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文檔簡介
上海市金陵中學2024年高三第二次模擬考試數(shù)學試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內,不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內,第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知定義在上的奇函數(shù)滿足:(其中),且在區(qū)間上是減函數(shù),令,,,則,,的大小關系(用不等號連接)為()A. B.C. D.2.公元263年左右,我國數(shù)學家劉徽發(fā)現(xiàn)當圓內接正多邊形的邊數(shù)無限增加時,多邊形面積可無限逼近圓的面積,并創(chuàng)立了“割圓術”,利用“割圓術”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值,這就是著名的“徽率”。如圖是利用劉徽的“割圓術”思想設計的一個程序框圖,則輸出的值為()(參考數(shù)據(jù):)A.48 B.36 C.24 D.123.若執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的值是()A. B. C. D.44.已知全集為,集合,則()A. B. C. D.5.已知全集,集合,,則陰影部分表示的集合是()A. B. C. D.6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖后,輸出的值為5,則的取值范圍是().A. B. C. D.7.已知隨機變量服從正態(tài)分布,且,則()A. B. C. D.8.如圖,棱長為的正方體中,為線段的中點,分別為線段和棱上任意一點,則的最小值為()A. B. C. D.9.在中,,,,若,則實數(shù)()A. B. C. D.10.已知集合,,則A. B.C. D.11.若復數(shù)滿足,則()A. B. C.2 D.12.已知非零向量,滿足,,則與的夾角為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.根據(jù)如圖所示的偽代碼,若輸出的的值為,則輸入的的值為_______.14.設數(shù)列的前項和為,且對任意正整數(shù),都有,則___15.在中,,,則_________.16.已知向量=(1,2),=(-3,1),則=______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某調查機構為了了解某產品年產量x(噸)對價格y(千克/噸)和利潤z的影響,對近五年該產品的年產量和價格統(tǒng)計如下表:x12345y17.016.515.513.812.2(1)求y關于x的線性回歸方程;(2)若每噸該產品的成本為12千元,假設該產品可全部賣出,預測當年產量為多少時,年利潤w取到最大值?參考公式:18.(12分)已知函數(shù),.(1)求曲線在點處的切線方程;(2)求函數(shù)的極小值;(3)求函數(shù)的零點個數(shù).19.(12分)已知數(shù)列滿足:,,且對任意的都有,(Ⅰ)證明:對任意,都有;(Ⅱ)證明:對任意,都有;(Ⅲ)證明:.20.(12分)過點作傾斜角為的直線與曲線(為參數(shù))相交于M、N兩點.(1)寫出曲線C的一般方程;(2)求的最小值.21.(12分)設函數(shù)()的最小值為.(1)求的值;(2)若,,為正實數(shù),且,證明:.22.(10分)記拋物線的焦點為,點在拋物線上,且直線的斜率為1,當直線過點時,.(1)求拋物線的方程;(2)若,直線與交于點,,求直線的斜率.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】因為,所以,即周期為4,因為為奇函數(shù),所以可作一個周期[-2e,2e]示意圖,如圖在(0,1)單調遞增,因為,因此,選A.點睛:函數(shù)對稱性代數(shù)表示(1)函數(shù)為奇函數(shù),函數(shù)為偶函數(shù)(定義域關于原點對稱);(2)函數(shù)關于點對稱,函數(shù)關于直線對稱,(3)函數(shù)周期為T,則2、C【解析】
