數(shù)值計(jì)算04-插值與擬合教材

1數(shù)值計(jì)算第四章插值與擬合

我們經(jīng)常會(huì)遇到大量的數(shù)據(jù)需要處理，而處理數(shù)據(jù)的關(guān)鍵就在于這些算法，例如數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計(jì)、插值等數(shù)據(jù)處理算法。此類(lèi)問(wèn)題在MATLAB中有很多現(xiàn)成的函數(shù)可以調(diào)用，熟悉MATLAB，這些方法都能游刃有余的用好。

在實(shí)際中，常常要處理由實(shí)驗(yàn)或測(cè)量所得到的一些離散數(shù)據(jù)。例：從1點(diǎn)12點(diǎn)的11小時(shí)內(nèi)，每隔1小時(shí)測(cè)量一次溫度，測(cè)得的溫度的數(shù)值依次為：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24．試估計(jì)每隔1/10小時(shí)的溫度值．%interp_1hours=1:12;temps=[589152529313022252724];plot(hours,temps,'rs‘)

在實(shí)際中，常常要處理由實(shí)驗(yàn)或測(cè)量所得到的一些離散數(shù)據(jù)。例：從1點(diǎn)12點(diǎn)的11小時(shí)內(nèi)，每隔1小時(shí)測(cè)量一次溫度，測(cè)得的溫度的數(shù)值依次為：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24．試估計(jì)每隔1/10小時(shí)的溫度值．

在實(shí)際中，常常要處理由實(shí)驗(yàn)或測(cè)量所得到的一些離散數(shù)據(jù)。例：從1點(diǎn)12點(diǎn)的11小時(shí)內(nèi)，每隔1小時(shí)測(cè)量一次溫度，測(cè)得的溫度的數(shù)值依次為：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24．試估計(jì)每隔1/10小時(shí)的溫度值．

在實(shí)際中，常常要處理由實(shí)驗(yàn)或測(cè)量所得到的一些離散數(shù)據(jù)。例：從1點(diǎn)12點(diǎn)的11小時(shí)內(nèi)，每隔1小時(shí)測(cè)量一次溫度，測(cè)得的溫度的數(shù)值依次為：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24．試估計(jì)每隔1/10小時(shí)的溫度值．插值與擬合方法就是要通過(guò)這些數(shù)據(jù)去確定某一類(lèi)已知函數(shù)的參數(shù)或?qū)で竽硞€(gè)近似函數(shù)，使所得到的近似函數(shù)與已知數(shù)據(jù)有較高的擬合精度。如果要求這個(gè)近似函數(shù)（曲線或曲面）經(jīng)過(guò)所已知的所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，則稱此類(lèi)問(wèn)題為插值問(wèn)題。（不需要函數(shù)表達(dá)式）

如果不要求近似函數(shù)通過(guò)所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，而是要求它能較好地反映數(shù)據(jù)變化規(guī)律的近似函數(shù)的方法稱為數(shù)據(jù)擬合。（必須有函數(shù)表達(dá)式）近似函數(shù)不一定（曲線或曲面）通過(guò)所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)。9第四章插值與擬合4.1插值的含義4.2插值的Matlab實(shí)現(xiàn)4.3擬合問(wèn)題104.1插值的含義一維插值:已知函數(shù)在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的值,求任一點(diǎn)的函數(shù)值114.1插值的含義一維插值:已知函數(shù)在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的值,求任一點(diǎn)的函數(shù)值二維插值:已知函數(shù)在個(gè)節(jié)點(diǎn)的值,求任一點(diǎn)的函數(shù)值一維插值的定義已知n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)其中互不相同，不妨設(shè)求任一插值點(diǎn)處的插值

節(jié)點(diǎn)可視為由產(chǎn)生，表達(dá)式復(fù)雜，或無(wú)封閉形式，或未知。

構(gòu)造一個(gè)(相對(duì)簡(jiǎn)單的)函數(shù)通過(guò)全部節(jié)點(diǎn),即再用計(jì)算插值，即

2.2插值的Matlab實(shí)現(xiàn)基本格式：yc=interp1(x,y,cx,’method’)%x,y分別表示已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)向量，x必須單調(diào)；%cx為需要插值的橫坐標(biāo)數(shù)據(jù)%method為插值方法，有‘nearest’最近鄰點(diǎn)插值‘linear’線性插值（默認(rèn)）‘spline’三次樣條插值‘cubic’三次插值注：Lagrange,Newton插值法需自編程序。線性插值主要參數(shù)

