2024年初三下冊(cè)數(shù)學(xué)專項(xiàng)《銳角三角函數(shù)》全章復(fù)習(xí)與鞏固-鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）

2024年初三下冊(cè)數(shù)學(xué)專項(xiàng)《銳角三角函數(shù)》全章復(fù)習(xí)與鞏固--鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】一、選擇題

1．（2016?沈陽(yáng)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，則BC的長(zhǎng)是（）A． B．4 C．8 D．42．（2015?撫順縣四模）等腰三角形底邊與底邊上的高的比是2：，則頂角為（） A．60° B． 90° C． 120° D． 150°3．如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA＝，BC＝10，則AB的值是()．A．3B．6C．8D．9第1題圖第3題圖第4題圖4．如圖所示，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，tan∠DBE的值是()．A.B.2C.D.5．如圖所示，在四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，則tanC等于()．A．B．C．D．第5題圖第7題圖6．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，，則cosA的值為（）．A．B．C．D．7．如圖所示，先鋒村準(zhǔn)備在坡角為α的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離AB為()．A．5cosα米B．米C．米D．米8．等腰三角形一腰上的高與腰長(zhǎng)之比是1:2，則等腰三角形頂角的度數(shù)為（）．A．30°B．50°C．60°或120°D．30°或150°二、填空題9．計(jì)算：________．10．如圖所示，已知Rt△ABC中，斜邊BC上的高AD＝4，，則AC＝________．11．如圖所示，將以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形ABC沿直線BC平移得到，使點(diǎn)與C重合，連接，則tan∠的值為________．第10題圖第11題圖第12題圖12．如圖所示，一架梯子斜靠在墻上，若梯子底端到墻的距離AC＝3米，，則梯子長(zhǎng)AB＝_______米．13.如圖所示，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，如果將線段BD繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)D落在CB的延長(zhǎng)線上的處，那么tan∠BAD′等于________．第13題圖第15題圖14．一次函數(shù)經(jīng)過(tan45°，tan60°)和(-cos60°，-6tan30°)，則此一次函數(shù)的解析式為________．15．如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊的中線，AC＝6，CD＝5，則sinA等于________．16．（2016?自貢）如圖，在邊長(zhǎng)相同的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB，CD相交于點(diǎn)P，則的值=，tan∠APD的值=．三、解答題17.（2015?沛縣二模）如圖是某市一座人行過街天橋，天橋高CB=5米，斜坡AC的坡度為1：1，為了方便行人推車過天橋，市政部門決定降低坡度，使新坡面的傾斜角為30°．若新坡腳前需留3m的人行道，問離原坡腳A處7m的建筑物M是否需要拆除，請(qǐng)說明理由．（≈1.73）18．如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝8，∠B＝60°，BC＝12，連接AC．(1)求tan∠ACB的值；(2)若M、N分別是AB、DC的中點(diǎn)，連接MN，求線段MN的長(zhǎng)．19．如圖所示，點(diǎn)E、C在BF上，BE＝FC，∠ABC＝∠DEF＝45°，∠A＝∠D＝90°．(1)求證：AB＝DE；(2)若AC交DE于M，且AB＝，ME＝，將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)到AB上的G處，求旋轉(zhuǎn)角∠ECG的度數(shù)．20.如圖所示，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在BA的延長(zhǎng)線上，直線CD與⊙O相切于點(diǎn)D，弦DF⊥AB于點(diǎn)E，線段CD＝10，連接BD．(1)求證：∠CDE＝2∠B；(2)若BD:AB＝:2，求⊙O的半徑及DF的長(zhǎng)．【答案與解析】一、選擇題

