第03講 有理數(shù)的乘除法（5大考點）（解析版）

第03講有理數(shù)的乘除法（5大考點）考點考點考向一、有理數(shù)的乘法1.有理數(shù)的乘法法則：（1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；（2）任何數(shù)同0相乘，都得0．要點：(1)不為0的兩數(shù)相乘，先確定符號，再把絕對值相乘．（2）當因數(shù)中有負號時，必須用括號括起來，如-2與-3的乘積，應列為(-2)×(-3)，不應該寫成-2×-3．2.有理數(shù)的乘法法則的推廣：（1）幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定．當負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負；當負因數(shù)的個數(shù)有偶數(shù)個時，積為正；（2）幾個數(shù)相乘，如果有一個因數(shù)為0，那么積就等于0．要點：（1）在有理數(shù)的乘法中，每一個乘數(shù)都叫做一個因數(shù)．(2)幾個不等于0的有理數(shù)相乘，先根據(jù)負因數(shù)的個數(shù)確定積的符號，然后把各因數(shù)的絕對值相乘．(3)幾個數(shù)相乘，如果有一個因數(shù)為0，那么積就等于0．反之，如果積為0，那么至少有一個因數(shù)為0．3.有理數(shù)的乘法運算律：（1）乘法交換律：兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等，即：ab＝ba．（2）乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．（3）乘法分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加．即：a(b+c)＝ab+ac．要點：（1）在交換因數(shù)的位置時，要連同符號一起交換．（2）乘法運算律可推廣為：三個以上的有理數(shù)相乘，可以任意交換因數(shù)的位置，或者把其中的幾個因數(shù)相乘．如abcd＝d(ac)b．一個數(shù)同幾個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這幾個數(shù)相乘，再把積相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．（3）運用運算律的目的是“簡化運算”，有時，根據(jù)需要可以把運算律“順用”，也可以把運算律“逆用”．二、有理數(shù)的除法1.倒數(shù)的意義：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)．要點：(1)“互為倒數(shù)”的兩個數(shù)是互相依存的.如-2的倒數(shù)是，-2和是互相依存的；(2)0和任何數(shù)相乘都不等于1，因此0沒有倒數(shù)；(3)倒數(shù)的結(jié)果必須化成最簡形式，使分母中不含小數(shù)和分數(shù)；(4)互為倒數(shù)的兩個數(shù)必定同號(同為正數(shù)或同為負數(shù))．2.有理數(shù)除法法則：法則一：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)，即.法則二：兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除．0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0.要點：（1）一般在不能整除的情況下應用法則一，在能整除時應用法則二方便些．（2）因為0沒有倒數(shù)，所以0不能當除數(shù)．（3）法則二與有理數(shù)乘法法則相似，兩數(shù)相除時先確定商的符號，再確定商的絕對值．三、有理數(shù)的乘除混合運算由于乘除是同一級運算，應按從左往右的順序計算，一般先將除法化成乘法，然后確定積的符號，最后算出結(jié)果．四、有理數(shù)的加減乘除混合運算有理數(shù)的加減乘除混合運算，如無括號，則按照“先乘除，后加減”的順序進行，如有括號，則先算括號里面的．考點考點精講考點一：有理數(shù)的乘法運算 1．計算：(1)；(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0．【答案與解析】幾個不等于零的數(shù)相乘，首先確定積的符號，然后把絕對值相乘．因數(shù)是小數(shù)的要化為分數(shù)，是帶分數(shù)的通?；癁榧俜謹?shù)，以便能約分．幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為零，積就為零．(1)；(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0＝0．【總結(jié)升華】幾個不等于零的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)確定，與正因數(shù)的個數(shù)無關(guān)．當因數(shù)中有一個數(shù)為0時，積為0．但注意第一個負因數(shù)可以不用括號，但是后面的負因子必須加括號.2.運用簡便方法計算：25×﹣（﹣25）×+25×．【答案與解析】解：25×﹣（﹣25）×+25×，=25×+25×+25×，=25×（++），=25×，=．【總結(jié)升華】本題考查了有理數(shù)的乘法，熟練掌握乘法分配律并靈活運用是解題的關(guān)鍵．3.用簡便方法計算：(1)；(2)．【答案】（1）原式．