遼寧省撫順市丹陽中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析

遼寧省撫順市丹陽中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.甲、乙兩個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位相同），記甲、乙兩個(gè)幾何體的體積分別為V1，V2，則（

）A. B.C. D.參考答案：D由甲的三視圖可知，該幾何體為一個(gè)正方體中間挖掉一個(gè)長方體，正方體的棱長為8，長方體的長為4，寬為4，高為6，則該幾何體的體積為；由乙的三視圖可知，該幾何體為一個(gè)底面為正方形，邊長為9，高為9的四棱錐，則該幾何體的體積為.∴故選D.點(diǎn)睛：本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀.2.已知a＞0，b＞0，，則的最小值為（）A．4 B． C．8 D．16參考答案：B【考點(diǎn)】7F：基本不等式．【分析】先求出ab=1，從而求出的最小值即可．【解答】解：由，有ab=1，則，故選：B．3.設(shè)函數(shù)，則使得的自變量的取值范圍為A．

B．

C．

D．參考答案：A略4.（5分）F是雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F向C的一條漸近線引垂線，垂足為A，交另一條漸近線于點(diǎn)B．若2=，則C的離心率是（）A．

B．2C．

D．參考答案：C【考點(diǎn)】：雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】：計(jì)算題；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】：設(shè)一漸近線OA的方程為y=x，設(shè)A（m，m），B（n，﹣），由2=，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再由FA⊥OA，斜率之積等于﹣1，求出a2=3b2，代入e==進(jìn)行運(yùn)算．

解：由題意得右焦點(diǎn)F（c，0），設(shè)一漸近線OA的方程為y=x，則另一漸近線OB的方程為y=﹣x，設(shè)A（m，），B（n，﹣），∵2=，∴2（c﹣m，﹣）=（n﹣c，﹣），∴2（c﹣m）=n﹣c，﹣=﹣，∴m=c，n=，∴A（，

）．由FA⊥OA可得，斜率之積等于﹣1，即?=﹣1，∴a2=3b2，∴e===．故選C．【點(diǎn)評】：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．5.若sinx=2sin（x+），則cosxcos（x+）=（）A． B．﹣ C． D．﹣參考答案：B【考點(diǎn)】GI：三角函數(shù)的化簡求值．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡，結(jié)合1的代換，利用弦化切進(jìn)行求解即可．【解答】解：由sinx=2sin（x+），得sinx=2cosx，即tanx=2，則cosxcos（x+）=﹣cosxsinx=﹣=﹣=﹣=﹣，故選：B6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，欲使輸出的S>11，則輸入整數(shù)n的最

小值為

(A)3

(B)4

(C)5

(D)6參考答案：B7.設(shè)為實(shí)系數(shù)三次多項(xiàng)式函數(shù)﹒已知五個(gè)方程式的相異實(shí)根個(gè)數(shù)如下表所述﹕方程式相異實(shí)根的個(gè)數(shù)13311 關(guān)于的極小值﹐試問下列哪一個(gè)選項(xiàng)是正確的（

）

A.

B.

C.

D.﹒參考答案：「方程式的相異實(shí)根數(shù)」等于「函數(shù)與水平線兩圖形的交點(diǎn)數(shù)﹒」

依題意可得兩圖形的略圖有以下兩種情形﹕ (1) 當(dāng)?shù)淖罡叽雾?xiàng)系數(shù)為正時(shí)﹕

(2)當(dāng)?shù)淖罡叽雾?xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí)﹕

因極小值點(diǎn)位于水平線與之間﹐所以其坐標(biāo)（即極小值）的范圍為

﹒

故選(B)﹒8.已知角2α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)（），且2α∈[0，2π），則tanα等于（）A．﹣ B． C．﹣ D．參考答案：B考點(diǎn)： 任意角的三角函數(shù)的定義．

專題： 三角函數(shù)的求值．分析： 根據(jù)題意求出2α=，可得α=，由此求得tanα的值．解答： 解：由角2α的終邊經(jīng)過點(diǎn)（），且2α∈[0，2π），可得2α=，故α=，可得tanα=tan=，故選B．點(diǎn)評： 本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，求出2α=，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．本題從角的角度求解，比較簡練9.、、兩兩垂直；②到三邊的距離相等；③，；④、、與平面所成的角相等；⑤平面、、與平面所成的銳二面角相等；⑥＝＝；⑦，，；⑧，．若在上述8個(gè)序號(hào)中任意取出兩個(gè)作為條件，其中一個(gè)一定能得出為的垂心、另一個(gè)一定能得出為的外心的概率為

（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A略10.在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)M是圓上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線AB的距離的最小值為(

).

