1=S2．故選B．5．【答案】A．【解析】根據(jù)題意，設(shè)x=3k，y=4k，分別代入，

A、左邊=，錯(cuò)誤；

B、左邊==4，正確；

C、左邊=，正確；

D、左邊=，正確．故選A．6.【答案】D.【解析】設(shè)正方形的邊長為2，則CD=2，CF=1在直角三角形DCF中，DF==∴FG=∴CG=﹣1∴=∴矩形DCGH為黃金矩形二、填空題

7.【答案】a：b=.8.【答案】5﹣5．【解析】設(shè)AP=x，則BP=10﹣x，∵=，∴=，∴x1=5﹣5，x2=﹣5﹣5（不合題意，舍去），∴AP的長為（5﹣5）cm．故答案為：5﹣5．9.【答案】2或或．【解析】設(shè)所求數(shù)為x．分四種情況：

①如果x，1，2，，這四個(gè)數(shù)能成比例，那么x：1=2：，x=；

②如果1，x，2，，這四個(gè)數(shù)能成比例，那么1：x=2：，x=；

③如果1，2，x，，這四個(gè)數(shù)能成比例，那么1：2=x：，x=；

④如果1，2，，x，這四個(gè)數(shù)能成比例，那么1：2=：x，x=2．

綜上，可知這個(gè)數(shù)是2或或．10.【答案】11.【答案】18．【解析】∵==，

∴=．

∵△ABC的周長等于12，

∴△A'B'C'的周長=12÷=18．

故答案為：18．12.【答案】K2007（K+2）.【解析】第一個(gè)三角形的周長為K+2；

第二個(gè)三角形的周長K+K+K2=K（K+2）；

第三個(gè)周長為K2+K2+K3=K2（K+