(2)＝(-3.14)×35.2+(-3.14)×2×23.3+(-3.14)×18.2＝-3.14×(35.2+46.6+18.2)＝-3.14×100＝-314．考點二:有理數(shù)的除法運算1．計算：【思路點撥】對于乘除混合運算，首先由負數(shù)的個數(shù)確定結(jié)果的符號，同時應將小數(shù)化成分數(shù)，帶分數(shù)化成假分數(shù)，算式化成連乘積的形式，再進行約分．但要注意除法沒有分配律．【答案與解析】解：【總結(jié)升華】進行乘除混合運算時，往往先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再確定積的符號，最后求出結(jié)果．2.計算：【答案】原式考點三：有理數(shù)的乘除混合運算1.計算：【答案與解析】在有理數(shù)的乘除運算中，應按從左到右的運算順序進行運算.【總結(jié)升華】在有理數(shù)的乘除運算中，可先將除法運算轉(zhuǎn)化為乘法運算．乘除運算是同一級運算，再應按從左到右的順序進行．2.計算：【答案】考點四：有理數(shù)的加減乘除混合運算1.計算：【答案與解析】方法1：方法2：所以【總結(jié)升華】除法沒有分配律，在進行有理數(shù)的除法運算時，若除數(shù)是和的形式，一般先算括號內(nèi)的，然后再進行除法運算，也可以仿照方法2利用倒數(shù)關(guān)系巧妙解決，如果按a÷(b+c)＝a÷b+a÷c進行分配就錯了．2.觀察下列等式（式子中的“！”是一種數(shù)學運算符號）1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，…，那么計算：=．【答案】解：==．考點五：含絕對值的化簡1.已知a、b、c為不等于零的有理數(shù)，你能求出的值嗎?【思路點撥】先分別確定a、b、c的取值，再代入求值．【答案與解析】解：分四種情況：(1)當a、b、c三個數(shù)都為正數(shù)時，；(2)當a、b、c三個數(shù)中有兩個為正數(shù)，一個為負數(shù)時，不妨設a為負數(shù)，b、c為正數(shù)，；(3)當a、b、c三個數(shù)中有一個為正數(shù)，兩個為負數(shù)時，不妨設a為正數(shù)，b、c為負數(shù)，；(4)當a、b、c三個數(shù)都為負數(shù)時，綜上，的值為：【總結(jié)升華】在含有絕對值的式子中，當不知道絕對值里面的數(shù)的正負時，需分類討論.2.計算的取值.【答案】(1)當a＞0、b＞0時，；(2)當a＜0、b＜0時，；(3)當a＞0，b＜0時，；(4)當a＜0，b＞0時，．綜上，的值為：鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·全國七年級專題練習）計算8÷（﹣2）的結(jié)果是（）A．﹣4 B．﹣16 C．﹣6 D．10【答案】A【分析】根據(jù)有理數(shù)的除法法則進行計算即可．【詳解】解：原式＝﹣8÷2＝﹣4．故選：A．【點睛】本題考查了有理數(shù)的除法法則．熟記法則是解題的關(guān)鍵．2．（2021·廣東七年級期末）計算：﹣×□＝1，則□內(nèi)應填的數(shù)是（）A．﹣7 B．﹣1 C． D．7【答案】A【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法法則計算可求解．【詳解】解：∵，∴□內(nèi)應填的數(shù)是﹣7，故選：A．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的乘法，掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．3．（2021·陜西西安·交大附中分校七年級期末）的倒數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義進行答題．【詳解】解：的倒數(shù)是，故選：A．【點睛】主要考查倒數(shù)的概念及性質(zhì)．倒數(shù)的定義：若兩個數(shù)的乘積是1，我們就稱這兩個數(shù)互為倒數(shù)．4．（2021·內(nèi)蒙古七年級期末）《莊子·天下篇》講到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，意思是說一尺長的木棍，每天截去它的一半，千秋萬代也截不完，一天之后“一尺之捶”剩尺，兩天之后剩尺，那么3天之后，這個“一尺之棰”還剩（）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】C【分析】兩天之后尺，那么只要計算第三天截去的一半還剩多少即可求解．【詳解】解：兩天之后剩尺，那么第三天截去了×＝尺，所以三天后，這個“一尺之棰”還剩－＝尺．故選：C．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的運算，讀懂題意并掌握有理數(shù)的運算法則是解題的關(guān)鍵．5．（2021·全國七年級課前預習）下列把除法轉(zhuǎn)換為乘法的過程中正確的是（）A． B．C． D．【答案】C6．（2021·湖南七年級期末）若“！”是一種數(shù)學運算符號，并且1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，…，則的值等于（）A．2021 B．2020 C．2021！ D．2020！【答案】A【分析】根據(jù)題意列出有理數(shù)混合運算的式子，進而可得出結(jié)論．【詳解】解：1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，…，故選A．