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文檔簡(jiǎn)介
山東省濟(jì)南市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2024年高考考前模擬數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě),字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)在上為增函數(shù),則的值可以是()A.0 B. C. D.2.祖暅原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異”.意思是說(shuō):兩個(gè)同高的幾何體,如在等高處的截面積恒相等,則體積相等.設(shè)、為兩個(gè)同高的幾何體,、的體積不相等,、在等高處的截面積不恒相等.根據(jù)祖暅原理可知,是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為()A. B. C. D.4.已知滿足,,,則在上的投影為()A. B. C. D.25.已知棱錐的三視圖如圖所示,其中俯視圖是等腰直角三角形,則該三棱錐的四個(gè)面中,最大面積為()A. B. C. D.6.已知,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有最值,給出下列四個(gè)結(jié)論:①在上單調(diào)遞增;②③在上沒(méi)有零點(diǎn);④在上只有一個(gè)零點(diǎn).其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()A.②④ B.①③ C.②③ D.①②④7.一小商販準(zhǔn)備用元錢(qián)在一批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種小商品,甲每件進(jìn)價(jià)元,乙每件進(jìn)價(jià)元,甲商品每賣(mài)出去件可賺元,乙商品每賣(mài)出去件可賺元.該商販若想獲取最大收益,則購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別為()A.甲件,乙件 B.甲件,乙件 C.甲件,乙件 D.甲件,乙件8.如圖,四面體中,面和面都是等腰直角三角形,,,且二面角的大小為,若四面體的頂點(diǎn)都在球上,則球的表面積為()A. B. C. D.9.下列說(shuō)法正確的是()A.“若,則”的否命題是“若,則”B.“若,則”的逆命題為真命題C.,使成立D.“若,則”是真命題10.在棱長(zhǎng)均相等的正三棱柱中,為的中點(diǎn),在上,且,則下述結(jié)論:①;②;③平面平面:④異面直線與所成角為其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.411.若干年前,某教師剛退休的月退休金為6000元,月退休金各種用途占比統(tǒng)計(jì)圖如下面的條形圖.該教師退休后加強(qiáng)了體育鍛煉,目前月退休金的各種用途占比統(tǒng)計(jì)圖如下面的折線圖.已知目前的月就醫(yī)費(fèi)比剛退休時(shí)少100元,則目前該教師的月退休金為().A.6500元 B.7000元 C.7500元 D.8000元12.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù),且滿足,當(dāng)時(shí),,則函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A.9 B.10 C.18 D.20二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),令,,若,表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù),記數(shù)列的前項(xiàng)和為,則_________14.設(shè)是定義在上的函數(shù),且,對(duì)任意,若經(jīng)過(guò)點(diǎn)的一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)為,且互不相等,則稱為關(guān)于函數(shù)的平均數(shù),記為.當(dāng)_________時(shí),為的幾何平均數(shù).(只需寫(xiě)出一個(gè)符合要求的函數(shù)即可)15.展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_______.16.過(guò)且斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn),為的焦點(diǎn)若的面積等于的面積的2倍,則的值為_(kāi)__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為.(1)寫(xiě)出圓C的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),,求的值.18.(12分)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足bcosA﹣asinB=1.(1)求A;(2)已知a=2,B=,求△ABC的面積.19.(12分)已知,,且.(1)求的最小值;(2)證明:.20.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是直角梯形且∥,側(cè)面為等邊三角形,且平面平面.(1)求平面與平面所成的銳二面角的大?。唬?)若,且直線與平面所成角為,求的值.21.(12分)已知函數(shù).(1)討論函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)證明.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),直線與曲線相交于,,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
依次將選項(xiàng)中的代入,結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的圖象即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí),在上不單調(diào),故A不正確;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,故B不正確;當(dāng)時(shí),在上不單調(diào),故C不正確;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,故D正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性,涉及到誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,是一道容易題.2、A【解析】
由題意分別判斷命題的充分性與必要性,可得答案.【詳解】解:由題意,若、的體積不相等,則、在等高處的截面積不恒相等,充分性成立;反之,、在等高處的截面積不恒相等,但、的體積可能相等,例如是一個(gè)正放的正四面體,一個(gè)倒放的正四面體,必要性不成立,所以是的充分不必要條件,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判定,意在考查學(xué)生的邏輯推理能力.3、D【解析】