15參數(shù)名稱說(shuō)明特點(diǎn)nearest鄰近點(diǎn)插值法。根據(jù)已知兩點(diǎn)間的插值點(diǎn)與這兩點(diǎn)之間的位置遠(yuǎn)近插值。當(dāng)插值點(diǎn)距離前點(diǎn)近時(shí)，取前點(diǎn)的值，否則取后點(diǎn)的值速度最快，但平滑性差linear線性插值。把相鄰的數(shù)據(jù)點(diǎn)用直線連接，按所生成的曲線進(jìn)行插值，是默認(rèn)的插值方法占有的內(nèi)存較鄰近點(diǎn)插值方法多，運(yùn)算時(shí)間也稍長(zhǎng)，與鄰近點(diǎn)插值不同，其結(jié)果是連續(xù)的，但在頂點(diǎn)處的斜率會(huì)改變spline三次樣條插值。用已知數(shù)據(jù)求出樣條函數(shù)后，按照樣條函數(shù)插值運(yùn)算時(shí)間長(zhǎng)，但內(nèi)存的占有較立方插值方法要少，三次樣條插值的平滑性很好，但如果輸入的數(shù)據(jù)不一致或數(shù)據(jù)點(diǎn)過(guò)近，可能出現(xiàn)很差的插值結(jié)果cubic立方插值法，也稱三次多項(xiàng)式插值。用已知數(shù)據(jù)構(gòu)造出三次多項(xiàng)式進(jìn)行插值需要較多的內(nèi)存和運(yùn)算時(shí)間，平滑性很好bicubic雙立方插值法。利用已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合一個(gè)雙立方曲面，然后根據(jù)插值點(diǎn)的坐標(biāo)插值，每個(gè)插值點(diǎn)的值由該點(diǎn)附近的六個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)確定二維插值函數(shù)獨(dú)有。插值點(diǎn)處的值和該點(diǎn)值的導(dǎo)數(shù)都連續(xù)例2.9：對(duì)函數(shù)

進(jìn)行11個(gè)點(diǎn)的三次樣條插值：x=[-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5];y=[1/26,1/17,0.1,0.2,0.5,1,0.5,0.2,0.1,1/17,1/26];xi=-5:0.01:5;yi=interp1(x,y,xi);plot(xi,yi,x,y,'o')holdonf=inline('1/(x^2+1)');fplot(f,[-5,5],'r')

例2.9：對(duì)函數(shù)

進(jìn)行11個(gè)點(diǎn)的三次樣條插值：x=[-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5];y=[1/26,1/17,0.1,0.2,0.5,1,0.5,0.2,0.1,1/17,1/26];xi=-5:0.01:5;yi=interp1(x,y,xi,'spline');plot(xi,yi,x,y,'o')holdonf=inline('1/(x^2+1)');fplot(f,[-5,5],'r')

例2.9：對(duì)函數(shù)

進(jìn)行11個(gè)點(diǎn)的三次樣條插值：x=[-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5];y=[1/26,1/17,0.1,0.2,0.5,1,0.5,0.2,0.1,1/17,1/26];xi=-5:0.01:5;yi=interp1(x,y,xi,‘cubic');plot(xi,yi,x,y,'o')holdonf=inline('1/(x^2+1)');fplot(f,[-5,5],'r')

二維插值的定義

xyO第一種（網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)）：

已知m

n個(gè)節(jié)點(diǎn)其中互不相同，不妨設(shè)

構(gòu)造一個(gè)二元函數(shù)通過(guò)全部已知節(jié)點(diǎn),即再用計(jì)算插值，即第二種（散亂節(jié)點(diǎn)）：

yx0已知n個(gè)節(jié)點(diǎn)其中互不相同，

構(gòu)造一個(gè)二元函數(shù)通過(guò)全部已知節(jié)點(diǎn),即再用計(jì)算插值，即

注意：最鄰近插值一般不連續(xù)。具有連續(xù)性的最簡(jiǎn)單的插值是分片線性插值。最鄰近插值x

y(x1,y1)(x1,y2)(x2,y1)(x2,y2)O

將四個(gè)插值點(diǎn)（矩形的四個(gè)頂點(diǎn)）處的函數(shù)值依次簡(jiǎn)記為：

分片線性插值xy

(xi,yj)(xi,yj+1)(xi+1,yj)(xi+1,yj+1)Of(xi,yj)=f1，f(xi+1,yj)=f2，f(xi+1,yj+1)=f3，f(xi,yj+1)=f4插值函數(shù)為：第二片(上三角形區(qū)域)：(x,y)滿足插值函數(shù)為：注意：(x,y)當(dāng)然應(yīng)該是在插值節(jié)點(diǎn)所形成的矩形區(qū)域內(nèi)。顯然，分片線性插值函數(shù)是連續(xù)的；分兩片的函數(shù)表達(dá)式如下：第一片(下三角形區(qū)域)：(x,y)滿足

