2024年初三冊數(shù)學(xué)專項一元二次方程及其解法（一）-直接開平方法-鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）

2024年初三冊數(shù)學(xué)專項一元二次方程及其解法（一）直接開平方法—鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】一、選擇題

1.若是關(guān)于x的一元二次方程，則()A．p≠1B．p≠0且p≠1C．p≠0D．p≠0且p≠12．（2015?江岸區(qū)校級模擬）如果x=﹣3是一元二次方程ax2=c的一個根，那么該方程的另一個根是（）A．3B．-3C．0D．13．（2016?重慶模擬）已知x=﹣1是關(guān)于x的方程x2﹣x+m=0的一個根，則m的值為（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．24．若，是方程的兩根，則的值是()A．8B．4C．2D．05．若為方程式的一根，為方程式的一根，且、都是正數(shù)，則之值為何?()A．5B．6C．D．6．已知方程有一個根是-a(a≠0)，則下列代數(shù)式的值恒為常數(shù)的是()A．a(chǎn)bB．C．a(chǎn)+bD．a(chǎn)-b二、填空題7.方程(2x+1)(x-3)＝x2+1化成一般形式為________，二次項系數(shù)是________，一次項系數(shù)是________，常數(shù)項是________．8．（1）關(guān)于x的方程是一元二次方程，則m；（2）關(guān)于x的方程是一元一次方程，則m.9．下列關(guān)于x的方程中是一元二次方程的是________(只填序號)．(1)x2+1＝0；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)(x-2)(x-3)＝5.10．下列哪些數(shù)是方程的根?答案：.0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．11．（2016?泰州）方程2x﹣4=0的解也是關(guān)于x的方程x2+mx+2=0的一個解，則m的值為．12．（2014秋?營山縣校級月考）若方程（x﹣4）2=a有實數(shù)解，則a的取值范圍是________．三、解答題13．（2014?濟寧）若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的兩個根分別是m+1與2m﹣4，求的值．14.用直接開平方法解下列方程．(1)；(2)．15．教材或資料會出現(xiàn)這樣的題目：把方程化為一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項．現(xiàn)把上面的題目改編為下面的兩個小題，請解答．(1)下列式子中，有哪幾個是方程所化的一元二次方程的一般形式?(答案只寫序號)________．①；②；③；④；⑤.(2)方程化為一元二次方程的一般形式后，它的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項之間具有什么關(guān)系?【答案與解析】一、選擇題

1．【答案】C；【解析】方程是一元二次方程的條件是a≠0，b、c可以是任意實數(shù)．2.【答案】A；【解析】ax2=c，即x2=，x=±，∵x=﹣3是一元二次方程ax2=c的一個根，∴該方程的另一個根是x=3，故選A．3.【答案】A.【解析】把x=﹣1代入x2﹣x+m=0得1+1+m=0，解得m=﹣2．故選A．4．【答案】D；【解析】直接開方可得，，∴.5.【答案】B；【解析】由得，∴，，又是正數(shù)且是此方程的根，∴．同理，∴．6.【答案】D；【解析】將代入方程得．∴，又a≠0．方程兩邊同除以a得a-b+1＝0，∴a-b＝-1，即a-b的值恒為常數(shù)．二、填空題7．【答案】x2-5x-4＝0，1，-5，-4．8．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因為關(guān)于x的方程是一元二次方程，所以（2）因為關(guān)于x的方程是一元一次方程，所以.9．【答案】(1)，(6).【解析】根據(jù)一元二次方程的定義，要判斷一個方程是否是一元二次方程要看它是否符合定義的三個必備條件：①只含一個未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)是2；③是整式方程．當(dāng)然對有些方程必須先整理后再看．(1)是；(2)含有分式；(3)含有兩個未知數(shù)；(4)未知數(shù)最高次數(shù)為3；(5)方程整理得-10x-4＝0，不是一元二次方程；(6)方程整理得x2-5x+1＝0是一元二次方程，所以(1)、(6)是一元二次方程．10．【答案】2，4．【解析】把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分別代入方程x2-6x+8＝0，發(fā)現(xiàn)當(dāng)x＝2和x＝4時，方程x2-6x+8＝0左右兩邊相等，所以x＝2，x＝4是方程x2-6x+8＝0的根．11.【答案】-3.【解析】2x﹣4=0，解得：x=2，把x=2代入方程x2+mx+2=0得：4+2m+2=0，解得：m=﹣3．12．【答案】a≥0；【解析】∵方程（x﹣4）2=a有實數(shù)解，∴x﹣4=±，∴a≥0；．三、解答題13.【答案與解析】解：∵x2=（ab＞0），∴x=±，∴方程的兩個根互為相反數(shù)，∴m+1+2m﹣4=0，解得m=1，∴一元二次方程ax2=b（ab＞0）的兩個根分別是2與﹣2，∴4a=b∴=4．故答案為：4．14.【答案與解析】(1)移項，得，根據(jù)平方根的定義，得．即，．(2)根據(jù)平方根的定義，得，即，．15.【答案與解析】(1)觀察可知方程①、②、③、④、⑤的各項系數(shù)分別是原方程各項系數(shù)乘以1，-1，2，-2，得到的，其中①、②、④、⑤是一般形式，③不是一般形式．(2)二次項系數(shù)、一次項系數(shù)與常數(shù)項之比為，即，若設(shè)二次項系數(shù)為，則一次項系數(shù)為，常數(shù)項為．一元二次方程及其解法（一）直接開平方法—知識講解（基礎(chǔ)）責(zé)編：【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意義，會把一元二次方程化為一般形式；

