專題08 解題技巧專題：利用等腰三角形的“三線合一”作輔助線（解析版）

專題08解題技巧專題：利用等腰三角形的“三線合一”作輔助線考點一利用“三線合一”作輔助線求線段的長考點二利用“三線合一”作輔助線求角的度數(shù)考點三利用“三線合一”作輔助線求面積考點四利用“三線合一”作輔助線證垂直典型例題典型例題考點一利用“三線合一”作輔助線解決線段的有關(guān)問題例題：（2022·山東·薛城區(qū)北臨城中學八年級階段練習）如圖，已知，點P在邊上，，點M，N在邊上，，若，則（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】A【分析】過P作PQ⊥MN，利用三線合一得到Q為MN中點，求出MQ的長，在直角三角形OPQ中，利用直角三角形中，30度所對的直角邊等于斜邊的一半求出OQ的長，即可求解．【詳解】解：如圖，過點P作PQ⊥MN于點Q，∵PM=PN，，∴MQ=NQ=1，在Rt△OPQ中，OP=12，∠AOB=60°，∴∠OPQ=30°，∴，∴ON=OQ+QN=6+1=7．故選A．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，以及含30度直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形中，30度所對的直角邊等于斜邊的一半是解本題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2022·遼寧大連·八年級期末）在中，，D是中點，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可直接得到AD平分∠BAC，AD⊥BC，結(jié)合圖形，利用各角之間的關(guān)系及三角形內(nèi)角和定理即可得．【詳解】解：∵，∴△ABC為等腰三角形，∵D是中點，∴AD平分∠BAC，AD⊥BC，∴，，∴，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，理解題意，找準各角之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．2．（2022·浙江紹興·八年級期末）如圖，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=110°，延長BC到D，在∠ACD內(nèi)作射線CE，使得∠ECD=15°．過點A作AF⊥CE，垂足為F．若AF=，則AB的長為（）A． B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】過點C作CH⊥AB于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及角的和差求出AH＝BH，∠ACH＝∠ACF＝55°，則CA平分∠HCF，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得AH＝AF，即可得AB的長．【詳解】解：過點C作CH⊥AB于H，∵CA＝CB，∠ACB＝110°，∴∠ACH∠ACB＝55°，∠ACD＝70°，∵∠ECD＝15°．∴∠ACF＝∠ACD﹣∠ECD＝55°，∴∠ACH＝∠ACF＝55°，∴CA平分∠HCF，∵AF⊥CE，CH⊥AB，∴AH＝AF，∴AB＝2AH＝2．故選：B．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，解決問題的關(guān)鍵是得出CA平分∠HCF．3．（2022·江蘇·八年級）如圖，在△ABC中，∠B＝60°，點D在邊BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD＝4，則BD的長為（

）A．3 B．2.5 C．2 D．1【答案】D【分析】過點A作AE⊥BC于E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得DE＝ECCD＝2，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得BE＝3，根據(jù)BD＝BE﹣DE即可求解．【詳解】解：如圖，過點A作AE⊥BC于E，又∵AD＝AC，CD＝4，∴DE＝ECCD＝2．在直角△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAE＝90°﹣∠B＝30°，∴BEAB6＝3，∴BD＝BE﹣DE＝3﹣2＝1．故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，準確作出輔助線求出BE與DE是解題的關(guān)鍵．4．（2022·山西呂梁·八年級期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，點D在BC的延長線上，連接AD．點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點．若EF＝3，則AD的長為（

