六年級(jí)奧數(shù)專題-表面積與體積

六年級(jí)奧數(shù)專題-表面積與體積

表面積與體積（一）專題簡(jiǎn)析:小學(xué)階段所學(xué)的立體圖形主要有四種長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體和圓錐體。從平面圖形到立體圖形是認(rèn)識(shí)上的一個(gè)飛躍,需要有更高水平的空間想象能力。因此,要牢固掌握這些幾何圖形的特征和有關(guān)的計(jì)算方法,能將公式作適當(dāng)?shù)淖冃?養(yǎng)成“數(shù)、形”結(jié)合的好習(xí)慣,解題時(shí)要認(rèn)真細(xì)致觀察,合理大膽想象,正確靈活地計(jì)算。在解答立體圖形的表面積問(wèn)題時(shí),要注意以下幾點(diǎn):（1）充分利用正方體六個(gè)面的面積都相等,每個(gè)面都是正方形的特點(diǎn)。（2）把一個(gè)立體圖形切成兩部分,新增加的表面積等于切面面積的兩倍。反之,把兩個(gè)立體圖形粘合到一起,減少的表面積等于粘合面積的兩倍。（3）若把幾個(gè)長(zhǎng)方體拼成一個(gè)表面積最大的長(zhǎng)方體,應(yīng)把它們最小的面拼合起來(lái)。若把幾個(gè)長(zhǎng)方體拼成一個(gè)表面積最小的長(zhǎng)方體,應(yīng)把它們最大的面拼合起來(lái)。例題1:從一個(gè)棱長(zhǎng)10厘米的正方體木塊上挖去一個(gè)長(zhǎng)10厘米、寬2厘米、高2厘米的小長(zhǎng)方體,剩下部分的表面積是多少？這是一道開(kāi)放題,方法有多種:①按圖27-1所示，沿著一條棱挖,剩下部分的表面積為592平方厘米。//圖27—1②按圖27-2所示,在某個(gè)面挖,剩下部分的表面積為632平方厘米。圖27—2③按圖27-3所示,挖通某兩個(gè)對(duì)面,剩下部分的表面積為672平方厘米。圖27—3練習(xí)1:1、從一個(gè)長(zhǎng)10厘米、寬6厘米、高5厘米的長(zhǎng)方體木塊上挖去一個(gè)棱長(zhǎng)2厘米的小正方體,剩下部分的表面積是多少？2、把一個(gè)長(zhǎng)為12分米,寬為6分米,高為9分米的長(zhǎng)方體木塊鋸成兩個(gè)想同的小廠房體木塊,這兩個(gè)小長(zhǎng)方體的表面積之和,比原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積增加了多少平方分米？3、在一個(gè)棱長(zhǎng)是4厘米的立方體上挖一個(gè)棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體后,表面積會(huì)發(fā)生怎樣的變化？例題2:把19個(gè)棱長(zhǎng)為3厘米的正方體重疊起來(lái),如圖27-4所示,拼成一個(gè)立體圖形,要求這個(gè)復(fù)雜形體的表面積,必須從整體入手,從上、左、前三個(gè)方向觀察,每個(gè)方向上的小正方體各面就組合成了如下圖形（如圖27-5所示）。圖27—5而從另外三個(gè)方向上看到的面積與以上三個(gè)方向的面積是相等的。整個(gè)立體圖形的表面積可采用（S上+5左+5前）X2來(lái)計(jì)算。（3X3X9+3X3X8+3X3X10）X2=（81+72+90）X2=243X2=486（平方厘米）答:這個(gè)立體圖形的表面積是486平方厘米。練習(xí)2:

