2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)試題試卷歷年真題及答案解析

2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)甲卷）

理科數(shù)學(xué)

一、選擇題

1設(shè)集合A={x|x=3k+1,左￡Z},B={%|x=3k+2,左wZ},0為整數(shù)集，為（4與）=

A.{x\x-3k,kGZ}B.{x\x=3k—l,kGZ}

C.{x|x=3k-2,keZ]D.0

2.若復(fù)數(shù)(a+i)(l-ai)=2,aeR,則。=(

3.執(zhí)行下面的程序框遇，輸出的5=（

（開(kāi)始）

n=n+1

/輸出B/

4.向量同=忸|=1,卜|=0,且a+/>+c=o，貝！lcos〈a—c,〃一2〉=()

5.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{%}中，q=1,S〃為{叫前〃項(xiàng)和，S5=5S3-4,則$4=（）

6.有50人報(bào)名足球俱樂(lè)部，60人報(bào)名乒乓球俱樂(lè)部，70人報(bào)名足球或乒乓球俱樂(lè)部，若已知某人報(bào)足球

俱樂(lè)部，則其報(bào)乒乓球俱樂(lè)部概率為（）

A.0.8

1

7.44sin2?+sin2p=1sintz+cos=055（）

A.充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件

C.充要條件D.既不是充分條件也不是必要條件

22

8.已知雙曲線(xiàn)二-斗=1（。>0/>0）的離心率為石，其中一條漸近線(xiàn)與圓（X—2）2+（y—3/=1交于A,

ab

B兩點(diǎn),則|AB|=（）

A1R迷「2君n475

5555

9.有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連

續(xù)參加兩天服務(wù)選擇種數(shù)為（）

A.120B.60C.40D.30

10.己知/（尤）為函數(shù)y=c（42x+g]向左平移四個(gè)單位所得函數(shù)，則丁=/（力與丁=!?！慕稽c(diǎn)個(gè)

I6J622

數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

11.在四棱錐尸一ABCD中，底面ABCD為正方形，A5=4,PC=PD=3,NPC4=45°,貝U,PBC的面

積為（）

A.2A/2B.3亞C.4&D.50

22§

12.己知橢圓=耳，工為兩個(gè)焦點(diǎn)，。為原點(diǎn)，尸為橢圓上一點(diǎn)，cosN《Pg=《，貝U|PO|=

（）

A2R同r3n735

5252

二、填空題

13.若y=（x-l）2+ax+sin[x+]]為偶函數(shù)，則。=.

-2x+3y<3

14.設(shè)尤，y滿(mǎn)足約束條件（3x-2y?3,設(shè)z=3x+2y,則z的最大值為.

x+y>l

15.在正方體ABC。-44GR中，E,尸分別為CDA用的中點(diǎn)，則以EF為直徑的球面與正方體每條

2

棱的交點(diǎn)總數(shù)為.

16.在ABC中，AB=2,ZBAC=60°,BC=46,。為上一點(diǎn)，為/B4c的平分線(xiàn)，則AT>=

三、解答題

17.已知數(shù)列｛?！埃校?1，設(shè)S”為｛a.｝前〃項(xiàng)和，2Sn=nan.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

\a+11

(2)求數(shù)列的前〃項(xiàng)和北.

18.在三棱柱A3C-4用。］中，A4=2,AC，底面ABC,ZACB=90°,&到平面5CC1用的距離為1.

(1)求證：AC=AC；

(2)若直線(xiàn)Ad與8耳距離為2,求A與與平面5CC4所成角的正弦值.

19.為探究某藥物對(duì)小鼠的生長(zhǎng)抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對(duì)照組(不加藥物)和實(shí)驗(yàn)組

(加藥物).

