【走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)-9-3圓的方程同步練習(xí)-北師大版

3圓的方程基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．若點(diǎn)(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．－1<a<1 B．0<a<1C．a(chǎn)>1或a<－1 D．a(chǎn)＝±1[答案]A[解析]因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在圓的內(nèi)部，∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，∴－1<a<1.2．(2012·長(zhǎng)春模擬)已知點(diǎn)A(1，－1)，B(－1,1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是()A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝eq\r(2)C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4[答案]A[解析]AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為：(0,0)，|AB|＝eq\r([1－－1]2＋－1－12)＝2eq\r(2)，∴圓的方程為：x2＋y2＝2.3．圓(x＋2)2＋y2＝5關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的圓的方程為()A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5[答案]D[解析]由題意知所求圓的圓心坐標(biāo)為(0，－2)，所以所求圓的方程為x2＋(y＋2)2＝5.4．(文)若圓心在x軸上，半徑為eq\r(5)的圓O位于y軸左側(cè)，且與直線x＋2y＝0相切，則圓O的方程是()A．(x－eq\r(5))2＋y2＝5 B．(x＋eq\r(5))2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5[答案]D[解析]考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及點(diǎn)到直線的距離．設(shè)圓心為(a,0)，由題意r＝eq\r(5)＝eq\f(|a|,\r(5))，∴|a|＝5，a<0，∴a＝－5，∴方程為(x＋5)2＋y2＝5.(理)(2012·西安模擬)圓心在y軸上且通過(guò)點(diǎn)(3,1)的圓與x軸相切，則該圓的方程是()A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0[答案]B[解析]設(shè)圓心為(0，b)，半徑為R，則R＝|b|，∴圓的方程為x2＋(y－b)2＝b2，∵點(diǎn)(3,1)在圓上，∴9＋(1－b)2＝b2，解得：b＝5，∴圓的方程為x2＋y2－10y＝0.5．若曲線x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上相異兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線kx＋2y－4＝0對(duì)稱，則k的值為()A．1 B．－1C.eq\f(1,2) D．2[答案]D[解析]由條件知直線kx＋2y－4＝0是線段PQ的中垂線．∴直線過(guò)圓心(－1,3)，∴k＝2.6．已知x2＋y2＋4x－2y－4＝0，則x2＋y2的最大值為()A．9 B．14C．14－6eq\r(5) D．14＋6eq\r(5)[答案]D[解析]方程表示以(－2,1)為圓心，半徑r＝3的圓，令d＝eq\r(x2＋y2)，則d為點(diǎn)(x，y)到(0,0)的距離，∴dmax＝eq\r(－2－02＋1－02)＋r＝eq\r(5)＋3，∴x2＋y2的最大值為(eq\r(5)＋3)2＝14＋6eq\r(5).二、填空題7．已知圓C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a為實(shí)數(shù))上任意一點(diǎn)關(guān)于直線l：x－y＋2＝0的對(duì)稱點(diǎn)都在圓C上，則a＝________.[答案]－2[解析]由條件知，圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(a,2)))在直線l：x－y＋2＝0上，代入得a＝－2.8．已知圓C經(jīng)過(guò)A(5,1)，B(1,3)兩點(diǎn)，圓心在x軸上，則C的方程為_(kāi)_______．[答案](x－2)2＋y2＝10[解析]本題考查了圓的方程的求法，關(guān)鍵是設(shè)出圓心坐標(biāo)．設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,0)，則有：(a－5)2＋12＝(a－1)2＋32，解得：a＝2，半徑r＝eq\r(2－52＋12)＝eq\r(10)，故圓的方程為(x－2)2＋y2＝10.三、解答題9．求過(guò)直線2x＋y＋4＝0和圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交點(diǎn)且面積最小的圓的方程．[解析](1)過(guò)直線和圓的交點(diǎn)的圓的方程可用圓系方程處理．(2)利用函數(shù)的思想進(jìn)行思考．解法1：令過(guò)直線2x＋y＋4＝0和圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0交點(diǎn)的圓系方程為：x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y＋4)＝0，即x2＋y2＋2(1＋λ)x－(4－λ)y＋1＋4λ＝0.r＝eq\f(1,2)eq\r(41＋λ2＋4－λ2－41＋4λ)＝eq\f(1,2)eq\r(5λ－\f(8,5)2＋\f(16,5)).當(dāng)λ＝eq\f(8,5)時(shí)，rmin＝eq\f(2,\r(5))，所求方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(13,5)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(6,5)))2＝eq\f(4,5).解法2：因直線和圓固定，直線被已知圓截得的弦長(zhǎng)固定，所以圓的圓心到已知直線距離最小時(shí)所求圓的半徑最?。藭r(shí)圓面積最小，所以當(dāng)所求圓的圓心在直線2x＋y＋4＝0上時(shí)，圓的半徑最小．令動(dòng)圓的方程為：x2＋y2＋2(1＋λ)x－(4－λ)y＋1＋4λ＝0，圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋λ，\f(4－λ,2)))，代入2x＋y＋4＝0，－2(1＋λ)＋eq\f(4－λ,2)＋4＝0，λ＝eq\f(8,5).代入動(dòng)圓的方程得x2＋y2＋eq\f(26,5)x－eq\f(12,5)y＋eq\f(37,5)＝0.解法3：因?yàn)橥ㄟ^(guò)兩個(gè)定點(diǎn)的動(dòng)圓中，面積最小的是以此二定點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓，于是解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋4＝0，,x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，))得交點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,5)，\f(2,5)))，B(－3,2)．利用圓的直徑式方程得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(11,5)))(x＋3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(2,5)))(y－2)＝0，化簡(jiǎn)整理得，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(13,5)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(6,5)))2＝eq\f(4,5).