1、用棱長(zhǎng)是1厘米的立方體拼成圖27-6所示的立體圖形。求這個(gè)立體圖形的表面積。2、一堆積木（如圖27-7所示）,是由16塊棱長(zhǎng)是2厘米的小正方體堆成的。它們的表面積是多少平方厘米？3、一個(gè)正方體的表面積是384平方厘米,把這個(gè)正方體平均分割成64個(gè)相等的小正方體。每個(gè)小正方體的表面積是多少平方厘米？例題3:把兩個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是9厘米、7厘米、4厘米的相同長(zhǎng)方體,拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體,這個(gè)大長(zhǎng)方體的表面積最少是多少平方厘米？把兩個(gè)相同的大長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大廠房體,需要把兩個(gè)相同面拼合,所得大廠房體的表面積就減少了兩個(gè)拼合面的面積。要使大長(zhǎng)方體的表面積最小,就必須使兩個(gè)拼合面的面積最大,即減少兩個(gè)9X7的面。（9X9+9X4+7X4）X2X2—9X7X2=（63+36+28）X4—126=508—126=382（平方厘米）答:這個(gè)大廠房體的表面積最少是382平方厘米。練習(xí)3:1、把底面積為20平方厘米的兩個(gè)相等的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體,長(zhǎng)方體的表面積是多少？2、將一個(gè)表面積為30平方厘米的正方體等分成兩個(gè)長(zhǎng)方體,再將這兩個(gè)長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體。求大長(zhǎng)方體的表面積是多少。3、用6塊（如圖27-8所示）長(zhǎng)方體木塊拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體,有許多種做法,其中表面積最小的是多少平方厘米？2厘米例題4:一個(gè)長(zhǎng)方體,如果長(zhǎng)增加2厘米,則體積增加40立方厘米；如果寬增加3厘米,則體積增加90立方厘米；如果高增加4厘米,則體積增加96立方里,求原長(zhǎng)方體的表面積。我們知道:體積二長(zhǎng)X寬X高；由長(zhǎng)增加2厘米，體積增加40立方厘米,可知寬X高=40+2=20（平方厘米）；由寬增加3厘米，體積增加90立方厘米,可知長(zhǎng)X高=90+3=30（平方厘米）；由高增加4厘米，體積增加96立方厘米,可知長(zhǎng)X寬=96+4=24（平方厘米）。而長(zhǎng)方體的表面積=（長(zhǎng)X寬+長(zhǎng)X高+寬X高）X2二（20+30+24）X2=148（平方厘米）。即40+2=20（平方厘米）90+3=30（平方厘米）96+4=24（平方厘米）（30+20+24）X2二74X2=148（平方厘米）答:原長(zhǎng)方體的表面積是148平方厘米。練習(xí)4:1、一個(gè)長(zhǎng)方體,如果長(zhǎng)減少2厘米,則體積減少48立方厘米；如果寬增加5厘米,則體積增加65立方厘米；如果高增加4厘米,則體積增加96立方厘米。原來(lái)廠房體的表面積是多少平方厘米？2、一個(gè)廠房體木塊,從下部和上部分別截去高為3厘米和2厘米的長(zhǎng)方體后,便成為一個(gè)正方體,其表面積減少了120平方厘米。原來(lái)廠房體的體積是多少立方厘米？3、有一個(gè)廠房體如下圖所示,它的正面和上面的面積之和是209。如果它的長(zhǎng)、寬、高都是質(zhì)數(shù),這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少？例題5:如圖27-10所示,將高都是1米,底面半徑分別為1.5米、1米和0.5米的三個(gè)圓柱組成一個(gè)物體。求這個(gè)物體的表面積。