由開始,按照框圖,依次求出s,進行判斷?!驹斀狻?,故選C.【點睛】框圖問題,依據(jù)框圖結構,依次準確求出數(shù)值,進行判斷,是解題關鍵。3、D【解析】
模擬程序運行,觀察變量值的變化,得出的變化以4為周期出現(xiàn),由此可得結論.【詳解】;如此循環(huán)下去,當時,,此時不滿足,循環(huán)結束,輸出的值是4.故選:D.【點睛】本題考查程序框圖,考查循環(huán)結構.解題時模擬程序運行,觀察變量值的變化,確定程序功能,可得結論.4、D【解析】
對于集合,求得函數(shù)的定義域,再求得補集;對于集合,解得一元二次不等式,再由交集的定義求解即可.【詳解】,,.故選:D【點睛】本題考查集合的補集、交集運算,考查具體函數(shù)的定義域,考查解一元二次不等式.5、D【解析】
先求出集合N的補集,再求出集合M與的交集,即為所求陰影部分表示的集合.【詳解】由,,可得或,又所以.故選:D.【點睛】本題考查了韋恩圖表示集合,集合的交集和補集的運算,屬于基礎題.6、C【解析】
框圖的功能是求等比數(shù)列的和,直到和不滿足給定的值時,退出循環(huán),輸出n.【詳解】第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):;第四次循環(huán):;此時滿足輸出結果,故.故選:C.【點睛】本題考查程序框圖的應用,建議數(shù)據(jù)比較小時,可以一步一步的書寫,防止錯誤,是一道容易題.7、C【解析】
根據(jù)在關于對稱的區(qū)間上概率相等的性質求解.【詳解】,,,.故選:C.【點睛】本題考查正態(tài)分布的應用.掌握正態(tài)曲線的性質是解題基礎.隨機變量服從正態(tài)分布,則.8、D【解析】
取中點,過作面,可得為等腰直角三角形,由,可得,當時,最小,由,故,即可求解.【詳解】取中點,過作面,如圖:則,故,而對固定的點,當時,最小.此時由面,可知為等腰直角三角形,,故.故選:D【點睛】本題考查了空間幾何體中的線面垂直、考查了學生的空間想象能力,屬于中檔題.9、D【解析】
將、用、表示,再代入中計算即可.【詳解】由,知為的重心,所以,又,所以,,所以,.故選:D【點睛】本題考查平面向量基本定理的應用,涉及到向量的線性運算,是一道中檔題.10、D【解析】
因為,,所以,,故選D.11、D【解析】
把已知等式變形,利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,再由復數(shù)模的計算公式計算.【詳解】解:由題意知,,,∴,故選:D.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復數(shù)模的求法.12、B【解析】
由平面向量垂直的數(shù)量積關系化簡,即可由平面向量數(shù)量積定義求得與的夾角.【詳解】根據(jù)平面向量數(shù)量積的垂直關系可得,,所以,即,由平面向量數(shù)量積定義可得,所以,而,即與的夾角為.故選:B【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的運算,平面向量夾角的求法,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
算法的功能是求的值,根據(jù)輸出的值,分別求出當時和當時的值即可得解.【詳解】解:由程序語句知:算法的功能是求的值,當時,,可得:,或(舍去);當時,,可得:(舍去).綜上的值為:.故答案為:.【點睛】本題考查了選擇結構的程序語句,根據(jù)語句判斷算法的功能是解題的關鍵,屬于基礎題.14、【解析】
利用行列式定義,得到與的關系,賦值,即可求出結果?!驹斀狻坑桑?,得,解得?!军c睛】本題主要考查行列式定義的應用。15、【解析】
先由題意得:,再利用向量數(shù)量積的幾何意義得,可得結果.【詳解】由知:,則在方向的投影為,由向量數(shù)量積的幾何意義得:,∴故答案為【點睛】本題考查了投影的應用,考查了數(shù)量積的幾何意義及向量的模的運算,屬于基礎題.16、-6【解析】
由可求,然后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示可求.【詳解】∵=(1,2),=(-3,1),∴=(-4,-1),則=1×(-4)+2×(-1)=-6故答案為-6【點睛】本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標表示,屬于基礎試題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)當時,年利潤最大.【解析】