直接相乘,得,由共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果【詳解】∵∴其共軛復(fù)數(shù)為.故選:D【點(diǎn)睛】熟悉復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì).4、A【解析】
根據(jù)向量投影的定義,即可求解.【詳解】在上的投影為.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查向量的投影,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
由三視圖可知,該三棱錐如圖,其中底面是等腰直角三角形,平面,結(jié)合三視圖求出每個(gè)面的面積即可.【詳解】由三視圖可知,該三棱錐如圖所示:其中底面是等腰直角三角形,平面,由三視圖知,因?yàn)?,所以,所以,因?yàn)闉榈冗吶切危?所以該三棱錐的四個(gè)面中,最大面積為.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原幾何體并求其面積;考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力;三視圖正確還原幾何體是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.6、A【解析】
先根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有最值求出或.再根據(jù)已知求出,判斷函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)情況得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有最值.所以,或解得或.又,所以.令.可得.且在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),,且,所以在上只有一個(gè)零點(diǎn).所以正確結(jié)論的編號(hào)②④故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.7、D【解析】
由題意列出約束條件和目標(biāo)函數(shù),數(shù)形結(jié)合即可解決.【詳解】設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別,利潤(rùn)為元,由題意,畫(huà)出可行域如圖所示,顯然當(dāng)經(jīng)過(guò)時(shí),最大.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查線性目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題,解決此類(lèi)問(wèn)題要注意判斷,是否是整數(shù),是否是非負(fù)數(shù),并準(zhǔn)確的畫(huà)出可行域,本題是一道基礎(chǔ)題.8、B【解析】
分別取、的中點(diǎn)、,連接、、,利用二面角的定義轉(zhuǎn)化二面角的平面角為,然后分別過(guò)點(diǎn)作平面的垂線與過(guò)點(diǎn)作平面的垂線交于點(diǎn),在中計(jì)算出,再利用勾股定理計(jì)算出,即可得出球的半徑,最后利用球體的表面積公式可得出答案.【詳解】如下圖所示,分別取、的中點(diǎn)、,連接、、,由于是以為直角等腰直角三角形,為的中點(diǎn),,,且、分別為、的中點(diǎn),所以,,所以,,所以二面角的平面角為,,則,且,所以,,,是以為直角的等腰直角三角形,所以,的外心為點(diǎn),同理可知,的外心為點(diǎn),分別過(guò)點(diǎn)作平面的垂線與過(guò)點(diǎn)作平面的垂線交于點(diǎn),則點(diǎn)在平面內(nèi),如下圖所示,由圖形可知,,在中,,,所以,,所以,球的半徑為,因此,球的表面積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查球體的表面積,考查二面角的定義,解決本題的關(guān)鍵在于找出球心的位置,同時(shí)考查了計(jì)算能力,屬于中等題.9、D【解析】選項(xiàng)A,否命題為“若,則”,故A不正確.選項(xiàng)B,逆命題為“若,則”,為假命題,故B不正確.選項(xiàng)C,由題意知對(duì),都有,故C不正確.選項(xiàng)D,命題的逆否命題“若,則”為真命題,故“若,則”是真命題,所以D正確.選D.10、B【解析】
設(shè)出棱長(zhǎng),通過(guò)直線與直線的垂直判斷直線與直線的平行,推出①的正誤;判斷是的中點(diǎn)推出②正的誤;利用直線與平面垂直推出平面與平面垂直推出③正的誤;建立空間直角坐標(biāo)系求出異面直線與所成角判斷④的正誤.【詳解】解:不妨設(shè)棱長(zhǎng)為:2,對(duì)于①連結(jié),則,即與不垂直,又,①不正確;對(duì)于②,連結(jié),,在中,,而,是的中點(diǎn),所以,②正確;對(duì)于③由②可知,在中,,連結(jié),易知,而在中,,,即,又,面,平面平面,③正確;以為坐標(biāo)原點(diǎn),平面上過(guò)點(diǎn)垂直于的直線為軸,所在的直線為軸,所在的直線為軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系;,,,,,;,;異面直線與所成角為,,故.④不正確.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假的判斷,棱錐的結(jié)構(gòu)特征,直線與平面垂直,直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查空間想象能力以及邏輯推理能力.11、D【解析】
設(shè)目前該教師的退休金為x元,利用條形圖和折線圖列出方程,求出結(jié)果即可.【詳解】設(shè)目前該教師的退休金為x元,則由題意得:6000×15%﹣x×10%=1.解得x=2.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查由條形圖和折線圖等基礎(chǔ)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
由已知可得函數(shù)f(x)的周期與對(duì)稱軸,函數(shù)F(x)=f(x)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)f(x)與g(x)圖象在上交點(diǎn)的個(gè)數(shù),作出函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如圖,數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】函數(shù)F(x)=f(x)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)f(x)與g(x)圖象在上交點(diǎn)的個(gè)數(shù),由f(x)=f(2﹣x),得函數(shù)f(x)圖象關(guān)于x=1對(duì)稱,∵f(x)為偶函數(shù),取x=x+2,可得f(x+2)=f(﹣x)=f(x),得函數(shù)周期為2.又∵當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x,且f(x)為偶函數(shù),∴當(dāng)x∈[﹣1,0]時(shí),f(x)=﹣x,g(x),作出函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如圖:由圖可知,兩函數(shù)圖象共10個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)F(x)=f(x)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為10.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、4【解析】