如果分別求出三個(gè)圓柱的表面積,再減去重疊部分的面積,這樣計(jì)算比較麻煩。實(shí)際上三個(gè)向上的面的面積和恰好是大圓柱的一個(gè)底面積。這樣,這個(gè)物體的表面積就等于一個(gè)大圓柱的表面積加上中、小圓柱的側(cè)面積。3.14X1.5X1.5X2+2X3.14X1.5X1+2X3.14X1X1+2X3.14X0.5X1=3.14X（4.5+3+2+1）=3.14X10.5=32.97（平方米）答:這個(gè)物體的表面積是32.97平方米。練習(xí)5:1、一個(gè)棱長(zhǎng)為40厘米的正方體零件（如圖27-11所示）的上、下兩個(gè)面上,各有一個(gè)直徑為4厘米的圓孔,孔深為10厘米。求這個(gè)零件的表面積。2、用鐵皮做一個(gè)如圖27-12所示的工件（單位:厘米）,需用鐵皮多少平方厘米？3、如圖27-13所示,在一個(gè)立方體的兩對(duì)側(cè)面的中心各打通一個(gè)長(zhǎng)方體的洞,在上、下側(cè)面的中心打通一個(gè)圓柱形的洞。已知立方體棱長(zhǎng)為10厘米,側(cè)面上的洞口是邊長(zhǎng)為4厘米的正方形,上、下側(cè)面的洞口是直徑為4厘米的圓,求該立方體的表面積和體積（n取3.14）。答案:練11、切下一塊后，切口處的表面減少了前、后、上面3個(gè)1X1的正方形,新增加了左右下面三個(gè)1義1的正方形，所以表面積大小不變。2、4X4X6—2X2X2=92平方厘米3、中心挖去的洞的體積是：12X3X3—13X2=7立方厘米，挖洞后木塊的體積：33—7=20立方厘米中心挖洞后每面增加的面積是12X4—12=3平方厘米,挖洞后木塊的表面積（32+3）義6=72平方厘米。練21、從三個(gè)不同的方向看,得到圖答27－1:從上往下看從前往后看從左往右看（1義1義12+1義1義8+1義1義7）義2=54平方厘米2、 （2義2義9+2義2義9+2義2義7）義2=200平方厘米3、因?yàn)?4=4X4X4,所以大正方形的棱長(zhǎng)等于小正方形棱長(zhǎng)的4被,那么大正方體的表面積是小正方體的4X4=16倍,小正方體的表面積是:384?16=24平方厘米練31、將正方體分為兩個(gè)長(zhǎng)方體,表面積就增加了2個(gè)30-6=15平方厘米,拼成大正方體，表面積將減少兩個(gè)拼合面的面積，正好是1個(gè)30-6=15平方厘米,所以大長(zhǎng)方體的表面積是30+30+6=35平方厘米。2、要是表面積最小,就要盡可能地把大的面拼合在一起。表面積最小的拼法有如圖答27—2兩種：表面積都是（3義3+3義4義2）義2=66平方厘米。3、設(shè)大長(zhǎng)方體的寬和高為x分米,長(zhǎng)為2x分米,左面和右面的面積就是壓平方分米。其余的面積為2^平方分米,根據(jù)題意，大長(zhǎng)方體的表面積是：8x2+8X2x2=600 x=5大長(zhǎng)方體的體積是:5X5X2X5=250立方分米練4（48-2+65-5+96-4）義2=122平方厘米減少的表面積實(shí)質(zhì)是高度分別為2厘米和3厘米的前、后、左、右四個(gè)面的面積之和。把兩個(gè)合并起來(lái),用120-（2+3）=24厘米,求到正方體底面的周長(zhǎng)，正方體的棱長(zhǎng)就是24-4=6厘米。圓長(zhǎng)方體的體積是：6X6X（6+3+2）=396立方厘米3、長(zhǎng)方體正面及上面的面積之和恰好等于這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)X（寬+高），209=11X19,所以長(zhǎng)=11,寬+高=19,或長(zhǎng)=19,寬+高=11,根據(jù)題意，寬和高只能是17和2,長(zhǎng)方體的體積就是11X17X2=374練51、402X6+3.14X4X10X2=9651.2平方厘米2、用兩個(gè)同樣的工件可拼成圖答27—3的圓柱體。