2．掌握直接開平方法解方程，會應(yīng)用此判定方法解決有關(guān)問題；

3．理解解法中的降次思想，直接開平方法中的分類討論與換元思想.

【要點梳理】要點一、一元二次方程的有關(guān)概念

1．一元二次方程的概念：

通過化簡后，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

要點詮釋：識別一元二次方程必須抓住三個條件：（1）整式方程；（2）含有一個未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.不滿足其中任何一個條件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.

2．一元二次方程的一般形式：

一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程，都能化成形如，這種形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次項，是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項．

要點詮釋：

(1)只有當(dāng)時，方程才是一元二次方程；

(2)在求各項系數(shù)時，應(yīng)把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各項系數(shù)時注意不要漏掉前面的性質(zhì)符號.

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

4.一元二次方程根的重要結(jié)論（1）若a+b+c=0,則一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一個根，則a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,則一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一個根，則a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一個根x=0，則c=0；反之也成立，若c=0，則一元二次方程必有一根為0.要點二、一元二次方程的解法

1．直接開方法解一元二次方程：

(1)直接開方法解一元二次方程：

利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法稱為直接開平方法.

(2)直接開平方法的理論依據(jù)：

平方根的定義.

(3)能用直接開平方法解一元二次方程的類型有兩類：

①形如關(guān)于x的一元二次方程，可直接開平方求解.

若，則；表示為，有兩個不等實數(shù)根；

若，則x=O；表示為，有兩個相等的實數(shù)根；

若，則方程無實數(shù)根．

②形如關(guān)于x的一元二次方程，可直接開平方求解，兩根是

.

要點詮釋：用直接開平方法解一元二次方程的理論依據(jù)是平方根的定義，應(yīng)用時應(yīng)把方程化成左邊是含未知數(shù)的完全平方式，右邊是非負數(shù)的形式，就可以直接開平方求這個方程的根.

【典型例題】類型一、關(guān)于一元二次方程的判定1．判定下列方程是不是一元二次方程:

(1)；(2)．

【思路點撥】識別一元二次方程必須抓住三個條件：（1）整式方程；（2）含有一個未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.【答案】（1）是；（2）不是.【解析】(1)整理原方程，得

，

所以．

其中，二次項的系數(shù)，所以原方程是一元二次方程．

(2)整理原方程，得

，

所以．

其中，二次項的系數(shù)為，所以原方程不是一元二次方程．

【總結(jié)升華】不滿足（1）整式方程；（2）含有一個未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.的方程都不是一元二次方程，缺一不可.舉一反三：【高清ID號：388447關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：一元二次方程的概念-例1】【變式】判斷下列各式哪些是一元二次方程．①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．【答案】②③⑥.【解析】①不是方程；④不是整式方程；⑤含有2個未知數(shù)，不是一元方程；⑦化簡后沒有二次項，不是2次方程.②③⑥符合一元二次方程的定義．

