2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試(A卷)試題解析

2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試(A卷)試題解析2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽(A卷)試題解析引言：數(shù)學(xué)競賽是一項重要的學(xué)科競賽活動，對于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和問題解決能力具有積極作用。然而，參加數(shù)學(xué)競賽的學(xué)生往往會遇到各種難題和挑戰(zhàn)，因此對于試題的解析和講解顯得尤為重要。本文對2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽(A卷)試題進行解析，旨在幫助學(xué)生更好地理解和解答試題。正文：一、選擇題解析：1.已知函數(shù)f(x)=ln(x^2-x)+C是函數(shù)F(x)=f(x)+2f'(x)的一個原函數(shù)，則C等于多少？解析：首先，我們求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)。利用鏈式法則求導(dǎo)：f'(x)=2x-1然后，我們將函數(shù)f'(x)代入函數(shù)F(x)中，并進行積分：F(x)=f(x)+2f'(x)=ln(x^2-x)+C+2(2x-1)=ln(x^2-x)+4x-2+C由于F(x)是函數(shù)f(x)的原函數(shù)，所以F'(x)=f(x)，即：F'(x)=1/(x^2-x)+4將F(x)進行求導(dǎo)，得到：F'(x)=1/(x^2-x)+4由于F'(x)=f(x)，所以：f(x)=1/(x^2-x)+4比較上式與f(x)=2x-1可得：1/(x^2-x)+4=2x-1移項得到：1/(x^2-x)=2x-5解這個方程，可以得到：x^2-3x+2=0化簡為：(x-1)(x-2)=0解得x=1或x=2。當x=1時，C=ln(1)+4(1)-2=2當x=2時，C=ln(4-2)+4(2)-2=8綜上所述，C等于2或8。2.若abc≠0且a+b+c=0，則(1/a^2+8/b^2)(1/b^2+8/c^2)(1/c^2+8/a^2)的值為多少？解析：根據(jù)已知條件a+b+c=0，可以將a、b、c表示為二次方程x^2+px+q的兩個根，即：a,b,c是二次方程x^2+px+q的兩個根根據(jù)二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，有：a+b=-pab=q將ab=q代入第一個等式：a=-b-pc=b^2+pb=-b^2-pb將a、b、c代入目標表達式中，可以得到：(1/a^2+8/b^2)(1/b^2+8/c^2)(1/c^2+8/a^2)=(1/(-b-p)^2+8/b^2)(1/b^2+8/(-b^2-pb)^2)(1/(-b^2-pb)^2+8/(-b-p)^2)化簡上式，可以得到：[(1+8b^2/(-b-p)^2)(1+8(-b^2-pb)^2/b^2)(1+8(-b-p)^2/(-b^2-pb)^2]進一步化簡，得到：[(1+8b^2/(-b-p)^2)(1+8(b^2+pb)^2/b^2)(1+8(-b-p)^2/(-b^2-pb)^2]=(1+8b^2/(-b-p)^2)(1+8(b^2+pb)^2/b^2)((-b-p)^2+8(-b^2-pb)^2/(-b-p)^2(b^2+pb)^2)將ab=q代入上式，可以得到：(1+8b^2/(-b-p)^2)(1+8(b^2+pb)^2/b^2)((-b-p)^2+8(-b^2-pb)^2/(-b-p)^2(b^2+pb)^2)=(1+8b^2/(-b-p)^2)(1+8(b^2+pb)^2/b^2)((-b-p)^2+8(-q)^2/(-b-p)^2q^2)由于a+b+c=0，所以a+b=-c。將這個等式代入第一個因式中，得到：(1+8b^2/(-b-p)^2)(1+8(b^2+pb)^2/b^2)((-b-p)^2+8(-q)^2/(-b-p)^2q^2)=(1+8b^2/(-b-p)^2)(1+8(-b)^2/b^2)((-b-p)^2+8(-q)^2/(-b-p)^2q^2)=(1+8b^2/(-b-p)^2)(1+8b^2/b^2)((-b-p)^2+8(-q)^2/(-b-p)^2q^2)=(1+8(p+b)^2/p^2)((-b-p)^2+8(-q)^2/(-b-p)^2q^2)=(1+8(p+b)^2/p^2)(b^2+2bp+p^2+8(-q)^2/(-b-p)^2q^2)=(1+8(p+b)^2/p^2)(b^2+2bp+p^2+8q^2/(-b-p)^2q^2)=(1+8(p+b)^2/p^2)((b+p)^2+6q^2/(-b-p)^2q^2)=(1+8(p+b)^2/p^2)(-(-b-p)^2-6q^2/(-b-p)^2q^2)=(1+8(p+b)^2/p^2)(-p^2-6q^2/(-b-p)^2q^2)=(1+8(p+b)^2/p^2)(-p^2-6q^2/(ab+p^2)q^2)=(1+8(p+b)^2/p^2)(-p^2-6q^2/(-q+p^2)q^2)=(1+8(p+b)^2/p^2)(-p^2-6q^2/(p^2-q)q^2)=(1+8(p+b)^2/p^2)(-p^2q^2-6q^4/(p^2-q))由于a+b+c=0，所以abc=-pq。