3.14義15義(46+54)+2=2355平方厘米3、立方體的表面積和是:6X102—42X4—2X3.14X(4)2=510.88平方厘米乙打洞后增加的面積是：3.14X4X(10—4)+4X(10—4)X4X2+42X2—3.14X(4)2X2=274.24乙平方厘米表面積是：510.88+274.24=785.12平方厘米體積是：103—42X10X2+43—3.14X(4)2X(10—4)=668.64平方厘米第28周表面積與體積（二）專題簡(jiǎn)析:解答立體圖形的體積問(wèn)題時(shí),要注意以下幾點(diǎn):（1）物體沉入水中,水面上升部分的體積等于物體的體積。把物體從水中取出,水面下降部分的體積等于物體的體積。這是物體全部浸沒(méi)在水中的情況。如果物體不全部浸在水中,那么派開(kāi)水的體積就等于浸在水中的那部分物體的體積。（2）把一種形狀的物體變?yōu)榱硪环N形狀的物體后,形狀變了,但它的體積保持不變。（3）求一些不規(guī)則形體體積時(shí),可以通過(guò)變形的方法求體積。（4）求與體積相關(guān)的最大、最小值時(shí),要大膽想象,多思考、多嘗試,防止思維定。例題1:有大、中、小三個(gè)正方體水池,它們的內(nèi)邊長(zhǎng)分別為6米、3米、2米。把兩堆碎石分別沉在中、小水池里,兩個(gè)水池水面分別升高了6厘米和4厘米。如果將這兩堆碎石都沉在大水池里,大水池的水面升高多少厘米？中、小水池升高部分是一個(gè)長(zhǎng)方體,它的體積就等同于碎石的體積。兩個(gè)水池水面分別升高了6厘米和4厘米,兩堆碎石的體積就是3X3X0.06+2X2義0.04=0.7（立方米）。把它沉到大水池里,水面升高部分的體積也就是0.7立方米,再除以它的底面積就能求得升高了多少厘米。3X3X0.06+2X2X0.04=0.7（立方米）0.7+6的平方=7/360（米）=1又17/18（厘米）答:大水池的水面升高了1又17/18厘米。練習(xí)1:1、有大、中、小三個(gè)正方體水池,它們的內(nèi)邊長(zhǎng)分別為4米、3米、2米。把兩堆碎石分別沉沒(méi)在中、小水池的水中,兩個(gè)水池的水面分別升高了4厘米和11厘米,如果將這兩堆碎石都沉沒(méi)在大水池中,那么大水池水面將升高多少厘米？2、用直徑為20厘米的圓鋼,鍛造成長(zhǎng)、寬、高分別為30厘米、20厘米、5厘米的長(zhǎng)方體鋼板,應(yīng)截取圓鋼多長(zhǎng)（精確到0.1厘米）？3、將表面積為54平方厘米、96平方厘米、150平方厘米的三個(gè)鐵質(zhì)正方體熔鑄成一個(gè)大正方體（不計(jì)損耗）,求這個(gè)大正方體的體積。例題2:一個(gè)底面半徑是10厘米的圓柱形瓶中,水深8厘米,要在瓶中放入長(zhǎng)和寬都是8厘米、高是15厘米的一塊鐵塊,把鐵塊豎放在水中,水面上升幾厘米？在瓶中放鐵塊要考慮鐵塊是全部沉入水中,還是部分沉入水中。如果鐵塊是全部沉入水中,排開(kāi)水的體積是8義8義15=960（立方厘米）。而現(xiàn)在瓶中水深是8厘米,要淹沒(méi)15厘米高的鐵塊,水面就要上升15—8=7（厘米）,需要排開(kāi)水的體積是（3.14X10X10—8X8）X7=1750（立方厘米），可知鐵塊是部分在水中。當(dāng)鐵塊放入瓶中后，瓶中水所接觸的底面積就是3.14X10X10—8X8=250（平方厘米）。水的形狀變了，但體積還是3.14X10X10X8=2512（立方厘米）。