1.【答案】D.【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，cosB=，即cos30°=，∴BC=8×=4；故選：D．2．【答案】A；【解析】如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥CB于D，依題意得CD：AD=1：=：3，而tan∠DAC=CD：AD，∴tan∠DAC=：3，∴∠DAC=30°，∴頂角∠BAC=60°．3.【答案】B；【解析】因?yàn)锳D＝DC，所以∠DAC＝∠DCA，又∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，所以∠DCA＝∠ACB．在Rt△ACB中，AC＝BC·cos∠BCA＝，則．4.【答案】B；【解析】∵DE⊥AB，∴在Rt△ADE中，cosA＝．∴設(shè)AD＝5k，則AE＝3k，DE＝4k，又AD＝AB，∴BE＝2k，∴tan∠DBE＝．5.【答案】B；【解析】如圖所示，連結(jié)BD，由三角形中位線定理得BD＝2EF＝2×2＝4，又BC＝5，CD＝3，∴CD2+BD2＝BC2．∴△BDC是直角三角形．且∠BDC＝90°，∴．6.【答案】C；【解析】∵，∴∠B＝60°，∠A＝90°－60°＝30°，∴．7．【答案】B；【解析】由上圖知，在Rt△ABC中，．∴．8．【答案】D；【解析】有兩種情況：當(dāng)∠A為銳角時(shí)，如圖(1)，sinA＝，∠A＝30°；當(dāng)∠A為鈍角時(shí)，如圖(2)，sin(180°－∠BAC)＝，180°－∠BAC＝30°，∠BAC＝150°．二、填空題9．【答案】；【解析】原式＝．10．【答案】5；【解析】在Rt△ABC中，．AD⊥BC，所以∠CAD＝∠B．∴，∴，又∵AD＝4，∴AC＝5．．11．【答案】；【解析】過作于點(diǎn)D，在Rt△中，設(shè)，則，BC=2x,BD=3x.12．【答案】4；【解析】由，知，AB＝4米．13．【答案】；【解析】由題意知．在Rt△ABD′中，．14．【答案】；【解析】tan45°＝1,tan60°＝，-cos60°＝，-6tan30°＝．設(shè)y＝kx+b經(jīng)過點(diǎn)、，則用待定系數(shù)法可求出，．15．【答案】；【解析】∵CD是Rt△ABC斜邊上的中線，∴AB＝2CD＝2×5＝10，BC＝，∴．16.【答案】3，2．【解析】解：∵四邊形BCED是正方形，∴DB∥AC，∴△DBP∽△CAP，∴==3，連接BE，∵四邊形BCED是正方形，∴DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BE⊥CD，∴BF=CF，根據(jù)題意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP，∴DP：CP=BD：AC=1：3，∴DP：DF=1：2，∴DP=PF=CF=BF，在Rt△PBF中，tan∠BPF==2，∵∠APD=∠BPF，∴tan∠APD=2，三、解答題17.【答案與解析】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=5，∵i=1：1，∴AB=5，在Rt△DBC中，∠DBC=90°，∠CDB=30°，BC=5，tan30°=，∴=，解得DB==5×1.73≈8.65，∵BM=7+5=12，BD≈8.65，∴12﹣8.65＞3，所以，離原坡腳7m的建筑物無(wú)需拆除．18.【答案與解析】(1)如圖所示，作AE⊥BC于E，則BE＝AB·cosB＝8cos60°＝．AE＝AB·sinB＝8sin60°＝．∴EC＝BC－BE＝12—4＝8．∴在Rt△ACE中，tan∠ACB＝(2)作DF⊥BC于F，則AE∥DF，∵AD∥EF，∴四邊形AEFD是矩形．AD＝EF．∵AB＝DC，∴∠B＝∠DCF．又∵∠AEB＝∠DFC＝90°，∴△ABE△≌△DCF(AAS)．∴FC＝BE＝4，∴EF＝BC－BE—FC＝4．∴AD＝4．∴MN＝(AD+BC)＝×(4+12)＝8．19.【答案與解析】(1)證明：∵BE＝FC，∴BC＝EF．又∵∠ABC＝∠DEF，∠A＝∠D，∴△ABC≌△DEF．∴AB＝DE．(2)解：∵∠DEF＝∠B＝45°，∴DE∥AB．∴∠CME＝∠A＝90°．∴AC＝AB＝，MC＝ME＝．∴CG＝CE＝2．在Rt△CAG中，，∴∠ACG＝30°．∴∠ECG＝∠ACB－∠ACB＝45°－30°＝15°．20.【答案與解析】(1)連接OD，∵直線CD與⊙O相切于點(diǎn)D，∴OD⊥CD，∴∠CD0＝90°，∴∠CDE+∠ODE＝90°．又∵DF⊥AB，∴∠DEO＝∠DEC＝90°，∴∠EOD+∠ODE＝90°．∴∠CDE＝∠EOD．又∵∠EOD＝2∠B；∴∠CDE＝2∠B．(2)連接AD．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°．∵BD:AB＝:2，∴在Rt△ADB中，，∴∠B＝30°，∵∠AOD＝2∠B＝60°．又∵∠CDO＝90°，∴∠C＝30°，∵在Rt△CDO中，CD＝10，∴OD＝10tan30°＝．即⊙O的半徑為．在Rt△CDE中，CD＝10，∠C＝30°，∴DE＝CDsin30°＝5．∵弦DF⊥直徑AB于點(diǎn)E，∴DE＝EF＝DF，∴DF＝2DE＝10．《銳角三角函數(shù)》全章復(fù)習(xí)與鞏固--知識(shí)講解（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解銳角三角函數(shù)的概念，能夠正確應(yīng)用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中兩邊的比；記憶30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函數(shù)值，并會(huì)由一個(gè)特殊角的三角函數(shù)值求出這個(gè)角的度數(shù)；

2．能夠正確地使用計(jì)算器，由已知銳角的度數(shù)求出它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求出相應(yīng)的銳角的度數(shù)；

3．理解直角三角形中邊與邊的關(guān)系，角與角的關(guān)系和邊與角的關(guān)系，會(huì)運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、以及銳角三角函數(shù)解直角三角形，并會(huì)用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題；

4．通過銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)函數(shù)，體會(huì)函數(shù)的變化與對(duì)應(yīng)的思想，通過解直角三角的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用，并結(jié)合實(shí)際問題對(duì)微積分的思想有所感受.

【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、銳角三角函數(shù)

1.正弦、余弦、正切的定義

如右圖、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果銳角A確定：

(1)sinA=，這個(gè)比叫做∠A的正弦.

(2)cosA=，這個(gè)比叫做∠A的余弦.

(3)tanA=，這個(gè)比叫做∠A的正切.

