數(shù)值分析課后習(xí)題答案

習(xí)題一解答

1.取3.14,3.15,—,—作為n的近似值，求各自的絕對誤差，相對

7113

誤差和有效數(shù)字的位數(shù)。

分析：求絕對誤差的方法是按定義直接計算。求相對誤差的一般方法是先

求出絕對誤差再按定義式計算。注意，不應(yīng)先求相對誤差再求絕對誤差。有效數(shù)

字位數(shù)可以根據(jù)定義來求，即先由絕對誤差確定近似數(shù)的絕對誤差不超過那一位

的半個單位，再確定有效數(shù)的末位是哪一位，進(jìn)一步確定有效數(shù)字和有效數(shù)位。

有了定理2后，可以根據(jù)定理2更規(guī)范地解答。根據(jù)定理2,首先要將數(shù)值轉(zhuǎn)化

為科學(xué)記數(shù)形式，然后解答。

解：(1)絕對誤差：

e(x)=n-3.14=3.14159265---3.14=0.00159-^0.0016。

相對誤差：

3=詠=05以10一3

rx3.14

有效數(shù)字：

因為Ji=3.14159265…=0.314159265…X10,3.14=0.314X10,m=L

而n-3.14=3.14159265---3.14=0.00159-

所以|n-3.14|=0.00159-^0.005=0.5X10^2=-xlO-2=-xl01-3

22

所以，3.14作為n的近似值有3個有效數(shù)字。

(2)絕對誤差：

e(x)=Jt-3.15=3.14159265---3.14=-0.008407…p一0.0085。

相對誤差：

,、e(x)-0.0085”，，八_2

er(x)=-^=------=-0.27x10-

x3.15

有效數(shù)字：

因為n=3.14159265…=0.314159265…X10,3.15=0.315X10,m=L

而Ji-3.15=3.14159265---3.15=-0.008407-

所以|n-3.15|=0.008407...W0.05=0.5X10-1=-xlO-1=-xl01-2

22

所以，3.15作為北的近似值有2個有效數(shù)字。

(3)絕對誤差：

22

e(x)=%-亍=3.14159265…-3.142857143=-0.001264493…=-0.0013

相對誤差：

內(nèi))=必=坐.41x107

x22

T

有效數(shù)字：

因為n=3.14159265…=0.314159265-X10,

22

—=3.142857143=0.3142857143x10,m=lo

7

22

而〃——=3.14159265…一3.142857143=—0.001264493--

7

所以

22

n--=--|3-.14159265----3.142857143|=0.001264493---<0.005

7

-23

=0.5x10-2=1X1O=-xl0'_

22

所以，烏作為口的近似值有3個有效數(shù)字。

7

(4)絕對誤差：

355

e(x)=兀------=3.14159265■■--3.14159292=-0.0000002705???=-0.000000271

113

相對誤差：

,、e(x)-0.000000271八?！

e(x)==--------------=-0.863X1I0A7

rx355

H3

有效數(shù)字：

因為n=3.14159265-=0.314159265—X10,

355

——=3.14159292=0.314159292x10，m=l

1130

355

而不—土上=3.14159265…一3.14159292=-0.0000002705-??

113

所以

355

=|3.14159265???-3.14159292|=0.0000002705--<0.0000005

=0.5x10-6=_Lxio-6=J_xio「7

22

所以，空作為口的近似值有7個有效數(shù)字。

113

指出：

①實際上，本題所求得只能是絕對誤差限和相對誤差限，而不是絕對誤差

和相對誤差。

②為簡單計，本題相對誤差沒有化為百分?jǐn)?shù)。

③在求出絕對誤差后，按定義求有效數(shù)字是基本功，必須掌握。絕對不允

許有了定理后就不會根據(jù)定義討論。因此，本類問題的解答應(yīng)當(dāng)是兩種方法都熟

練掌握的。

實際上，根據(jù)基本概念分析討論問題始終是最重要的方法，由于不同的作

者會提出不同的定理系統(tǒng)，因此，掌握根據(jù)最本元的定義討論問題的方法是非常

重要的。

④祖沖之（公元429年一公元500年）是我國杰出的數(shù)學(xué)家，科學(xué)家。

南北朝時期人，漢族人，字文遠(yuǎn)。生于宋文帝元嘉六年，卒于齊昏侯永元

二年。祖籍范陽郡遒縣（今河北深水縣）。在世界上最早計算出兀的真值

在3.1415926（胭數(shù)）和3.1415927（盈數(shù)）之間，相當(dāng)于精確到小數(shù)第7

位，這一紀(jì)錄直到15世紀(jì)才由阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾.卡西打破。祖沖之還給