(1)設(shè)其中兩只小鼠中對(duì)照組小鼠數(shù)目為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)測(cè)得40只小鼠體重如下(單位：g)：(已按從小到大排好)

對(duì)照組：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.4

26.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3

實(shí)驗(yàn)組：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.2

14.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0

(i)求40只小鼠體重的中位數(shù)相，并完成下面2x2列聯(lián)表：

<m>m

對(duì)照組

3

實(shí)驗(yàn)組

(ii)根據(jù)2x2列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為藥物對(duì)小鼠生長(zhǎng)有抑制作用.

參考數(shù)據(jù):

k。0.100.050.010

p(x*)2.7063.8416.635

20.已知直線(xiàn)x—2y+l=0與拋物線(xiàn)C:y2=2?(p>0)交于兩點(diǎn)，且|AB|=4屈.

(1)求P；

(2)設(shè)C的焦點(diǎn)為RM,N為C上兩點(diǎn)，MF-NF=0>求」MN/面積的最小值.

-，心，/、sinx(c兀、

21.已知/(x)=ax---,xe0,—

cosxI2J

(1)若a=8,討論了⑺的單調(diào)性；

(2)若/(x)<sin2x恒成立，求a的取值范圍.

四、選做題

x=2+tcosa

22.已知P(2,l),直線(xiàn)/:<,,。為參數(shù))，a為/的傾斜角，/與x軸，y軸正半軸交于A,B兩

y=l+tsma

點(diǎn)，|PA|-|P5|=4.

(1)求a的值；

(2)以原點(diǎn)為極點(diǎn)，無(wú)軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求/的極坐標(biāo)方程.

23.已知/(x)=2|x-a|-a,a>0.

(1)求不等式/(x)<x解集；

(2)若曲線(xiàn)y=/(x)與坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積為2,求a.

4

2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(全國(guó)甲卷)

理科數(shù)學(xué)

一、選擇題

)設(shè)集合A=[x\x=3k+1,k&Z},B={x\x=3k+2,左eZ},u為整數(shù)集，,3)=

()

A.{x\x—3k,k^7j}B.{x|x=3k-l,k&Z]

C.{x\x=3k-2,k&Z}D.0

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)整數(shù)集的分類(lèi)，以及補(bǔ)集的運(yùn)算即可解出.

【詳解】因?yàn)檎麛?shù)集

Z={x|x=3左，左eZ}{x|x=3左+1,左eZ}」{x|x=3左+2,左eZ},U=Z,所以，

①(人5)={x|x=3A,keZ}.

故選：A.

2.若復(fù)數(shù)(a+i)(l—ai)=2,awR,則。=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算以及復(fù)數(shù)相等即可解出.

【詳解】因?yàn)?—ai)=a—a~i+i+a=2a+(1—t/2)i=2,

2a=2

所以,解得:a=\.

1—a2=0

故選：C.

3.執(zhí)行下面的程序框遇，輸出的3=()

5

（開(kāi)始）

n=\,A—\,B=2

A=A+B

B=A+B

---n=n+\

/輸％B/

（結(jié)束）

A.21B.34C.55D.89

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)程序框圖模擬運(yùn)行，即可解出.

【詳解】當(dāng)〃=1時(shí)，判斷框條件滿(mǎn)足，第一次執(zhí)行循環(huán)體，A=l+2=3,B=3+2=5,

〃=1+1=2；

當(dāng)〃=2時(shí)，判斷框條件滿(mǎn)足，第二次執(zhí)行循環(huán)體，A=3+5=8,6=8+5=13,

〃=2+1=3；

當(dāng)〃=3時(shí)，判斷框條件滿(mǎn)足，第三次執(zhí)行循環(huán)體，A=8+13=21,5=21+13=34,

〃=3+1=4；

當(dāng)〃=4時(shí)，判斷框條件不滿(mǎn)足，跳出循環(huán)體，輸出5=34.

故選：B.

4.向量何=忸|=1,k|=后，且a+/>+c=o，貝!Icos〈a—一c〉=（）

1224

A.——B.——C.-D.-

5555

【答案】D

【解析】

【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.