水的高度是2512+250=10.048（厘米），上升10.048-8=2.048（厘米）3.14X10X10X8+（3.14X10X10—8X8）—8=2512+250—8=10.048—8=2.048（厘米）答:水面上升了2.048厘米。練習(xí)2:1、一個(gè)底面積是15平方厘米的玻璃杯中裝有高3厘米的水?，F(xiàn)把一個(gè)底面半徑是1厘米、高5厘米的圓柱形鐵塊垂直放入玻璃杯水中,問(wèn)水面升高了多少厘米（n取3）?2、一個(gè)圓柱形玻璃杯內(nèi)盛有水,水面高2.5厘米,玻璃杯內(nèi)側(cè)的底面積市2平方里。在這個(gè)杯中放進(jìn)棱長(zhǎng)6厘米的正方形鐵塊后,水面沒(méi)有淹沒(méi)鐵塊,這時(shí)水面高多少厘米?3、在底面是邊長(zhǎng)為60厘米的正方形的一個(gè)長(zhǎng)方形容器里,直立放著一個(gè)長(zhǎng)100厘米、底面邊長(zhǎng)為15厘米的正方形的四棱柱鐵棍。這時(shí)容器里的水50厘米深?，F(xiàn)在把鐵棍輕輕地向上方提起24厘米,露出睡眠的四棱柱鐵棍浸濕部分長(zhǎng)多

少厘米？例題3:某面粉廠有一容積是24立方米的長(zhǎng)方體儲(chǔ)糧池,它的長(zhǎng)是寬或高的2倍。當(dāng)貼著它一最大的內(nèi)側(cè)面將面粉堆成一個(gè)最大的半圓錐體時(shí),求這堆面粉的體積（如圖28-1所示）。設(shè)圓錐體的底面半徑是r,則長(zhǎng)方體的高和寬也都肘,長(zhǎng)是2r。長(zhǎng)方體的容積是2rXrXr=24，即r的立方=12。這個(gè)半圓錐體的體積是1/3XRr的平方義廠?2=1/6nr的立方,將r的立方=12代入,就可以求得面粉的體積。設(shè)圓錐體的底面半徑是r,則長(zhǎng)方體的容積是2rXrXr=24,r的立方=12。1/3X3.14Xr的平方義1+2=1/6X3.14Xr的立方=1/6X3.14X12=6.28（立方米）答:這堆面粉的體積是6.28立方米。練習(xí)3:1、已知一個(gè)圓錐體的底面半徑和高都等于一正方體的棱長(zhǎng),這個(gè)正方體的體積是216立方分米。求這個(gè)圓錐體的體積。2、一個(gè)正方體的紙盒中如圖28-2所示,恰好能裝入一個(gè)體積6.28立方厘米的圓柱體。紙盒的容積有多大（口取3.14）?

半。這個(gè)容器還能裝多少水？例題4:如果把12件同樣的長(zhǎng)方體物品打包,形成一件大的包裝物,有幾種包裝方法？怎樣打包物體的表面積最小呢？

圖28—6設(shè)長(zhǎng)方體物品的長(zhǎng)、寬、高分別是a、b、c,并且a>b>c（入土28-4）。比較“3X4”和“2X6”兩種包法。圖28-5中大長(zhǎng)方體表面積為6ab+8ac+24bc①,圖28-6中大長(zhǎng)方體的表面積為4ab+12ac+24bc②,兩個(gè)式子中都曲調(diào)相同的部分4ab+8ac+24bc后,①式與②式的大小要看2ab與4ac的大小。（1）當(dāng)b=2c時(shí),2ab二￥ac,兩種包法相同。（2）當(dāng)b<2c時(shí)，“3X4”的包法表面積最小。（3）當(dāng)b>2c時(shí)，“2X6”的包法表面積最小。練習(xí)4:1、如果把長(zhǎng)8厘米,寬7厘米,高3厘米的2件同樣的長(zhǎng)方體物品打包,形成一件大的包裝物,有幾種包裝方法？怎樣打包,物體的表面積最??？2、一個(gè)精美小禮品盒的形狀是長(zhǎng)9厘米,寬6厘米,高4厘米的長(zhǎng)方體。請(qǐng)你幫廠家設(shè)計(jì)一個(gè)能裝10個(gè)小禮品盒的大紙箱,你覺(jué)得怎樣設(shè)計(jì)比較合理？為什么？3、一包香煙的形狀是長(zhǎng)方體,它的長(zhǎng)是9厘米,寬是5厘米,高是2厘米。