天津武清區(qū)大良中學(xué)高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析

天津武清區(qū)大良中學(xué)高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知ω＞0，函數(shù)f（x）=sin（ωx+）在（，π）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是（）A．[，] B．[，] C．（0，] D．（0，2]參考答案：A【考點(diǎn)】H5：正弦函數(shù)的單調(diào)性．【分析】由條件利用正弦函數(shù)的減區(qū)間可得，由此求得實(shí)數(shù)ω的取值范圍．【解答】解：∵ω＞0，函數(shù)f（x）=sin（ωx+）在（，π）上單調(diào)遞減，則，求得≤ω≤，故選：A．2.定義在上函數(shù)滿(mǎn)足對(duì)任意，都有，記數(shù)列，有以下命題：①；②；③令函數(shù)，則；④令數(shù)列，則數(shù)列為等比數(shù)列.其中正確命題的為（

）A.①②③

B.①②

C.②③

D.①②③④參考答案：A略3.已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）成立，則f（1）=（）A．3 B．2 C．1 D．0參考答案：D考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用．

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：利用賦值法直接求解即可．解答：解：函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）成立，則f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1），可得f（1）=0．故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)值的求法，考查計(jì)算能力．4.設(shè)，，若則的取值范圍是（

）

A

B

C

D參考答案：B5.在下列函數(shù)中，最小值為2的是(

)A．

B．C．

D．參考答案：D6.若函數(shù)，則f(－2)的值等于（

）A、B、C、D、2參考答案：A7.函數(shù)的最小正周期是（

）A.6π B.2π C. D.參考答案：C【分析】逆用兩角和的正弦公式，把函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)解式，利用最小正周期公式求出最小正周期.【詳解】,，故本題選C.【點(diǎn)睛】本題考查了逆用兩角和的正弦公式、以及最小正周期公式，熟練掌握公式的變形是解題的關(guān)鍵.8.在下列圖象中，二次函數(shù)y=ax2+bx與指數(shù)函數(shù)y=（）x的圖象只可能是（

）參考答案：A略9.已知α∈[，]，β∈[﹣，0]，且（α﹣）3﹣sinα﹣2=0，8β3+2cos2β+1=0，則sin（+β）的值為（）A．0 B． C． D．1參考答案：B【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值．【分析】構(gòu)造思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，利用單調(diào)性找出α，β的關(guān)系，求解即可．【解答】解：∵（α﹣）3﹣sinα﹣2=0，可得：（α﹣）3﹣cos（）﹣2=0，即（﹣α）3+cos（）+2=0由8β3+2cos2β+1=0，得（2β）3+cos2β+2=0，∴可得f（x）=x3+cosx+2=0，其，x2=2β．∵α∈[，]，β∈[﹣，0]，∴∈[﹣π，0]，2β∈[﹣π，0]可知函數(shù)f（x）在x∈[﹣π，0]是單調(diào)增函數(shù)，方程x3+cosx+2=0只有一個(gè)解，可得，即，∴，那么sin（+β）=sin=．故選：B．10.已知sin（α+）=，＜α＜π，則求sin（﹣α）=（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣參考答案：D【考點(diǎn)】GI：三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【分析】利用已知條件求出cos（α+），由sin（﹣α）=sin（﹣﹣α）=sin，運(yùn)用兩角差的正弦公式和誘導(dǎo)公式：﹣α，即可得到答案．【解答】解：由于＜α＜π，則＜α+＜，又sin（α+）=，則＜α+＜π，即有cos（α+）=﹣=﹣，則sin（﹣α）=sin（﹣﹣α）=sin===（﹣﹣）=﹣．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的求值，考查同角的平方關(guān)系和誘導(dǎo)公式及兩角差的正弦公式，注意角的變換，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若兩個(gè)等差數(shù)列、的前項(xiàng)和分別為、，對(duì)任意的都有，則=

。參考答案：12.函數(shù)y=cosx+cos（x+）的最大值是

.參考答案：略13.

已知函數(shù)

，則的值為_(kāi)__________。參考答案：14.給出下列六個(gè)命題：①函數(shù)f（x）＝lnx－2＋x在區(qū)間（1,e）上存在零點(diǎn)；②若，則函數(shù)y＝f（x）在x＝x0處取得極值；③若m≥－1，則函數(shù)的值域?yàn)镽；④“a=1”是“函數(shù)在定義域上是奇函數(shù)”的充分不必要條件。⑤函數(shù)y=（1+x）的圖像與函數(shù)y=f（l-x）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；⑥滿(mǎn)足條件AC=，AB=1的三角形△ABC有兩個(gè)．其中正確命題的個(gè)數(shù)是

。參考答案：①③④⑤15.已知向量集合={|=（1，2）+（3，4），∈R}，={|=（-2，-2）+（4，5），∈R}，則=__________。參考答案：（-2，-2）略16.

參考答案：略17.已知函數(shù)（），若的定義域和值域均是，則實(shí)數(shù)=_______.參考答案：2略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，在正方體中，求證：平面平面．參考答案：略19.已知全集U=R，集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}．（1）求圖中陰影部分表示的集合C；（2）若非空集合D={x|4﹣a＜x＜a}，且D?（A∪B），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算；集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)題意，分析可得C=A∩（?UB），進(jìn)而由補(bǔ)集的定義求出?UB，再由交集的定義可得A∩（?UB），即可得答案；（2）根據(jù)題意，先求出集合A∪B，進(jìn)而集合子集的定義可得，解可得a的范圍，即可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，分析可得：C=A∩（?UB），B={x|2＜x＜4}，則?UB={x|x≤2或x≥4}，而A={x|1≤x≤3}，則C=A∩（?UB）={x|1≤x≤2}；（2）集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}．則A∪B={x|1≤x≤4}，若非空集合D={x|4﹣a＜x＜a}，且D?（A∪B），則有，解可得2＜a≤3，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|2＜a≤3}．20.（本題滿(mǎn)分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足證明是等比數(shù)列.設(shè)，求證:參考答案：簡(jiǎn)答：（1）當(dāng)

故是等比數(shù)列（2）由（1）知

=略21.已知函數(shù)f（x）=cos2x+sinxcosx+1，x∈R．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；（2）求函數(shù)f（x）在[，]上的最大值和最小值，并求函數(shù)取得最大值和最小值時(shí)自變量x的值．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；三角函數(shù)的最值．【分析】利用二倍角公式、兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式（1）利用周期公式求出函數(shù)的周期；（2）求出，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，寫(xiě)出求函數(shù)取得最大值和最小值時(shí)的自變量x的值．【解答】解：==（1）f（x）的最小正周期（2）∵∴∴當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)或時(shí)，即或時(shí)，．22.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.

(1)求證：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB與AC所成角的余弦值；(3)當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí)，求PA的長(zhǎng)．參考答案：(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC⊥BD.又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC.(2)設(shè)AC∩BD＝O.因?yàn)椤螧AD＝60°，PA＝AB＝2，所以BO＝1，AO＝CO＝．如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OC所在直線(xiàn)及點(diǎn)O所在且與PA平行的直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，則P(0，－，2)，A(0，－，0)，B(1,0,0)，C(0，，0)．

所以＝(1，，－2)，＝(0,2，0)．設(shè)PB與AC所成角為θ，則