人教版必修3第五章概率含解析高一數(shù)學(xué)考點(diǎn)難點(diǎn)分析

第五章概率

重點(diǎn)列表:

重點(diǎn)名稱重要指數(shù)

重點(diǎn)1隨機(jī)事件的概念★★★

重點(diǎn)2對立與互斥的概念★★★★

Q重點(diǎn)詳解:

1.隨機(jī)事件和確定事件

(1)在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫做相對于條件S的.

(2)在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫做相對于條件S的.

必然事件與不可能事件統(tǒng)稱為相對于一定條件的確定事件.

(3)在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做相對于條件S的.

(4)和.統(tǒng)稱為事件，一般用大寫字母4,B,C,…表示.

2.頻率與概率

(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的

次數(shù)乃為事件A出現(xiàn)的________,稱事件A出現(xiàn)的比例￡3=________為事件A出現(xiàn)的頻

率.

(2)對于給定的隨機(jī)事件A,如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的￡(⑷穩(wěn)定

在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)____________記作P(4),稱為事件4的.

(3)在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生的事件稱為.

3.事件的關(guān)系與運(yùn)算(類比集合的關(guān)系與運(yùn)算)

定義符號表示

如果事件/發(fā)生,

則事件8一定發(fā)

包含關(guān)系

生，這時(shí)稱事件(或4=鹵

B__事件4(或

稱事件A包含于事

件而

相等關(guān)系若8二4且4二8

若某事件發(fā)生當(dāng)且

僅當(dāng)事件4發(fā)生

并事件—事件6發(fā)AUB

(和事件)生，稱此事件為事（或A+8）

件力與事件6的并

事件

若某事件發(fā)生當(dāng)且

僅當(dāng)事件力發(fā)生

交事件一事件B發(fā)生，

(積事件)則稱此事件為事件(或第

A與事件B的交事

件

若______為不可能

互斥事件事件，則事件A與AQB=______

事件6互斥

若_______為不可

AQB=______

能事件，一

B=

對立事件為必然事件，那么

P（/f）+P（助=

稱事件4與事件8

互為對立事件

拓展：“互斥事件”與''對立事件”的區(qū)別及聯(lián)系：兩個(gè)事件/與8是互斥事件，有如下三種

情況：①若事件A發(fā)生，則事件6就不發(fā)生；②若事件5發(fā)生，則事件A就不發(fā)生；③事件

A,8都不發(fā)生.兩個(gè)事件力與5是對立事件，僅有前兩種情況.因此，互斥未必對立，但對

立一定互斥.

4.概率的幾個(gè)基本性質(zhì)

(1)概率的取值范圍：.

(2)必然事件的概率P出=.

(3)不可能事件的概率PS=.

(4)互斥事件概率的加法公式

①如果事件4與事件8互斥，則HAUB)=.

推廣：如果事件4,4,…，4兩兩互斥(彼此互斥)，那么事件4+4+…+4發(fā)生的概率，

等于這〃個(gè)事件分別發(fā)生的概率的和，即尸(4+4+…+4,)=.

②若事件8與事件A互為對立事件，則。(用=.

【答案】

1.(1)必然事件(2)不可能事件

(3)隨機(jī)事件(4)確定事件隨機(jī)事件

2.(1)頻數(shù)￡(2)頻率常數(shù)概率

(3)小概率事件

3.包含BqAA=B或且JAZ?0

AC\BAUB01

4.(1)OWP(4)W1(2)1(3)0

(4)①/M)+P⑵P(4)+。(4)+…+0(4)

②1一戶(而

重點(diǎn)1：隨機(jī)事件的概念

【要點(diǎn)解讀】

概率與頻率的關(guān)系

(1)頻率是一個(gè)隨機(jī)數(shù)，在試驗(yàn)前是不能確定的.

(2)概率是一個(gè)確定數(shù)，是客觀存在的，與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān).

(3)頻率是概率的近似值，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率一般會越來越接近概率，因而概率是頻

率的穩(wěn)定值.

【考向1】隨機(jī)事件的判斷

【例題】同時(shí)擲兩顆骰子一次，

(1)”點(diǎn)數(shù)之和是13”是什么事件？其概率是多少？

(2)”點(diǎn)數(shù)之和在2?13之間”是什么事件？其概率是多少？

(3)“點(diǎn)數(shù)之和是7”是什么事件？其概率是多少？

解：(1)由于點(diǎn)數(shù)最大是6,和最大是12,不可能得13,故此事件是不可能事件，其概率為0.

(2)由于點(diǎn)數(shù)之和最小是2,最大是12,在2?13之間，它是必然事件，其概率為1.