將這個等式代入第二個因式中，得到：(1+8(p+b)^2/p^2)(-p^2q^2-6q^4/(p^2-q))=(1+8(p+b)^2/p^2)(-abc^2-6c^4/(ab+c^2))=(1+8(p+b)^2/p^2)(-abc^2-6c^4/(-pq+c^2))=(1+8(p+b)^2/p^2)(abc^2+6c^4/(pq-c^2))由于a+b+c=0，所以a^2+b^2+c^2=2(ab+ac+bc)。將這個等式代入第三個因式中，得到：(1+8(p+b)^2/p^2)(abc^2+6c^4/(pq-c^2))=(1+8(p+b)^2/p^2)(abc^2+6c^4/(pq-c^2))=(1+8(p+b)^2/p^2)(abc^2+3c^4/(c^2-pq))=(1+8(p+b)^2/p^2)(c^2(ab+3c^2)/(c^2-pq))由于a+b+c=0，所以a^2+b^2+c^2=2(ab+ac+bc)。將這個等式代入第三個因式中，得到：(1+8(p+b)^2/p^2)(c^2(ab+3c^2)/(c^2-pq))=(1+8(p+b)^2/p^2)(c^2[(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)]/(c^2-pq))由于a+b+c=0，所以(a+b+c)^2=0。將這個等式代入上式中，得到：(1+8(p+b)^2/p^2)(c^2[(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)]/(c^2-pq))=(1+8(p+b)^2/p^2)(c^2[0-2(ab+ac+bc)]/(c^2-pq))=(1+8(p+b)^2/p^2)(-2c^2(ab+ac+bc)/(c^2-pq))由于a+b+c=0，所以ab+ac+bc=-p^2。將這個等式代入上式中，得到：(1+8(p+b)^2/p^2)(-2c^2(ab+ac+bc)/(c^2-pq))=(1+8(p+b)^2/p^2)(-2c^2(-p^2)/(c^2-pq))=(1+8(p+b)^2/p^2)(2c^2p^2/(pq-c^2))由于a+b+c=0，所以a^2+b^2+c^2=2(ab+ac+bc)。將這個等式代入上式中，得到：(1+8(p+b)^2/p^2)(2c^2p^2/(pq-c^2))=(1+8(p+b)^2/p^2)(2c^2p^2/(pq-c^2))=(1+8(p+b)^2/p^2)(pabc^2/(pq-c^2))由于abc≠0且a+b+c=0，所以pq-c^2≠0。將這個等式代入上式中，得到：(1+8(p+b)^2/p^2)(pabc^2/(pq-c^2))=(1+8(p+b)^2/p^2)(pabc^2/(pq-c^2))=pabc^2+8(b+p)^2abc^2/(pq-c^2)=pabc^2+8(b+p)^2abc^2/(pq-c^2)=pabc^2+8bpabc^2+8p^2abc^2/(pq-c^2)=pabc^2+8bpabc^2+8p^2abc^2/(pq-c^2)=abc^2(p+8b+8p^2/(q-c^2))由于abc≠0且a+b+c=0，所以q-c^2≠0。將這個等式代入上式中，得到：abc^2(p+8b+8p^2/(q-c^2))=abc^2(p+8b+8p^2/(q-c^2))=abc^2(q-c^2+8b(q-c^2)/(q-c^2))=abc^2(q-c^2+8b(q-c^2)/(q-c^2))=abc^2(q-c^2+8b)=abc^2(q-b^2+8b)由于abc≠0且a+b+c=0，所以ab+ac+bc=-p^2。將這個等式代入上式中，得到：abc^2(q-b^2+8b)=abc^2(q-b^2+8b)=abc^2(q+8b-b^2)綜上所述，(1/a^2+8/b^2)(1/b^2+8/c^2)(1/c^2+8/a^2)的值為abc^2(q+8b-b^2)。二、解答題解析：3.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，且2z-1的虛部等于z的虛部，求z的值。解析：首先，我們設(shè)復(fù)數(shù)z的實部為x，虛部為y，即z=x+yi。由已知條件|z|=1，可以得到：|x+yi|=1根據(jù)復(fù)數(shù)的模的定義|x+yi|=sqrt(x^2+y^2)，可以得到：sqrt(x^2+y^2)=1化簡上式：x^2+y^2=1然后，我們設(shè)復(fù)數(shù)2z-1的虛部為u，即2z-1=x+ui。由題意可知：u=y將z=x+yi代入上式，得到：2(x+yi)-1=x+ui化簡上式：2x+2yi-1=x+ui將實部和虛部分別對等，可以得到：2x-1=x2y=u由于2x-1=x，所以x=1。由于2y=u，所以y=u/2。將x=1和y=u/2代入x^2+y^2=1，可以得到：1^2+(u/2)^2=1化簡上式：1+(u/2)^2=1將(1+(u/2)^2)-1=0進行因式分解，可