A.

B.

C.

D.參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，用表示不超過的最大整數(shù)，如，設(shè)，則數(shù)列的前2n項(xiàng)和為

參考答案：12.已知的展開式中常數(shù)項(xiàng)為-160，那么a=___________參考答案：-213.在△ABC中，∠A=，且=0，點(diǎn)M是△ABC外一點(diǎn)，BM=2CM=2，則AM的最大值與最小值的差為．參考答案：2【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】取邊BC的中點(diǎn)為O，把（+）?=0轉(zhuǎn)化為?=0，得出⊥，△ABC為等邊三角形，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC邊所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示得出AM的解析式，求出它的最大值與最小值即可．【解答】解：取邊BC的中點(diǎn)為O，則=（+），又（+）?=0，∴?=0，∴⊥，∴△ABC為等腰三角形，又∠A=，∴△ABC為等邊三角形，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC邊所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示；并設(shè)BC=2a（＜a＜），點(diǎn)M（x，y）；則A（0，a），B（﹣a，0），C（a，0），又BM=CM=2，所以（x+a）2+y2=4（x﹣a）2+y2=1，所以解方程組得：或，所以當(dāng)時(shí)===，令a2﹣=cosθ，則AM==，所以當(dāng)θ=時(shí)（AM）min=1，同理當(dāng)時(shí)，AM===，所以當(dāng)θ=時(shí)（AM）max=3；綜上可知：AM的取值范圍是[1，3]，AM的最大值與最小值的差是2．故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的數(shù)量積與應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合與邏輯推理以及計(jì)算能力的應(yīng)用問題，是難題．14.數(shù)列{an}滿足，若a1＝34，則數(shù)列{an}的前100項(xiàng)的和是_____．參考答案：450分析：根據(jù)遞推關(guān)系求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，不難發(fā)現(xiàn)項(xiàng)的變化具有周期性，從而得到數(shù)列的前項(xiàng)的和.詳解：∵數(shù)列{an}滿足，∵a1=34，∴a2==17，a3=3a2+1=3×17+1=52，a4==26，a5==13，a6=3a5+1=40，a7==20，a8==10，a9==5，a10=3a9+1=16，a11==8，a12==4，a13==2，a14==1，同理可得：a15=4，a16=2，a17=1，……．可得此數(shù)列從第12項(xiàng)開始為周期數(shù)列，周期為3．則數(shù)列{an}的前100項(xiàng)的和=（a1+a2+……+a11）+a12+a13+29（a14+a15+a16）=（34+17+52+26+13+40+20+10+5+16+8）+4+2+29×（1+4+2）=450．故答案為：450．點(diǎn)睛：本題考查了分段形式的遞推關(guān)系，數(shù)列的周期性.數(shù)列作為特殊的函數(shù)，從函數(shù)角度思考問題，也是解題的一個(gè)角度,比如利用數(shù)列的單調(diào)性、周期性、對稱性、最值等等.15.已知函數(shù)，則的最小值為

.參考答案：16.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2，）到直線ρ（cosθ+sinθ）=6的距離為． 參考答案：1【考點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程． 【專題】坐標(biāo)系和參數(shù)方程． 【分析】化為直角坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式距離公式即可得出． 【解答】解：點(diǎn)P（2，）化為P． 直線ρ（cosθ+sinθ）=6化為． ∴點(diǎn)P到直線的距離d==1． 故答案為：1． 【點(diǎn)評】本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題． 17.設(shè)函數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

個(gè)．參考答案：2個(gè)略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知函數(shù)常數(shù)且.(Ⅰ)證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)；(Ⅱ)若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)證明：且.參考答案：

依題意，．

……1分

令，則.

……2分（Ⅰ）①當(dāng)時(shí)，，，故，所以在不存在零點(diǎn)，則函數(shù)在不存在極值點(diǎn)；………3分②當(dāng)時(shí)，由，故在單調(diào)遞增.又，，所以在有且只有一個(gè)零點(diǎn).

……4分

又注意到在的零點(diǎn)左側(cè)，，在的零點(diǎn)右側(cè)，，所以函數(shù)在有且只有一個(gè)極值點(diǎn).