）A．3 B． C．6 D．【答案】C【分析】連接AE，根據(jù)等腰三角形三線合一得到AE⊥BC，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AD=2EF，故可求解．【詳解】連接AE，∵AB＝AC，E是BC中點，∴AE⊥BC，∴△ADE是直角三角形，∵F是AD中點，∴EF=，∴AD=2EF=6，故選C．【點睛】此題主要考查三角形內(nèi)線段長度，解題的關(guān)鍵是熟知等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)．5．（2022·陜西·西北大學附中八年級期中）如圖，等邊邊長為，點在的延長線上，點在的延長線上，且滿足．已知，，則的值為_________．【答案】【分析】過D作DF⊥BE于F，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BF的長，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得CF的長，進而可得答案．【詳解】解：過D作DF⊥BE于F，∵DB=DE，∴△DBE是等腰三角形，∵BE=4，∴BF=EF=2，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∴∠DCF=60°，∴∠CDF=30°，∴∴∴故答案為：．【點睛】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．6．（2022·全國·八年級課時練習）如圖，△ABC中，AB＝AC，BC＝，AB的垂直平分線交BC于點D．且BD＜CD，過點B作射線AD的垂線，垂足為E，則CDDE＝_______．【答案】【分析】作AF⊥BC于F，證明△BDE≌△ADF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得DF=DE，可得CD-DE=CF，由等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：作AF⊥BC于F，∵AB的垂直平分線交BC于點D．∴AD=BD，∵AF⊥BC，BE⊥DE，∴∠E=∠AFD=90°，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（AAS），∴DF=DE，∴CD-DE=CD-DF=CF，∵AB=AC，AF⊥BC，BC=，∴CF=BC=．故答案為：．【點睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2021·湖北·襄陽市樊城區(qū)青泥灣中學八年級期中）如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4，面積是12，腰AB的垂直平分線EF分別交AB，AC于點E、F，若點D為底邊BC的中點，點M為線段EF上一動點，則△BDM的周長的最小值為___．【答案】8【分析】連接AD，AM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知AD垂直BC，則根據(jù)△ABC的面積即可求出AD，由題意點B關(guān)于直線EF的對稱點為點A，即有AM=BM，即有BM＋MD=AM＋MD，即當A，M，D三點共線時，BM＋MD的值最小，最小為AD的長，進而即可求解．【詳解】解：如圖，連接AD，AM，∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，∴AD⊥BC，∵BC=4，△ABC的面積為12,∴，∴AD＝6，∵EF是線段AB的垂直平分線，∴點B關(guān)于直線EF的對稱點為點A，∴AM=BM，∴BM＋MD=AM＋MD，即當A，M，D三點共線時，BM＋MD的值最小，∴AD的長為BM＋MD的最小值，∴△BDM的周長最短為BM+MD＋BD＝AD＋BD＝AD＋BC＝6+2=8，故答案為：8．【點睛】本題考查的是軸對稱?最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．8．（2022·山東泰安·七年級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，底邊BC＝12，點P是底邊BC上任意一點，PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E，則______．【答案】9.6【分析】連接AP，過A作AF⊥BC于F，由圖可得：S△ABC=S△ABP+S△ACP，代入數(shù)值，解答出即可．【詳解】解：連接AP，過A作AF⊥BC于F．∵AB=AC=10，BC=12，∴BF=CFBC=6，由勾股定理得：，由圖可得：S△ABC=S△ABP+S△ACP．∵PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，∴，∴，∴48=5(PD+PE)，∴PD+PE=9.6．故答案為：9.6．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，解答時注意，將一個三角形的面積轉(zhuǎn)化成兩個三角形的面積和；體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．考點二利用“三線合一”作輔助線解決角的有關(guān)問題例題：（2022·全國·八年級專題練習）如圖，中，，于點D，，若，則的度數(shù)為_____．【答案】【分析】如圖（見詳解），根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)，過點A作于點E，可證，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖，過點A作于點E，∵AB=AC，∴E是BC的中點，且AE平分．∵，∴BD=BE．在和中，，∴．∴．故答案為：．【點睛】本題考查等腰三角形的三線合一性質(zhì)以及直角三角形全等的判定定理，正確運用定理進行判定是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1.（2022·福建泉州·八年級期末）如圖，在中，，AD為BC邊上的中線，，則的度數(shù)為（

）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】C【分析】根據(jù)題意可得是等腰三角形，根據(jù)三線合一可知，據(jù)此即可求得．【詳解】解：∵，為邊上的中線，∴，，∵，∴．故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2021·湖北恩施·八年級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，且BD＝BE，∠ADE＝20°，則∠BAC的度數(shù)為（