能力提升一、選擇題1．若圓(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x－3y－2＝0的距離為1，則半徑r的取值范圍是()A．(4,6) B．[4,6)C．(4,6] D．[4,6][答案]A[解析]因?yàn)閳A心(3，－5)到直線4x－3y－2＝0的距離為5，所以當(dāng)半徑r＝4時(shí)，圓上有1個(gè)點(diǎn)到直線4x－3y－2＝0的距離等于1，當(dāng)半徑r＝6時(shí)，圓上有3個(gè)點(diǎn)到直線4x－3y－2＝0的距離等于1，所以圓上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x－3y－2＝0的距離等于1時(shí)，4<r<6.2．已知直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝1相交于P、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若eq\o(OP,\s\up15(→))·eq\o(OQ,\s\up15(→))＝－eq\f(1,2)，則k的值為()A．±eq\r(3) B．±1C．±eq\r(2) D．－eq\r(3)[答案]A[解析]直線y＝kx＋1過(guò)定點(diǎn)(0,1)，可以將直線方程代入圓的方程，求出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式列出方程解決．設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，聯(lián)立兩個(gè)方程得x2＋(kx＋1)2＝1，即(1＋k2)x2＋2kx＝0，解得x1＝0，x2＝－eq\f(2k,1＋k2)，則y1＝1，y2＝k(－eq\f(2k,1＋k2))＋1＝eq\f(1－k2,1＋k2)，故eq\o(OP,\s\up15(→))·eq\o(OQ,\s\up15(→))＝x1x2＋y1y2＝0×(－eq\f(2k,1＋k2))＋1×eq\f(1－k2,1＋k2)＝eq\f(1－k2,1＋k2)＝－eq\f(1,2)，即k2＝3，故k＝±eq\r(3).二、填空題3．(2012·重慶三校聯(lián)考)已知A，B是圓O：x2＋y2＝16上的兩點(diǎn)，且|AB|＝6，若以AB的長(zhǎng)為直徑的圓M恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(1，－1)，則圓心M的軌跡方程是______________________________________．[答案](x－1)2＋(y＋1)2＝9[解析]設(shè)圓心坐標(biāo)為M(x，y)，則(x－1)2＋(y＋1)2＝(eq\f(|AB|,2))2，即為(x－1)2＋(y＋1)2＝9.4．(2012·江南十校聯(lián)考)已知圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圓心在直線x＋y＝0上，則圓C的方程為_(kāi)_______．[答案](x－1)2＋(y＋1)2＝2[解析]設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，－a)，因?yàn)閮蓷l直線x－y＝0與x－y－4＝0平行，故它們之間的距離就等于直徑，所以2r＝eq\f(4,\r(2))＝2eq\r(2)，且r＝eq\f(|2a－4|,\r(2))＝eq\r(2)，解得a＝1或a＝3(舍去)，故圓心為(1，－1)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.三、解答題5．根據(jù)下列條件，求圓的方程.(1)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)P(1,1)，并且圓心在直線2x＋3y＋1＝0上.(2)過(guò)P(4，－2)、Q(－1,3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長(zhǎng)為4eq\r(3).[解析](1)顯然，所求圓的圓心在OP的垂直平分線上，OP的垂直平分線方程為：eq\r(x2＋y2)＝eq\r(x－12＋y－12)，即x＋y－1＝0.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0,2x＋3y＋1＝0))，得圓心C的坐標(biāo)為(4，－3)．又圓的半徑r＝|OC|＝5，∴所求圓的方程為(x－4)2＋(y＋3)2＝25.(2)設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.①將P、Q點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入①得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4D－2E＋F＝－20，②,D－3E－F＝10③))令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0.④由已知|y1－y2|＝4eq\r(3)，其中y1、y2是方程④的兩根．∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.解②、③、⑤組成的方程組，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝0，,F＝－12，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－10，,E＝－8，,F＝4.))故所求圓的方程為x2＋y2－2x－12＝0，或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓心在第二象限，半徑為2eq\r(2)的圓C與直線y＝x相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O.(1)求圓C的方程；(2)試探求C上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使Q到定點(diǎn)F(4,0)的距離等于線段OF的長(zhǎng)．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．[解析](1)設(shè)圓C的圓心為C(a，b)，則圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝8，∵直線y＝x與圓C相切于原點(diǎn)O.∴O點(diǎn)在圓C上，且OC垂直于直線y＝x，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝8,\f(b,a)＝－1))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2,b＝2.))由于點(diǎn)C(a，b)在第二象限，故a<0，b>0.∴圓C的方程為(x＋2)2＋(y－2)2＝8.(2)假設(shè)存在點(diǎn)Q符合要求，設(shè)Q(x，y)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－42＋y2＝16，,x＋22＋y－22＝8.))解之得x＝eq\f(4,5)或x＝0(舍去)．所以存在點(diǎn)Q(eq\f(4,5)，eq\f(12,5))，使Q到定點(diǎn)F(4,0)的距離等于線段OF的長(zhǎng)．7．設(shè)平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)二次函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的圖像與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C.求：(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)求圓C的方程；(3)問(wèn)圓C是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)(其坐標(biāo)與b無(wú)關(guān))？請(qǐng)證明你的結(jié)論．[分析]本小題考查二次函數(shù)圖像與性質(zhì)、圓的方程的求法．[解析](1)令x＝0，得拋物線與y軸交點(diǎn)是(0，b)；令f