2022-2023學(xué)年河南省平頂山市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年河南省平頂山市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共12小題，共48分）

1.復(fù)數(shù)z=尤在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1—2i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.數(shù)據(jù)71,73,79,83,89,90,96,98的25%分位數(shù)為（）

A.73B.75C.76D.79

3.某地氣象部門統(tǒng)計了前三年6月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得到下面的頻數(shù)分布表：

最高氣溫（°C）[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天數(shù)57243519

則可以估計該地區(qū)今年6月份的某天最高氣溫小于30。。的概率為（）

A.0.8B,0.6C.0.4D.0.2

4.已知向量1=（一2,4）,B=（一1,1），則日在3上的投影向量為（）

A.B.（-|,1）C.（3,-3）D.（-3,3）

5.已知圓錐的底面半徑是2,體積為亨兀，則它的側(cè)面展開圖的圓心角為（）

A.3B.nC.vD.手

6.在梯形4BCD中，AB=2DC,AM=2MD，則加=（）

111111

麗

麗

C麗

44-2-3-3-3-3-

7.已知在長萬體ABC。一4/1的￡>1中，AB=3,20=441=2,點(diǎn)M,N分別是BC,BB1的

中點(diǎn)，則異面直線DN所成角的余弦值為（）

A.1B.二C.D.|

714147

8.設(shè)△ABC的內(nèi)角48,C所對的邊分別為a,b,c,已知sin/+sin（A+C）=2sinC,則（）

A.s譏C的最小值為JB.s譏C的最大值為學(xué)

C.cosC的最小值為0D.cosC的最大值為g

9.已知復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)為5,貝ij（）

A.|z|=|z|B.z-z一定是虛數(shù)C.z+z一定是實(shí)數(shù)D.z2>0

10.從1?9這9個整數(shù)中隨機(jī)取1個數(shù)，記M,N是此試驗(yàn)中的兩個事件，且滿足P(M)=g,

P(N)=|,則下列說法正確的是()

1

A.M與N是對立事件B.若McN,則P(MN)=j

C.若P(MN)=彳，則M與N相互獨(dú)立D.若P(MUN)=1,則"與N互斥

11.在AABC中，a,b,c分別是角4B,C所對的邊，且b=3,A=2B,則下列說法正確

的是()

A.若c<b,則△ABC是鈍角三角形B.△ABC可能是頂角為鈍角的等腰三角形

C.若q=3A/-則。]D.若c=1,則a=2，^

12.如圖所示，扇形OAB的半徑CM=4,^AOB=y,C是弧4B的

中點(diǎn)，點(diǎn)。，E是線段OB,04上的動點(diǎn)且滿足|赤|=|屈則而.謂

的值可以是()

A.6B.8C.2V^0D.37^0

二、非選擇題(52分)

13.已知平面向量五=(1,2),3=(-2,1),蕓=(2,t)，若@+2另)1小貝亞=.

14.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)1,2,2,a,b,5,6,8的方差為5,則數(shù)據(jù)4,7,7,3a+1,36+1,

16,19,25的方差是.

15.小王逛書店，他買甲書和買乙書相互獨(dú)立，若小王買甲書不買乙書的概率為葭甲和乙

6

兩本書都買的概率為今則小王買乙書的概率為.

16.在三棱錐尸一ABC中，平面力BC1平面P4B,AC1BC,點(diǎn)D是2B的中點(diǎn)，PD1PB,

PB=PD=2,則三棱錐P—28C的外接球的表面積為.

17.已知復(fù)數(shù)Z1=t+(/—l)i,z2=sind+(2cos3+1)1,其中teR,6e[0,TT].

(1)若z「z2eR且z1>z2,求t的值；

(2)若Z]=Z2，求。.