要點(diǎn)詮釋：

(1)正弦、余弦、正切是在一個(gè)直角三角形中定義的，其本質(zhì)是兩條線段的比值，它只是一個(gè)數(shù)值，其大小只與銳角的大小有關(guān)，而與所在直角三角形的大小無(wú)關(guān).

(2)sinA、cosA、tanA是一個(gè)整體符號(hào)，即表示∠A三個(gè)三角函數(shù)值，書寫時(shí)習(xí)慣上省略符號(hào)“∠”，

但不能寫成sin·A，對(duì)于用三個(gè)大寫字母表示一個(gè)角時(shí)，其三角函數(shù)中符號(hào)“∠”不能省略，應(yīng)寫成sin∠BAC，而不能寫出sinBAC.

(3)sin2A表示(sinA)2，而不能寫成sinA2.

(4)三角函數(shù)有時(shí)還可以表示成等.

2.銳角三角函數(shù)的定義

銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù).

要點(diǎn)詮釋：

1.函數(shù)值的取值范圍對(duì)于銳角A的每一個(gè)確定的值，sinA有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，所以sinA是∠A的函數(shù).同樣，cosA、tanA也是∠A的函數(shù)，其中∠A是自變量，sinA、cosA、tanA分別是對(duì)應(yīng)的函數(shù).其中自變量∠A的取值范圍是0°＜∠A＜90°，函數(shù)值的取值范圍是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.

2．銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系：

余角三角函數(shù)關(guān)系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB；cosA=sinB；

同角三角函數(shù)關(guān)系：sin2A＋cos2A=1；tanA=

3.30°、45°、60°角的三角函數(shù)值∠A30°45°60°sinAcosAtanA1

30°、45°、60°角的三角函數(shù)值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形為本章重中之重，是幾何計(jì)算題的基本工具，三邊的比借助銳角三角函數(shù)值記熟練.

要點(diǎn)二、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形．

解直角三角形的依據(jù)是直角三角形中各元素之間的一些相等關(guān)系，如圖：

角角關(guān)系：兩銳角互余，即∠A+∠B=90°；

邊邊關(guān)系：勾股定理，即；

邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù)，即

要點(diǎn)詮釋：

解直角三角形，可能出現(xiàn)的情況歸納起來(lái)只有下列兩種情形：

(1)已知兩條邊(一直角邊和一斜邊；兩直角邊)；

(2)已知一條邊和一個(gè)銳角(一直角邊和一銳角；斜邊和一銳角)．這兩種情形的共同之處：有一條邊．因此，直角三角形可解的條件是：至少已知一條邊．

要點(diǎn)三、解直角三角形的應(yīng)用

解直角三角形的知識(shí)應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵.1.解這類問題的一般過程

(1)弄清題中名詞、術(shù)語(yǔ)的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型.

(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.

(3)根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.

(4)得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問題的解.

2.常見應(yīng)用問題

(1)坡度：；坡角:.

(2)方位角：

(3)仰角與俯角：

要點(diǎn)詮釋：

1．解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟Rt△ABC

兩

邊兩直角邊(a，b)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

斜邊，一直角邊(如c，a)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

一

邊

一

角一直角邊

和一銳角銳角、鄰邊

(如∠A，b)∠B=90°－∠A，

，銳角、對(duì)邊

(如∠A，a)∠B=90°－∠A，

，斜邊、銳角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，

，

2．用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題的基本方法是：

把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題(解直角三角形)，就是要舍去實(shí)際事物的具體內(nèi)容，把事物及它們的聯(lián)系轉(zhuǎn)化為圖形(點(diǎn)、線、角等)以及圖形之間的大小或位置關(guān)系．

借助生活常識(shí)以及課本中一些概念(如俯角、仰角、傾斜角、坡度、坡角等)的意義，也有助于把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題．

當(dāng)需要求解的三角形不是直角三角形時(shí)，應(yīng)恰當(dāng)?shù)刈鞲?，化斜三角形為直角三角形再求解?/p>

3．銳角三角函數(shù)的應(yīng)用

用相似三角形邊的比的計(jì)算具有一般性，適用于所有形狀的三角形，而三角函數(shù)的計(jì)算是在直角三角形中解決問題，所以在直角三角形中先考慮三角函數(shù)，可以使過程簡(jiǎn)潔.

如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函數(shù)值相等進(jìn)行代換很簡(jiǎn)單：