(3)由(2)知，和是7是有可能的，此事件是隨機(jī)事件.事件“點(diǎn)數(shù)之和是7”包含的基本事件有［1,6},

{2,5},{3,4},{4,3},{5,2},{6,1］共6個(gè)，因此該事件的概率4廈=：.

OXo0

【評析】明確必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的意義及相互聯(lián)系.判斷一個(gè)事件是哪類事件

要看兩點(diǎn)：一是看條件，二是看結(jié)果發(fā)生與否，在條件S下事件發(fā)生與否是對應(yīng)于條件S而言

的.

【考向2】不可能事件與必然事件

【例題】一個(gè)口袋內(nèi)裝有5個(gè)白球和3個(gè)黑球，從中任意取出一個(gè)球，

(1)”取出的球是紅球”是什么事件？它的概率是多少？

(2)”取出的球是黑球”是什么事件？它的概率是多少？

(3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？

解：(1)由于口袋內(nèi)裝有黑、白兩種顏色的球，故“取出的球是紅球”是不可能事件，其概率

為0.

(2)由已知，從口袋內(nèi)取出一個(gè)球，可能是白球，也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是隨

3

機(jī)事件，它的概率是1

⑶由于口袋內(nèi)裝的是黑、白兩種顏色的球，故取出一個(gè)球不是黑球，就是白球，因此，'’取

出的球是白球或黑球”是必然事件，它的概率為1.

重點(diǎn)2：對立與互斥的概念及應(yīng)用

【要點(diǎn)解讀】互斥事件、對立事件的判定方法

(1)利用基本概念

①互斥事件不可能同時(shí)發(fā)生；

②對立事件首先是互斥事件，且必有一個(gè)發(fā)生.

(2)利用集合的觀點(diǎn)來判斷

設(shè)事件A與8所含的結(jié)果組成的集合分別是A,B,

①事件{與6互斥，即集合/nQ0；

②事件{與8對立，即集合4AA0,且4U6=/(全集)，也即/=(〃或3=］〃；

③對互斥事件4與8的和4+6,可理解為集合4U8

3.只有事件46互斥時(shí)，才有公式戶(4+⑤=尸(4+。(而成立，否則公式不成立.

4.求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接法，將所求事件的概率分解為一些彼

此互斥事件概率的和，運(yùn)用互斥事件的求和公式計(jì)算；二是間接法，先求此事件的對立事件的

概率，再用公式m=i-/>(A),即運(yùn)用逆向思維的方法(正難則反)求解，應(yīng)用此公式時(shí)，

一定要分清事件的對立事件到底是什么事件，不能重復(fù)或遺漏.特別是對于含“至多"''至

少”等字眼的題目，用第二種方法往往顯得比較簡便.

【考向a對立與互斥的概念

【例題】判斷下列各組事件是否是互斥事件，并說明道理.

某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽，其中

(1)恰有1名男生和恰有2名男生；

(2)至少有一名男生和至少有一名女生；

(3)至少有一名男生和全是男生；

(4)至少有1名男生和全是女生.

解：(1)是互斥事件.

道理是：在所選的2名同學(xué)中，“恰有1名男生”實(shí)質(zhì)選出的是“一名男生和一名女生”，它與“恰有兩

名男生，，不可能同時(shí)發(fā)生，所以是一對互斥事件.

(2)不是互斥事件.

道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“兩名都是男生”兩種結(jié)果，“至少有1名女

生”包括“1名女生、1名男生”和“兩名都是女生”兩種結(jié)果，它們可能同時(shí)發(fā)生.

(3)不是互斥事件.

道理是：“至少有一名男生"包括“一名男生、一名女生”和“兩名都是男生”，這與“全是

男生”可同時(shí)發(fā)生.

(4)是互斥事件.

道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“兩名都是男生”兩種結(jié)果，它

和“全是女生”不可能同時(shí)發(fā)生.

【評析】判斷兩個(gè)事件是否為互斥事件，就是考查它們能否同時(shí)發(fā)生，如果不能同時(shí)發(fā)生，則

是互斥事件，否則，就不是互斥事件.判斷對立與互斥除了用定義外，也可以利用集合的觀

點(diǎn)來判斷.注意：①事件的包含、相等、互斥、對立等，其發(fā)生的前提條件應(yīng)是一樣的；②

對立是針對兩個(gè)事件來說的，而互斥可以是多個(gè)事件的關(guān)系.

【考向2】對立與互斥的應(yīng)用

【例題】經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某展覽館處排隊(duì)等候驗(yàn)證的人數(shù)及其概率如下表：

排隊(duì)人數(shù)012345

概率0.100.160.300.300.100.04

(1)求至多2人排隊(duì)的概率;

(2)求至少1人排隊(duì)的概率.