18.某型號新能源汽車近期升級一項(xiàng)新技術(shù)，現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名該技術(shù)的體驗(yàn)用戶對該技

術(shù)進(jìn)行評分(滿分100分)，所有評分?jǐn)?shù)據(jù)按照[84,88),[88,92),[92,96),[96,100]進(jìn)行分組

得到了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求a的值，并根據(jù)頻率分布直方圖，估計對該技術(shù)的評分的中位數(shù)；

(2)現(xiàn)從評分在［84,88),［96,100］內(nèi)的體驗(yàn)用戶中按人數(shù)比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6人,

再從這6人中隨機(jī)抽取2人作進(jìn)一步的問卷調(diào)查，求這2人中至少有一人評分在［84,88)內(nèi)的概

率.

頻率

19.如圖，在棱長為2的正方體4BCD中，E,F,M分別是AB,的中

點(diǎn).

(1)求平面4EC截正方體所得截面面積；

(2)證明：平面4EC1平面MEF.

20.如圖所示，四邊形4BCD的外接圓為圓。，BC=2,AC=3,tanB=-2<1.

⑴求sin/SCB；

(2)若“。0=^AOD,求4。的長.

B

21.如圖，在四棱錐P—ABC。中，PD1底面28C。，底面2BCD是矩形,PD=AB=3AD=3.

⑴求點(diǎn)a到平面PBC的距離.

(2)若E是PA的中點(diǎn),F是PB上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)，棱PB上是否存在一點(diǎn)G使CG〃平面DEF?

證明你的結(jié)論并求BG的長.

22.某商場為鼓勵大家消費(fèi)，舉行摸獎活動，規(guī)則如下：憑購物小票一張，每滿58元摸獎一

次，從裝有除顏色外完全相同的1個紅球和4個白球的箱子中一次性隨機(jī)摸出兩個小球，若兩

球中含有紅球，則為中獎，否則為不中獎.每次摸獎完畢后，把小球放回箱子中.甲、乙共有購

物小票一張，購物金額為m元，兩人商量，先由一人摸獎，若中獎，則繼續(xù)摸獎，若不中獎，

就由對方接著摸獎，并通過擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣決定第一次由誰摸獎.

(1)若爪=60,求這兩人中獎的概率；

(2)若m=240,求第一次由甲摸獎，最后一次也是甲摸獎的概率.

答案和解析

1.【答案】D

5t3_-5i(l+2i)

【解析】解:

l-2i―(l-2i)(l+2i)

則z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)(2,-1)位于第四象限.

故選：D.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：8x25%=2,

該組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)為從小到大第2個數(shù)據(jù)和第3個數(shù)據(jù)的平均數(shù)笥2=76.

故選：C.

根據(jù)百分位數(shù)的定義，計算即可.

本題考查百分位數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：前三年6月份最高氣溫小于30。。的天數(shù)為5+7+24=36,

所以概率為需=0.4,

所以可以估計該地區(qū)今年6月份的某天最高氣溫小于30。。的概率0.4.

故選：C.

利用古典概型的概率公式求解.

本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

［解析］解:va-b=2+4=6,r=2,

??.N在3上的投影向量為：胃喻=女—1,1)=(—3,3).

故選：D.

可求出1.另和信2,然后根據(jù)投影向量的計算公式求出投影向量即可.

本題考查了向量坐標(biāo)的數(shù)量積和數(shù)乘運(yùn)算，投影向量的計算公式，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)圓錐的高為％,它的側(cè)面展開圖的圓心角。，

圓錐的底面半徑是2,體積為學(xué)兀，則p=2等=亨兀，

則h=2C，

故該圓錐的母線長/=V12+4=4,

則4。=2兀x2,解可得8=n.

故選：B.

根據(jù)題意，設(shè)圓錐的高為八，它的側(cè)面展開圖的圓心角氏由圓錐的體積公式求出h的值，進(jìn)而求

出圓錐的母線長，由此可得關(guān)于40=27X2,解可得。的值，即可得答案.

本題考查圓錐的幾何結(jié)構(gòu)，涉及圓錐的側(cè)面展開圖，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：如圖，在梯形4BCD中，AB=2DC,AM=2MD,

則而=屈+而……①，

BA=BM+MA...②，

①X2+②可得：4CD=2CM+JM，即麗=,而+J的.

Z4

故選：A.

