【數(shù)學(xué)】離散型隨機(jī)變量測試卷-2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

第1頁（共1頁）離散型隨機(jī)變量一．選擇題（共8小題,每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求。）1．下列X是離散型隨機(jī)變量的是（）①某座大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)X；②在一段時(shí)間間隔內(nèi)某種放射性物質(zhì)放出的α粒子數(shù)η；③一天之內(nèi)的溫度X；④一射手對目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中得0分，用X表示該射手在一次射擊中的得分．A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④2．設(shè)ξ是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為如表，則q＝（）ξ﹣101P2q﹣1qA． B． C． D．3．已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布為X123pi0.30.20.5則下列正確的是（）A．P（1≤X≤3）＝0.5 B．P（1≤X≤3）＝1 C．P（X＝4）＝0 D．P（X＝4）＝0.24．某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的數(shù)學(xué)期望E（ξ）＝8.9，則y的值為（）A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.25．隨機(jī)變量X的分布列如表所示，若E（X）＝，則D（3X﹣2）＝（）X﹣101PabA．9 B．7 C．5 D．36．某班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．從樣本成績不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，記這2人成績在90分以上（含90分）的人數(shù)為ξ，則ξ的數(shù)學(xué)期望為（）A． B． C． D．7．一射手對靶射擊，直到第一次命中為止每次命中的概率為0.6，現(xiàn)有4顆子彈，命中后的剩余子彈數(shù)目ξ的期望為（）A．2.44 B．3.376 C．2.376 D．2.48．若隨機(jī)變量ξ的分布列如表所示，則D（1﹣3ξ）＝（）ξ﹣101Pa2A． B．2 C． D．二．多選題（共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分。）（多選）9．某市有A，B，C，D四個(gè)景點(diǎn)，一位游客來該市游覽，已知該游客游覽A的概率為，游覽B，C，D的概率都是，且該游客是否游覽這四個(gè)景點(diǎn)相互獨(dú)立．用隨機(jī)變量X表示該游客游覽的景點(diǎn)個(gè)數(shù)，則（）A．該游客至多游覽一個(gè)景點(diǎn)的概率為 B． C． D．（多選）10．為弘揚(yáng)我國古代“六藝”文化，某研學(xué)旅行夏令營主辦單位計(jì)劃在暑假開設(shè)“禮、樂、射、御、書、數(shù)”六門體驗(yàn)課程，若甲乙丙三名同學(xué)各只能體驗(yàn)其中一門課程．則（）A．甲乙丙三人選擇課程方案有120種方法 B．恰有三門課程沒有被三名同學(xué)選中的概率為 C．已知甲不選擇課程“御”的條件下，乙丙也不選擇“御”的概率為 D．設(shè)三名同學(xué)選擇課程“禮”的人數(shù)為ξ，則（多選）11．袋子中有2個(gè)黑球，1個(gè)白球，現(xiàn)從袋子中有放回地隨機(jī)取球4次，取到白球記0分，黑球記1分，記4次取球的總分?jǐn)?shù)為X，則（）A．X～B（4，） B． C．X的期望 D．X的方差（多選）12．設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234Pq0.40.10.20.2若離散型隨機(jī)變量Y滿足Y＝2X+1，則下列結(jié)果正確的有（）A．q＝0.1 B．EX＝2，DX＝1.4 C．EX＝2，DX＝1.8 D．EY＝5，DY＝7.2三．填空題（共4小題，每小題5分，共20分。）13．某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如表，已知ξ的期望Eξ＝8.9，則y的值為．ξ78910Px0.10.3y14．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如表．若E（X）＝0，D（X）＝1，則a＝，b＝．X﹣1012Pabc15．一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件數(shù)，則DX＝．16．某班有A，B兩個(gè)學(xué)習(xí)小組，其中A組有2位男生，1位女生，B組有2位男生，2位女生．為了促進(jìn)小組之間的交流，需要從A，B兩組中隨機(jī)各選一位同學(xué)交換，則交換后A組中男生人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為．四．解答題（共6小題，共70分）17．(10分)袋中裝有6個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球．（1）若每次抽取后都不放回，設(shè)取到黑球的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列；（2）若每次抽取后都放回，設(shè)取到黑球的個(gè)數(shù)為Y，求Y的分布列．18．（12分）為落實(shí)“堅(jiān)持五育并舉，全面發(fā)展素質(zhì)教育，強(qiáng)化體育鍛煉”的精神，某高中學(xué)校鼓勵(lì)學(xué)生自發(fā)組織各項(xiàng)體育比賽活動(dòng)．