∵

∴

∵

∴

∵

∴【典型例題】類型一、銳角三角函數(shù)1．（2016?廣東）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，3），那么cosα的值是（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】利用勾股定理列式求出OA，再根據(jù)銳角的余弦等于鄰邊比斜邊列式即可．【答案】D．【解析】解：由勾股定理得OA==5，所以cosα=．故選D．【總結(jié)升華】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，熟記概念并準(zhǔn)確識(shí)圖求出OA的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【高清課程名稱：《銳角三角函數(shù)》全章復(fù)習(xí)與鞏固高清ID號(hào)：395953關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：例1-例2】【變式】已知，如圖，D是中BC邊的中點(diǎn)，，，求．【答案】過D作DE∥AB交AC于E，則∠ADE=∠BAD=90°，由，得設(shè)AD=2k,AB=3k,∵D是中BC邊的中點(diǎn)，∴DE=在Rt△ADE中，類型二、特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算2．先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式的值，其中．【答案與解析】原式．而．∴原式＝．【點(diǎn)評(píng)】先進(jìn)行分式化簡(jiǎn)，再由得x的值，最后代值求出結(jié)果．舉一反三：【高清課程名稱：《銳角三角函數(shù)》全章復(fù)習(xí)與鞏固高清ID號(hào)：395953關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：計(jì)算】【變式】計(jì)算：tan230°＋cos230°－sin245°tan45°【答案】原式===類型三、解直角三角形3．如圖所示，菱形ABCD的周長(zhǎng)為20cm，DE⊥AB，垂足為E，，則下列結(jié)論正確的個(gè)（）．①DE＝3cm；②BE＝1cm；③菱形的面積為15cm2；④BD＝cm．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【答案】C；【解析】由菱形的周長(zhǎng)為20cm知菱形邊長(zhǎng)是5cm．在Rt△ADE中，∵AD＝5cm，sinA＝，∴DE＝AD·sinA＝(cm)．∴(cm)．∴BE＝AB－AE＝5－4＝1(cm)．菱形的面積為AB·DE＝5×3＝15(cm2)．在Rt△DEB中，(cm)．綜上所述①②③正確．故選C．【點(diǎn)評(píng)】此題是菱形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義及勾股定理綜合運(yùn)用.類型四、銳角三角函數(shù)與相關(guān)知識(shí)的綜合4．如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)D，E是⊙O上一點(diǎn)，且∠AED＝45°．(1)試判斷CD與⊙O的關(guān)系，并說明理由．(2)若⊙O的半徑為3cm，，AE＝5cm．求∠ADE的正弦值．【思路點(diǎn)撥】(1)連接OD，可證OD⊥CD，所以CD與⊙O相切；(2)連接BE，則∠ADE＝∠ABE，所以sin∠ADE＝sin∠ABE＝．【答案與解析】(1)CD與⊙O相切．理由：如圖所示，連接OD，則∠AOD＝2∠AED＝2×45°＝90°．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，∴∠CDO＝∠AOD＝90°，∴OD⊥CD，∴CD與⊙O相切．(2)如圖所示，連接BE，則∠ADE＝∠ABE．∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，AB＝2×3＝6(cm)．在Rt△ABE中，．∴sin∠ADE＝sin∠ABE．【點(diǎn)評(píng)】證明某直線是圓的切線，一般要連接過切點(diǎn)的半徑，然后證明該半徑與已知直線垂直．第(2)題通過作輔助線BE，將問題巧妙轉(zhuǎn)化為Rt△ABE的邊角關(guān)系．在圓的有關(guān)證明中若有直徑，一般要利用“直徑所對(duì)的圓周角等于90°”這一性質(zhì)構(gòu)造直角三角形．舉一反三：【高清課程名稱：《銳角三角函數(shù)》全章復(fù)習(xí)與鞏固高清ID號(hào)：395953關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：例6-例8】【變式】如圖，C、D是半圓O上兩點(diǎn)，，求和．【答案】如圖，連結(jié)BC，則∠ACB=90°，易證△ECD∽△EBA，∴，cos∠CEB=tan∠CEB=類型五、三角函數(shù)與實(shí)際問題5．如圖所示，一艘輪船位于燈塔P的北偏東60°方向，與燈塔P的距離為80海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處，求此時(shí)輪船所在的B處與燈塔P的距離(結(jié)果保留根號(hào))．【思路點(diǎn)撥】由題意知△ABP中∠A＝60°，∠B＝45°，∠APB＝75°聯(lián)想到兩個(gè)三角板拼成的三角形．因此很自然作PC⊥AB交AB于C．【答案與解析】過點(diǎn)P作PC⊥AB垂足為C，則∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AP＝80，在Rt△APC中，．∴PC＝PA·cos∠APC＝，在Rt△PCB中，，∴∴當(dāng)輪船位于燈塔P南偏東45°方向時(shí)，輪船與燈塔P的距離是海里．【點(diǎn)評(píng)】注意由兩個(gè)三角板拼的一個(gè)非直角三角形的求解問題，過75°(或105°)角的頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€是解決問題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】（2015?南通）如圖，一海倫位于燈塔P的西南方向，距離燈塔40海里的A處，它沿正東方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東60°方向上的B處，求航程AB的值（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案與解析】解：過P作PC⊥AB于點(diǎn)C，在Rt△ACP中，PA=40海里，∠APC=45°，sin∠APC=，cos∠APC=，∴AC=AP?sin45°=40×=40（海里），PC=AP?cos45°=40×=40（海里），在Rt△BCP中，∠BPC=60°，tan∠BPC=，∴BC=PC?tan60°=40（海里），則AB=AC+BC=（40+40）海里．6．（2015?安徽模擬）如圖，某滑板愛好者訓(xùn)練時(shí)的斜坡示意圖，出于安全因素考慮，決定將訓(xùn)練的斜坡的傾角由45°降為30°，已知原斜坡坡面AB的長(zhǎng)為5米，點(diǎn)D、B、C在同一水平地面上．（1）改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB會(huì)加長(zhǎng)多少米？（精確到0.01）（2）若斜坡的正前方能有3米長(zhǎng)的空地就能保證安全，已知原斜坡AB的前方有6米長(zhǎng)的空地，進(jìn)行這樣的改造是否可行？說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）【答案與解析】解：（1）在Rt△ABC中，BC=AC=AB?sin45°=（m），在Rt△ADC中AD==5（m），CD==（m），∴AD﹣AB≈2.07（m）．改善后的斜坡會(huì)加長(zhǎng)2.07m；（2）這樣改造能行．∵CD﹣BC≈2.59（m），而6﹣3＞2.59，∴這樣改造能行．【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)兩個(gè)直角三角形有公共邊時(shí)，先求出這條公共邊是解答此類題的一般思路．《銳角三角函數(shù)》全章復(fù)習(xí)與鞏固--知識(shí)講解（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解銳角三角函數(shù)的概念，能夠正確使用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中兩邊的比；記憶30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函數(shù)值，并會(huì)由一個(gè)特殊角的三角函數(shù)值求出這個(gè)角的度數(shù)；

