2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)素養(yǎng)提升第6章數(shù)列第2講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

與等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn有關(guān)的最值問題1.(2024·吉林市調(diào)研)設(shè)Sn是公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1>0，若S5＝S9，則當(dāng)Sn最大時(shí)，n＝(B)A.6 B．7C．10 D．9[分析]由S5＝S9可求得a1與d的關(guān)系，進(jìn)而求得通項(xiàng)，由通項(xiàng)得到此數(shù)列前多少項(xiàng)為正，或利用Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值的方法求解.[解析]解法一：由S5＝S9得a6＋a7＋a8＋a9＝0，即a7＋a8＝0，∴2a1＋13d＝0，又a1>0，∴d<0.∴a7>0，a8<0，∴a1>a2>…>a7>0>a8>a9>…，∴Sn最大時(shí)，n＝7，故選B.解法二：Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，且d<0，(n，Sn)所在拋物線開口向下，又S5＝S9，∴拋物線對(duì)稱軸為n＝7.即n＝7時(shí)，Sn最大，故選B.解法三：由解法一知d＝－eq\f(2,13)a1，∴Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(1,2)d))n＝－eq\f(a1,13)n2＋eq\f(14,13)a1n＝－eq\f(a1,13)(n－7)2＋eq\f(49,13)a1，∵a1>0，∴－eq\f(a1,13)<0，∴當(dāng)n＝7時(shí)，Sn最大.解法四：由解法一可知，d＝－eq\f(2,13)a1.∵a1>0，∴d<0.令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋n－1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,13)a1))≥0，,a1＋n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,13)a1))≤0，))解得eq\f(13,2)≤n≤eq\f(15,2).∵n∈N*，∴當(dāng)n＝7時(shí)，Sn最大.2．(2022·黑龍江牡丹江一中月考)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若eq\f(a11,a10)<－1，且其前n項(xiàng)和Sn有最大值，則使得Sn>0的最大值n為(B)A.11 B．19C．20 D．21[分析]利用Sn>0?a1＋an>0求解.[解析]∵Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n有最大值，∴d<0，又eq\f(a11,a10)<－1，∴a10>0，a11<0，∴a10＋a11<0，即a1＋a20<0，∴S20＝10(a1＋a20)<0，又S19＝eq\f(19a1＋a19,2)＝19a10>0，∴使Sn>0的n的最大值為19.故選B.[引申](1)本例1中若將“S5＝S9”改為“S5＝S10”，則當(dāng)Sn取最大值時(shí)n＝7或8；(2)本例1中，使Sn<0的n的最小值為15；(3)本例2中，使Sn取最大值時(shí)n＝10.[解析](1)若S5＝S10，則Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n的對(duì)稱軸為n＝7.5，但n∈N*，故使Sn最大的n的值為7或8.(2)由a7＋a8＝a1＋a14＝0知S14＝0，又a8<0，∴2a8＝a1＋a15<0，即S15<0，∴使Sn<0的n的最小值為15.(3)∵Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n有最大值∴d<0，又∵eq\f(a11,a10)<－1，∴a10>0，a11<0，∴n＝10時(shí)，Sn最大.名師點(diǎn)撥：求等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最值的方法：【變式訓(xùn)練】1．(多選題)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差為d，且滿足a1>0，S11＝S18，則對(duì)Sn描述正確的有(BC)A.S14是唯一最大值 B．S15是最大值C.S29＝0 D．S1是最小值[解析]由S11＝S18可知a12＋a13＋…＋a18＝0，又{an}是等差數(shù)列，所以a15＝0，故S29＝29a15＝0.又a1>0，故S14＝S15，所以S14，S15都是最大值，且公差d<0，Sn無最小值，結(jié)合選項(xiàng)可知B，C正確，故選BC.2．在等差數(shù)列{an}中，a1＝7，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時(shí)Sn取得最大值，則d的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(7,8))).[解析]先根據(jù)條件確定等差數(shù)列中特定項(xiàng)的符號(hào)，再利用不等式組求解.當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時(shí)，Sn有最大值，說明eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a8>0，,a9<0.))∴eq\b\lc\{