利用點(diǎn)M為4。的三等分點(diǎn)，將而和瓦I分解以后，消去而了和雨，即可求得.

本題考查平面向量基本定理，屬基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：延長84至G,使得B1G=1,連接。母，GM,

易知OiG〃DN,則/MAG為異面直線A",DN所成角，

因?yàn)?。?732+22+12==VI2+32=

=V12+32+22=YHA,

222

故△中,D1M+D1G-MG14+14-10_9

MDiGcos/-MDrG=

2DrM-DrG—14

故選：C.

延長BBi至G,推得5G〃DN,則為異面直線QM,ON所成角，△“。道中應(yīng)用余弦定理

可解.

本題考查了異面直線所成的角的計算，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】B

【解析】解：由已知得siziA+s譏8=2sinC,根據(jù)正弦定理可得a+b=2c,

根據(jù)余弦定理可得

cosC=吃丁=(a+《產(chǎn)-2|￡1_>_烹-l=|-l=p當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立,

2ab2ab2ab=2(。；")”1227

所以cosC的最小值為sin2c+cos2c=1,從而s譏C的最大值為號.

故選：B.

先根據(jù)正弦定理邊角互化，再根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式求出余弦最小值，進(jìn)而求出正弦的最

大值.

本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

9.【答案】AC

【解析】解：對于4BC,不妨設(shè)z=a+bi(a,%eR),

則z=a—bi,

對于4|z|=\z\=Va2+b2>故A正確；

對于Bz—z=(a+bi)—(a—bi)=2bi,

當(dāng)b=0時，z-z=0,故3錯誤；

對于C,z+z=a+bi+a-bi=2a&R,故C正確；

對于D,設(shè)z=i,

z2=-l<0,故D錯誤.

故選：AC.

根據(jù)已知條件，結(jié)合共軌復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解.

本題主要考查共軌復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】B

【解析】解：對于4M與N不一定為對立事件，也有可能由交集，比如M為“抽出的數(shù)大于等于

7”，N為“抽出的數(shù)大于等于8或小于等于4"，A錯誤；

-1

對于B,當(dāng)MQN,則P(MN)=P(M)4，8正確；

對于C,比如M為“抽出的數(shù)小于等于4”，N為“抽出的數(shù)小于等于3或大于等于8”，顯然

P(MN)=g,但是P(MN)=5P(M)=I，P(N)=,顯然M與N不相互獨(dú)立，C錯誤；

對于。，M與N也可能由交集，比如M為“抽出的數(shù)小于等于4”，N為“抽出的數(shù)大于等于4且小

于等于7”顯然P(MuN)=t+[+W=l，二者的交集是“抽出的數(shù)字為4”，不互斥，力錯誤.

故選：B.

根據(jù)題意舉出反例排除選項(xiàng)即可.

本題主要考查互斥事件和獨(dú)立事件，舉出反例是解決本題的關(guān)鍵，屬中檔題.

n.【答案】ACD

【解析】解：對于4若c<b,則C<B,由兀=A+B+C<4B,得B>為

4

所以4故A正確;

b

對于C,由正弦定理得急=就即品=荒,所以病如

sinB

結(jié)合匕=3得。=GcosB,若Q=3，瓦則、cosB=號，所以8屋，人=,則。=宏故。正確;

TT

對于B,若△ABC是等腰三角形，當(dāng)A=C時，A+B+C=5B,則頂角8=耳為銳角,

當(dāng)B=C時，A+B+C=2A,則頂角4=]為直角，即頂角不可能為鈍角，故2錯誤；

對于D,由選項(xiàng)C的分析可知a=6cosB,再由余弦定理可得c0sB=4止式=立二

2ac2a

所以。=6義貯爐，整理得。2=12,所以a=2C，故D正確.

2a

故選：ACD.

利用正余弦定理，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理逐項(xiàng)計算可判斷每個選項(xiàng)的正確性.

本題考查利用正余弦定理解三角形，屬中檔題.