2．能夠正確地使用計(jì)算器，由已知銳角的度數(shù)求出它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求出相應(yīng)的銳角的度數(shù)；

3．理解直角三角形中邊與邊的關(guān)系，角與角的關(guān)系和邊與角的關(guān)系，會(huì)運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、以及銳角三角函數(shù)解直角三角形，并會(huì)用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題；

4．通過銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)函數(shù)，體會(huì)函數(shù)的變化與對(duì)應(yīng)的思想，通過解直角三角的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用，并結(jié)合實(shí)際問題對(duì)微積分的思想有所感受.

【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、銳角三角函數(shù)

1.正弦、余弦、正切的定義

如右圖、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果銳角A確定：

(1)sinA=，這個(gè)比叫做∠A的正弦.

(2)cosA=，這個(gè)比叫做∠A的余弦.

(3)tanA=，這個(gè)比叫做∠A的正切.

要點(diǎn)詮釋：

(1)正弦、余弦、正切是在一個(gè)直角三角形中定義的，其本質(zhì)是兩條線段的比值，它只是一個(gè)數(shù)值，其大小只與銳角的大小有關(guān)，而與所在直角三角形的大小無(wú)關(guān).

(2)sinA、cosA、tanA是一個(gè)整體符號(hào)，即表示∠A三個(gè)三角函數(shù)值，書寫時(shí)習(xí)慣上省略符號(hào)“∠”，

但不能寫成sin·A，對(duì)于用三個(gè)大寫字母表示一個(gè)角時(shí)，其三角函數(shù)中符號(hào)“∠”不能省略，應(yīng)寫成sin∠BAC，而不能寫出sinBAC.

(3)sin2A表示(sinA)2，而不能寫成sinA2.

(4)三角函數(shù)有時(shí)還可以表示成等.

2.銳角三角函數(shù)的定義

銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù).

要點(diǎn)詮釋：

1.函數(shù)值的取值范圍對(duì)于銳角A的每一個(gè)確定的值，sinA有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，所以sinA是∠A的函數(shù).同樣，cosA、tanA也是∠A的函數(shù)，其中∠A是自變量，sinA、cosA、tanA分別是對(duì)應(yīng)的函數(shù).其中自變量∠A的取值范圍是0°＜∠A＜90°，函數(shù)值的取值范圍是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.

2．銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系：

余角三角函數(shù)關(guān)系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB；cosA=sinB；

同角三角函數(shù)關(guān)系：sin2A＋cos2A=1；tanA=

3.30°、45°、60°角的三角函數(shù)值∠A30°45°60°sinAcosAtanA1

30°、45°、60°角的三角函數(shù)值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形為本章重中之重，是幾何計(jì)算題的基本工具，三邊的比借助銳角三角函數(shù)值記熟練.

要點(diǎn)二、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形．

解直角三角形的依據(jù)是直角三角形中各元素之間的一些相等關(guān)系，如圖：

角角關(guān)系：兩銳角互余，即∠A+∠B=90°；

邊邊關(guān)系：勾股定理，即；

邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù)，即

要點(diǎn)詮釋：

解直角三角形，可能出現(xiàn)的情況歸納起來(lái)只有下列兩種情形：

(1)已知兩條邊(一直角邊和一斜邊；兩直角邊)；

(2)已知一條邊和一個(gè)銳角(一直角邊和一銳角；斜邊和一銳角)．這兩種情形的共同之處：有一條邊．因此，直角三角形可解的條件是：至少已知一條邊．

要點(diǎn)三、解直角三角形的應(yīng)用

解直角三角形的知識(shí)應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵.1.解這類問題的一般過程

(1)弄清題中名詞、術(shù)語(yǔ)的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型.

(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.

(3)根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.

(4)得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問題的解.

2.常見應(yīng)用問題

(1)坡度：；坡角:.