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,結(jié)合數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,求得,,,進(jìn)而得到,再利用放縮法和取整函數(shù)的定義,即可求解.【詳解】由題意,函數(shù),且,,可得,,又由,可得為常數(shù)列,且,數(shù)列表示首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列,所以,其中數(shù)列滿足,所以,所以,又由,可得數(shù)列的前n項(xiàng)和為,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,所以數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足,所以,即,又由表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù),所以.故答案為:4.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,累加法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式,以及裂項(xiàng)法求數(shù)列的和的綜合應(yīng)用,著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力,屬于中檔試題.14、【解析】
由定義可知三點(diǎn)共線,即,通過(guò)整理可得,繼而可求出正確答案.【詳解】解:根據(jù)題意,由定義可知:三點(diǎn)共線.故可得:,即,整理得:,故可以選擇等.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)的斜率公式,考查了推理能力,考查了運(yùn)算能力.本題關(guān)鍵是分析出三點(diǎn)共線.15、30【解析】
先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的系數(shù)問(wèn)題,利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出展開(kāi)式的第項(xiàng),令的指數(shù)分別等于2,4,求出特定項(xiàng)的系數(shù).【詳解】由題可得:展開(kāi)式中的系數(shù)等于二項(xiàng)式展開(kāi)式中的指數(shù)為2和4時(shí)的系數(shù)之和,由于二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為,令,得展開(kāi)式的的系數(shù)為,令,得展開(kāi)式的的系數(shù)為,所以展開(kāi)式中的系數(shù),故答案為30.【點(diǎn)睛】本題考查利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)的問(wèn)題,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題.16、2【解析】
聯(lián)立直線與拋物線的方程,根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及面積關(guān)系求解即可.【詳解】如圖,設(shè),由,則,由可得,由,則,所以,得.故答案為:2【點(diǎn)睛】此題考查了拋物線的性質(zhì),屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)20【解析】
(1)利用即可得到答案;(2)利用直線參數(shù)方程的幾何意義,.【詳解】解:(1)由,得圓C的直角坐標(biāo)方程為,即.(2)將直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程,得,即,設(shè)兩交點(diǎn)A,B所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,,從而,則.【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程與普通方程的互化、直線參數(shù)方程的幾何意義等知識(shí),考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道容易題.18、(1);(2).【解析】
(1)由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得sinBcosA﹣sinAsinB=1,結(jié)合sinB>1,可求tanA=,結(jié)合范圍A∈(1,π),可得A的值;(2)由已知可求C=,可求b的值,根據(jù)三角形的面積公式即可計(jì)算得解.【詳解】(1)∵bcosA﹣asinB=1.∴由正弦定理可得:sinBcosA﹣sinAsinB=1,∵sinB>1,∴cosA=sinA,∴tanA=,∵A∈(1,π),∴A=;(2)∵a=2,B=,A=,∴C=,根據(jù)正弦定理得到∴b=6,∴S△ABC=ab==6.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理,三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.19、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)利用基本不等式即可求得最小值;(2)關(guān)鍵是配湊系數(shù),進(jìn)而利用基本不等式得證.【詳解】(1),當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取等號(hào),故的最小值為;(2),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),此時(shí).故.【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.20、(1);(2).【解析】
(1)分別取的中點(diǎn)為,易得兩兩垂直,以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,易得為平面的法向量,只需求出平面的法向量為,再利用計(jì)算即可;(2)求出,利用計(jì)算即可.【詳解】(1)分別取的中點(diǎn)為,連結(jié).因?yàn)椤?,所以?因?yàn)?,所?因?yàn)閭?cè)面為等邊三角形,所以又因?yàn)槠矫嫫矫?,平面平面,平面,所以平面,所以兩兩垂?以為空間坐標(biāo)系的原點(diǎn),分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)?,則,,.設(shè)平面的法向量為,則,即.取,則,所以.又為平面的法向量,設(shè)平面與平面所成的銳二面角的大小為,則,所以平面與平面所成的銳二面角的大小為.(2)由(1)得,平面的法向量為,所以成.又直線與平面所成角為,所以,即,即,化簡(jiǎn)得,所以,符合題意.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量坐標(biāo)法求面
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