解：設(shè)沒有人排隊(duì)為事件4恰有1人排隊(duì)為事件瓦恰有2人排隊(duì)為事件C,至多2人排隊(duì)為事件2至

少1人排隊(duì)為事件瓦則事件4B,C兩兩互斥，事件力和E是對立事件，并且

由表格中的數(shù)據(jù)得了(⑷=0.10,產(chǎn)(5)=0.16,尸(?=0.30.

(1)至多2人排隊(duì)的概率為尸3)=/(力+8+C)=戶(⑷+尸(8)+尸(C)=0.10+0.16+0.30=0.56.

(2)至少1人排隊(duì)的概率為尸㈤=1一尸⑷=1-0.10=0.90.

【評析】求事件的概率常需求互斥事件的概率和，要學(xué)會把一個(gè)事件分拆為幾個(gè)互斥事件.當(dāng)

直接計(jì)算事件的概率比較復(fù)雜(或不能直接計(jì)算)時(shí)，通常是正難則反轉(zhuǎn)而求其對立事件的概

率.

◎難盧列表

7/雄總列衣：

難點(diǎn)名稱難度指數(shù)

難點(diǎn)1古典概型★★★★

難點(diǎn)2集合概型★★★★★

Q難點(diǎn)詳解:

古典概型

1.基本事件和基本事件空間的概念

(1)在一次試驗(yàn)中，我們常常要關(guān)心的是所有可能發(fā)生的基本結(jié)果，它們是試驗(yàn)中不能再分的

最簡單的隨機(jī)事件，其他事件可以用它們來描繪，這樣的事件稱為.

(2)所有基本事件構(gòu)成的集合稱為,常用大寫希臘字母___表示.

2.基本事件的特點(diǎn)

(1)任何兩個(gè)基本事件是___________的.

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成的和.

3.古典概型

具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型：

(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有個(gè).

(2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性.

4.古典概型的概率公式

在古典概型中，一次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果有〃個(gè)，如果某個(gè)事件4包含的結(jié)果有加個(gè)，那么事

件A的概率為1\A)=_______.

【答案】

1.（1）基本事件（2）基本事件空間Q

2.（1）互斥（2）基本事件

3.（1）有限（2）相等

m

4.-

n

幾何概型

1.隨機(jī)數(shù)是在一定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)，并且得到這個(gè)范圍內(nèi)任何一個(gè)滿足條件的數(shù)的機(jī)會

是.利用計(jì)算器，Excel,Scilab等都可以產(chǎn)生隨機(jī)數(shù).

2.幾何概型的定義

如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的（或）

成比例，則稱這樣的概率模型為，簡稱.

3.概率計(jì)算公式

在幾何區(qū)域〃中隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件”該點(diǎn)落在其內(nèi)部的一個(gè)區(qū)域，內(nèi)”為事件4則事件

｛發(fā)生的概率，（4=.求試驗(yàn)中幾何概型的概率，關(guān)鍵是

求得事件所占區(qū)域d和整個(gè)區(qū)域〃的幾何度量，然后代入公式即可求解.

【答案】

1.均等的

2.長度面積體積幾何概率模型

幾何概型

構(gòu)成事件力的區(qū)域的長度（面積或體積）

工試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的砥（面積或體積）

難點(diǎn)1：古典概型

【要點(diǎn)解讀】

1.古典概型（有些書籍也稱等可能概型）是概率論中最簡單且直觀的模型，在概率論的發(fā)展初

期曾是主要研究對象，許多概率的運(yùn)算法則都是在古典概型中得到證明的（遂謂之“古

典”）.要判斷一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，只需要判斷這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特征

——有限性和等可能性.

2.（1）如果基本事件的個(gè)數(shù)比較少，可用列舉法把古典概型試驗(yàn)所含的基本事件一一列舉出

來，然后再求出事件/中的基本事件數(shù)，利用公式尸（4）=色求出事件/的概率，這是一個(gè)形象

n

直觀的好方法，但列舉時(shí)必須按照某一順序做到不重復(fù)，不遺漏.

（2）如果基本事件個(gè)數(shù)比較多，列舉有一定困難時(shí)，也可借助兩個(gè)計(jì)數(shù)原理及排列組合知識直

接計(jì)算〃，77,再運(yùn)用公式以⑷=:求概率.