雙線性插值是一片一片的空間二次曲面構(gòu)成。雙線性插值函數(shù)的形式如下：其中有四個(gè)待定系數(shù)，利用該函數(shù)在矩形的四個(gè)頂點(diǎn)（插值節(jié)點(diǎn)）的函數(shù)值，得到四個(gè)代數(shù)方程，正好確定四個(gè)系數(shù)。雙線性插值x

y(x1,y1)(x1,y2)(x2,y1)(x2,y2)O要求x0,y0單調(diào)；x，y可取為矩陣，或x取行向量，y取為列向量，x,y的值分別不能超出x0,y0的范圍。z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)被插值點(diǎn)插值方法用MATLAB作網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值插值節(jié)點(diǎn)被插值點(diǎn)的函數(shù)值‘nearest’

最鄰近插值‘linear’

雙線性插值‘cubic’

雙三次插值缺省時(shí),雙線性插值例2.10：測(cè)得平板表面3*5網(wǎng)格點(diǎn)處的溫度分別為：828180828479636165818484828586試作出平板表面的溫度分布曲面z=f(x,y)的圖形。輸入以下命令：x=1:5;y=1:3;temps=[8281808284;7963616581;8484828586];mesh(x,y,temps)1.先在三維坐標(biāo)畫(huà)出原始數(shù)據(jù)，畫(huà)出粗糙的溫度分布曲圖.%輸入以下命令:xi=1:0.2:5;yi=1:0.2:3;zi=interp2(x,y,temps,xi',yi,'cubic');mesh(xi,yi,zi)2．以平滑數(shù)據(jù),在x、y方向上每隔0.2個(gè)單位的地方進(jìn)行插值,畫(huà)出插值后的溫度分布曲面圖.32已知某處山區(qū)地形選點(diǎn)測(cè)量坐標(biāo)數(shù)據(jù)為：x=0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5y=0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6海拔高度數(shù)據(jù)為：z=8990878592919693908782

9296989995918986848284

9698959290888584838185

8081828995969392898686

8285879899969788858283

8285899495939291868488

8892939495898786838192

9296979896939584828184

8585818280808185909395

8486819899989796958487

8081858283848790958688

8082818485868382818082

8788899899979698949287例2.11畫(huà)出該山區(qū)地形地貌圖.33插值前

插值后Tomountain.m最近鄰點(diǎn)插值雙線性插值雙三次插值

插值函數(shù)griddata格式為:

cz

=griddata（x，y，z，cx，cy，‘method’）用MATLAB作散點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值計(jì)算

要求cx取行向量，cy取為列向量．被插值點(diǎn)插值方法插值節(jié)點(diǎn)被插值點(diǎn)的函數(shù)值‘nearest’最鄰近插值‘linear’

雙線性插值‘cubic’

雙三次插值'v4'-MATLAB提供的插值方法缺省時(shí),雙線性插值例2.13:在某海域測(cè)得一些點(diǎn)(x,y)處的水深z由下表給出，船的吃水深度為5英尺，在矩形區(qū)域（75，200）×（-50，150）里的哪些地方船要避免進(jìn)入．4.作出水深小于5的海域范圍,即z=5的等高線.2.在矩形區(qū)域(75,200)×(-50,150)進(jìn)行插值。1.輸入插值基點(diǎn)數(shù)據(jù)3.作海底曲面圖步驟：%程序一：插值并作海底曲面圖x=[129.0140.0103.588.0185.5195.0105.5157.5107.577.081.0162.0162.0117.5];y=[7.5141.523.0147.022.5137.585.5-6.5-813.056.5-66.584.0-33.5];z=[48686889988949];x1=75:1:200;y1=-50:1:150;[x1,y1]=meshgrid(x1,y1);z1=griddata(x,y,z,x1,y1,'v4');meshc(x1,y1,z1)海底曲面圖%程序二：插值并作出水深小于5的海域范圍。x1=75:1:200;y1=-50:1:150;[x1,y1]=meshgrid(x1,y1);z1=griddata(x,y,z,x1,y1,'v4');%插值z(mì)1(z1>=5)=nan;%將水深大于5的置為nan，這樣繪圖就不會(huì)顯示出來(lái)meshc(x1,y1,z1)水深小于5的海域范圍