甲、乙兩名同學(xué)利用課余時(shí)間進(jìn)行乒乓球比賽．規(guī)定：每局比賽中獲勝方記1分，失敗方記0分，沒有平局．首先獲得5分者獲勝，比賽結(jié)束．假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率都是．（1）求比賽結(jié)束時(shí)恰好打了6局甲獲勝的概率；（2）若甲以3：1的比分領(lǐng)先，記X表示到結(jié)束比賽時(shí)還需要比賽的局?jǐn)?shù)，求X的分布列．19．（12分）甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽．假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（Ⅰ）求甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率；（Ⅱ）記X為比賽決勝出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）．20．（12分）一個(gè)盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機(jī)抽取50個(gè)作為樣本，稱出它們的重量（單位：克），重量分組區(qū)間為[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到樣本的重量頻率分布直方圖（如圖）．（1）求a的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計(jì)盒子中小球重量的眾數(shù)與平均值；（2）從盒子中有放回的抽取3個(gè)小球，其中重量在[5，15]內(nèi)的小球個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．（以直方圖中的頻率作為概率）21．（12分）某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n（單位：瓶）為多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？22．（12分）某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由．

離散型隨機(jī)變量參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．【解答】解：對于①，X表示某座大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)，X的值可以一一列舉，是離散型隨機(jī)變量，對于②，η在一段時(shí)間間隔內(nèi)某種放射性物質(zhì)放出的α粒子數(shù)，η的值可以一一列舉，是離散型隨機(jī)變量，對于③，X表示一天內(nèi)的溫度，不能一一列舉，不是離散型隨機(jī)變量，對于④，X表示該射手在一次射擊中的得分，X的值為0和1，是離散型隨機(jī)變量，故選：B．2．【解答】解：根據(jù)題意可得+2q﹣1+q＝1，解得q＝，故選：B．3．【解答】解：P（1≤X≤3）＝P（X＝1）+P（X＝2）＝0.2+0.5＝0.7，故A、B錯(cuò)誤；X的可能取值不能為4，所以P（X＝4）＝0，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：C．4．【解答】解：由表格根據(jù)分布列的性質(zhì)可得，可知：x+0.1+0.3+y＝1，因?yàn)镋（ξ）＝8.9，所以7x+8×0.1+9×0.3+10×y＝8.9解得y＝0.4．故選：C．5．【解答】解：∵E（X）＝，∴由隨機(jī)變量X的分布列得：，解得a＝，b＝，∴D（X）＝（﹣1﹣）2×+（0﹣）2×+（1﹣）2×＝．∴D（3X﹣2）＝9D（X）＝9×＝5．故選：C．6．【解答】解：由題意得：（0.006+0.006+0.01+0.054+x+0.006）×10＝1，解得x＝0.018，由題意得[80，90）內(nèi)的人數(shù)為50×0.018×10＝9人，[90，100]內(nèi)的人數(shù)為50×0.006×10＝3人，從樣本成績不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，記這2人成績在90分以上（含90分）的人數(shù)為ξ，則ξ的可能取值為0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，則ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ＝＝．故選：B．7．【解答】解：由題意知ξ＝0，1，2，3，∵當(dāng)ξ＝0時(shí)，表示前三次都沒射中，第四次還要射擊，但結(jié)果不計(jì)，∴P（ξ＝0）＝0.43，∵當(dāng)ξ＝1時(shí)，表示前兩次都沒射中，第三次射中∴P（ξ＝1）＝0.6×0.42，∵當(dāng)ξ＝2時(shí)，表示第一次沒射中，第二次射中∴P（ξ＝2）＝0.6×0.4，∵當(dāng)ξ＝3時(shí)，表示第一次射中，∴P（ξ＝3）＝0.6，∴Eξ＝2.376．故選：C．8．【解答】解：由a++a2＝1，a＞0，化為3a2+a﹣2＝0，a＞0，解得a＝，E（ξ）＝﹣1×+0×+1×＝，∴D（ξ）＝（﹣1）2×+02×+12×﹣＝．∴D（1﹣3ξ）＝（﹣3）2D（ξ）＝9×＝．故選：D．二．多選題（共4小題）9．【解答】解：X的所有可能取值為0，1，2，3，4．A.，P（x＝1）＝×+3××＝，∴該游客至多游覽一個(gè)景點(diǎn)的概率為，故A正確．B．P（X＝2）＝×××+×××＝，故B正確．C.，故C錯(cuò)誤．D．P（X＝3）＝×××+（1﹣）××＝，∴，故D正確．故選：ABD．10．