【詳解】因?yàn)閍+b+c=O,所以與+b=-c，

即12+戶(hù)+2第B=*，即1+1+?Z?=2，所以。=0'

如圖，設(shè)。4=a,OB=6,OC=c,

6

c

由題知,OA=OB=1,OC=e,.QAB是等腰直角三角形，

A8邊上的高。。=1,AD=1,

22

所以8=。。+。。=0+變=逑，

22

tanNACD==—,cosNACD=-

CD3710

cos(a-c,b-c)=cosZACB=cos2ZACD=2cos2ZACD-1

故選:D.

5.己知正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝中，4=1,5.為｛4｝前〃項(xiàng)和，S5=5S3-4,則S4=()

A7B.9C.15D.30

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于q的方程，計(jì)算出q,即可求出邑.

【詳解】由題知l+q+/+q3+q4=5(l+q+/)―4,

即7+,4=4g+4q2,即/+g2_4g_4=0,即(q-2)(q+1)(4+2)=0.

由題知q>0,所以4=2.

所以S,=1+2+4+8=15.

故選:C.

6.有50人報(bào)名足球俱樂(lè)部，60人報(bào)名乒乓球俱樂(lè)部，70人報(bào)名足球或乒乓球俱樂(lè)部，若

已知某人報(bào)足球俱樂(lè)部，則其報(bào)乒乓球俱樂(lè)部的概率為()

A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1

【答案】A

7

【解析】

【分析】先算出報(bào)名兩個(gè)俱樂(lè)部的人數(shù)，從而得出某人報(bào)足球俱樂(lè)部的概率和報(bào)兩個(gè)俱樂(lè)部

的概率，利用條件概率的知識(shí)求解.

【詳解】報(bào)名兩個(gè)俱樂(lè)部的人數(shù)為50+60—70=40,

記“某人報(bào)足球俱樂(lè)部”為事件A,記“某人報(bào)兵乓球俱樂(lè)部”為事件8,

則P(A)='50=工5P(AB)=4，0=4—,

707707

4

所以A)=今箸=弓=0.8.

7

故選:A.

7.-sin20+sin2尸二1”是“sina+cos/=0”的()

A.充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件

C.充要條件D.既不是充分條件也不是必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得解.

JT

【詳解】當(dāng)sinZa+sii?尸=1時(shí)，例如。=5，尸=0但sina+cos^wO,

即sin2a+sin2/3=\推不出sina+cos4=0；

當(dāng)sina+cos)3=0時(shí)，sin2a+sin2(3=(-cosP'y+sin2/3=1,

即sina+cos/?=0能推出sin2a+sin24=1.

綜上可知，sin2a+sin2/?=l是sin(z+cos夕=。成立的必要不充分條件.

故選：B

22

8.己知雙曲線(xiàn)二-當(dāng)=1(“>0,6>0)的離心率為迷，其中一條漸近線(xiàn)與圓

ab

(x—2)2+(y—3>=1交于A,B兩點(diǎn)，則|AB|=()

A1R布「26n4君

D.k_z.-----------LJ.----

5555

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程，再由圓心到直線(xiàn)的距離及圓半徑可求弦長(zhǎng).

8

【詳解】由6=石，則《

b

解得2=2,

所以雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)不妨取y=2無(wú),

則圓心(2,3)到漸近線(xiàn)距離d=II----------I=—

所以弦長(zhǎng)|A3|=/=2^1-1=%.

故選：D

9.有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù),

則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為()

【答案】B

【解析】

【分析】利用分類(lèi)加法原理，分類(lèi)討論五名志愿者連續(xù)參加兩天社區(qū)服務(wù)的情況，即可得解.

【詳解】不妨記五名志愿者為a,"c,d,e,

假設(shè)。連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，再?gòu)氖Ｓ嗟?人抽取2人各參加星期六與星期天的社區(qū)服

務(wù)，共有A；=12種方法，

同理："c,d,e連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，也各有12種方法，

所以恰有1人連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)的選擇種數(shù)有5x12=60種.

故選：B.