(2)方位角：

(3)仰角與俯角：

要點(diǎn)詮釋：

1．解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟Rt△ABC

兩

邊兩直角邊(a，b)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

斜邊，一直角邊(如c，a)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

一

邊

一

角一直角邊

和一銳角銳角、鄰邊

(如∠A，b)∠B=90°－∠A，

，銳角、對(duì)邊

(如∠A，a)∠B=90°－∠A，

，斜邊、銳角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，

，

2．用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題的基本方法是：

把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題(解直角三角形)，就是要舍去實(shí)際事物的具體內(nèi)容，把事物及它們的聯(lián)系轉(zhuǎn)化為圖形(點(diǎn)、線、角等)以及圖形之間的大小或位置關(guān)系．

借助生活常識(shí)以及課本中一些概念(如俯角、仰角、傾斜角、坡度、坡角等)的意義，也有助于把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題．

當(dāng)需要求解的三角形不是直角三角形時(shí)，應(yīng)恰當(dāng)?shù)刈鞲?，化斜三角形為直角三角形再求解?/p>

3．銳角三角函數(shù)的應(yīng)用

用相似三角形邊的比的計(jì)算具有一般性，適用于所有形狀的三角形，而三角函數(shù)的計(jì)算是在直角三角形中解決問題，所以在直角三角形中先考慮三角函數(shù)，可以使過程簡(jiǎn)潔。

如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函數(shù)值相等進(jìn)行代換很簡(jiǎn)單：

∵

∴

∵

∴

∵

∴【典型例題】類型一、銳角三角函數(shù)1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若將各邊長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，則∠A的正弦值是()．A．?dāng)U大2倍B．縮小2倍C．?dāng)U大4倍D．不變【答案】D；【解析】根據(jù)知sin∠A的值與∠A的大小有關(guān)，與的比值有關(guān)．當(dāng)各邊長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來(lái)的2倍時(shí)，其的比值不變．故選D.【總結(jié)升華】銳角三角函數(shù)正弦、余弦和正切反映了直角三角形中邊與邊的關(guān)系．舉一反三：【高清課程名稱：《銳角三角函數(shù)》全章復(fù)習(xí)與鞏固高清ID號(hào)：395953關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：例3】【變式1】已知，如圖，中，，，，求cosA及tanA．【答案】易證點(diǎn)B、C、D、E四點(diǎn)共圓，△ADE∽△ABC，cosA=tanA=【變式2】如圖所示，已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝c，AC＝b，BC＝a，請(qǐng)你證明．【答案】證明：⊙O是△ABC的外接圓，設(shè)圓的半徑為R，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，連結(jié)CD，則∠B＝∠D．∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD＝90°．即△ADC為直角三角形．∴，∴．同理可證：，．∴．類型二、特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算2．已知a＝3，且，則以a、b、c為邊長(zhǎng)的三角形面積等于()．A．6B．7C．8D．9【答案】A；【解析】根據(jù)題意知解得所以a＝3，b＝4，c＝5，即，其構(gòu)成的三角形為直角三角形，且∠C＝90°，所以．【總結(jié)升華】利用非負(fù)數(shù)之和等于0的性質(zhì)，求出b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判斷三角形是直角三角形，注意tan45°的值不要記錯(cuò)．舉一反三：【高清課程名稱：《銳角三角函數(shù)》全章復(fù)習(xí)與鞏固高清ID號(hào)：395953關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：計(jì)算】【變式】計(jì)算：＋60°【答案】原式==類型三、解直角三角形3．如圖所示，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一點(diǎn)，若，則AD的長(zhǎng)為()．A．2B．C．D．1【思路點(diǎn)撥】如何用好是解題關(guān)解，因此要設(shè)法構(gòu)造直角三角形，若所求的元素不在直角三角形中，則應(yīng)將它轉(zhuǎn)化到直角三角形中去，轉(zhuǎn)化的途徑及方法很多，如可作輔助線構(gòu)造直角三角形，或找已知直角三角形中的邊或角替代所要求的元素等．【答案】A；【解析】作DE⊥AB于點(diǎn)E．因?yàn)椤鰽BC為等腰直角三角形，所以∠A＝45°，所以AE＝DE．又設(shè)DE＝x，則AE＝x，由．知BE＝5x，所以AB＝6x，由勾股定理知AC2+BC2＝AB2，所以62+62＝(6x)2，，AD＝AE＝．【總結(jié)升華】在直角三角形中，若已知兩邊，宜先用勾股定理求出第三邊，再求銳角三角函數(shù)值；若已知一邊和角，應(yīng)先求另一角，再通過銳角三角函數(shù)列出含有未知元素和已知元素的等式求解．類型四、銳角三角函數(shù)與相關(guān)知識(shí)的綜合4．（2016?連云港）如圖，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB=．（1）求BC的長(zhǎng)；（2）利用此圖形求tan15°的值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：=1.4，=1.7，=2.2）【思路點(diǎn)撥】（1）過A作AD⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，由含30°的直角三角形性質(zhì)得AD=AC=2，由三角函數(shù)求出CD=2，在Rt△ABD中，由三角函數(shù)求出BD=16，即可得出結(jié)果；（2）在BC邊上取一點(diǎn)M，使得CM=AC，連接AM，求出∠AMC=∠MAC=15°，tan15°=tan∠AMD=即可得出結(jié)果．【答案與解析】解：（1）過A作AD⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，如圖1所示：在Rt△ADC中，AC=4，∵∠C=150°，∴∠ACD=30°，∴AD=AC=2，CD=AC?cos30°=4×=2，在Rt△ABD中，tanB===，∴BD=16，∴BC=BD﹣CD=16﹣2；（2）在BC邊上取一點(diǎn)M，使得CM=AC，連接AM，如圖2所示：∵∠ACB=150°，∴∠AMC=∠MAC=15°，tan15°=tan∠AMD===≈≈0.27≈0.3．【總結(jié)升華】本題考查了銳角三角函數(shù)、含30°的直角三角形性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握三角函數(shù)運(yùn)算是解決問題的關(guān)鍵．舉一反三：【高清課程名稱：《銳角三角函數(shù)》全章復(fù)習(xí)與鞏固高清ID號(hào)：395953關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：例6-例8】【變式】如圖，設(shè)P是矩形ABCD的AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)E，于F，，．求的值．【答案】如圖，sin∠1=sin∠2=由矩形ABCD知∠1=∠2，則PE=PAsin∠1，PF=PDsin∠2,sin∠1=，所以PE+PF=PAsin∠1+PDsin∠2=（PA+PD）sin∠1=類型五、三角函數(shù)與實(shí)際問題5．（2015??？悼h模擬）如圖，某廣場(chǎng)一燈柱AB被一鋼纜CD固定，CD與地面成40°夾角，且CB=5米．（1）求鋼纜CD的長(zhǎng)度；（精確到0.1米）（2）若AD=2米，燈的頂端E距離A處1.6米，且∠EAB=120°，則燈的頂端E距離地面多少米？（參考數(shù)據(jù)：tan40°=0.84，sin40°=0.64，cos40°=）【答案與解析】解：（1）在Rt△BCD中，，∴≈6.7；（2）在Rt△BCD中，BC=5，∴BD=5tan40°=4.2．過E作AB的垂線，垂足為F，在Rt△AFE中，AE=1.6，∠EAF=180°﹣120°=60°，AF==0.8.∴FB=AF+AD+BD=0.8+2+4.20=7米．答：鋼纜CD的長(zhǎng)度為6.7米，燈的頂端E距離地面7米．【總結(jié)升華】構(gòu)造直角三角形，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題.6．（2015?攀枝花）如圖所示，港口B位于港口O正西方向120km處，小島C位于港口O北偏西60°的方向．一艘游船從港口O出發(fā)，沿OA方向（北偏西30°）以vkm/h的速度駛離港口O，同時(shí)一艘快艇從港口B出發(fā)，沿北偏東30°的方向以60km/h的速度駛向小島C，在小島C用1h加裝補(bǔ)給物資后，立即按原來(lái)的速度給游船送去．（1）快艇從港口B到小島C需要多長(zhǎng)時(shí)間？（2）若快艇從小島C到與游船相遇恰好用時(shí)1h，求v的值及相遇處與港口O的距離．【答案與解析】解：（1）∵∠CBO=60°，∠COB=30°，∴∠BCO=90°．在Rt△BCO中，∵OB=120，∴BC=OB=60，∴快艇從港口B到小島C的時(shí)間為：60÷60=1（小時(shí)）；（2）過C作CD⊥OA，垂足為D，設(shè)相會(huì)處為點(diǎn)E．則OC=OB?cos30°=60，CD=OC=30，OD=OC?cos30°=90，∴DE=90﹣3v．∵CE=60，CD2+DE2=CE2，∴（30）2+（90﹣3v）2=602，∴v=20或40，∴當(dāng)v=20km/h時(shí)，OE=3×20=60km，當(dāng)v=40km/h時(shí)，OE=3×40=120km．【總結(jié)升華】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，理解方向角的定義，得出∠BCO=90°是解題的關(guān)鍵.《銳角三角函數(shù)》全章復(fù)習(xí)與鞏固--鞏固練習(xí)（提高）【鞏固練習(xí)】一、選擇題