【解答】解：選項(xiàng)A：甲乙丙三人每人都有6中選擇，共有6×6×6＝216種，故A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B：恰有三門課程沒有被三名同學(xué)選中即3名學(xué)生選擇了不同的三門，則概率為P＝，故B正確，選項(xiàng)C：甲不選擇課程“御”的概率為1﹣，甲乙丙同時(shí)不選擇課程“御”的概率為＝，則甲不選擇課程“御”的條件下，乙丙也不選擇“御”的概率為，故C正確，選項(xiàng)D：由于各門機(jī)會(huì)相等，則6E（ξ）＝3，所以E（ξ）＝，故D正確，故選：BCD．11．【解答】解：由于每次取球互不影響，故所有結(jié)果有4類：①4次全是白球，X＝0，記其概率為；②4次只有1次是黑球，X＝1，記其概率為；③4次只有2次是黑球，X＝2，記其概率為；④4次只有3次是黑球，X＝3，記其概率為；⑤4次全是黑球，X＝4，記其概率為．故X～B（4，），故A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)閄～B（4，），所以X的期望，故C正確；因?yàn)閄～B（4，），所以X的方差，故D正確．故選：ACD．12．【解答】解：由離散型隨機(jī)變量X的分布列的性質(zhì)得：q＝1﹣0.4﹣0.1﹣0.2﹣0.2＝0.1，E（X）＝0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2＝2，D（X）＝（0﹣2）2×0.1+（1﹣2）2×0.4+（2﹣2）2×0.1+（3﹣2）2×0.2+（4﹣2）2×0.2＝1.8，∵離散型隨機(jī)變量Y滿足Y＝2X+1，∴E（Y）＝2E（X）+1＝5，D（Y）＝4D（X）＝7.2．故選：ACD．三．填空題（共4小題）13．【解答】解：由表格可知：x+0.1+0.3+y＝1，7x+8×0.1+9×0.3+10×y＝8.9解得y＝0.4．故答案為：0.4．14．【解答】解：由題知，﹣a+c+＝0，，∴，。故答案為：；．15．【解答】解：由題意可知，該事件滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，是一個(gè)二項(xiàng)分布模型，其中，p＝0.02，n＝100，則DX＝npq＝np（1﹣p）＝100×0.02×0.98＝1.96．故答案為：1.96．16．【解答】解：P（B組出男生）＝，P（B組出女生）＝，P（A組出男生）＝，P（A組出女生）＝，兩組各自出的是哪個(gè)人相互獨(dú)立，設(shè)交換后A組中男生X人，則X＝1，2，3，P（X＝1）＝P（A組出男生）?P（B組出女生）＝，P（X＝2）＝P（A組出男生）?P（B組出男生）+P（A組出女生）?P（B組出女生）＝，P（X＝3）＝P（A組出女生）?P（B組出男生）＝，所以．故答案為：．四．解答題（共6小題）17．【解答】解：（1）袋中裝有6個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球．每次抽取后都不放回，設(shè)取到黑球的個(gè)數(shù)為X，由題意可知X的可能取值為0，1，2，3，X～H（13，3，3），，，，，所以，X的分布列為：X0123P（2）每次抽取后都放回，設(shè)取到黑球的個(gè)數(shù)為Y，有放回地抽取3次，可看作3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次抽取到黑球的概率均為，由題意可知Y的可能取值為0，1，2，3，Y～B（3，），，，，，所以Y的分布列為：Y0123P18．【解答】解：（1）比賽結(jié)束時(shí)恰好打了6局，甲獲勝的概率為；（2）X的可能取值為2，3，4，5，則，，，．所以X的分布列如下：X2345P19．【解答】解：用A表示甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的是事件，Ak表示第k局甲獲勝，Bk表示第k局乙獲勝，則P（Ak）＝，P（Bk）＝，k＝1，2，3，4，5（Ⅰ）P（A）＝P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）＝（）2+×（）2+××（）2＝．（Ⅱ）X的可能取值為2，3，4，5．P（X＝2）＝P（A1A2）+P（B1B2）＝，P（X＝3）＝P（B1A2A3）+P（A1B2B3）＝，P（X＝4）＝P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）＝，P（X＝5）＝P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5）+P（B1A2B3A4A5）+P（A1B2A3B4B5）＝＝，或者P（X＝5）＝1﹣P（X＝2）﹣P（X＝3）﹣P（X＝4）＝，故分布列為：X2345PE（X）＝2×+3×+4×+5×＝．20．【解答】解：（1）由題意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10＝1解得a＝0.03；又由最高矩形中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為20，可估計(jì)盒子中小球重量的眾數(shù)約為20，而50個(gè)樣本小球重量的平均值為：＝0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40＝24.6（克）故估計(jì)盒子中小球重量的平均值約為24.6克．（2）利用樣本估計(jì)總體，該盒子中小球的重量在[5，15]內(nèi)的0.2；則X～B（3，），X＝0，1，2，3；P（X＝0）＝×（）3＝；P（X＝1）＝×（）2×＝；P（X＝2）＝×（）×（）2＝；P（X＝3）＝×（）3＝，∴X的分布列為：X0123P即E（X）＝0×＝．21．【解答】解：（1）由題意知X的可能取值為200，300，500，P（X＝200）＝＝0.2，P（X＝300）＝，P（X＝500）＝＝0.4，∴X的分布列為：X200300500P0.20.40.4（2）由題意知這種酸奶一天的需求量至多為500瓶，