(1)方法一:令,先求得關于的回歸直線方程,由此求得關于的回歸直線方程.方法二:根據(jù)回歸直線方程計算公式,計算出回歸直線方程.方法一的好處在計算的數(shù)值較小.(2)求得w的表達式,根據(jù)二次函數(shù)的性質作出預測.【詳解】(1)方法一:取,則得與的數(shù)據(jù)關系如下123457.06.55.53.82.2,,,.,,關于的線性回歸方程是即,故關于的線性回歸方程是.方法二:因為,,,,,所以,故關于的線性回歸方程是,(2)年利潤,根據(jù)二次函數(shù)的性質可知:當時,年利潤最大.【點睛】本小題主要考查回歸直線方程的求法,考查利用回歸直線方程進行預測,考查運算求解能力,屬于中檔題.18、(1);(2)極小值;(3)函數(shù)的零點個數(shù)為.【解析】
(1)求出和的值,利用點斜式可得出所求切線的方程;(2)利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性,進而可得出該函數(shù)的極小值;(3)由當時,以及,結合函數(shù)在區(qū)間上的單調性可得出函數(shù)的零點個數(shù).【詳解】(1)因為,所以.所以,.所以曲線在點處的切線為;(2)因為,令,得或.列表如下:0極大值極小值所以,函數(shù)的單調遞增區(qū)間為和,單調遞減區(qū)間為,所以,當時,函數(shù)有極小值;(3)當時,,且.由(2)可知,函數(shù)在上單調遞增,所以函數(shù)的零點個數(shù)為.【點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的切線方程、極值以及利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.19、(1)見解析(2)見解析(3)見解析【解析】分析:(1)用反證法證明,注意應用題中所給的條件,有效利用,再者就是注意應用反證法證題的步驟;(2)將式子進行相應的代換,結合不等式的性質證得結果;(3)結合題中的條件,應用反證法求得結果.詳解:證明:(Ⅰ)證明:采用反證法,若不成立,則若,則,與任意的都有矛盾;若,則有,則與任意的都有矛盾;故對任意,都有成立;(Ⅱ)由得,則,由(Ⅰ)知,,即對任意,都有;.(Ⅲ)由(Ⅱ)得:,由(Ⅰ)知,,∴,∴,即,若,則,取時,有,與矛盾.則.得證.點睛:該題考查的是有關命題的證明問題,在證題的過程中,注意對題中的條件的等價轉化,注意對式子的等價變形,以及證題的思路,要掌握證明問題的方法,尤其是反證法的證題思路以及證明步驟.20、(1);(2).【解析】
(1)將曲線的參數(shù)方程消參得到普通方程;(2)寫出直線MN的參數(shù)方程,將參數(shù)方程代入曲線方程,并將其化為一個關于的一元二次方程,根據(jù),結合韋達定理和余弦函數(shù)的性質,即可求出的最小值.【詳解】(1)由曲線C的參數(shù)方程(是參數(shù)),可得,即曲線C的一般方程為.(2)直線MN的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),將直線MN的參數(shù)方程代入曲線,得,整理得,設M,N對應的對數(shù)分別為,,則,當時,取得最小值為.【點睛】該題考查的是有關參數(shù)方程的問題,涉及到的知識點有參數(shù)方程向普通方程的轉化,直線的參數(shù)方程的應用,屬于簡單題目.21、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)分類討論,去絕對值求出函數(shù)的解析式,根據(jù)一次函數(shù)的性質,得出的單調性,得出取最小值,即可求的值;(2)由(1)得出,利用“乘1法”,令,化簡后利用基本不等式求出的最小值,即可證出.【詳解】(1)解:當時,單調遞減;當時,單調遞增.所以當時,取最小值.(2)證明:由(1)可知.要證明:,即證,因為,,為正實數(shù),所以.當且僅當,即,,時取等號,所以.【點睛】本題考查絕對值不等式和基本不等式的應用,還運用“乘1法”和分類討論思想,屬于中檔題.22、(1)(2)0【解析】
(1)根據(jù)題意,設直線,與聯(lián)立,得,再由弦長公式,求解.(2)設,根據(jù)直線的斜率為1,則,得到,再由,所以線段中點的縱坐
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