2025版高考數(shù)學一輪總復習知識梳理第4章三角函數(shù)解三角形第5講函數(shù)y＝Asinωx+φ的圖象及應用

第五講函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應用知識梳理知識點一用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個周期內(nèi)的簡圖用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個周期內(nèi)的簡圖時，要找五個關鍵點，如下表所示．x－eq\f(φ,ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0知識點二函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象的步驟如下知識點三簡諧振動y＝Asin(ωx＋φ)中的有關物理量y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一個振動量時振幅周期頻率相位初相AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φφ歸納拓展1．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k圖象平移的規(guī)律：“左加右減，上加下減”．由函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ1)的圖象變換為函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ2)的圖象，是平移變換，當eq\f(φ2－φ1,ω)>0時，左移eq\f(φ2－φ1,ω)個單位，當eq\f(φ2－φ1,ω)<0時，右移eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(φ2－φ1,ω)))個單位．2．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間的“長度”為eq\f(T,2).3．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象的對稱軸由ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z確定；對稱中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z確定其橫坐標．雙基自測題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)y＝sinx的圖象是由y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的圖象向右平移eq\f(π,4)個單位長度得到的．(√)(2)利用圖象變換作圖時“先平移，后伸縮”與“先伸縮，后平移”中平移的長度一致．(×)(3)將函數(shù)y＝sin2x的圖象向右平移eq\f(π,3)個單位長度，得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的圖象．(×)(4)函數(shù)y＝sinx的圖象上各點縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的eq\f(1,2)，所得圖象對應的函數(shù)解析式為y＝sineq\f(1,2)x.(×)(5)函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為T，那么函數(shù)圖象的兩個相鄰對稱中心之間的距離為eq\f(T,2).(√)題組二走進教材2．(必修1P239T2改編)(1)把y＝sinx的圖象向右平移eq\f(π,3)個單位，得y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的圖象．(2)把y＝sinx的圖象上所有點的縱坐標縮短到原來的eq\f(1,2)倍(橫坐標不變)得y＝eq\f(1,2)sinx的圖象．(3)把y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的eq\f(1,2)倍(縱坐標不變)得y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的圖象．(4)把y＝sin2x的圖象向右平移eq\f(π,6)個單位，得y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的圖象．3．(必修1P254T10改編)函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的振幅、頻率和初相分別為(C)A．2，eq\f(1,π)，eq\f(π,4) B．2，eq\f(1,2π)，eq\f(π,4)C．2，eq\f(1,π)，－eq\f(π,4) D．2，eq\f(1,2π)，－eq\f(π,4)[解析]由題意得A＝2，T＝eq\f(2π,2)＝π，∴f＝eq\f(1,T)＝eq\f(1,π)，φ＝－eq\f(π,4).故選C．4．(必修1P241T4改編)函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，π))上的簡圖是(A)[解析]令x＝0得y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2)，排除B，D；由x＝－eq\f(π,3)時，y＝0，x＝eq\f(π,6)時，y＝0，排除C．故選A．題組三走向高考5．(2022·浙江卷)為了得到函數(shù)y＝2sin3x的圖象，只要把函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,5)))圖象上所有的點(D)A．向左平移eq\f(π,5)個單位長度B．向右平移eq\f(π,5)個單位長度C．向左平移eq\f(π,15)個單位長度D．向右平移eq\f(π,15)個單位長度[解析]因為y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,5)))＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,15)))))，所以要得到函數(shù)y＝2sin3x的圖象，只要把函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,5)))的圖象上所有的點向右平移eq\f(π,15)個單位長度．故選D．6．(2023·全國甲理，10,5分)函數(shù)y＝f(x)的圖象由函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的圖象向左平移eq\f(π,6)個單位長度得到，則y＝f(x)的圖象與直線y＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)的交點個數(shù)為(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的圖象向左平移eq\f(π,6)個單位長度得y＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f