類型二、一元二次方程的一般形式、各項系數(shù)的確定

2.把下列方程中的各項系數(shù)化為整數(shù)，二次項系數(shù)化為正數(shù)，并求出各項的系數(shù)：

(1)-3x2-4x+2=0；(2)．

【答案與解析】(1)兩邊都乘-1，就得到方程

3x2+4x-2=0．

各項的系數(shù)分別是：a=3，b=4，c=-2．

(2)兩邊同乘-12，得到整數(shù)系數(shù)方程

6x2-20x+9=0．

各項的系數(shù)分別是：．

【總結(jié)升華】一般地，常根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項的系數(shù)是負數(shù)的一元二次方程調(diào)整為二次項系數(shù)是正數(shù)的一元二次方程；把分數(shù)系數(shù)的一元二次方程調(diào)整為整數(shù)系數(shù)的一元二次方程．值得注意的是，確定各項的系數(shù)時，不應(yīng)忘記系數(shù)的符號，如(1)題中c=-2不能寫為c=2，(2)題中不能寫為．舉一反三：【高清ID號：388447關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：一元二次方程的形式-例3】【變式】將下列方程化為一元二次方程一般形式，并指出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項：（1）；（2）．【答案】（1），二次項系數(shù)是3、一次項系數(shù)是-5、常數(shù)項是2.（2）化為二次項系數(shù)是a、一次項系數(shù)是1、常數(shù)項是-a-2.類型三、一元二次方程的解（根）3.如果關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q＝0的兩根分別為x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分別是()A．-3，2B．3，-2C．2，-3D．2，3【答案】A；【解析】∵x＝2是方程x2+px+q＝0的根，∴22+2p+q＝0，即2p+q＝-4①同理，12+p+q＝0，即p+q＝-1②聯(lián)立①，②得解之得：【總結(jié)升華】由方程根的定義得到關(guān)于系數(shù)的方程(組)，從而求出系數(shù)的方法稱為待定系數(shù)法，是常用的數(shù)學(xué)解題方法．即分別用2，1代替方程中未知數(shù)x的值，得到兩個關(guān)于p、q的方程，解方程組可求p、q的值．類型四、用直接開平方法解一元二次方程

4.（2016春?仙游縣月考）求下列x的值（1）x2﹣25=0（2）（x+5）2=16．【思路點撥】（1）移項后利用直接開方法即可解決．（2）利用直接開方法解決．【答案與解析】解：（1）∵x2﹣25=0，∴x2=25，∴x=±5．（2）∵（x+5）2=16，∴x+5=±4，∴x=﹣1或﹣9．

【總結(jié)升華】應(yīng)當(dāng)注意，形如=k或（nx+m）2=k(k≥0)的方程是最簡單的一元二次方程，“開平方”是解這種方程最直接的方法．“開平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．

舉一反三：

【變式1】用直接開平方法求下列各方程的根：

(1)x2=361；(2)2y2-72=0；(3)5a2-1=0；(4)-8m2+36=0．

【答案】(1)∵x2=361，

∴x=19或x=-19．

(2)∵2y2-72=0，

2y2=72，

y2=36，

∴y=6或y=-6．

(3)∵5a2-1=0，

5a2=1，

a2=，

∴a=或a=-．

(4)∵-8m2+36=0，

-8m2=-36，

m2=，

∴m=或m=-．【變式2】解下列方程：

(1)（2015?東西湖區(qū)校級模擬）(2x+3)2-25=0；(2)（2014秋?濱州校級期末）（1﹣2x）2=x2﹣6x+9.

【答案】解：(1)∵(2x+3)2=25，

∴2x+3=5或2x+3=-5．

∴x1=1，x2=-4．

(2)∵（1﹣2x）2=x2﹣6x+9，∴（1﹣2x）2=（x﹣3）2，∴1﹣2x=±（x﹣3），∴1﹣2x=x﹣3或1﹣2x=﹣（x﹣3），∴x1=，x2=﹣2．一元二次方程及其解法（一）直接開平方法—知識講解（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意義，會把一元二次方程化為一般形式；

2．掌握直接開平方法解方程，會應(yīng)用此判定方法解決有關(guān)問題；

3．理解解法中的降次思想，直接開平方法中的分類討論與換元思想.