出式的兩個分?jǐn)?shù)形式：y（約率）和常（密率），其中密率精確到小數(shù)

第7位，在西方直到16世紀(jì)才由荷蘭數(shù)學(xué)家奧托重新發(fā)現(xiàn)，比祖沖之晚了

一千多年，數(shù)學(xué)史學(xué)界主張稱“密率”為“祖率”。

⑤近似數(shù)的有效數(shù)字只能是有限位。

⑥近似數(shù)的誤差分析中采用近似數(shù)x而不是其準(zhǔn)確數(shù)，準(zhǔn)確數(shù)是未知

的。

⑦常出現(xiàn)德錯誤是，第一，不進(jìn)行具體計算，結(jié)果不可靠；第二，兩

個分?jǐn)?shù)近似值（尤其第二個）取的數(shù)位不夠，結(jié)果有效數(shù)位計算錯誤；第

三，認(rèn)為分?jǐn)?shù)就是精確數(shù)，就有無窮多有效數(shù)字。

2、用四舍五入原則寫出下列各數(shù)的具有五位有效數(shù)字的近似數(shù)。

346.7854,7.000009,0.0001324580,0.600300

分析：本題實際上指出，按要求截取的近似數(shù)符合有效數(shù)字定義，相

關(guān)數(shù)位上的數(shù)字都是有效數(shù)字。解答方法簡單，直接寫出就可以，不需要

也不應(yīng)該做形式轉(zhuǎn)化（化為科學(xué)計數(shù)法形式）

解：346.7854心346.79,

7.000009^7.0000,

0.0001324580^0.00013246,

0.600300^0.60030o

指出：

注意a

只要求寫出不要求變形。

3、下列各數(shù)都是對準(zhǔn)確數(shù)進(jìn)行四舍五入后得到的近似數(shù)，試分別指出

他們的絕對誤差限和相對誤差限和有效數(shù)字的位數(shù)。

玉=0.0315,X2=0.3015,X3=31.50,x4=5000。

分析：首先，本題的準(zhǔn)確數(shù)未知，因此絕對誤差限根據(jù)四舍五入規(guī)則

確定。其次，應(yīng)當(dāng)先求絕對誤差限，再求相對誤差限，最后確定有效數(shù)字

個數(shù)。有效數(shù)字由定義可以直接得出。

解：由四舍五入的概念，上述各數(shù)的絕對誤差限分別是

￡（xj=0.00005,￡（x2）=0.00005,￡（X3）=0.005,￡（x4）=0.5

由絕對誤差和相對誤差的關(guān)系，相對誤差限分別是

0.00005

^)=^2==0.16%,

0.0315

E(X)_0.00005

6（々）=2?0.02%,

0.3015

s(x)_0.005

3=0.002%,

-31.5

0.01%.

有效數(shù)字分別有3位、4位、4位、4位。

指出：

本題顯然是直接指出有效數(shù)位、直接寫出絕對誤差，用定義求出相對

誤差。

4.計算M的近似值，使其相對誤差不超過0.1%。

解：設(shè)取n個有效數(shù)字可使相對誤差小于0.1%,則

而3W質(zhì)<4,顯然g=3,此時，

—xlO1^=—1―xl01-n<0.1%,

2al2x3

即Lxio~<10-3,

也即6x10">1()4

所以，n=4o

止匕時，而=3.162。

5、在計算機數(shù)系F(10,4,-77,77)中，對

%=0.14281x103與々=-0.314159x1()1,試求它們的機器浮點數(shù)/(xj(i=l⑵及

其相對誤差。

解：

#(%)=0.1428x1))=-#(xJ=0.14281x1-0.1428x1=0.00001x10：

/Z(x2)=-0.3142xl0',e(^(x2))=x2-/7(x2)=-0.314159x10'-(-0.3142x10')=0.00041x10'