）A．120° B．110° C．100° D．90°【答案】C【分析】根據(jù)垂直的定義以及等腰三角形的性質(zhì)得到∠BDE=∠BED=70°，利用三角形的外角性質(zhì)得到∠BAD=50°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴∠ADB=90°，∠BAD=∠CAD，∵∠ADE=20°，BD=BE，∴∠BDE=∠BED=∠ADB-∠ADE=70°，∵∠BED=∠BAD+∠ADE，∴∠BAD=70°-20°=50°，∴∠BAC=2∠BAD=100°，故選：C．【點睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的三線合一、三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．3．（2021·山東濟南·七年級期末）如圖，平分，，的延長線交于點，若，則的度數(shù)為______．【答案】【分析】如圖，連接BD，延長CA與BD交于點F，利用等腰三角形的三線合一證明CF是BD的垂直平分線，從而得到AB=AD，再次利用等腰三角形的性質(zhì)得到：∠DAF=∠BAF=∠EAC，從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接BD，延長CA與BD交于點F，∵AC平分∠DCB，CB=CD，∴CF⊥BD，DF=BF，∴CF是BD的垂直平分線，∴AB=AD，∴∠DAF=∠BAF，∵∴∠EAC=55°，∴∠DAF=∠BAF=∠EAC=55°，∴∠BAE=180°?55°?55°=70°．故答案為：70°．【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．4．（2022·北京·人大附中八年級期中）如圖，在中，，，為等邊三角形，連接，則_____，的面積為_____．【答案】

【分析】如圖，過作于，第一個空：根據(jù)為等邊三角形，可得，，然后再根據(jù)，，利用等腰三角形的性質(zhì)可求出，然后由即可得到答案；第二個空：根據(jù)和可確定的邊邊上的高等于，再根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可得，則，代入數(shù)據(jù)計算即可得到答案．【詳解】如圖，過作于，∵為等邊三角形，∴，，∵，，∴，，∴，∴；∵，∴∵，∴，∴的邊邊上的高等于，∵為等邊三角形，∴，又∵，，∴，∴．故答案為：；．【點睛】本題考查了等邊三角形、等腰三角形的性質(zhì)及三角形面積計算等知識．發(fā)現(xiàn)的邊上的高等于的一半是解題的關(guān)鍵．5．（2022·浙江麗水·八年級期末）如圖，在△ABC中，，AD為BC邊上的中線，E為AC上一點，且，，求∠CDE的度數(shù)．【答案】25°【分析】由題意知，，根據(jù)等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理求出的值，進而可求出的值．【詳解】解：∵，AD是中線，∴，∵∴∴∴的值為25°．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)．考點三利用“三線合一”作輔助線求面積例題：（2022·重慶九龍坡·八年級期末）如圖，AC＝BC＝BE＝DE．若∠C+∠E＝180°，AB＝6，BD＝8，則△ABC的面積為（）A．6 B．14 C．12 D．24【答案】C【分析】如圖所示，過點C作CF⊥AB于F，過點E作EG⊥BD于G，根據(jù)三線合一定理得到，，，然后證明△CFB≌△BGE得到CF=BG=4，則．【詳解】解：如圖所示，過點C作CF⊥AB于F，過點E作EG⊥BD于G，∴∠CFB=∠BGE=90°，∴∠FCB+∠FBC=90°，∵AC=BC=BE=DE，∴，，，∵∠ACB+∠BED=180°，