把10包香煙包裝在一起形成一個(gè)大長(zhǎng)方體,稱為一條。可以怎樣包裝？算一算需要多少包裝紙（包轉(zhuǎn)念能夠紙的重疊部分忽略不計(jì)）。你認(rèn)為哪一種包裝比較合理？例題5:一只集裝箱,它的內(nèi)尺寸是18X18X18。現(xiàn)在有批貨箱，它的外尺寸是1X4X9。問(wèn)這只集裝箱能裝多少只貨箱？因?yàn)榧b箱內(nèi)尺寸18不是貨箱尺寸4的倍數(shù)，所以，只能先在18X16X18的空間放貨箱，可放18X16X18+（1X4X9）=144（只）。這時(shí)還有18X2X18的空間，但只能在18X2X16的空間放貨箱,可放18X2X16只（1X4X9）=16（只）。最后剩下18X2X2的空間無(wú)法再放貨箱,所以最多能裝144+16=160(只)。18X16X18+(1X4X9)+18X2X16+(1X4X9)=144+16=160(只)答:這只集裝箱能裝160只貨箱。練習(xí)5:1、有一個(gè)長(zhǎng)方體的盒子,從里面量長(zhǎng)為40厘米、寬為12厘米、高為7厘米。在這個(gè)盒子里放長(zhǎng)5厘米、寬4厘米、高3厘米的長(zhǎng)方體木塊,最多可放幾塊？2、從一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為21厘米、15厘米、12厘米的廠房體上面,盡可能大地切下一個(gè)正方體,然后從剩余的部分再盡可能大地切下一個(gè)正方體,最后再?gòu)牡诙问Ｓ嗟牟糠直M可能大地切下一個(gè)正方體,剩下的體積是多少立方厘米？3、現(xiàn)有一張長(zhǎng)40厘米、寬20厘米的長(zhǎng)方形鐵皮,請(qǐng)你用它做一只深是5厘米的長(zhǎng)方體無(wú)蓋鐵皮盒(焊接處及鐵皮厚度不計(jì),容積越大越好),你做出的鐵皮盒容積是多少立方厘米？答案:練11、 (32X0.04+22X0.11)+42=0.05米=5厘米202、30X20X5+【3.14X(―)2]'9.6厘米乙3、大正方體的體積等于三個(gè)小正方體的體積之和。54+6=9平方厘米 9=3X3它的體積是3X3X3=27平方厘米96+6=16平方厘米16=4X4它的體積是4X4X4=64立方厘米150+6=25平方厘米 25=5X5它的體積是5X5X5=125立方厘米27+64+125=216立方厘米練21、鐵塊全部放入水中,排水的體積是3X12X5=15立方厘米,要使水面升高2厘米，鐵塊要排水(15—3X12)X2=24立方厘米?？梢?jiàn)，鐵塊不能全部放3入水中。15X3+(15—3X12)—3=4厘米2、杯中水的體積是:72X2.5=180立方厘米放入鐵塊后的底面積是72—62=36平方厘米；水面的高:180+36=5厘米3、容器中水的體積：(602—152)X50=168750立方厘米；當(dāng)鐵棍提起后，仍浸在水中的部分長(zhǎng)：(168750—602X24)+(602—152)=24.4厘米。露出水面的浸濕部分長(zhǎng):50—24.4=25.6厘米練31、設(shè)這個(gè)圓錐的底面半徑為r,則正方體的體積為。=216,圓錐體的體積為:13XnXr2Xr=226.08立方分米2、設(shè)圓柱體的底面半徑為x,則正方體的棱長(zhǎng)為2r。圓柱的體積是nr2X2r=6.28，即(2r)3=8r3=8立方厘米3、設(shè)容器的底面半徑為r,則水面半徑為3。水的體積是:1Xn(r)2Xh=3,2 3 22即nr2h=72。容器的體積是3X72=24升,還能裝24—3=21升。練441、 20.56+(1+1+3.14)=4分米 3.14X(-)2X4=50.24立方分米2、長(zhǎng)方體中:(1)高+寬=(365—5)+2=180厘米(2)高+長(zhǎng)=(405—5)