3,對于事件/的概率的計(jì)算，關(guān)鍵是要分清基本事件總數(shù)〃與事件力包含的基本事件數(shù)加因

此必須解決以下三個(gè)方面的問題：第一，本試驗(yàn)是否是等可能的；第二，本試驗(yàn)的基本事件數(shù)

有多少個(gè)：第三，事件/是什么，它包含的基本事件有多少個(gè).

4.較為簡單的問題可以直接使用古典概型概率公式計(jì)算，較為復(fù)雜的概率問題的處理方法

有：

（1）轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解；

（2）采用間接法，先求事件/的對立事件力的概率，再由尸（⑷=1—P（X）求事件4的概率.

【考向11基本事件與基本事件空間的概念

【例題】將一枚均勻硬幣拋擲三次.

（1）試用列舉法寫出該試驗(yàn)所包含的基本事件；

（2）事件4”恰有兩次出現(xiàn)正面向上”包含兒個(gè)基本事件；

⑶事件層”三次都出現(xiàn)正面向上”包含幾個(gè)基本事件.

解：（1）試驗(yàn)''將一枚均勻硬幣拋擲三次”所出現(xiàn)的所有基本事件有：（正，正，反），（正，

反，正），

（正，反，反），（正，正，正），（反，反，反），（反，反，正），（反，正，反），（反，正，

正）,共8種等

可能結(jié)果.

（2）事件4包含的基本事件有三個(gè)：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）.

（3）事件6包含的基本事件只有一個(gè)：（正，正，正）.

【評析】基本事件是試驗(yàn)中不能再分解的事件，是“最小”的“事件單位”.任何基本事件都

是互斥的，任何復(fù)雜事件都可以分解為基本事件，所有基本事件的全體組成基本事件空間.

【考向2】列舉基本事件求概率

【例題】小波以游戲方式?jīng)Q定是去打球、唱歌還是去下棋.游戲規(guī)則為：以。為起點(diǎn)，再從

4,Ai,As,4,4,4（如圖）這6個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個(gè)向量，記這兩個(gè)向量的

數(shù)量積為％若及0就去打球，若了=0就去唱歌，若*0就去下棋.

(-1j1)44?

________々一

-ionx

—r.

44(1,-1)

(1)寫出數(shù)量積才的所有可能取值；

(2)分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.

解：(1)犬的所有可能取值為-2,-1,0,1.

⑵數(shù)量積為-2的有近?X,共1種；

數(shù)蚩積為一1的有近?法，而?近，應(yīng)?施,瓦?法，OA-OA),近?淡，共6種;

數(shù)量積為0的有施?瓦，弦?淡，范?近，淡，?范，共4種；

數(shù)量積為1的有位?瓦，?OA,,OA.-0^,淡?瓦，共4種.

故所有可能的情況共有15種.

、,7

J小波去下棋的概率為

!□

.4

小波去唱歌的概率為餐卷,

!□

411

，小波不去唱歌的概率為月=1一41一記二正.

難點(diǎn)2：幾何概型

【要點(diǎn)解讀】

1.幾何概型與古典概型的關(guān)系

幾何概型是古典概型的補(bǔ)充和推廣，它要求隨機(jī)試驗(yàn)的基本事件空間包含無窮多個(gè)元素，每個(gè)

基本事件由在幾何空間(一維、二維、三維)中的某一區(qū)域G內(nèi)隨機(jī)而取的點(diǎn)的位置來確定；而

“基本事件發(fā)生或出現(xiàn)是等可能的”這一要求，兩種概率模型是高度統(tǒng)一的.

2.解決幾何概型問題，注意把握好以下幾點(diǎn)：

(1)能正確區(qū)分古典概型與幾何概型.

例1：在區(qū)間0,10］上任意取一個(gè)整數(shù)x,則x不大于3的概率為.

例2：在區(qū)間0,10］上任意取一個(gè)實(shí)數(shù)x,則x不大于3的概率為________.

例1的基本事件總數(shù)為有限個(gè)11,不大于3的基本事件有4個(gè)，此為古典概型，故所求概率

43

為石.例2的基本事件總數(shù)為無限個(gè)，屬于幾何概型，故所求概率為%.

（2）準(zhǔn)確分清幾何概型中的測度.

例3：在等腰RtZUZT中，ZC=90°,在直角邊比1上任取一點(diǎn)力，求NCW<30°的概率.

例4：在等腰Rt△{a'中，ZC=90°,在NCIS內(nèi)作射線交線段比1于點(diǎn)機(jī)求/。也<30°的

概率.