10.已知/(%)為函數(shù)y=cos[2x+V]向左平移E個(gè)單位所得函數(shù)，則y=/(x)與

y=!的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

22

【答案】C

【解析】

【分析】先利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得了(x)=—sin2x,再作出與—g的

部分大致圖像，考慮特殊點(diǎn)處/(%)與丁=3工-g的大小關(guān)系，從而精確圖像，由此得解.

9

【詳解】因?yàn)閥=cos（2x+《J向左平移看兀個(gè)單位所得函數(shù)為

6

=cos2x+—=-sin2x,所以/(%)二一sin2x,

而,=顯然過(guò)與（1,。）兩點(diǎn),

作出/（%）與y=gx—g的部分大致圖像如下,

七4c3兀3兀c7兀3Ji3兀7兀\,11,,

考慮2%=-----,2%=—,2%=—，即nnx=------,x——,x——處/(%)與y——五—的

222444'，22

大小關(guān)系,

所以由圖可知，/（X）與y=；x—；的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.

故選：C.

11.在四棱錐P—ABCD中，底面ABC。為正方形，A5=4,PC=PD=3,NPC4=45。,

則.PBC的面積為（）

A.2aB.3&C.4夜D.5a

【答案】C

【解析】

【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得一尸。0占PCO,PDB=PCA,

從而得到Q4=P5，再在△Z4C中利用余弦定理求得P4=J萬(wàn)，從而求得尸8=后,

由此在1cPBC中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解；

10

法二：先在△9。中利用余弦定理求得P4=JI7,cosZPCB=-,從而求得

3

PAPC=-3，再利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算與余弦定理得到關(guān)于PB/BPD的方程組,

從而求得尸3=J萬(wàn)，由此在PBC中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解.

【詳解】法一：

連結(jié)AC,5。交于。，連結(jié)P0,則。為AC,5。的中點(diǎn)，如圖，

因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，AB=4,所以AC=8。=4后，則。O=CO=2后，

又PC=PD=3,PO=OP,所以.PDOM.PCO,則NPDO=NPCO,

又PC=PD=3,AC=BD=40，所以_PDBM_PC4，則B4=PB,

在ZkR4c中，PC=3,AC=472,ZPCA=45°,

則由余弦定理可得

LJ2

PA2=AC2+PC2-2AC-PCcosZPCA=32+9-2x4V2x3x—=17，

2

故=則PB=厲,

故在PBC中，PC=3,PB=4n,BC=4,

PC?+BC?-PB?9+16-17_1

所以cosNPC3=

2PCBC2x3x4-3

又0<NPCB<7i,所以sinNPCB=Jl—cos?NPCB=,

所以PBC的面積為5=,「。-3。5也/「。3=4*3、4><宜2=40'.

223

法二：

連結(jié)AC,5￡）交于。，連結(jié)P0,則。為AC3D的中點(diǎn)，如圖，

11

因?yàn)榈酌鍭6CD為正方形，AB=4,所以AC=8。=4J5,

在△B4C中，PC=3,NPC4=45。，

則由余弦定理可得

歷

PA2=AC2+PC2-2AC-PCcosZPG4=32+9-2X4A/2x3x—=17,fePA=717,

2

PA2+PC2-AC217+9—32好則

所以cos/APC=

2PAPC2x^x3

/

PA-PC=|PA||PC|cosZAPC=V17X3X

不妨記PB=m,/BPD=0,

因?yàn)閜o=g(^4+pc)=；(p8+pr)),所以(PA+PCJ=(P8+P￡)『，

2222

即PA+PC+2PAPC=PB^+PD+2PB-PD-

貝iJ17+9+2x(—3)=m2+9+2x3xmcose,整理得+6〃2cos，-11=0①，

又在△PSD中，BD2=PB2+PD2-2PB-PDcosZBPD，即32=M+9—6/cos，，

則nr—6mcos，-23=0②，

兩式相加得2〃/—34=o，故PB=m=歷,

故在PBC中，PC=3,PB=yfn,BC=4,

PC?+BC?-PB?9+16-17_1

所以cosNPC3=

2PCBC2x3x4-3

又。<NPCB<TI,所以sinNPCB=J1—cos?NPCB=正

3

所以PBC的面積為5=,「。-3。5也//＞。3=4乂3、4'冬旦=40'.