其相對誤差分別是

000001X1()30.000041x10'

0.007%,e==-0.013%o

-0.1428X1032-0.3142x10'

6、在機器數(shù)系F(10,8,L,U)中，取三個數(shù)

x=0.23371258x1(T4,y=0.33678429x102,z=-0.336778llxlO2,試按

(》+》)+2,3+0+Z)兩種算法計算％+>+%的值，并將結(jié)果與精確結(jié)果比較。

解：

力((x+y)+z)=(0.23371258x10^+0.33678429xl02)-0.3367781IxlO2

=(0.00000023x102+0.33678429x102)-0.336778llxlO2

=0.33678452xl02-0.3367781IxlO2

=0.00000641x1()2

力(x+(y+z))=0.23371258x10-4+(0.33678429x102-0.3367781IxlO?)

=0.23371258X10-4+0.00000618X102

=0.00000023X1O2+0.00000618xl02

=0.0000064IxlO2

精確計算得：

x+y+z=0.23371258x10-4+0.33678429x102-0.3367781IxlO2

=(0.00000023371258X102+0.33678429X102)-0.33677811X102

=0.33678452371258X102-0.336778llxlO2

=0.0000641371258xl02

第一種算法按從小到大計算，但出現(xiàn)了兩個數(shù)量級相差較大的數(shù)相加,

容易出現(xiàn)大數(shù)吃小數(shù).而第二種算法則出現(xiàn)了兩個相近的數(shù)相減，容易導(dǎo)致

有效數(shù)位的減少。計算結(jié)果證明，兩者精度水平是相同的。

***

在機器數(shù)系F(10,8,LU中，取三個數(shù)

x=0.23371258x10,y=0.33678429xl0-2,z=-0.3367781IxlO2,試按

(x+y)+z,x+(y+z)兩種算法計算x+y+z的值，并將結(jié)果與精確結(jié)果比較。

解：

#((x+y)+z)=(0.23371258x107+0.33678429x10-2)-0.3367781IxlO?

=(0.00233713X10-2+0.33678429X10-2)-0.336778llxlO2

=0.33912142X10-2-0.3367781IxlO2

=0.00003391X102-0.3367781IxlO2

=—0.3367442x1()2

/(X+()，+z))=0.23371258x10-4+(033678429x10-2—033677811x1。2)

=0.23371258X10-4+(0.00003368X102-0.336778HxlO2)

=0.23371258x10”—0.33674742x102

=0.00000023xlO2-0.33674742x102

=-0.33674719xl02

第一種算法是按從小到大的順序計算的，防止了大數(shù)吃小數(shù)，計算更

精確。

精確計算得：

x+y+z=0.23371258x10-4+0.33678429x10-2-0.336778HxlO2

=0.000023371258+0.0033678429-33.677811

=0.003391214158-33.677811

=-33.674419785842

=-0.33674419785842xl02

顯然，也是第一種算法求出的結(jié)果和精確結(jié)果更接近。

7、某計算機的機器數(shù)系為F(10,2,L,U),用浮點運算分別從左到右計

算及從右到左計算

1+0.4+0.3+0.2+0.04+0.03+0.02+0.01

試比較所得結(jié)果。

解：從左到右計算得

1+0.4+0.3+0.2+0.04+0.03+0.02+0.01

=0.1x10+0.04x10+0.03x10+0.02x10+0.00x10+0.00x10+0.00x10+0.00x10

=0.19x10

=1.9

從右到左計算得

1+0.4+0.3+0.2+0.04+0.03+0.02+0.01

=0.01+0.02+0.03+0.04+0.2+0.3+0.4+1

=0.1xl0M+0.2X10-1+0.3X10-1+0.4X10-1+0.2+0.3+0.4+1

=0.1+0.2+03+0.4+1

=0.1x10+1

=0.1x10+0.1x10

=0.2x10

=2

從右到左計算避免了大數(shù)吃小數(shù)，比從左到右計算精確。

8、對于有效數(shù)%,=_3.105,X2=0.001,%=0.100,估計下列算式的相對誤

差限

.

