第05講 正多邊形與圓-【寒假預習】2022-2023學年九年級數(shù)學核心考點+重難點講練與測試（滬教版）（原卷版）

第05講正多邊形與圓目錄考點一：正多邊形的中心角考點二：正多邊形和圓考點三：弧長與扇形面積【基礎知識】一、正多邊形的相關概念1.正多邊形各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形．有n條邊的正多邊形（n是正整數(shù)，且）就稱作正n邊形2.正n邊形的對稱性正n邊形是軸對稱圖形，對稱軸的條數(shù)=n．當n為偶數(shù)時，正n邊形是中心對稱圖形，對稱中心是它的兩條對稱軸的交點．3.正多邊形的外接圓和內切圓任何一個正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，外接圓和內切圓的圓心都是這個正多邊形的對稱軸的交點．正多邊形外接圓（或內切圓）的圓心叫做正多邊形的中心．正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．正多邊形內切圓的半徑長叫做正多邊形的邊心距．正多邊形一邊所對的關于外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角．每一個中心角==它的每一個外角4.正多邊形的性質1.正多邊形都只有一個外接圓，圓有無數(shù)個內接正多邊形.2.正ｎ邊形的半徑和邊心距把正ｎ邊形分成2ｎ個全等的直角三角形.3.正多邊形都是軸對稱圖形，對稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對稱軸都通過正n邊形的中心；當邊數(shù)是偶數(shù)時，它也是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.4.邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．5.任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓要點詮釋：（1）各邊相等的圓的內接多邊形是圓的內接正多邊形；（2）各角相等的圓的外切多邊是圓的外切正多邊形.5.正多邊形的畫法（1）用量角器等分圓由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對的弦相等，依次連接各分點就可畫出相應的正n邊形.（2）用尺規(guī)等分圓對于一些特殊的正ｎ邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.①正四、八邊形。在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。再逐次平分各邊所對的弧(即作∠AOB的平分線交于E)就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。②正六、三、十二邊形的作法。通過簡單計算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點。顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點。同樣，在圖(3)中平分每條邊所對的弧，就可把⊙O12等分……。要點詮釋：畫正n邊形的方法：（1）將一個圓n等份，（2）順次連結各等分點.二、正多邊形的相關計算設正n邊形的半徑長為Rn、中心角為αn、邊長為an、邊心距為rn，則利用等腰三角形OAB，通過解直角三角形OAH，可由其中兩個量求出其余的兩個量.進一步還可以求出這個正n邊形的周長及面積.【考點剖析】考點一：正多邊形的中心角一、單選題1．（2022·上?！ばＢ?lián)考模擬預測）如果一個正多邊形的中心角等于，那么這個多邊形的內角和為（

）A． B． C． D．二、填空題2．（2022秋·上?！ぞ拍昙壣虾Ｊ形髂夏７吨袑W?？茧A段練習）正十邊形的中心角等于______度．3．（2022秋·上海金山·九年級?？茧A段練習）正五邊形的中心角的度數(shù)是_____．4．（2022·上海浦東新·統(tǒng)考二模）一個正n邊形的一個內角等于它的中心角的2倍，則n=___．5．（2022·上?！そy(tǒng)考模擬預測）一個正多邊形的每個外角都等于30°，那么這個正多邊形的中心角為____6．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如果一個正多邊形的中心角為36°，那么這個多邊形的對角線條數(shù)是_____．7．（2022·上海松江·統(tǒng)考二模）如果一個正多邊形的中心角為72°，那么這個正多邊形的邊數(shù)是_______．考點二：正多邊形和圓一、單選題1．（2022·上海楊浦·統(tǒng)考二模）下列命題中，正確的是（

）A．正多邊形都是中心對稱圖形 B．正六邊形的邊長等于其外接圓的半徑C．邊數(shù)大于3的正多邊形的對角線長都相等 D．各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形2．（2022·上海黃浦·統(tǒng)考二模）下列命題中，真命題是（

