復變函數(shù)積分的概念

1復變函數(shù)積分的概念2一、積分的定義1.有向曲線:

設C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線,如果選定C的兩個可能方向中的一個作為正方向(或正向),那么我們就把C理解為帶有方向的曲線,稱為有向曲線.如果A到B作為曲線C的正向,那么B到A就是曲線C的負向,第2頁,共29頁，2024年2月25日，星期天3簡單閉曲線正向的定義:

簡單閉曲線C的正向是指當曲線上的點P順此方向前進時,鄰近P點的曲線的內(nèi)部始終位于P點的左方.與之相反的方向就是曲線的負方向.關于曲線方向的說明:

在今后的討論中,常把兩個端點中的一個作為起點,另一個作為終點,除特殊聲明外,正方向總是指從起點到終點的方向.第3頁,共29頁，2024年2月25日，星期天42.積分的定義:第4頁,共29頁，2024年2月25日，星期天5(第5頁,共29頁，2024年2月25日，星期天6關于定義的說明:第6頁,共29頁，2024年2月25日，星期天7二、積分的性質(zhì)復積分與實變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì).估值不等式第7頁,共29頁，2024年2月25日，星期天8性質(zhì)(4)的證明兩端取極限得[證畢]第8頁,共29頁，2024年2月25日，星期天9三、積分存在的條件及其計算法1.存在的條件證正方向為參數(shù)增加的方向,第9頁,共29頁，2024年2月25日，星期天10第10頁,共29頁，2024年2月25日，星期天11根據(jù)線積分的存在定理,第11頁,共29頁，2024年2月25日，星期天12當n

無限增大而弧段長度的最大值趨于零時,第12頁,共29頁，2024年2月25日，星期天13在形式上可以看成是公式第13頁,共29頁，2024年2月25日，星期天142.積分的計算法第14頁,共29頁，2024年2月25日，星期天15在今后討論的積分中,總假定被積函數(shù)是連續(xù)的,曲線C是按段光滑的.第15頁,共29頁，2024年2月25日，星期天16例1解直線方程為第16頁,共29頁，2024年2月25日，星期天17這兩個積分都與路線C無關第17頁,共29頁，2024年2月25日，星期天18例2解(1)積分路徑的參數(shù)方程為y=x第18頁,共29頁，2024年2月25日，星期天19(2)積分路徑的參數(shù)方程為y=x第19頁,共29頁，2024年2月25日，星期天20y=x(3)積分路徑由兩段直線段構成x軸上直線段的參數(shù)方程為1到1+i直線段的參數(shù)方程為第20頁,共29頁，2024年2月25日，星期天21例3解積分路徑的參數(shù)方程為第21頁,共29頁，2024年2月25日，星期天22例4解積分路徑的參數(shù)方程為第22頁,共29頁，2024年2月25日，星期天23重要結論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關.第23頁,共29頁，2024年2月25日，星期天24例5解根據(jù)估值不等式知第24頁,共29頁，2024年2月25日，星期天25第25頁,共29頁，2024年2月25日，星期天26四、小結與思考

本課我們學習了積分的定義、存在條件以及計算和性質(zhì).應注意復變函數(shù)的積分有跟微積分學中的線積分完全相似的性質(zhì).本課中重點掌握復積分的一般方法.第26頁,共29頁，2024年2月25日，星期天27思考題第27頁,共29頁，2024年2月25日，星期天28思考題答案即為一元實函數(shù)的