【要點梳理】要點一、一元二次方程的有關(guān)概念

1．一元二次方程的概念：

通過化簡后，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

要點詮釋：識別一元二次方程必須抓住三個條件：（1）整式方程；（2）含有一個未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.不滿足其中任何一個條件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.

2．一元二次方程的一般形式：

一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程，都能化成形如，這種形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次項，是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項．

要點詮釋：

(1)只有當(dāng)時，方程才是一元二次方程；

(2)在求各項系數(shù)時，應(yīng)把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各項系數(shù)時注意不要漏掉前面的性質(zhì)符號.

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

4.一元二次方程根的重要結(jié)論（1）若a+b+c=0,則一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一個根，則a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,則一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一個根，則a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一個根x=0，則c=0；反之也成立，若c=0，則一元二次方程必有一根為0.要點二、一元二次方程的解法

1．直接開方法解一元二次方程：

(1)直接開方法解一元二次方程：

利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法稱為直接開平方法.

(2)直接開平方法的理論依據(jù)：

平方根的定義.

(3)能用直接開平方法解一元二次方程的類型有兩類：

①形如關(guān)于x的一元二次方程，可直接開平方求解.

若，則；表示為，有兩個不等實數(shù)根；

若，則x=O；表示為，有兩個相等的實數(shù)根；

若，則方程無實數(shù)根．

②形如關(guān)于x的一元二次方程，可直接開平方求解，兩根是

.

要點詮釋：用直接開平方法解一元二次方程的理論依據(jù)是平方根的定義，應(yīng)用時應(yīng)把方程化成左邊是含未知數(shù)的完全平方式，右邊是非負數(shù)的形式，就可以直接開平方求這個方程的根.

【典型例題】類型一、關(guān)于一元二次方程的判定

1．判定下列方程是否關(guān)于x的一元二次方程：

(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a；(2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1．【答案與解析】(1)經(jīng)整理，得它的一般形式

(a2+2)x2+(a-3)x-a(a+1)=0，

其中，由于對任何實數(shù)a都有a2≥0，于是都有a2+2＞0，由此可知a2+2≠0，所以可以判定：

對任何實數(shù)a，它都是一個一元二次方程．

(2)經(jīng)整理，得它的一般形式

(m2-1)x2+(2-2m)x+(m3+1)=0，

其中，當(dāng)m≠1且m≠-1時，有m2-1≠0，它是一個一元二次方程；當(dāng)m=1時方程不存在，

當(dāng)m=-1時，方程化為4x=0，它們都不是一元二次方程．

【總結(jié)升華】對于含有參數(shù)的一元二次方程，要十分注意二次項系數(shù)的取值范圍，在作為一元二次方程進行研究討論時，必須確定對參數(shù)的限制條件．如在第(2)題，對參數(shù)的限定條件是m≠±1．

例如，一個關(guān)于x的方程，若整理為(m-4)x2+mx-3=0的形式，僅當(dāng)m-4≠0，即m≠4時，才是一元二次方程(顯然，當(dāng)m=4時，它只是一個一元一次方程4x-3=0)．又如，當(dāng)我們說：“關(guān)于x的一元二次方程(a-1)x2+(2a+1)x+a2-1=0……”時，實際上就給出了條件“a-1≠0”，也就是存在一個條件“a≠1”．由于這個條件沒有直接注明，而是隱含在其他的條件之中，所以稱它為“隱含條件”．

類型二、一元二次方程的一般形式、各項系數(shù)的確定2.已知關(guān)于y的一元二次方程m2(y2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各項的系數(shù)，并指出參數(shù)m的取值范圍．【答案與解析】將原方程整理為一般形式，得(m2-8)y2-(3m-1)y+m3-1=0，