在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常遇到下列數(shù)據(jù)處理問(wèn)題：已知函數(shù)在m個(gè)點(diǎn)上的數(shù)據(jù)表，尋求其近似函數(shù)。

2.3曲線擬合問(wèn)題所謂”曲線擬合”,是指根據(jù)給定的數(shù)據(jù)表,尋找一個(gè)簡(jiǎn)單的表達(dá)式來(lái)”擬合”該組數(shù)據(jù),此處的”擬合”的含義為:不要求該表達(dá)式對(duì)應(yīng)的近似曲線完全通過(guò)所有的數(shù)據(jù)點(diǎn),只要求該近似曲線能夠反映數(shù)據(jù)的基本變化趨勢(shì).

已知函數(shù)在m個(gè)點(diǎn)上的數(shù)據(jù)表，尋求其近似函數(shù)。設(shè)的近似函數(shù)為其中是某函數(shù)族中的已知線性無(wú)關(guān)函數(shù)。(1)最小二乘多項(xiàng)式擬合稱為殘差向量尋求一組常數(shù)，要求的2-范數(shù)達(dá)到最小。如果m=n，且以及即多項(xiàng)式插值記則得到最小二乘問(wèn)題：上述問(wèn)題的解也稱為方程組的最小二乘解。當(dāng)時(shí)稱之為超定（或矛盾）方程組。例2.14：考察某種纖維的強(qiáng)度與其拉伸倍數(shù)的關(guān)系.下表是實(shí)際測(cè)定的24個(gè)纖維樣品的強(qiáng)度與相應(yīng)的拉伸倍數(shù)的數(shù)據(jù)記錄:編號(hào)拉伸倍數(shù)強(qiáng)度編號(hào)拉伸倍數(shù)強(qiáng)度11.91.41355.5221.3145.2532.11.81565.542.52.5166.36.452.72.8176.5662.72.5187.15.373.531986.583.52.72087944218.98.51043.52298114.54.2239.58.1124.63.524108.1可以看出,纖維強(qiáng)度隨拉伸倍數(shù)增加而增加并且24個(gè)點(diǎn)大致分布在一條直線附近該直線稱為這一問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。因此可認(rèn)為強(qiáng)度與拉伸倍數(shù)之間的主要關(guān)系是線性關(guān)系怎樣確定a,b,使得直線能較好地反映所給數(shù)據(jù)的基本“變化趨勢(shì)”?采用最小二乘的思想令問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求參數(shù)使

達(dá)到最小值。這種求線性函數(shù)y=a+bx的過(guò)程稱為線性擬合。(2)非線性擬合已知函數(shù)在若干個(gè)點(diǎn)上的數(shù)據(jù)表，確定參數(shù)和利用經(jīng)驗(yàn)函數(shù)擬合某組數(shù)據(jù)：某些非線性擬合問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為線性擬合問(wèn)題線性化處理：令則

由線性擬合方法可得到和，從而得到和。如何選取擬合函數(shù)？1.通過(guò)機(jī)理分析建立數(shù)學(xué)模型來(lái)確定f(x)；++++++++++++++++++++++++++++++f=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2f=a1+a2x+a3x2f=a1+a2/xf=aebxf=ae-bx2.將數(shù)據(jù)(xi,yi)i=1,…n作圖，通過(guò)直觀判斷確定f(x)：用MATLAB解擬合問(wèn)題1、線性最小二乘擬合2、非線性最小二乘擬合用MATLAB作線性最小二乘擬合1.作多項(xiàng)式f(x)=a1xm+…+amx+am+1擬合,可利用已有程序:a=polyfit(x,y,m)2.對(duì)超定方程組可得最小二乘意義下的解。，用3.多項(xiàng)式在x處的值y可用以下命令計(jì)算：

y=polyval（a，x）輸出擬合多項(xiàng)式系數(shù)a=[a1,…am,

am+1](數(shù)組)）輸入同長(zhǎng)度的數(shù)組X，Y擬合多項(xiàng)式次數(shù)即要求出二次多項(xiàng)式:中的使得:例2.15對(duì)下面一組數(shù)據(jù)作二次多項(xiàng)式擬合1）輸入以下命令：x=0:0.1:1;y=[-04471.9783.286.167.087.347.669.569.489.3011.2];R=[(x.^2)'x'ones(10,1)]；