3=須+々+%3，%=羽々七，%

X3

分析：求和差的相對誤差限采取先求出和差的絕對誤差限再求相對誤

差限的方法。求積商的相對誤差限采取先求每一個數(shù)的相對誤差限再求和

的方法。

解:因為玉=-3.105,尤2=0.001,馬=°100都是有效數(shù)，

所以￡(%)=0.0005,￡(X2)=0.0005,E(X3)=0.0005

0.00050.00050.0005

6(Xi)=0.16%?區(qū))==50%向/)==0.5%

3.1050.0010.100

貝UE(x]+x2+x3)=￡(%1)+￡(X2)+￡(X3)=0.0005+0.0005+0.0005=0.0015

、￡(再+々+》3)0.00150,001-=4.99x1O-4=0.05%

0(%+X,+￡)=-..............=-------廠=

>+X2+X3I|-3.105+0.001+0.100|3.004

^(x,x2x3)=ba)+6(z)+/七)=0?16%+50%+0.5%=50.66%

x

b（二）=3（X2）+b（%3）=50%+0.5%=50.5%

X3

指出：

如果簡單地用有效數(shù)字與誤差的關(guān)系計算，則不夠精確。

注意是相對誤差限的討論。符號要正確，商的誤差限是誤差限的和而不

是差。

9、試改變下列表達(dá)式，使其計算結(jié)果比較精確（其中W1表示x充分

接近0,國1表示x充分大）。

(1)Inx,-Inx2,x]-x2；

/\1-COSX八口II1

(4A)----------，尤WO目.x1;

X

⑸，一cotx,xW0且國1o

分析：根據(jù)算法設(shè)計的原則進(jìn)行變形即可。當(dāng)沒有簡單有效的方法時就

采用泰勒展開的方法。

解：⑴In%-In=In%；

X2

(2)

1_l-x_l+x-(l-x)2

\—x1+x(1—x)(l+x)

1+x-(1-2x+x2)3x—x2

(l-x)(l+X)(l-x)(l+X)

2

yJ~X(^JX**+1+J--1)

或

-^(VX2+1+A/X2-1)

y/x

________2________

\[x(J/+1+J/_])

(4)

X2X4x2"

1-(1-----1-------+(-1)〃-----1—?)

1-C0S尤=2!4!(2〃)！

XX

N+1

_______+(_n_+...

二2!4!(2〃)！

X

彳2〃-1

x無3

----+㈠嚴(yán)+???

2;4!(W

(5)

11J1122I,B

——cotx=—(-----X----X3--------X,,271-1_

xxx345(2/7)!

11322"紇2,1

=-x+——X+??-+-----X+???

345(2〃)！

(B”是貝努利數(shù))

指出：

①采用等價無窮小代換的方法一般不可行。近似計算中的誤差并不是無

窮小量，利用無窮小量等價代換，兩個量的差別可能恰恰是影響精度的因

素。采用等價無窮小代換，可能只會得到精度水平比較低的結(jié)論。

例如

2sin2-2(-)2

1-C0SXX

___2a22L

XX___X2

11cosxsinx-xcosx

——cotx=--------=-------------

xxsinxxsinx

X-XCOSXAI1.、

=---------(Lv?1,sinx-x)

xsinx

1-cosx

sinx

1-1

(|x|?l,cosx-1)