223

故選：C.

12

223

12.己知橢圓土+匕=1,耳，片為兩個(gè)焦點(diǎn),O為原點(diǎn)，尸為橢圓上一點(diǎn)，cosNFFF,=_,

96-5

則1Poi=()

A2病r3nV35

5252

【答案】B

【解析】

【分析】方法一：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式求出△產(chǎn)大心的面積，即可得到點(diǎn)尸的坐標(biāo)，

從而得出的值；

方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出歸片||尸耳|,歸片「+|尸乙「，再結(jié)合中線(xiàn)的向量

公式以及數(shù)量積即可求出；

方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出+忙月『，即可根據(jù)中線(xiàn)定理求出.

jr=b2tanNRPF?=/tan0,

【詳解】方法一：設(shè)N4pg=2ao<e<5,所以網(wǎng)

2

222

,…cnc八cos6(-sin01-tan03的/日八1

由cosPR=cos29=—；------『=-------解得:tan夕=一

cos2^+sin2^1+tan2^52

由橢圓方程可知，a2=9/2=6,02=/—片=3,

所以，Sp"2=gx|百心岡”=；*26義卜卜6義；，解得：%=3,

即$=9義124因此|。耳=6+片=Kl=等.

故選：B.

方法二：因?yàn)閨尸片|+|P閭=2a=6①，|P制?+忸用「―2忸制歸用/片程=閨囚2,

即歸片『+盧閭2一1歸即班上醛②，聯(lián)立①②，

而」,月+P￡),所以

PO|OP|=\PO\=^\PFI+PF2\,

22

即IM=+*=與呵+2P&PF]+國(guó)=；，21+2"：義?=呼.

乙乙,乙VJ乙乙

故選：B.

13

方法三：因?yàn)闅w耳|+盧閭=2a=6①，歸片廣+歸呼―2歸用歸閭/耳”=閨耳「，

即歸用2+盧月「__|歸用p閭=]2②，聯(lián)立①②，解得：忸用2+忸用2=21,

由中線(xiàn)定理可知，(2|0耳)2+|可聞2=2仍用2+歸用2)=42,易知閨閭=26,解得:

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題根據(jù)求解目標(biāo)可以選擇利用橢圓中的二級(jí)結(jié)論焦點(diǎn)三角形的面積公式快速解

出，也可以常規(guī)利用定義結(jié)合余弦定理，以及向量的數(shù)量積解決中線(xiàn)問(wèn)題的方式解決，還可

以直接用中線(xiàn)定理解決，難度不是很大.

二、填空題

13.若y=(x-l)2+ax+sin[x+5)為偶函數(shù)，則。=.

【答案】2

【解析】

【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到了，從而求得。=2,再檢驗(yàn)即可得解.

【詳解】因?yàn)閥=/(x)=(x-iy+ax+sin%-1)-+OX+COSX為偶函數(shù)，定

義域?yàn)镽,

---d+cosH--Cl+COS——，

則Tia=+1J—g—ij=2兀，故〃=2,

止匕時(shí)/(x)=(x-l)2+2x+cosx=x2+l+cosx，

所以/(-%)=(-x)2+l+cos(-x)=x2+l+cosx=/(x),

又定義域?yàn)镽,故/(x)為偶函數(shù)，

所以4=2.

故答案為：2.

一2x+3y<3

14.設(shè)x,y滿(mǎn)足約束條件3x—2y?3,設(shè)z=3x+2y,則z的最大值為

x+y>1

14

【答案】15

【解析】

【分析】由約束條件作出可行域，根據(jù)線(xiàn)性規(guī)劃求最值即可.

【詳解】作出可行域，如圖，

3z

由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)y=過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z有最大值,

-2x+3y=3x=3

由＜可得1c，即43,3),

3x-2y=3[y=3

所以Zmax=3x3+2x3=15.