由于已知條件已指出它是一個一元二次方程，所以存在一個隱含條件

m2-8≠0，即m≠±．

可知它的各項系數(shù)分別是

a=m2-8(m≠±)，b=-(3m-1)，c=m3-1．

參數(shù)m的取值范圍是不等于±的一切實數(shù)．

【總結(jié)升華】在含參數(shù)的方程中，要認定哪個字母表示未知數(shù)，哪個字母是參數(shù)，才能正確處理有關(guān)的問題．舉一反三：【高清ID號：388447關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：一元二次方程的系數(shù)與解—練習(xí)1(3)】【變式】關(guān)于x的方程的一次項系數(shù)是-1，則a.【答案】原方程化簡為x2-ax+1=0,則-a=-1,a=1.類型三、一元二次方程的解（根）3.（2016?大慶）若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一個根，設(shè)M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，則M與N的大小關(guān)系正確的為（）A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不確定【思路點撥】把x0代入方程ax2+2x+c=0得ax02+2x0=﹣c，作差法比較可得．【答案】B；【解析】解：∵x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一個根，∴ax02+2x0+c=0，即ax02+2x0=﹣c，則N﹣M=（ax0+1）2﹣（1﹣ac）=a2x02+2ax0+1﹣1+ac=a（ax02+2x0）+ac=﹣ac+ac=0，∴M=N，故選：B．【總結(jié)升華】本題主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比較大小，熟練掌握能使方程成立的未知數(shù)的值叫做方程的解是根本，利用作差法比較大小是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【高清ID號：388447關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：一元二次方程的系數(shù)與解——練習(xí)2】【變式】（1）x=1是的根，則a=.（2）已知關(guān)于x的一元二次方程有一個根是0，求m的值.【答案】（1）當(dāng)x=1時，1-a+7=0,解得a=8.（2）由題意得類型四、用直接開平方法解一元二次方程4.解方程(x-3)2=49．

【答案與解析】把x-3看作一個整體，直接開平方，得

x-3=7或x-3=-7．

由x-3=7，得x=10．

由x-3=-7，得x=-4．

所以原方程的根為x=10或x=-4．

【總結(jié)升華】應(yīng)當(dāng)注意，如果把x+m看作一個整體，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接開平方法求解的方程；這就是說，一個方程如果可以變形為這個形式，就可用直接開平方法求出這個方程的根．所以，(x+m)2=n可成為任何一元二次方程變形的目標(biāo)．舉一反三：【變式】解方程：(1)（2014秋?寶安區(qū)期末）（3x+2）2=4（x﹣1）2；(2)（2014?錫山區(qū)期中）（x-2）2=25.【答案】解：(1)3x+2=±2（x﹣1），∴3x+2=2x﹣2或3x+2=﹣2x+2，∴x1=﹣4；x2=0．

(2)(x-2)=±5

∴x-2=5或x-2=-5

∴x1=7,x2=-3.

一元二次方程及其解法（一）直接開平方法—鞏固練習(xí)（提高）【鞏固練習(xí)】一、選擇題

1.（2015?泰安模擬）方程x2+ax+1=0和x2﹣x﹣a=0有一個公共根，則a的值是（）．A．0B．1C．2D．32．若是一元二次方程，則不等式的解集應(yīng)是().A．B．a(chǎn)＜-2C．a(chǎn)＞-2D．a(chǎn)＞-2且a≠03．（2016?重慶校級三模）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+6=0的一個根為x=﹣2，則代數(shù)式6a﹣3b+6的值為（）A．9 B．3 C．0 D．﹣34．已知方程有一個根是，則下列代數(shù)式的值恒為常數(shù)的是()．A．a(chǎn)bB．C．a(chǎn)+bD．a(chǎn)-b5．若，則的值為（）．A．1B．-5C．1或-5D．06．對于形如的方程，它的解的正確表達式是（）.A．用直接開平方法解得B．當(dāng)時， C．當(dāng)時，D．當(dāng)時，二、填空題7．如果關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q＝0的兩根分別為x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分別是.8．（2014秋?東勝區(qū)校級期中）若關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0的常數(shù)項為0，則m的值等于.9．已知x＝1是一元二次方程的一個根，則的值為________．10．(1)當(dāng)k________時，關(guān)于x的方程是一元二次方程；(2)當(dāng)k________時，上述方程是一元一次方程．11．已知a是方程的根，則的值為．12．已知是關(guān)于的一元二次方程的一個根，則的值為．三、解答題13.（2016?烏魯木齊校級月考）一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=0化為一般形式后為2x2﹣3x﹣1=0，試求a，b，c的值．14．用直接開平方法解下列方程．(1)(2014·滄浪區(qū)校級期中)（x+1）2=4；(2)(2015·岳池縣模擬)(2x-3)2=x2．15．已知△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝6，為實數(shù)，且，