sinx

=0

試與上例比較。

有時候這種方法可以使用，例如

因為cos(x+5)=cosxcos3-sinxsin8,

當(dāng)冏<<1時，cos8-l,sin(y-0

cos(x+S)=cosxcosS-sinxsin3-cosx-sinx8

在這個計算中，由于X是常數(shù)，X的函數(shù)值實際上放大了每一項的計算

結(jié)果，使得相近的數(shù)相減的問題不很突出。

而利用一階的泰勒展開/(x+b)-/(x)+"'C)(x<J<x+b),當(dāng)同1時,

就有/0+6)=/(8)+〃彳》)，因此

cos(x+6)=cosx-bsinx

和上面的結(jié)果一樣。但顯然，用泰勒展開的方法具有一般性并能得到精

度更高的結(jié)果，而且不會有方法上出錯的可能。

②采用洛必達(dá)法則也是不可以的。實際上，無論是等價無窮小還是洛必

達(dá)法則都是極限方法，而因為近似計算中的誤差雖然可以近似地看作是微

分，但本質(zhì)上卻是一個確定的可能極小的小數(shù)而不是無窮小(趨于零的變

量)，因此近似計算是不能采用極限方法的。

③轉(zhuǎn)化的結(jié)果要化簡，比如化繁分式為簡分式，但不能取極限。取極限

就違背的了數(shù)值計算的本意。

所以，

11-x11-0,,A

---------------------------工--------------=1—1=0

\—x1+x1-01+0

是錯誤的。

④極小的數(shù)做除數(shù)，實際上是:型的不定型，要轉(zhuǎn)化為非不定型。

10、用4位三角函數(shù)表，怎樣算才能保證1-COS2。有較高的精度？

解：根據(jù)l-cos20=2sin2「，先查表求出sinl再計算出要求的結(jié)果精度

較高。

指出：

用度數(shù)就可以。不必化為弧度。

11、利用7^-27.982求方程x2-56x+l=0的兩個根，使它們至少具有

4位有效數(shù)字。

解：

由方程的求根公式，本方程的根為

56±V^=56±2k=28±歷

口22

因為=27.982,則

x,=28+V783?28+27.982=55.982

如果直接根據(jù)求根公式計算第二個根，則因為兩個相近的數(shù)相減會造

成有效數(shù)字的減少，誤差增大。因此

根據(jù)韋達(dá)定理為々=1，在求出玉=55.982后這樣計算々：

---=0.01786=0.178儀10

55.982

這樣就保證了求出的根有四位有效數(shù)字。

12、試給出一種計算積分

1

/〃=e~l^xnexdx[n=0,1,2,3,…),

o

近似值的穩(wěn)定算法。

1

}}x-1]

解：當(dāng)n=0時，/0=e~^edx=e(e-1)=1-e~o

o

ii

xA

(^edx=e|=e—1)o

oo

bb

對L運用分部積分法(^udv=uv^-卜加)得

iii

lnxnxn[xlw-1x

In=e~^xedx=e~\xe—n^x~edx)-e~(e—0—nJxedr)

000

1

-1n}x

=1-ne^x~edx=\-nln_x

o

由此得到帶初值的遞推關(guān)系式

/。="

由遞推公式L=l—nl“一解得/“)，這是逆向的遞推公式，對

n

1”的值作估計，有

]nxlln

In=e~[xedx<e~e[xdx=-^―

Ii"1

另有

ii

I=e~]^xnexdx>e~]^xndx=e~}1

n〃

00+l

(取e的指數(shù)為最小值0,將e'取作e°=1作為常數(shù)即可簡化公式)。

則e-'—<I<-

n+ln〃+10

那么，我們可以取其上下限的平均值作為其近似值。即取

11

(e-'+l)

2〃+1

可以看出，n越大，這個近似值越精確地接近于準(zhǔn)確值。

g越大，L的上限和下限就越接近，近似值區(qū)間的長度就越短，近似值和

精確值就越接近)

此時，e-l=In-i*—In-1=——(I.*—In)=—3，|Co|=—|6?|j計算是穩(wěn)