）A．正六邊形是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形B．正六邊形的每一個外角都等于中心角C．正六邊形每條對角線都相等D．正六邊形的邊心距等于邊長的一半3．（2022·上海黃浦·格致中學校考二模）如果一個正九邊形的邊長為，那么這個正九邊形的半徑是（）A． B． C． D．4．（2022秋·上海普陀·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，半徑為4，則這個正六邊形的邊心距OM和的長分別為（）A．2， B．2，π C．， D．2，二、填空題5．（2022·上海·上海市婁山中學?？级＃┌霃綖?的圓的內接正三角形的邊長為________．6．（2022·上海閔行·統(tǒng)考二模）如圖，已知點G是正六邊形對角線上的一點，滿足，聯(lián)結，如果的面積為1，那么的面積等于_______.7．（2022秋·上海·九年級上海市婁山中學?？计谥校┮阎呅蔚倪呴L為，那么它的邊心距等于__________．8．（2022·上海金山·統(tǒng)考二模）如圖，如果AB、AC分別是圓O的內接正三角形和內接正方形的一條邊，BC一定是圓O的內接正n邊形的一條邊，那么n=_______．9．（2022秋·上海徐匯·九年級統(tǒng)考階段練習）如果一個正六邊形的邊心距的長度為，那么它的半徑的長度為________cm．10．（2022·上海青浦·統(tǒng)考二模）已知正多邊形每個內角的度數(shù)為，則正多邊形的邊長與半徑的比值為________．11．（2022秋·上海虹口·九年級統(tǒng)考期中）半徑為4的圓的內接正三角形的邊長為______．12．（2022·上海徐匯·位育中學?？寄M預測）若正四邊形的半徑是1，則它的邊長是________．13．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖，圓內接正方形的邊長與外切正方形的邊長之比是_______________．14．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）六個帶角的直角三角板拼成一個正六邊形，直角三角板的最短邊為1，求中間正六邊形的面積_________．15．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）已知在正六邊形ABCDEF中，AB＝6，那么正六邊形ABCDEF的面積等于_____．16．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖，A，B，C，D為一個正多邊形的相鄰四個頂點，點O為正多邊形的中心，若，則從該正多邊形的一個頂點出發(fā)共有______條對角線．17．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖，正六邊形的邊長為2，則的周長為__．18．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）正六邊形的邊長、半徑、邊心距之比為_________________．19．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如果一個四邊形有且只有三個頂點在圓上，那么稱這個四邊形是該圓的“聯(lián)絡四邊形”，已知圓的半徑長為，這個圓的一個聯(lián)絡四邊形是邊長為的菱形，那么這個菱形不在圓上的頂點與圓心的距離是________．20．（2022秋·上海閔行·九年級?？计谥校┪覀円?guī)定：一個正n邊形（n為整數(shù)，n≥4）的最短對角線與最長對角線長度的比值叫做這個正n邊形的“特征值”，記為λn，那么λ6=____．考點三：弧長與扇形面積一、單選題1．（2022·上海靜安·統(tǒng)考二模）如圖，中，，，點是重心，將繞著點按順時針方向旋轉，使點A落在BC延長線上的處，此時點B落在點，點G落在點.聯(lián)結CG、、、.在旋轉過程中，下列說法：①；②與相似；③；④點所經(jīng)過的路程長是.其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題2．（2022秋·上?！ぞ拍昙夒A段練習）如圖，扇形的弧與相切于點P，若，，，則圖中陰影面積是______．（結果保留）3．（2022·上海松江·?？既＃┤鐖D，在中，，點為的中點，以點為圓心作圓心角為的扇形，點恰在弧上，則圖中陰影部分的面積為___________．4．（2022春·上?！ぞ拍昙壣贤飧街行？茧A段練習）如圖，中，，將繞頂點C按順時針方向旋轉方向至的位置，則圖中陰影部分的面積為___________（結果保留）5．（2022·上海楊浦·統(tǒng)考二模）新定義：在中，點D、E分別是邊的中點，如果上的所有點都在的內部或邊上，那么稱為的中內?。阎谥?，，，點D、E分別是邊的中點，如果是的中內弧，那么長度的最大值等于_________．6．（2022·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，在中，∠B＝70°，BC＝6，以AD為直徑的⊙O交CD于點E，則劣弧的長為______．（結算結果保留）7．（2022秋·上?！ぞ拍昙壭？计谥校┤羯刃蔚陌霃綖?cm，圓心角為120°，則這個扇形的面積為__________cm2．【過關檢測】一、單選題1．（2020·上?！ざ＃┤粢粋€正n邊形(n為大于2的整數(shù)）的半徑為r，則這個正n變形的邊心距為（）A． B． C． D．2．（2020·上海浦東新·二模）如果一個正多邊形的中心角等于，那么這個多邊形的內角和為（）A． B． C． D．3．（2021·上海崇明·一模）如果某正多邊形的外接圓半徑是其內切圓半徑的倍，那么這個正多邊形的邊數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．無法確定4．（2019·上海上?！ぞ拍昙壠谥校┱呅蔚陌霃脚c邊心距之比為（）A．1： B．：1 C．：2 D．2：5．（2020·上海楊浦·二模）如果正十邊形的邊長為a，那么它的半徑是（）A． B． C． D．二、填空題6．（2020·上海嘉定·二模）半徑長為2的半圓的弧長為____(計算結果保留π)．7．（2020·上海大學附屬學校三模）正五邊形繞著它的中心至少旋轉_______度，能與它本身重合．8．（2021·上海閔行·一模）正六邊形的邊心距與半徑的比值為__________（結果保留根號）．9．（2020·上海奉賢·一模）公元263年左右，我國數(shù)學家劉徽發(fā)現(xiàn)當正多邊形的邊數(shù)無限增加時，這個正多邊形面積可無限接近它的外接圓的面積，因此可以用正多邊形的面積來近似估計圓的面積，如圖，是正十二邊形的外接圓，設正十二邊形的半徑的長為1，如果用它的面積來近似估計的面積，那么的面積約是___．10．（2021·上?！ざ＃┤鐖D，⊙O的半徑為6，如果弦AB是⊙O內接正方形的一邊，弦AC是⊙O內接正十二邊形的一邊，那么弦BC的長為_____．11．（2018·上?！ぞ拍昙壠谀┱诉呅蔚闹行慕菫開_____度．12．（2018·上海崇明·二模）如圖，正六邊形ABCDEF的頂點B，C分別在正方形AMNP的邊AM，MN上．若AB＝4，則CN＝_____．13．（2020·上海長寧·二模）已知正三角形的邊心距為，那么它的邊長為________．14．（2021·上海松江·二模）已知正三角形ABC外接圓的半徑為2，那么正三角形ABC的面積為______________．15．（2021·上海金山·二模）已知在正六邊形ABCDEF中，AB＝6，那么正六邊形ABCDEF的面積等于_____．16．（上海金山·九年級期末）正六邊形的邊長為，面積為，那么關于的函數(shù)關系式是____．17．（2019·上?！ぞ拍昙壠谀┤绻粋€正六邊形的半徑為，那么這個正六邊形的周長為______.18．（2021·上海浦東新·模擬預測）如果一個四邊形有且只有三個頂點在圓上，那么稱這個四邊形是該圓的“聯(lián)絡四邊形”，已知圓的半徑長為，這個圓的一個聯(lián)絡四邊形是邊長為的菱形，那么這個菱形不在圓上的頂點與圓心的距離是________．19．（2020·上海嘉定·二模）如圖，在正六邊形ABCDEF中，如果向量，