K

CM。B

例3中的測度定性為線段長度，當(dāng)麻=30°,。%=乎4個(gè)=乎3.滿足條件的點(diǎn)，"等可能

的分布在線段CM上，故所求概率等于喋=坐.例4中的測度定性為角度，過點(diǎn)A作射線與

LD6

線段⑦相交，這樣的射線有無數(shù)條，均勻分布在/G46內(nèi)，/。6=45°.所以所求概率等于

ZCMk300__2

ZC45=45^=3'

（3）科學(xué)設(shè)計(jì)變量，數(shù)形結(jié)合解決問題.

例5：某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機(jī)，想聽電臺整點(diǎn)報(bào)時(shí)，求他等待時(shí)間不多于

10分鐘的概率.

例6：某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，求表停的分鐘數(shù)與實(shí)際分鐘數(shù)差異不超過5分鐘的概率.

例5是《必修3》的例題，此題中的變量（單變量）可看作是時(shí)間的長度，故所求概率為線=

I5I

、例6容易犯解例5形成的定勢思維的錯(cuò)誤，得到錯(cuò)誤答案法=行.原因在于沒有認(rèn)清題中

的變量，本題的變量有兩個(gè)：手表停的分鐘數(shù)和實(shí)際分鐘數(shù)，都可取0,60］內(nèi)的任意時(shí)刻，

故所求概率需用到面積型幾何概型，由|x-y|W5結(jié)合線性規(guī)劃知識可解，故所求概率為

3二言?通過這兩道例題我們也可以看出，單變量多用線型測度，多變量需用面積（或

60144

體積）型測度.在畫好幾何圖形后，利用數(shù)形結(jié)合思想解題.

3.幾何概型并不限于向平面（或直線、空間）投點(diǎn)的試驗(yàn)，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有無限多個(gè)等可

能的基本結(jié)果，每個(gè)基本結(jié)果可以用平面（或直線、空間）中的一點(diǎn)來表示，而所有基本結(jié)果對

應(yīng)于一個(gè)區(qū)域。，這時(shí)，與試驗(yàn)有關(guān)的問題即可利用幾何概型來解決.

【考向1】以長度為度量的幾何概型

【例題】在半徑為1的圓內(nèi)的一條直徑上任取一點(diǎn)，過這個(gè)點(diǎn)作垂直于該直徑的弦，則弦長超

過圓內(nèi)接等邊三角形邊長的概率是.

解：記事件才為“弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長”.如圖，

不妨在過等邊三角形時(shí)的頂點(diǎn)8的直徑9,上任取一點(diǎn)7?,作垂直于直徑的弦，當(dāng)弦為時(shí),

就是等邊三角形的邊長，弦長大于制的充耍條件是圓心。到弦的距離小于：，由幾何概型公式

1

2X211

得：p（A）=-=~.故填右

【評析】①以線段長度為度量的幾何概型概率計(jì)算公式：尸（4）=

事件4對應(yīng)的線段長

憂監(jiān)需去麗牒贏盤葭自※②本題實(shí)際是著名的貝特朗悖論的解答之一，該“悖論”是

說：在一半徑為1的圓C內(nèi)任意作一弦，此弦長度大于該圓內(nèi)接正三角形邊長（十）的概率是

多少？由于題中“任意作弦”的提法不明確，與之對應(yīng)的隨機(jī)試驗(yàn)及基本事件也不同，從而

產(chǎn)生不同的概率問題.除了本例給出的解答外，還有兩種常見解答，而這三種解答結(jié)果各不相

同，從而形成所謂的“悖論”.另外兩種如下：（1）以^為半徑作圓「的同心圓G（圖1）,易

證弦的中點(diǎn)M落在圓G內(nèi)的充要條件為弦長?小,故所求概率等于二圓而積之比;；（H）設(shè)

弦48的一端固定于圓上，于是弦的另一端B是“任意”的，考慮正三角形4鹿（圖2）,弦長

/〉小的充要條件為6落在劣弧旎上，故所求概率為劣弧麗J弧長與圓周長之比】有興趣的同

學(xué)可以翻閱相關(guān)資料，并不妨探究一下：這三種解答采用的都是何種等可能性的假定？

【考向2】以面積為度量的幾何概型

【例題】（1）如圖所示，在邊長為1的正方形3以內(nèi)任取一點(diǎn)P（x,力.

①求△/%的面積大于［的概率;

②求點(diǎn)尸到原點(diǎn)的距離小于1的概率.

F,連接加；則當(dāng)點(diǎn)夕在線段必上時(shí)，以.=；,故滿

解：①如圖，取線段84的中點(diǎn)￡,

足條件的點(diǎn)〃所在的區(qū)域?yàn)榫匦卧诒龋幱安糠郑?