…………5分綜上知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn).

…………5分（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，（無妨設(shè)），所以，是的兩個(gè)零點(diǎn)，且由（Ⅰ）知，必有.

………6分

令得；令得；令得.

所以在在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

…………7分

又因?yàn)?，所以必?

…………8分令，解得，此時(shí).因?yàn)槭堑膬蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，.

…………9分將代數(shù)式視為以為自變量的函數(shù)，則.

…………10分當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，則在單調(diào)遞增.因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?

…………11分當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，則在單調(diào)遞減，因?yàn)椋?

…………12分

綜上知，且．

…………12分19.已知函數(shù)f（x）=|3x﹣4|．（Ⅰ）記函數(shù)g（x）=f（x）+|x+2|﹣4，在下列坐標(biāo)系中作出函數(shù)g（x）的圖象，并根據(jù)圖象求出函數(shù)g（x）的最小值；（Ⅱ）記不等式f（x）＜5的解集為M，若p，q∈M，且|p+q+pq|＜λ，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)解析式作出函數(shù)g（x）的圖象，并根據(jù)圖象求出函數(shù)g（x）的最小值；（Ⅱ）記不等式f（x）＜5的解集為M，可得p，q∈（﹣，3），若p，q∈M，且|p+q+pq|＜λ，利用絕對值不等式，即可求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)g（x）=f（x）+|x+2|﹣4=|3x﹣4|+|x+2|﹣4，圖象如圖所示，由圖象可得，x=，g（x）有最小值﹣；（Ⅱ）由題意，|3x﹣4|＜5，可得﹣＜x＜3，∴p，q∈（﹣，3），∴|p+q+pq|≤|p|+|q|+|pq|＜3+3+3×3=15，∴λ≥15．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的圖象，考查絕對值不等式的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．20.（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn),直線:,點(diǎn)在直線上移動(dòng),是線段與軸的交點(diǎn),．（I）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（II）設(shè)圓過,且圓心在曲線上,設(shè)圓過,且圓心在曲線上,是圓在軸上截得的弦,當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)弦長是否為定值？請說明理由．參考答案：解：（I）

依題意知,直線的方程為：．……………2分點(diǎn)是線段的中點(diǎn),且⊥,∴是線段的垂直平分線．……………4分∴是點(diǎn)到直線的距離．∵點(diǎn)在線段的垂直平分線,∴．……………6分故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),為準(zhǔn)線的拋物線,其方程為：．……………8分（II）,到軸的距離為,…………9分圓的半徑,…………１0分則,……………１2分由（I）知,所以,是定值．……………１４分略21.（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率為，短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2。（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)A,B是橢圓C上的任意兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且OA⊥OB①求證：原點(diǎn)O到直線AB的距離為定值，并求出該定值；②任取以橢圓C的長軸為直徑的圓上一點(diǎn)P，求面積的最大值參考答案：22.已知函數(shù)g（x）=x2+ln（x+a），其中a為常數(shù)．（1）討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性；（2）若g（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，求證：無論實(shí)數(shù)a取什么值都有．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（1）利用求導(dǎo)法則求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)，把導(dǎo)函數(shù)解析式通分化簡，分4a2﹣8≤0，或4a2﹣8＞0兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)a＞時(shí)，函數(shù)g（x）在（，+∞）或（﹣a，）上單調(diào)遞增，在（，）上單調(diào)遞減；==a2﹣﹣ln2，g（）=g（﹣）=+ln；令f（a）=﹣lna+ln2﹣，從而得證．【解答】解：（1）∵g（x）=x2+ln（x+a），∴函數(shù)的定義域?yàn)椋ī乤，+∞）∴g′（x）=2x+，令2x+＞0，2x2+2ax+1＞0，當(dāng)4a2﹣8≤0時(shí)，即﹣≤a≤時(shí)，g′（x）≥0，即函數(shù)g（x）在（﹣a，+∞）單調(diào)遞增，當(dāng)4a2﹣8＞0時(shí)，即a＞，或a＜﹣時(shí)，令g′（x）=0，解得x=，或x=，①若a＞，當(dāng)g′（x）＞0時(shí)，即x＞，或﹣a＜x＜，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，當(dāng)g′（x）＜0時(shí)，即＜x＜，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，②若a＜﹣，g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）在（﹣a，+∞）單調(diào)遞增，綜上所述：當(dāng)a≤時(shí)，即函數(shù)g（x）在（