A=R\y'解法1．用解超定方程的方法2）計(jì)算結(jié)果：Ａ=-9.810820.1293-0.03171）輸入以下命令：

x=0:0.1:1;y=[-0.4471.9783.286.167.087.347.669.569.489.3011.2];A=polyfit(x,y,2)z=polyval(A,x);plot(x,y,'k+',x,z,'r')%作出數(shù)據(jù)點(diǎn)和擬合曲線的圖形2）計(jì)算結(jié)果：Ａ=-9.810820.1293-0.0317解法2．用多項(xiàng)式擬合的命令1.lsqcurvefit已知數(shù)據(jù)點(diǎn)：xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan），

ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan）

用MATLAB作非線性最小二乘擬合Matlab的提供了兩個(gè)求非線性最小二乘擬合的函數(shù)：lsqcurvefit和lsqnonlin。兩個(gè)命令都要先建立M-文件fun.m，在其中定義函數(shù)f(x)，但兩者定義f(x)的方式是不同的.

lsqcurvefit用以求含參量x（向量）的向量值函數(shù)F(x,xdata)=（F（x，xdata1），…，F(xiàn)（x，xdatan））T中的參變量x(向量),使得

輸入格式為:(1)x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata);(2)x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,options);(3)x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,options,’grad’);(4)[x,options]=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,…);(5)[x,options,funval]=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,…);(6)[x,options,funval,Jacob]=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,…);fun是一個(gè)事先建立的定義函數(shù)F(x,xdata)

的M-文件,自變量為x和xdata說(shuō)明：x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,options);迭代初值已知數(shù)據(jù)點(diǎn)選項(xiàng)見(jiàn)無(wú)約束優(yōu)化

lsqnonlin用以求含參量x（向量）的向量值函數(shù)

f(x)=(f1(x),f2(x),…,fn(x))T

中的參量x，使得

最小。其中fi（x）=f（x，xdatai，ydatai）

=F(x,xdatai)-ydatai

2.lsqnonlin已知數(shù)據(jù)點(diǎn)：xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan）

ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan）輸入格式為：

1）x=lsqnonlin（‘fun’，x0）；

2）x=lsqnonlin

（‘fun’，x0，options）；

3）x=lsqnonlin

（‘fun’，x0，options，‘grad’）；

4）[x，options]=lsqnonlin

（‘fun’，x0，…）；

5）[x，options，funval]=lsqnonlin

（‘fun’，x0，…）；說(shuō)明：x=lsqnonlin

（‘fun’，x0，options）；fun是一個(gè)事先建立的定義函數(shù)f(x)的M-文件，自變量為x迭代初值選項(xiàng)見(jiàn)無(wú)約束優(yōu)化

例2.16用下面一組數(shù)據(jù)擬合中的參數(shù)a，b，k該問(wèn)題即解最優(yōu)化問(wèn)題：

1）編寫(xiě)M-文件curvefun1.m

functionf=curvefun1(x,tdata)f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)%其中x(1)=a;x(2)=b；x(3)=k;2）輸入命令tdata=100:100:1000cdata=1e-03*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];x0=[0.2,0.05,0.05];

x=lsqcurvefit('curvefun1',x0,tdata,cdata)f=curvefun1(x,tdata)

F(x，tdata)=，x=(a，b，k)解法1.用命令lsqcurvefit3）運(yùn)算結(jié)果為：f=0.00430.00510.00560.00590.00610.00620.00620.00630.00630.0063x=0.0063-0.00340.25424）結(jié)論：a=0.0063,b=-0.0034,k=0.2542