故答案為：15

15.在正方體ABCD—A4CR中，E,尸分別為。，&四的中點(diǎn)，則以所為直徑的球

面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為.

【答案】12

【解析】

【分析】根據(jù)正方體的對(duì)稱(chēng)性，可知球心到各棱距離相等，故可得解.

【詳解】不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,所中點(diǎn)為。，取A3,8月中點(diǎn)G,M,側(cè)面的

中心為N,連接FG,EG,OM,ON,MN,如圖,

由題意可知，。為球心，在正方體中，EF='FG+EG2=打+2?=2拒，

即R=y[2,

則球心。到BB[的距離為OM=yJON2+MN2=Vl2+12=也，

15

所以球。與棱8片相切，球面與棱8片只有1個(gè)交點(diǎn)，

同理，根據(jù)正方體的對(duì)稱(chēng)性知，其余各棱和球面也只有1個(gè)交點(diǎn)，

所以以EE為直徑的球面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為12.

故答案為：12

16.在ABC中，AB=2,NBAC=60。,BC=娓,。為8C上一點(diǎn)，為/B4。的

平分線(xiàn)，則AD=.

【答案】2

【解析】

【分析】方法一：利用余弦定理求出AC,再根據(jù)等面積法求出A。；

方法二：利用余弦定理求出AC,再根據(jù)正弦定理求出民C,即可根據(jù)三角形的特征求出.

如圖所示：記AB=c,AC=Z?,6C=Q,

方法一：由余弦定理可得，22+從-2x2xZ?xcos60=6，

因?yàn)閎>0,解得：b=\+5

由sABC-sABD+sACD可得，

—x2x/?xsin60=—x2xADxsin30+—xADx/?xsin30,

222

2

故答案為：2.

方法二：由余弦定理可得，22+ZJ2-2X2XZ?XCOS60=6,因?yàn)?gt;>0,解得：b=\+6，

由正弦定理可得，4—=—=?—，解得：sin3=《史，sinC=—，

sin60sinBsinC42

因?yàn)?+6>指>0，所以C=45，5=180-60-45=75，

又N5AD=30°，所以NAD3=75,即AD=AB=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題壓軸相對(duì)比較簡(jiǎn)單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線(xiàn)問(wèn)題，也可以

16

用角平分定義結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識(shí)技能考查常規(guī).

三、解答題

17.已知數(shù)列｛%｝中，%=1，設(shè)乂為｛4｝前力項(xiàng)和，2s

(1)求｛a.｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列[4/]的前〃項(xiàng)和

【答案】(1)1

2-。+明

⑵1=

【解析】

S],M=1

分析】(1)根據(jù)4=1°c即可求出；

(2)根據(jù)錯(cuò)位相減法即可解出.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?Sn=nan,

當(dāng)力=1時(shí)，2%=%,即％=0；

當(dāng)〃=3時(shí)，2。+〃3)=3/，即。3=2,

當(dāng)〃之2時(shí)，2sM=(〃—1)%_1,所以2(S72—=加j(“-1)的=2%，

化簡(jiǎn)得：(〃—2)a“=(〃—I)4*當(dāng)心3時(shí)，R=&==-y=1,BP<2?=H-1,

當(dāng)“=1,2,3時(shí)都滿(mǎn)足上式，所以4="—l(〃wN*).

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)轶墓芩?lx?+2x/+3x?++N，

*嗯卜如……[AS

兩式相減得，

1

-x

17

I|，即[=2—（2+〃）g],“eN*.

18.在三棱柱ABC-A31cl中，A4=2,AC-L底面ABC,ZACB=90。，&到平面

BCC］B］的距離為1.

(2)若直線(xiàn)A/與83］距離為2,求AB】與平面BCGB］所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)線(xiàn)面垂直，面面垂直的判定與性質(zhì)定理可得4。，平面5CG4,再由勾

股定理求出。為中點(diǎn)，即可得證；

(2)利用直角三角形求出AB】的長(zhǎng)及點(diǎn)A到面的距離，根據(jù)線(xiàn)面角定義直接可得正弦值.