故所求概率為乎

?正方形出質(zhì)N

②所有的點(diǎn)。構(gòu)成正方形區(qū)域D,若點(diǎn)。到原點(diǎn)距離小于1,

則＜0<y<l,所以符合條件的點(diǎn)產(chǎn)構(gòu)成的區(qū)域是圓/+/=1在第一象限所圍的平面部分（圖

7+/<i.

n?I2

4n

中陰影部分）.二點(diǎn)/，到原點(diǎn)距離小于1的概率為：一

17,

【評析】①以面積為度量的幾何概型概率計(jì)算公式：尸=

事件/構(gòu)成區(qū)域的面積

②解此類問題的主要步驟為：列出條件組，畫出圖形,

整個(gè)試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域的面積.

計(jì)算面積，再求概率.③多注意數(shù)形結(jié)合.

（2）甲、乙兩人約定在6時(shí)到7時(shí)之間在某處會面，并約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘，過時(shí)

即可離去.求兩人能會面的概率.

解：以*軸和尸軸分別表示甲、乙兩人到達(dá)約定地點(diǎn)的時(shí)間，則兩人能夠會面的充要條件是

<15.在如圖所示平面直角坐標(biāo)系下，（必的所有可能結(jié)果是邊長為60的正方形區(qū)域，而事件力“兩人

能夠會面”的可能結(jié)果由圖中的陰影部分表示.由幾何概型的概率公式得：

,、S?*60J-45J105X157

產(chǎn)⑷602-3600-16'

.7

所以，兩人能會面的概率是指.

10

【評析】①平面直角坐標(biāo)系內(nèi)用X軸表示甲到達(dá)約會地點(diǎn)的時(shí)間，y軸表示乙到達(dá)約會地點(diǎn)的

時(shí)間，用0分到60分表示6時(shí)到7時(shí)的時(shí)間段，則橫軸0到60與縱釉0到60的正方形中任

一點(diǎn)的坐標(biāo)（x,。就表示甲、乙兩人分別在6時(shí)到7時(shí)時(shí)間段內(nèi)到達(dá)的時(shí)間.而能會面的時(shí)間

由|W15所對應(yīng)的圖中陰影部分表示.②本題的難點(diǎn)在于把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何模型.

【考向3】以體積為度量的幾何概型

【例題】在棱長為a的正方體ABCD-A^C^內(nèi)任取一點(diǎn)P,則點(diǎn)尸到點(diǎn)A的距離不大于a的概

率為（）

A.3一B./一兀C.TD.—

Nzbb

解：滿足條件的點(diǎn)在以力為球心，半徑為3的區(qū)內(nèi)，所以所求概率為4T—故選D.

【評析】①以體積為度量的幾何概型概率計(jì)算公式：々試驗(yàn)整年矗矗S就J體積;

②對于以體積為度量的幾何概型，要根據(jù)空間幾何體的體積計(jì)算方法，把概率計(jì)算轉(zhuǎn)化為空間

幾何體的體積計(jì)算.

【考向4】隨機(jī)模擬

【例題】一只海豚在水池中游弋，水面為長30m,寬20m的長方形，隨機(jī)事件4記為“海豚

嘴尖離岸邊不超過2m”.

（1）試設(shè)計(jì)一個(gè)能估算出事件A發(fā)生的概率的算法；

⑵求尸（⑷的準(zhǔn)確值.

解：(1)建立如圖的直角坐標(biāo)系，并用計(jì)算機(jī)所產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)x和y組成的有序數(shù)組(無力來

表示海豚嘴尖的坐標(biāo).

這里幾何區(qū)域。所表示的范圍為長方形：xe(-15,15),ye(-10,10),事件/所表示的區(qū)域

為圖中的陰影部分d：|^|-15W2,或一10W2.

算法框圖如下：

r^"i

/輸出%普/

I結(jié)束I

(2)如圖所示，所求概率為

—陰影部分的面積30X20—26X1623

一區(qū)域冰)面積-30X20~751

【評析】①簡單說明：〃記錄做了多少次試驗(yàn)，0記錄其中有多少次(x,.力出現(xiàn)在陰影部分；

rand()X30-15產(chǎn)生一15?15之間的隨機(jī)數(shù)作為海豚嘴尖的橫坐標(biāo)，rand()X20-10產(chǎn)生一

10?10之間的隨機(jī)數(shù)y作為海豚嘴尖的縱坐標(biāo)；||x|一151W2或||y|一1。|W2判斷(x,y)

是否落在陰影部分.②隨機(jī)模擬的是計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，而算法的引入為模擬提供了可能，隨

著新課標(biāo)注重應(yīng)用的不斷深入，此類問題會倍受關(guān)注.