【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．7．（2020·浙江杭州·）若，且，則（）A． B．a(chǎn)，b異號且其中負數(shù)的絕對值較大C． D．a(chǎn)，b異號且其中正數(shù)的絕對值較大【答案】D【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法法則可得a、b為異號，再根據(jù)有理數(shù)的加法法則可得正數(shù)的絕對值較大，進而得到答案．【詳解】解：∵ab＜0，∴a、b為異號，∵a+b＞0，∴正數(shù)的絕對值較大，故選：D．【點睛】此題主要考查了有理數(shù)的乘法和加法法則，關(guān)鍵是掌握計算法則．8．（2021·全國七年級專題練習）下列運算過程中，有錯誤的是（）A．（3﹣4）×2＝3﹣4×2B．﹣4×（﹣7）×（﹣125）＝﹣（4×125×7）C．9×16＝（10﹣）×16＝160﹣D．[3×（﹣25）]×（﹣2）＝3×[（﹣25）×（﹣2）]【答案】A【分析】各式計算得到結(jié)果，即可作出判斷．【詳解】解：A、原式＝3×2﹣×2＝6﹣9＝﹣3，符合題意；B、原式＝﹣（4×125×7），不符合題意；C、原式＝（10﹣）×16＝160﹣，不符合題意；D、原式＝3×[（﹣25）×（﹣2）]，不符合題意．故選：A．【點睛】此題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．二、填空題9．（2021·全國七年級專題練習）計算：3×（）＝____．【答案】【分析】利用有理數(shù)的乘法法則直接計算即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查有理數(shù)的乘法，掌握有理數(shù)的乘法法則是解題的關(guān)鍵．10．（2021·全國七年級課前預習）計算：6×（－9）＝__________（－6）×0＝____________×＝________（）×＝_________（－2）×××＝_____（－6）×5××＝_______【答案】－5401011．（2020·浙江杭州·七年級期末）在數(shù)，1，，5，中任兩個數(shù)相乘除，其中最大的積是_________，最小的商是_______．【答案】15-5【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘除法法則分別計算，再比較可得結(jié)果．【詳解】解：最大的積是：-5×（-3）=15，最小的商是：-5÷1=-5，故答案為：15，-5．【點睛】此題主要考查了有理數(shù)的乘除法和比較大小，關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的運算法則．12．（2021·浙江七年級期中）在的“□”內(nèi)分別填入“”，“”，“”三個運算符號（每個符號只能填1次），最大的運算結(jié)果________．【答案】【分析】由運算的結(jié)果最大先確定乘號的位置，再確定加號與減號的位置即可.【詳解】解：由運算的結(jié)果最大可得：的前面與后面都不能用“”，從而可確定第一個的后面是“”，第二個的前面是“”，故答案為：【點睛】本題考查的是有理數(shù)的加減運算，乘法運算，有理數(shù)的大小比較，掌握有理數(shù)的加減運算與乘法運算的運算法則是解題的關(guān)鍵.13．（2021·全國七年級專題練習）計算：?2÷×2＝______．【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)乘除的性質(zhì)計算，即可得到答案．【詳解】?2÷×2＝故答案為：．【點睛】本題考查了有理數(shù)運算的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)乘除運算的性質(zhì)，從而完成求解．14．（2021·陜西七年級期中）已知a、b都不為0，則的值為___________．【答案】，3【分析】分4種情況討論：①a、b都是正數(shù)；②a、b都是負數(shù)；③a是正數(shù)，b是負數(shù)；④a是負數(shù)，b是正數(shù)【詳解】①a、b都是正數(shù)，；②a、b都是負數(shù)，；③a是正數(shù)，b是負數(shù)，；④a是負數(shù)，b是正數(shù)，；綜上所述，的值為，3故答案為：，3【點睛】本題考查了有理數(shù)的絕對值定義和有理數(shù)除法法則，解答關(guān)鍵是根據(jù)題意對a、b符號進行分類討論．15．（2018·山東七年級期中）定義一種新的運算：x*y=，如：3*1==，則2*3=__________．【答案】4【分析】把原式利用題中的新定義計算轉(zhuǎn)換為有理數(shù)運算，即可得到結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題中的新定義得：，故答案為：4【點睛】此題考查了新定義運算和有理數(shù)的混合運算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．16．（2021·全國七年級課前預習）根據(jù)“除法是乘法的逆運算”探究：正數(shù)除以負數(shù)：8÷（－4）＝8×（______）負數(shù)除以負數(shù)：（－8）÷（－4）＝（－8）×（______）零除以負數(shù)：0÷（－4）＝0×（______）可知，除以一個不等于0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的_____【答案】倒數(shù)17．