【小問(wèn)1詳解】

如圖，

底面ABC,BCu面ABC,

.,又3C，AC,ACACu平面ACG4，^CoAC^C,

.?.BCL平面ACGA1,又BCu平面3。。1片,

平面ACGA，平面BCCdi,

18

過(guò)A作AQLCC]交CG于。，又平面ACG4'平面BC￡4=C4，^Ou平面

ACQ4,

.?.A。1?平面BCCK

A到平面5CG用的距離為1,...40=1,

在Rtz^acC]中，4C，4G，cCi="=2,

設(shè)CO=x,則C]O=2—X,

?.?△AOGAAOCpAACQ為直角三角形，且CG=2,

22222

CO-+\O=\C,AXO+OCl=C1A)+=C1C,

.-.l+x2+l+(2-x)2=4,解得x=l,

AC=A^C=A6=V2,

AC-AXC

【小問(wèn)2詳解】

.AC=^CPBC±ACBC±AC,

RtAACB^RtA4CB

BA=BA1,

過(guò)8作交A&于。，則。為AA]中點(diǎn)，

由直線(xiàn)AA與8月距離為2,所以BD=2

4。=1,BD=2,：.AB=AB=5

在RgABC，;.BC=dAB2-AC?=6,

延長(zhǎng)AC,使AC=CM,連接

由CM//^CM=4G知四邊形ACMC,為平行四邊形，

.?.C]M〃AC，平面ABC，又AMU平面ABC,

C[M±AM

則在RtAACjM中，AM=2AC,CXM=4C,AC,=^(2AC)~+\C~,

在RtZVLBCi中，AQ=7(2AC)2+4C2,BG=BC=6,

：.AB}=J(2⑸+(9+(回=岳,

又A到平面BCCR距離也為1,

19

所以AB】與平面BCC】Bi所成角的正弦值為二=叵.

s/1313

19.為探究某藥物對(duì)小鼠的生長(zhǎng)抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對(duì)照組(不加

藥物)和實(shí)驗(yàn)組(加藥物).

(1)設(shè)其中兩只小鼠中對(duì)照組小鼠數(shù)目為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(2)測(cè)得40只小鼠體重如下(單位：g)：(已按從小到大排好)

對(duì)照組：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.4

26.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3

實(shí)驗(yàn)組：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.2

14.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0

(i)求40只小鼠體重的中位數(shù)相，并完成下面2x2列聯(lián)表:

<m>m

對(duì)照組

實(shí)驗(yàn)組

(ii)根據(jù)2x2列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為藥物對(duì)小鼠生長(zhǎng)有抑制作用.

參考數(shù)據(jù):

ko0.100.050.010

p(f2.7063.8416.635

【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，￡(X)=1

(2)(i)%=23.4；列聯(lián)表見(jiàn)解析，(ii)能

【解析】

【分析】(1)利用超幾何分布的知識(shí)即可求得分布列及數(shù)學(xué)期望；

(2)(i)根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得相=23.4,從而求得列聯(lián)表;

(ii)利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的卡方計(jì)算進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

依題意，X的可能取值為01,2,

則P(X=0)=等=*P(X=1)=胃q,P(X=2)=警

Ko。403,。40

所以X的分布列為:

X012

20

192019

P

783978

一/、八c19,20c19,

故E(X)=0x---1-1x---F2x—=1.

783978

【小問(wèn)2詳解】

（i）依題意，可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20

位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，

由于原數(shù)據(jù)已經(jīng)排好，所以我們只需要觀(guān)察對(duì)照組第一排數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)組第二排數(shù)據(jù)即可，

可得第11位數(shù)據(jù)為14.4,后續(xù)依次為

17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6,

故第20位為23.2，第21位數(shù)據(jù)為23.6，

23.2+23.6

所以加==23.4

2

故列聯(lián)表為:

<m>m合計(jì)

對(duì)照組61420

實(shí)驗(yàn)組14620

合計(jì)202040

(ii)由⑴可得，K=40X(6X6_14X14)2=6.400〉3.841,

20x20x20x20

所以能有95%的把握認(rèn)為藥物對(duì)小鼠生長(zhǎng)有抑制作用.