nnnn\

定的。

實際上，如果我們要求L,可以先求出L。，這樣求出的h的誤差是比Lo

的誤差小得多的，而品的誤差本身也并不大。實際上，這樣求出的L比直接計

算出來的精確得多。

習(xí)題二解答

1.用二分法求方程x3-2x2-4x-7=0在區(qū)間［3,4］內(nèi)的根,精確到10工即誤

差不超過LxIO-。

2

分析：精確到與誤差不超過不同。

解：因為f(3)=-10V0,f(4)=9>0,所以，方程在區(qū)間［3,4］上有根。

由

?*|，一凡b-a4-311.._

\x*-x<———----=-----=—<—xlO3

122"2"2"2

有2*1>1000,又為2i°=1024>1000,

所以n=ll,即只需要二分11次即可。

列表討論如下：

f(Xn)的符號

nbnXn

1343.500—

23.50043.750+

33.5003.7503.625—

43.6253.7503.688+

53.6253.6883.657+

63.6253.6573.641+

73.6253.6413.633+

83.6253.6333.629—

93.6293.6333.631—

103.6313.6333.632+

113.6313.6323.632——

x-xn=3.632o

指出：

(1)注意精確度的不同表述。精確到1CT和誤差不超過1CT是不同的。

(2)在計算過程中按規(guī)定精度保留小數(shù)，最后兩次計算結(jié)果相同。

如果計算過才f呈中取4位小數(shù)，結(jié)果取3位,則如下表：

nf(Xn)的符號

anbnXn

1343.5000一

23.500043.7500+

33.50003.75003.6250—

43.62503.75003.6875+

53.62503.68753.6563+

63.62503.65633.6407+

73.62503.64073.6329+

83.62503.63293.6290—

93.62903.63293.6310—

103.63103.63293.6320+

113.63103.63203.6315—

(3用秦九韶算法計算f6)比較簡單。

1*.求方程X3-2X2-4X-7=0的隔根區(qū)間。

解：令y=r5—2x?—4x—7,

則；/=3%2—4x-4=3x+24-2

^/=3x2-4x-4=3x+2V-210時，有玉=一g句=2。

函數(shù)單調(diào)區(qū)間列表分析如下：

2_2

X(『)2(2,+8)

-33

y十0—0十

y-15

27一f—

因為>_(2)=_竺2<O$2°=T5<O,所以方程在區(qū)間—2、上無根；

327-3

因為y-乜\-亶<0,而函數(shù)在-L,2上單調(diào)增，函數(shù)值不可能變號，所以

3273

方程在該區(qū)間上無根；

因為)，2°=-15<0,函數(shù)在(2,+8)上單調(diào)增，所以方程在該區(qū)間上最多有

一個根，

而(3)=-10<0,y(4)=9>0,所以方程在區(qū)間(3,4)有一個根。

所以，該方程有一個根，隔根區(qū)間是(3.4)。

2.證明l-x-sinx=O在［0,1］內(nèi)有一個根，使用二分法求誤差不大于gxlO-;

的根，需要迭代多少次？

分析：證明方程在指定區(qū)間內(nèi)有一個根，就是證明相應(yīng)的函數(shù)在指定區(qū)間

有至少一個零點。

解：令/(x)=1—x—sinx,

g|^y(0)=l-0-sin0=l>0,/(l)=l-l-sinl=-sinl<0,

則/(0)/(1)<0,

由零點定理，函數(shù)f(x)在［0,1］區(qū)間有一個根。

III

I*1/一a”b-a1—011.

1"22"2"2"2

<2n-1>10000,又為2i°=1024,2,3=8192<10000,2|4=16384>10000

所以n=15,即需要二分15次。

指出：

要證明的是有一個解而不是唯一解，因此不必討論單調(diào)性。

70

3.試用迭代公式x=-........,x=1,求方程V+2無2+10%-20=0的

k+]X：+2%卜+100

根,要求精確到IO-'。

分析：精確到IO-即誤差不超過;X10-5

解：^/(X)=X3+2X2+10X-20

列表進(jìn)行迭代如下：

x?/區(qū))

01-7

11.538463.75964

21.29502-1.52380

31.401820.70311

41.35421-0.30667

51.375300.13721

61.36593-0.06067

71.370090.02705

81.36824-0.01198

91.369060.00531

101.36870-0.00228

111.368860.00110

121.36879-0.00038

131.368820.00025

141.368813992X10-5

151.368813992x10-5

指出：

精確到10”可以從兩個方面判定。第一，計算過程中取小數(shù)到IO"位，最后

兩個計算結(jié)果相同，終止計算。第二，計算過程中取小數(shù)到ICT',當(dāng)

民+1-X1<；x1o"終止計算。

本題采用第一種方法。

cos.