12.【答案】ABC

【解析】解：???^AOB-y,C是弧4B的中點(diǎn)，

???/.BOC=/-AOC=p

設(shè)|4E|=x,(0<x<4),則\0E\=4-x,

：.~CD=~0D-~0C,~CE=~0E-~0C,

：.CD-CE=(OD-OC)-(OE-OC)

=OD-OE-OD-OC-OC-OE+OC

1ii

=%?(4-%),(——)-4x,——4(4—x),—+16

12

-X1

2--2%+8=-(x—2)2+6,0<x<4,

???6<CD-CE<8,故AB正確；

又6=2C<2CU<2門^=8,故C正確；

(3<10)2=90>64=82,故D錯誤.

故選：ABC.

由題意得NBOC=N40C=*設(shè)AE=x,(0<%<4),把記.請表示為x的函數(shù)，再由二次函數(shù)

求值域即可.

本題考查平面向量的綜合運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于中檔題.

13.【答案】|

【解析】解：下=(1,2)5=(-2,1),c=(2,t),

則8+23=(1,2)+(-4,2)=(-3,4)，

(a+2b)1c,

???2x(-3)+4t=0,解得t=|.

故答案為：|.

根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量垂直的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查平面向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】45

【解析】解：已知4=1x3+1,7=2x3+1,3a+l=3xa+l,

36+1=3x6+1,16=5X3+1,19=6X3+1,25=8X3+1,

所以數(shù)據(jù)4,7,7,3a+1,3b+1,16,19,25是數(shù)據(jù)1,2,2,a,b,5,6,8的3倍再加1,

則數(shù)據(jù)4,7,7,3a+1,3b+1,16,19,25的方差為32x5=45.

故答案為：45.

由題意，根據(jù)方差的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

本題考查方差的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】I

【解析】解：設(shè)事件4表示“小王買甲書”，事件B表示“小王買乙書”，

由題意可知，事件4與事件B相互獨(dú)立，

所以事件4與事件3也相互獨(dú)立，

所以P(a8)=P(A)P(B)=P(71)(1-P(B))=，，即PQ4)-P(A)P(B)=

-1

又因?yàn)镻(2B)=P(4)P(B)=p

1

-3

2

---

所以p(a)="2=g,P(B)24

-

3

即小王買乙書的概率為引

故答案為：

設(shè)事件A表示“小王買甲書”，事件B表示“小王買乙書”，由題意可知，事件A與事件B、B都相

互獨(dú)立，由獨(dú)立事件的概率乘法公式可得P(48)=P⑷-PQ4)P(B)=，PQ4B)=P(4)P(B)=i,

從而求出P(B).

本題主要考查了獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】407r

【解析】解：因?yàn)?CJ_BC,所以AABC的外接圓圓心即點(diǎn)￡>,

三棱錐外接球球心在過點(diǎn)D與平面4BC垂直的直線上，即在平面P4B內(nèi)，

所以球心即為△P4B的外接圓圓心，球的半徑即為△PAB的外接圓半徑R,

因?yàn)镻DLPB,PB=PD=2,所以BD=2<7,從而AD=

設(shè)R4=x,在AP4□中，根據(jù)余弦定理有％2=22+(2，為2—2x2x2/Zos半=20,所以

PA=2門，

由正弦定理得2R=2%“=2，黃，所以R=CU，

所以三棱錐P-4BC的外接球的表面積為4兀旌=40兀.

故答案為：40兀.

由題意得^ABC的外接圓圓心即點(diǎn)O,球心即為4P2B的外接圓圓心，球的半徑即為△PAB的外接

圓半徑R,設(shè)P4=x,在APN。中，根據(jù)余弦定理和正弦定理即可求解.

本題考查了三棱錐外接球的表面積計算，屬于中檔題.

17.【答案】解：⑴由zi，Z2GR且zi>Z2,可得了-1=2sse+1=0,且。e⑼兀解得t=1，

it>sinJ

t=sind

(2)因?yàn)閆i=Z2，所以t2—1=2cos9+1,解得cos。=—1,

(6G［0,TT］

所以e=Ti.