20.已知直線(xiàn)x—2y+l=0與拋物線(xiàn)C:y2=2px（〃>0）交于兩點(diǎn)，且|AB|=4曲.

（1）求P；

（2）設(shè)C的焦點(diǎn)為EM,N為C上兩點(diǎn)，MF.NF=0,求右肱\不面積的最小值.

【答案】（1）p=2

⑵12-80

【解析】

【分析】（1）利用直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)方程求出弦長(zhǎng)即可得出P；

（2）設(shè)直線(xiàn)肱V：x=my+n,河（玉,％）,7^（%,%），利用板?酒=0，找到以〃的關(guān)

系，以及，腦\不的面積表達(dá)式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求出其最小值.

【小問(wèn)1詳解】

21

設(shè)人仁,力)，^^，力)，

fx-2y+l=00

由<,c可得，y'-4py+2p^0,所以VA+VB=2p,

[y~=2px

所以|AB|=J(x.f=若|%一%|=百*J=4岳,

即2p2—〃—6=0,因?yàn)閜>0,解得：p=2.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)閎(1,0),顯然直線(xiàn)MV的斜率不可能為零，

設(shè)直線(xiàn)肱V：x=my+n,，

y2=4x

由《可得，y2-4my-4n=Q,所以，/+%=4加,=-4〃，

x=my+n

A=16m2+16n>0^>m2+n>0，

因?yàn)椤‵-NF=0，所以+=0，

即(如1+〃-1)卜佻+"-1)+%%=0，

亦即(mr+1)%%+m("-1)(弘+%)+("—1)2=0，

將%+%=4加,%%=—4〃代入得，

2

4m=“2_6n+1,4（療+"）=（〃-1）2>0,

所以“W1,且“2—6〃+1之0，解得"》3+2后或〃<3—2行.

設(shè)點(diǎn)廠(chǎng)到直線(xiàn)MN的距離為"，所以

\MN\=J（七一蒞『+（%一%）2=Vl+m2IX-％I=VT+m2V16m2+16n

=2y/1+m2-6n+l）+16n=m2\n-1|,

所以二ACVF的面積S='x|肱V|xd=-x-j2=Lx271+m2|n-l|=（n-1）2,

22yji+tn2

而〃》3+2形或〃<3—2形，所以，

當(dāng)〃=3—20時(shí)，_MVb的面積5mhi=（2—2jl）2=i2—80.

【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是根據(jù)向量的數(shù)量積為零找到機(jī)，〃的關(guān)系，一是為了減元，二是通

過(guò)相互的制約關(guān)系找到各自的范圍，為得到的三角形面積公式提供定義域支持，從而求出面

積的最小值.

22

,smx?7t

21.已知/(x)=ax------,xe0,—

cosxI2J

(1)若a=8,討論/(x)的單調(diào)性;

(2)若/(x)<sin2x恒成立，求a的取值范圍.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析.

(2)(-oo,3]

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo),然后令"cos?%,討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)即可;

(2)構(gòu)造8。)=/(%)-5也2%,計(jì)算一(無(wú))的最大值,然后與0比較大小，得出。的分界點(diǎn)，再對(duì)

a討論即可.

【小問(wèn)1詳解】

cosxcos3x+3sinxcos2xsinx

cos6x

cos2x+3sin2x3-2cos2x

=a-------J-----=a------4---

cosxcosx

令cos2x=/,則，e(0,1)

q—力at+2/—3

貝U/'(x)=g?)=a-----

(21)(4+3)

當(dāng)a=8,(x)=g(f)=——不

當(dāng)即“，與抖，(%)<。