（2021·全國七年級課前預習）探究：規(guī)定一樓地面的高度為0，從一樓向上的方向為正，從一樓向下的方向為負．小亮測量學校樓梯每一級臺階都是15cm．如果小亮從1樓向上走1、2、3級臺階時，他所在的高度分別是多少？如何用算式表示呢？15×1＝____15×2＝____15×3＝____小亮測量學校樓梯每一級臺階都是15cm．如果小亮從1樓向下走1、2、3級臺階時，他所在的高度分別是多少？如何用算式表示呢？（－15）×1＝____（－15）×2＝____（－15）×3＝_____觀察上面的式子，根據(jù)你對有理數(shù)乘法的思考，填空：正數(shù)乘以正數(shù)積為_____數(shù)負數(shù)乘以正數(shù)積為______數(shù)正數(shù)乘以負數(shù)積為______數(shù)負數(shù)乘以負數(shù)積為______數(shù)乘積的絕對值等于各乘數(shù)絕對值的_______【答案】153045－15－30－45正負負正積三、解答題18．（2021·全國七年級專題練習）計算：（1）（﹣4）×1.25×（﹣8）；（2）（﹣2.4）；（3）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×0.01；（4）915．【答案】（1）40.5；（2）；（3）-84；（4）【詳解】【分析】（1）原式變形后，約分即可得到結(jié)果；（2）原式變形后，約分即可得到結(jié)果；（3）原式利用乘法法則計算即可得到結(jié)果；（4）原式變形后，利用乘法分配律計算即可得到結(jié)果．【詳解】解：（1）原式8＝40.5；（2）原式；（3）原式＝﹣（14×6）×（100×0.01）＝﹣84；（4）原式＝（10）×15＝150149．19．（2021·全國七年級專題練習）計算下列各題：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【詳解】（1）原式（2）原式（3）原式．20．（2021·全國七年級課前預習）計算：（1）（2）【答案】（1）1；（2）【詳解】21．（2021·江蘇南京一中七年級月考）定義運算“”為：，求，．【答案】3，35．【分析】原式利用題中的新定義法則計算即可得到結(jié)果．【詳解】解：，，．【點睛】此題考查了有理數(shù)的混合運算，正確理解新定義法則、熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．22．（2021·福建七年級期末）已知一些兩位數(shù)相乘的算式：62×11，18×22，34×11，15×55，63×39，54×11．（1）觀察上述算式，選出具有共同特征的3個算式，并說出它們的共同特征；（2）分別計算你選出的算式．觀察計算的結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)不經(jīng)過乘法運算就可以快速、直接地寫出積的規(guī)律嗎？請用文字描述這個規(guī)律；（3）在已知算式中，其他算式可以用上面的規(guī)律進行簡便運算嗎？如何能，寫出你的變形過程并直接寫出最后結(jié)果．【答案】（1）一個兩位數(shù)與11相乘；（2）兩位數(shù)乘法中，如果有一個因數(shù)為11，得數(shù)的百位上的數(shù)是兩個因數(shù)最高位上的積，十位上的數(shù)是第一個因數(shù)十位數(shù)與其個位數(shù)的和，個位上的數(shù)是兩個因數(shù)個位上數(shù)的積；（3）18×22＝36×11＝396，15×55＝75×11＝825．【分析】（1）確定因數(shù)為11的算式；（2）計算并發(fā)現(xiàn)規(guī)律；（3）根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律找算式即可．【詳解】（1）解：62×11，34×11，54×11，這3個算式共同特征是：一個兩位數(shù)與11相乘．（2）解：62×11＝682，34×11＝374，54×11＝594，規(guī)律：兩位數(shù)乘法中，如果有一個因數(shù)為11，得數(shù)的百位上的數(shù)是兩個因數(shù)最高位上的積，十位上的數(shù)是第一個因數(shù)十位數(shù)與其個位數(shù)的和，個位上的數(shù)是兩個因數(shù)個位上數(shù)的積．或表述成：某個兩位數(shù)與11相乘，得數(shù)的百位上的數(shù)是這個兩位數(shù)的十位數(shù)，得數(shù)的十位上的數(shù)是這個兩位數(shù)各位數(shù)的和，個位上的數(shù)是這個兩位數(shù)個位上的數(shù)．（3）解：18×22＝36×11＝396，15×55＝75×11＝825，【點睛】本題是計算類的規(guī)律題，觀察所給的算式，找出算式之間數(shù)與數(shù)的關(guān)系，還有與結(jié)果的關(guān)系，得出結(jié)論，在根據(jù)規(guī)律解決問題．23．（2021·西安市鐵一中學七年級月考）已知x，y為有理數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新運算“*”，滿足x*y＝xy﹣5例如：1*2＝1×2﹣5＝﹣3（1）請仿照上面的例題計算下列各題：①2*（﹣3）；②（4*5）*（﹣）；（2）任意選擇兩個有理數(shù)，分別填入下列□和〇中，并比較它們的運算結(jié)果；多次重復以上過程，你發(fā)現(xiàn)：□*〇〇*□（用“＞”“＜”或“＝”填空）．【答案】（1）①﹣11；②﹣；（2）＝【分析】（1）①利用題中的新定義計算即可求出值；②利