1.計(jì)算tan60°+2sin45°－2cos30°的結(jié)果是()．A．2B．C．D．12．如圖所示，△ABC中，AC＝5，，，則△ABC的面積是()A．B．12C．14D．213．如圖所示，A、B、C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處，若將△ACB繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，則tan的值為()A．B．C．D．第2題圖第3題圖第4題圖4．如圖所示，小明要測(cè)量河內(nèi)小島B到河邊公路的距離，在A點(diǎn)測(cè)得∠BAD＝30°，在C點(diǎn)測(cè)得∠BCD＝60°，又測(cè)得AC＝50米，那么小島B到公路的距離為()．A．25米B．米C．米D．米5．如圖所示，將圓桶中的水倒入一個(gè)直徑為40cm，高為55cm的圓口容器中，圓桶放置的角度與水平線的夾角為45°．要使容器中的水面與圓桶相接觸，則容器中水的深度至少應(yīng)為()．A．10cmB．20cmC．30cmD．35cm6．如圖所示，已知坡面的坡度，則坡角為()．A．15°B．20°C．30°D．45°第5題圖第6題圖第7題圖7．如圖所示，在高為2m，坡角為30°的樓梯上鋪地毯，則地毯的長(zhǎng)度至少應(yīng)為()．A．4mB．6mC．mD．8．（2016?綿陽(yáng)）如圖，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，DE⊥AB，則cosA的值為（）A． B． C． D．二、填空題9．如圖，若AC、BD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，，則=；=．10．如圖，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，則AD的長(zhǎng)為；CD的長(zhǎng)為.