解法2

用命令lsqnonlin

f(x)=F(x,tdata,ctada)=x=（a，b，k）1）編寫(xiě)M-文件curvefun2.m

functionf=curvefun2(x)tdata=100:100:1000;cdata=1e-03*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)-cdata2）輸入命令:

x0=[0.2,0.05,0.05];x=lsqnonlin('curvefun2',x0)f=curvefun2(x)函數(shù)curvefun2的自變量是x，cdata和tdata是已知參數(shù)，故應(yīng)將cdatatdata的值寫(xiě)在curvefun2.m中3）運(yùn)算結(jié)果為

f=1.0e-003*(0.2322-0.1243-0.2495-0.2413-0.1668-0.07240.02410.11590.20300.2792x=0.0063-0.00340.2542可以看出,兩個(gè)命令的計(jì)算結(jié)果是相同的.4）結(jié)論：即擬合得a=0.0063b=-0.0034k=0.2542如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng)人口的增長(zhǎng)是當(dāng)前世界上引起普遍關(guān)注的問(wèn)題，并且我們會(huì)發(fā)現(xiàn)在不同的刊物預(yù)報(bào)同一時(shí)間的人口數(shù)字不相同，這顯然是由于用了不同的人口模型計(jì)算的結(jié)果。我國(guó)是世界第一人口大國(guó)，基本上地球每九個(gè)人中就有一個(gè)中國(guó)人。有效地控制我國(guó)人口的增長(zhǎng)是使我過(guò)全面進(jìn)入小康社會(huì)、到21世紀(jì)中葉建成富強(qiáng)民主文明的社會(huì)主義國(guó)家的需要。而有效控制人口增長(zhǎng)的前提是要認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，建立人口模型，作出較準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)。

例:如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng)例2.17：1949年—1994年我國(guó)人口數(shù)據(jù)資料如下：

年份xi1949195419591964196919741979198419891994人口數(shù)yi5.46.06.77.08.19.19.810.311.311.8建模分析我國(guó)人口增長(zhǎng)的規(guī)律,預(yù)報(bào)1999年我國(guó)人口數(shù)。模型一：假設(shè)人口隨時(shí)間線性地增加模型：參數(shù)估計(jì)觀測(cè)值的模型：

擬合的精度:誤差平方和?？梢运愠觯篴=-283.2320b=0.1480模型：y=–1.93+0.146x

則可看成是線性方程,用polyfit命令計(jì)算得：模型二：指數(shù)增長(zhǎng)模型可變?yōu)閅A=+BXa=2.33,b=0.0179則所求模型為:%程序nihe_2.m如下：x=[1949195419591964196919741979198419891994];y=[5.46.06.77.08.19.19.810.311.311.8];a=polyfit(x,y,1);x1=[1949:10:1994];y1=a(2)+a(1)*x1;b=polyfit(x,log(y),1);y2=exp(b(2))*exp(b(1)*x1);plot(x,y,'*')holdonplot(x1,y1,'--r')holdonplot(x1,y2,'-k')legend('原曲線','模型一曲線','模型二曲線')77例3：體重約70kg的某人在短時(shí)間內(nèi)喝下2瓶啤酒后，隔一定時(shí)間測(cè)量他的血液中酒精含量（mg/100ml），得到數(shù)據(jù)如表所示。試用所給數(shù)據(jù)用函數(shù)

進(jìn)行擬合，并求出未知常數(shù)。時(shí)間t/h0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量hmg/100ml306875828277686858515041時(shí)間t/h678910111213141516酒精含量hmg/100ml3835282518151210774

78分析：由于擬合函數(shù)形式已經(jīng)確定，且不是多項(xiàng)式函數(shù)，但若取對(duì)數(shù)可得這樣對(duì)參數(shù)

是線性的。因此可考慮先對(duì)數(shù)據(jù)h進(jìn)行對(duì)數(shù)變換，再調(diào)用lsqcurvefit()函數(shù)進(jìn)行擬合。79clearall;closeall;t=[0.250.50.7511.522.533.544.55678910111213141516];h=[3068758282776868585150413835282518151210774];h1=log(h);%對(duì)數(shù)變換f=inline(‘a(chǎn)(1)+a(2).*log(t)+a(3).*t’,‘a(chǎn)’,‘t’);[x,r]=lsqcurvefit(f,[1,0.5,-0.5],t,h1)%求參數(shù)lna,b,c的擬合值x=4.48340.4709-0.2663r=0.4097輸出結(jié)果：80

近年來(lái)我國(guó)的電信事業(yè)發(fā)展迅速，現(xiàn)已成世界第一電信大國(guó)。據(jù)統(tǒng)計(jì)某市的在過(guò)去近９年中通信工具的擁有量如下表（單位為萬(wàn)臺(tái)）：

應(yīng)用案例1：通信工具的發(fā)展趨勢(shì)

問(wèn)題的提出：使用matlab語(yǔ)句plot(x0,y0,’r.’,’Markersize’,10)81Oxy..........246810108642.........

應(yīng)用案例