【解析】(1)由復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，可得『「s：n；2c°s°+l=°'可得t的值；

t=sind

t2-l=2cosd+l,解得。的值.

I9G［0,?r］

本題考查復(fù)數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)因?yàn)?(0.025+0.075+0.1+a)=1,

解得a=0.05,

易得評分在［84,92)內(nèi)的頻率為4(0.025+0.075)=0.4<0.5,

評分在［84,96)內(nèi)的頻率為4(0.025+0.075+0.1)=0.8>0.5,

所以中位數(shù)在區(qū)間［92,96)內(nèi)，

則中位數(shù)為92+簪瞿X4=93；

⑵易知這6人中評分在［84,88)內(nèi)的有2人，記為x、y,

評分在［96,100］內(nèi)的有4人，記為a,b,c,d,

貝！J從這6人中隨機(jī)抽取2人有：xy>xa、xb、xc、xd、ya、yb>yc、yd、ab、QC、ad、be、bd、

cd共15種情況,

其中至少有一人評分在［84,88）內(nèi)的有：xy>xa>xb、xc、xd、ya>yb>yc、yd共9種情況，

則這2人中至少有一人評分在［84,88）內(nèi)的概率P=揖=|.

【解析】（1）由題意，利用頻率之和為1,列出等式即可求出a的值，結(jié)合中位數(shù)兩邊頻率相等，列

出等式即可求解；

（2）根據(jù)分層隨機(jī)抽樣定義可得評分在［84,88）內(nèi)的有2人，記為x、y,評分在［96,100］內(nèi)的有4人,

記為a,b,c,d,將所有情況一一和滿足條件的情況列出出來，進(jìn)而即可求解.

本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用以及古典概型的概率計算，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力.

19.【答案】解：（1）平面4EC截正方體所得截面為梯形4CQE,其中Q

為BiG的中點(diǎn)，

由題易知EQ=<7-OC=AE=y/~5,

?,?梯形的高h(yuǎn)=J5—3—

所以截面面積為aCX率=或

證明：（2）連接B。，rM,F為AD,4B的中點(diǎn),

MF//BD,

在正方形中，AC1BD,

???AC1MF,

???E,F分別是A/,AB的中點(diǎn)，

?-.EF//AAlt

■：AAr1平面ABC。，

???EF，平面ABCD,

EF1AC,

又,??EFCMF=F,

AC_L平面MEF,

X'.-ACu平面AEC,

平面4EC_L平面MEF.

【解析】Q）根據(jù)梯形的面積公式進(jìn)行計算即可.

（2）根據(jù)面面垂直的判定定理進(jìn)行證明.

本題主要考查空間面面垂直的判斷以及截面面積的求解，根據(jù)面面垂直的判定定理和梯形的面積

公式進(jìn)行計算是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

20.【答案】解：⑴由tcmB=可得sinB=cosB=—

設(shè)AB=c(c>0),

在△ABC中，由余弦定理得9=4+-4cX(-手，即c2+gc—5=

0,

解得c=-3(舍去)或c=|,

由正弦定理得sm乙4cB=篝竺=亨=竽

(2)???乙COD=2LA0D,

AD=CD,

由已知得+/-ADC=7T,

1

???cosZ-ADC=

設(shè)/。=CD=m(m>0),

在^ACD中，由余弦定理得9=m2+m2—2m2x1=^m2,

所以m2=三,

4

所以7n=亨，即等.

【解析】⑴由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosB的值，設(shè)48=c(c>0),在△28C中,

由余弦定理解得c的值，進(jìn)而利用正弦定理可求sin乙4cB的值.

(2)由題意可求cosNADC=：,在△2CD中，由余弦定理即可求解的值.

本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式正弦定理，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算

能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)因?yàn)?D〃BC,AD仁平面PBC,所以平面P8C,

所以點(diǎn)4到平面PBC的距離即點(diǎn)。到平面PBC的距離，

作DM1PC,垂足為M,如下圖所示：

M

B

因?yàn)镻O1平面ABC。，BCu平面ABC。，所以PDJ.BC,

又BC1CD,CDCPD=