第9題圖第10題圖第11題圖11．如圖所示，已知直線∥∥∥，相鄰兩條平行直線間的距離都是1，如果正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條直線上，則________．12．如果方程的兩個(gè)根分別是Rt△ABC的兩條邊，△ABC最小的角為A，那么tanA的值為________．13.（2015?荊州）如圖，小明在一塊平地上測(cè)山高，先在B處測(cè)得山頂A的仰角為30°，然后向山腳直行100米到達(dá)C處，再測(cè)得山頂A的仰角為45°，那么山高AD為米（結(jié)果保留整數(shù)，測(cè)角儀忽略不計(jì)，≈1.414，，1.732）14.在△ABC中，AB＝8，∠ABC＝30°，AC＝5，則BC＝________．15.如圖，直徑為10的⊙A經(jīng)過點(diǎn)C(0,5)和點(diǎn)O(0,0)，B是y軸右側(cè)⊙A優(yōu)弧上一點(diǎn),則∠OBC的余弦值為.第15題圖16.（2016?臨沂）一般地，當(dāng)α、β為任意角時(shí)，sin（α+β）與sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）=sinα?cosβ+cosα?sinβ；sin（α﹣β）=sinα?cosβ﹣cosα?sinβ．例如sin90°=sin（60°+30°）=sin60°?cos30°+cos60°?sin30°=×+×=1．類似地，可以求得sin15°的值是．三、解答題17．如圖所示，以線段AB為直徑的⊙O交線段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，OM交AC于點(diǎn)D，∠BOE＝60°，cosC＝，BC＝．(1)求∠A的度數(shù)；(2)求證：BC是⊙O的切線；(3)求MD的長(zhǎng)度．18.（2015?湖州模擬）如圖，坡面CD的坡比為，坡頂?shù)钠降谺C上有一棵小樹AB，當(dāng)太陽(yáng)光線與水平線夾角成60°時(shí)，測(cè)得小樹的在坡頂平地上的樹影BC=3米，斜坡上的樹影CD=米，則小樹AB的高是多少米？19．如圖所示，圓O的直徑為5，在圓O上位于直徑AB的異側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，已知BC:CA＝4:3，點(diǎn)P在半圓弧AB上運(yùn)動(dòng)(不與A、B重合)，過C作CP的垂線CD交PB的延長(zhǎng)線于D點(diǎn)．(1)求證：AC·CD＝PC·BC；(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB弧中點(diǎn)時(shí)，求CD的長(zhǎng)；(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PCD的面積最大？并求這個(gè)最大面積S．20.如圖所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DE方向運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PQ⊥BC于Q，過點(diǎn)Q作QR∥BA交AC于R，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)BQ＝x，QR＝y(tǒng)．(1)求點(diǎn)D到BC的距離DH的長(zhǎng)；(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量的取值范圍)；(3)是否存在點(diǎn)P，使△PQR為等腰三角形?若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案與解析】一、選擇題

1.【答案】C；【解析】tan60°+2sin45°－2cos30°＝．2.【答案】A；【解析】過A作AD⊥BC于D，因?yàn)椋浴螧＝45°，所以AD＝BD，因?yàn)椋?，∴BD＝AD＝3，所以，所以BC＝BD+DC＝7，.3.【答案】B；【解析】旋轉(zhuǎn)后的三角形與原三角形全等，得∠B′＝∠B，然后將∠B放在以BC為斜邊，直角邊在網(wǎng)格線上的直角三角形中，∠B的對(duì)邊為1，鄰邊為3，tanB′＝tanB＝．4.【答案】B；【解析】依題意知BC＝AC＝50米，小島B到公路的距離，就是過B作的垂線，即是BE的長(zhǎng)，在Rt△BCE中，，BE＝BC·sin60°＝50×(米)，因此選B．5.【答案】D；【解析】如圖，△ABD是等腰直角三角形，過A點(diǎn)作AC⊥BD于C，則∠ABC＝45°，AC＝BC＝，則所求深度為55－20＝35(cm)．6.【答案】C；【解析】，∴．7．【答案】D；【解析】地毯長(zhǎng)度等于兩直角邊長(zhǎng)之和，高為2m，寬為(m)，則地毯的總長(zhǎng)至少為m．8.【答案】C．【解析】∵△ABC中，AB=AC=4，∠C=72°，∴∠ABC=∠C=72°，∠A=36°，∵D是AB中點(diǎn)，DE⊥AB，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=36°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=36°，∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠C=72°，∴∠BEC=∠C=72°，∴BE=BC，∴AE=BE=BC．設(shè)AE=x，則BE=BC=x，EC=4﹣x．在△BCE與△ABC中，，∴△BCE∽△ABC，∴=，即=，解得x=﹣2±2（負(fù)值舍去），∴AE=﹣2+2．在△ADE中，∵∠ADE=90°，∴cosA===．故選C．二、填空題9．【答案】cos∠CEB=；tan∠CEB=【解析】如圖，連結(jié)BC，則∠ACB=90°，易證△ECD∽△EBA，∴，cos∠CEB=tan∠