【趁熱打鐵】

1.有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能

性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為()

1-23

A-3B-2C-3D-4

2.在區(qū)間一2,3]上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)X,則底1的概率為（）

4321

A--a

5B.5D.

3.從1,2,5-…，5-9中任取兩數(shù)，其中：①恰有一個(gè)偶數(shù)和恰有一個(gè)奇數(shù)；②至少有一個(gè)奇數(shù)

和兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)；③至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)；④至少有一個(gè)奇數(shù)和至少有一個(gè)偶

數(shù).

在上述事件中，是對立事件的是（）

A.①B.②④C.③D.①③

4.在1,2,3,4,5,6,7,8這組數(shù)據(jù)中，隨機(jī)取出五個(gè)不同的數(shù)，則數(shù)字5是取出的五個(gè)

不同數(shù)的中位數(shù)的概率為（）

9995

--C-

B.D.9-

562814

5.安排甲、乙、丙、丁四人參加周一至周六的公益活動，每天只需一人參加，其中甲參加三

天活動，乙、丙、丁每人參加一天，那么甲連續(xù)三天參加活動的概率為（）

1111

4-a

R.54-D.2-

15

6.設(shè)立是一個(gè)正整數(shù)，已知（1+0的展開式中第四項(xiàng)的系數(shù)為親，函數(shù)尸f與尸履的圖

象所圍成的區(qū)域如圖中陰影部分所示，任取xGO,4],y￡0,16],則點(diǎn)（x,力恰好落在陰影

部分內(nèi)的概率為（）

A衛(wèi)B包一7

96326D?欣

7.如圖，在矩形區(qū)域4四的4C兩點(diǎn)處各有一個(gè)通信基站，假設(shè)其信號的覆蓋范圍分別是

扇形區(qū)域4%,和扇形區(qū)域煙’（該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源，基站工作正常）.若在該矩形區(qū)

域內(nèi)隨機(jī)地選一地點(diǎn)，則該地點(diǎn)無信號的概率是（）

nJInJI

A.1-7B.——1C.2——D—

8.已知數(shù)列｛&J是等差數(shù)列，從囪，改,也,國，品，國，&中取走任意四項(xiàng)，則剩下三項(xiàng)構(gòu)成

等差數(shù)列的概率為（）

a6n9

A—B—

3535

一9一6

C.1或去D.1或正

3535

眸后2,

9.在不等式組—所表示的平面區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)P,若點(diǎn)夕的坐標(biāo)（心力滿足y》kx

的概率為3則實(shí)數(shù)在=（）

21

A.4B.2C.-D.-

10.如圖所示，在長方體ABCDABG仄中,E,〃分別是棱46,〃。上的點(diǎn)（點(diǎn)￡與5不重

合），&EH"AD,過夕/的平面與棱陽，CG相交，交點(diǎn)分別為凡G.若AB=2AAi=2a,EF=

&B、E=B\F,在長方體〃內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自于幾何體力/座〃〃筋內(nèi)

的概率為（）

A.77B.TC.77D.~

164168

第五章

1.A甲、乙兩人都有3種選擇，共有3X3=9種情況，甲、乙兩人參加同一興趣小組共有3

種情況，

31

甲、乙兩人參加同一興趣小組的概率故選A.

2.B這是一個(gè)幾何概型問題，測度是長度，此問題的總體長度為5,使得“朕1”的長度為

3

3,故〃（辰1）=三

3

3.C從1,2,…，9中任取兩數(shù)，包括一奇一偶、二奇、二偶，共三種互斥事件，所以只有

③中的兩個(gè)事件才是對立的.

4.B要滿足題意，則抽取的除5以外的四個(gè)數(shù)字中，有兩個(gè)比5小，有兩個(gè)比5大，故所求

概率片生￡J

帆千C?28-

5.B由題意分析可得，甲連續(xù)三天參加活動的所有情況為：第1?3天，第2?4天，第3?

4?A?1

5天，第4?6天，共4種，.?.所求概率/三可二不=不

6.C由題意得。,=看，解得*=4.因?yàn)楹瘮?shù)尸產(chǎn)與尸4片的交點(diǎn)坐標(biāo)為（4,4）,所以陰影部分的面積

工=/（4/一方九二（29一家）|：二手

二?任取/€[0,4],[0,16],

..以M尸為橫、縱坐標(biāo)的所有可能的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域面積耳=4X16=64,所以所求概率4*=看故選C.