4.將一元非線性方程2x-e'=0寫成收斂的迭代公式，并求其在%=05

附近的根，要求精確到IO-。

coscos

coscos2x2x

解：2x-eX=0改寫為2x=—-=1=>^—^-1=0,則

xx

cosee

2x

X=-----------],設(shè)

八eCOS

（）2x,

2X=Xd-----------1

ex

有

sm（萬，

八sincos巴+冒）2及x+—

/。i上一23xe4

8x=1+-------\7=1------------------=1

e-ex

在飛=05處，因為

r-sin（.不）

U正：5+二0派5<1

cos

（）2

所以迭代法gX、乙4+x在x0=05的鄰域內(nèi)收斂。

ek

列表迭代如下:

Xk

00.5

10.71

20.69

30.69

,COS?.?

此時2O69-e0rt69=000614o

5.為求方程V-x2_i=o在/=i5附近的一個根，設(shè)將方程改為下列等價

形式，并建立相應(yīng)的迭代公式：

011?

lx=l+—迭代公式％=1+='

X4

2%=1+》2迭代公式=1+Xj一？

3（卜=一二迭代公式4+|=—U~~r-

x-11,i

“12

試分析每種迭代公式的收斂性，并取■■種公式求出具有4位有效數(shù)字的近

似值。

解：（1）因為x=l+4,所以迭代函數(shù)為gJ^l+二，則

XX

gx^=—'=x~2^=-2x-3,\g'15、一2x15-3|=-^y=——<1滿足局部

x153375

收斂性條件，所以迭代公式=1+4具有局部收斂性。

(1()(1

(2)因為x=1+x2多，所以迭代函數(shù)為gx=1+x2則

3331U

jxl5O456<I滿足局部收斂性條件，所以迭代公式

31+152

x,+I=l+xl/具有收斂性。

(3)因為》=_、，所以迭代函數(shù)為g—二，則

X7-\7-

x-12x-12

g，X=——x-12=——x-l2,

22

|/1515-1卷=—^=1414>1不滿足收斂性條件，所以迭代公式

22x0*

4+1=J?不具有收斂性。

及-15

用迭代公式％=1+4列表計算如下:

不

Xk

01.5

11.444

21.480

31.457

41.471

51.462

61.468

71.464

81.467

91.465

101.466

111.465

所以，方程的近似根為x*=1465。

6.設(shè)夕x^=x+C.S-3應(yīng)如何取C才能使迭代公式x*+|=9xk'具有局部

收斂性？

解：設(shè)C為常數(shù)，因為9XL+CJ-3',所以“X(L+2CX,要使迭代

公式具有局部收斂性，需mALll+ZCxokl,此時即有-1<1+2CX0<1,也即

-l<Cx0<Oo即只要C去滿足如上條件的常數(shù)，就可以使得迭代公式具有局

部收斂性。

指出：

下面的討論是不合適的：

因為°J'x+CJ-3所以x=x+C(/—3),所以。(/-3)=0,所以

x=±百，由此確定方程的準(zhǔn)確值。

要明確的是，方程的準(zhǔn)確值時不知道并難以獲得的，因此才需要迭代法。

用解析法確定公式解在討論在邏輯上是不通的。同時，這里強調(diào)的是一類方程的

迭代解法的收斂性，也不應(yīng)局限在具體的求解，關(guān)鍵是確定C的范圍。

7.用牛頓法求方程/一3》-1=0在初始值x°=2鄰近的一個正根，要求

B+1-“<103。

解：因為前一3x-l=0

所以有/(x)=/-3x-l,相應(yīng)的迭代公式為

x：—3%-1+1

八|一*――3xf-3-3x^-3

取x0=2為迭代的初始近似值。迭代的結(jié)果列表如下：

k0123

Xk21.88891.87951.8794

因為k-引=0.0001<1xio-3,符合計算的精度要求,所以

x=七=1.8794o

8.用牛頓法解方程c=0,導(dǎo)出計算數(shù)c的倒數(shù)而不用除法的一種簡單

X

的迭代公式。用此公式求0.324的倒數(shù)，設(shè)初始值％=3,要求計算有5位有效

數(shù)字。

解：對于方程^'-c=0,有/x=---c,相應(yīng)的迭代公式為

XX

1