∴∠FCB+∠BEG=90°，∴∠FBC=∠GEB，又∵BE=CB，∴△CFB≌△BGE（AAS），∴CF=BG=4，∴，故選C．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形面積，三線合一定理，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2022·廣西·梧州市第一中學三模）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=8，點F是AB的中點，點D、E分別在AC、BC邊上運動，且始終保持DF⊥EF，則四邊形CDFE的面積是______．【答案】16【分析】如圖所示，連接CF，只需要證明△AFD≌△CFE得到即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接CF，∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，F(xiàn)是AB的中點，∴∠CFA=90°，，∠A=∠ACF=∠BCF=∠B=45°，∴∠CFD+∠AFD=90°，∵DF⊥EF，即∠DFE=90°，∴∠CFE+CFD=90°，∴∠AFD=∠CFE，∴△AFD≌△CFE（ASA），∴，∴，故答案為：16．【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2022·浙江溫州·八年級期末）如圖，在中，AE是BC邊上的中線，過點C作，交AE的延長線于點D，連結(jié)BD．若，的面積為10，則的面積為______．【答案】30【分析】作BF⊥AE于點F，先證明△BEF≌△CED，則BF=CD，F(xiàn)E=DE，由AB=BD得AF=DF，設(shè)FE=DE=m，BF=CD=n，則AF=DF=2FE=2m，AE=3m．根據(jù)S△BCD=10求出mn的值，再用含mn的式子表示S△ABC，從而求出△ABC的面積．【詳解】解：如圖，作BF⊥AE于點F，∵CD⊥AE，∴BFE=CDE=90°，∵AE是BC邊上的中線，∴BE=CE，在△BEF和△CED中，∴△BEF≌△CED（AAS），∴FE=DE，BF=CD，∵AB=BD，∴BF=DF，設(shè)FE=DE=m，BF=CD=n，則AF=DF=2FE=2m，∴AE=AF＋FE=3m，∵=DE·BF+12DE·CD=且=10，∴，∴∴=30．故答案為：30．【點睛】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，作BF⊥AE于點F構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2021·江蘇鹽城·八年級期中）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝4，一個三角尺的直角頂點與BC邊的中點O重合，且兩條直角邊分別與AB，AC分別交于點E，F(xiàn)，△BOE與△COF的面積之和為______．【答案】2【分析】連接AO，易證△EOA≌△FOC（ASA），利用全等三角形的性質(zhì)可得出△COF的面積等于△AOE的面積，從而可進一步得出結(jié)論．【詳解】解：連接AO，如圖所示．∵△ABC為等腰直角三角形，點O為BC的中點，∴OA=OC=，∠AOC=90°，∠BAO=∠ACO=45°．∵∠EOA+∠AOF=∠EOF=90°，∠AOF+∠FOC=∠AOC=90°，∴∠EOA=∠FOC．在△EOA和△FOC中，，∴△EOA≌△FOC（ASA），∴∴故答案為：2【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明△EOA≌△FOC是本題的關(guān)鍵．考點四利用“三線合一”作輔助線證垂直例題：（2022·江蘇·八年級）如圖，已知點D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE．(1)求證：BD＝CE；(2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)90°．【分析】（1）作AF⊥BC于點F，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到BF=CF，DF=EF，相減后即可得到正確的結(jié)論．（2）根據(jù)等邊三角形的判定得到△ADE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系即可求解．(1)證明：如圖，過點A作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AD＝AE．∴BF＝CF，DF＝EF，∴BD＝CE．(2)解：∵AD＝DE＝AE，∴△ADE是等邊三角形，∴∠DAE＝∠ADE＝60°．∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA．∴∠DAB∠ADE＝30°．∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2022·陜西·交大附中分校八年級階段練習）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，點O是底邊BC的中點，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D、E．試說明：AD=AE．【答案】見解析【分析】連接AO，由AAS可得△AOD≌△AOE，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：連接AO，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠ADO=∠AEO=90°，∵AB=AC，O是BC中點，∴AO平分∠BAC，即∠DAO=∠EAO，又AO=AO，∠ADO=∠AEO=90°，∴△AOD≌△AOE(AAS)，∴AD=AE．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．2．（2021·浙江杭州·八年級期末）如圖﹐在中﹐﹐D為的中點﹐點F在上﹐延長至點E﹐使﹐求與之間的位置關(guān)系．【答案】AD∥EF【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AD⊥BC，AD平分∠BAC，再根據(jù)角平分線的定義和外角的定義，可得∠AEF=∠BAD，進而可證明AD∥EF．【詳解】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵D為BC中點，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC，∵AE=AF，∴∠E=∠AFE，∵∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠E+∠AFE，∴∠AEF=∠BAD，∴AD∥EF．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定、三角形的外角性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)．3．（2022·河南鄭州·七年級期末）如圖，在中，，，D為BC的中點，過D作直線DE交直線AB與E，過D作直線，并交直線AC與F．(1)若E點在線段AB上（非端點），則線段DE與DF的數(shù)量關(guān)系是______________；(2)若E點在線