Si0

n

冗it2X1-2

7.A依題意，有信號的區(qū)域面積為:X2=2,矩形的面積為2,故所求概率為々,乂]

4/ZA1

H

=1——---

4,

8.C當(dāng)?shù)炔顢?shù)列｛4｝的公差為0時(shí)，剩下三項(xiàng)一定構(gòu)成等差數(shù)列，故概率為L

當(dāng)?shù)炔顢?shù)列｛a｝的公差不為0時(shí)，從國，改,a3,a,左，M，2中取走任意四項(xiàng)，剩下三項(xiàng)的

總數(shù)有C；=35（種），

剩下三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，則符合條件的有（國，女,念），（。，力,ai）,（國,國，生），（國,全，

戊），（企，曲，ai）,（a,屋）,（殳，a”條），（&,備，&），（a,a,a）9種情況，故剩下

9

三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列的概率為正.

思路點(diǎn)撥：根據(jù)公差是否為0進(jìn)行分類討論，由題意可求得所有的基本事件數(shù)目，也可求得符

合條件的基本事件數(shù)目，由古典概型概率公式求解.

9.D如圖，滿足不等式組的區(qū)域是邊長為2的正方形，面積是4,假設(shè)滿足不等式y(tǒng)2我的

區(qū)域如圖陰影部分，其面積為4-；X2X2k由幾何概型的概率公式得點(diǎn)尸的坐標(biāo)（x,D滿足

4-1x2X2A

的概率為-----------=1,解得*=].

_______________________

x^r~i~2n

因?yàn)樾边呉訲—a,所以劣￡—5/—*a

10.D在等腰直角三角形區(qū)）中

根據(jù)幾何概型概率公式，得

VA、ABF&D\DCGH

吟VABBA-DCCD

VABRhDC。。一VEFB「HGC\

VABBxAx-DCGDx

VEFB「HGC\

=1-----------------------

VABBA-DCG"

S/XEF&浮,&F

=1-----；---------------=1------------7,---

疏形［陰42a

1亞亞「］故選D.

——1，?1-cl?1-3.—1—'

44228；5

贈:

我的寫字心得體會

從小開始練習(xí)寫字，幾年來我認(rèn)認(rèn)真真地按老師的要求去

練習(xí)寫字。

以前練習(xí)寫字，大多是在印有田字格或米字格的練習(xí)本上

進(jìn)行。教材中田字格或米字格里的范字我都認(rèn)真仿寫，其難度

較大。我寫起來標(biāo)準(zhǔn)難以掌握，不是靠上了，就是靠下了；不

是偏左，就是偏右。后來在老師的指導(dǎo)下，我練習(xí)寫字時(shí)，一

開始觀察字的筆畫偏旁在格子中的位置，做到心中有數(shù)，然后

才進(jìn)行仿寫，并要求把字盡量寫大，要寫滿格子。這樣寫的好

處有兩個(gè)：一是培養(yǎng)我讀帖習(xí)慣，可以從整體布局上糾正我不

能把字寫在格子正確位置上的毛?。欢谴偈刮伊?xí)慣寫大字，

這樣指關(guān)節(jié)、腕關(guān)節(jié)運(yùn)動幅度大，能增強(qiáng)手指、手腕的靈活

性，有利于他們寫字水平的持續(xù)提高。這使我意識到，寫字必

須做到以下幾點(diǎn)：

一、提高對練字重要性的認(rèn)識。

寫字不僅能培養(yǎng)我們認(rèn)真、細(xì)心的良好習(xí)慣，勤奮、刻苦

的精神，健康、高雅的情趣，還能促進(jìn)自己的注意力、觀察

力、意志力、審美力的發(fā)展。

二、能使我的寫字姿勢得到訓(xùn)練。

握筆姿勢和坐姿是否正確，不但會影響字的美觀和書寫的

速度，而且會影響自己的視力和身體的正常發(fā)育。寫字時(shí)隨時(shí)

提醒自己寫字時(shí)要做到“三個(gè)一”（眼離書本一尺遠(yuǎn)，胸離書

桌一拳遠(yuǎn)，手離筆尖一寸遠(yuǎn)）。有意識地注意糾正自己的姿

勢，并持之以恒。逐漸地，這樣就能保持正確、良好的寫字姿

勢。

%

15?-))—3

許

皆呼

條網(wǎng)考

85

三、做好進(jìn)行自我評價(jià)。

及時(shí)進(jìn)行自評可以增強(qiáng)自己的興趣和積極性，找出自己的

缺點(diǎn)。在自我評價(jià)后，要找爸爸媽媽進(jìn)行檢查和督導(dǎo)，讓大人

談?wù)勀男┳謱懙煤茫迷谀睦?；哪些字寫得不好，為什么沒有

寫好。和家長共同評價(jià)、交流寫字積極性會更高。