山東省青島市萊西市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

高一學(xué)業(yè)水平階段性檢測（四）數(shù)學(xué)試題本試卷共22題．全卷滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，請將答題卡上交．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.對于下列四個命題：①滿足的復(fù)數(shù)只有、；②若、，且，則是純虛數(shù)；③復(fù)數(shù)的充要條件是；④在復(fù)平面內(nèi)，軸叫做實軸，軸叫做虛軸．其中真命題的個數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解方程，可判斷①；取，可判斷②；設(shè)，由可求得的值，可判斷③；利用復(fù)平面的相關(guān)知識可判斷④.【詳解】對于①，由可得，解得，①錯；對于②，當時，則，此時，為實數(shù)，②錯；對于③，設(shè)，若，所以，復(fù)數(shù)的充要條件是，③對；對于④，在復(fù)平面內(nèi)，軸叫做實軸，軸叫做虛軸，④對,所以，真命題的個數(shù)為.故選：C.2.若直線不平行于平面，且，則下列結(jié)論成立的是（）A.內(nèi)不存在與異面的直線 B.內(nèi)存在與平行的直線C.內(nèi)存在唯一一條直線與相交 D.內(nèi)存在與垂直的直線【答案】D【解析】【分析】利用圖形判斷A選項；利用反證法可判斷B選項；設(shè)，取內(nèi)所有過點的直線可判斷C選項；利用線面垂直的性質(zhì)可判斷D選項.【詳解】因為直線不平行于平面，且，則直線與平面相交，對于B選項，若內(nèi)存在與平行的直線，則，且，，則，與題設(shè)矛盾，B錯；對于A選項，如下圖所示：設(shè)，設(shè)直線滿足，且，在平面內(nèi)存在直線，使得，且，由A選項可知，與不平行，若，則、，且、，從而有，與題設(shè)矛盾，故與異面，即在平面內(nèi)存在直線與直線異面，A錯；對于C選項，設(shè)，則平面內(nèi)所有過點的直線均與直線相交，C錯；對于D選項，設(shè)，在直線上取異于點的一點，設(shè)點在平面內(nèi)的射影為點，連接，在平面內(nèi)存在直線，使得，因為，，則，因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，故內(nèi)存在與垂直直線，D對.故選：D.3.如果一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)比平均數(shù)小很多，則下列敘述一定錯誤的是（）A.數(shù)據(jù)中可能有異常值 B.這組數(shù)據(jù)是近似對稱的C.數(shù)據(jù)中可能有極端大的值 D.數(shù)據(jù)中眾數(shù)可能和中位數(shù)相同【答案】B【解析】分析】根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)的定義說明．【詳解】中位數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的一般水平，平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的平均水平，如果這兩者差不多，說明數(shù)據(jù)分布較均勻，也可以看作近似對稱，但現(xiàn)在它們相關(guān)很大，說明其中有異常數(shù)據(jù)，有極端大的值，眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，可能不止一個，當然可以和中位數(shù)相同，因此只有B錯誤．故選：B．【點睛】本題考查樣本數(shù)據(jù)特征，掌握它們的概念是解題基礎(chǔ)．4.拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚硬幣正面向上”，事件“第二枚硬幣反面向上”；下列結(jié)論正確的是（）A. B.與互斥C.與相等 D.與是對立事件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)事件發(fā)生的結(jié)果，仔細辨別對立事件、互斥事件和相等事件即可.【詳解】A選項，因為，所以，故A選項正確；B選項，事件與可以同時發(fā)生，所以與不是互斥事件，故B選項錯誤；C選項，事件與可以同時發(fā)生，也可能不同時發(fā)生，所以與不相等，故C選項錯誤；D選項，事件與可以同時發(fā)生，所以與不是對立事件，故D選項錯誤；故選：A.5.為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上的所有點（）A.向左平移個單位長度，然后把圖象上各點的坐標縱坐標伸長到原來的2倍B.向右平移個單位長度，然后再把圖象上各點的縱坐標縮短到原來的倍C.向左平移個單位長度，然后再把圖象上各點的縱坐標伸長到原來的2倍D.向右平移個單位長度，然后再把圖象上每點的縱坐標縮短到原來的倍【答案】A【解析】【分析】用輔助角公式先把函數(shù)化為，再用三角函數(shù)的圖象變換法則即可求解.【詳解】因為，把的圖象上的所有點向左平移個單位長度后，得到的圖象，然后再把圖象上各點的坐標縱坐標伸長到原來的2倍即可得到的圖象.故選：A6.已知，，點P在直線上，且，則點P的坐標為（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】設(shè)點P的坐標為，表示出，的坐標，由且P在直線上，故分或兩種情況討論，根據(jù)向量相等得到方程組，解得．【詳解】解：設(shè)點P的坐標為，，則，．由且點P在直線上，得或．∴或解得或∴點P坐標為或．故選：【點睛】本題考查向量的坐標運算，屬于基礎(chǔ)題.7.對于，若存在，滿足，則稱為“類三角形”．“類三角形”一定滿足．A.有一個內(nèi)角為 B.有一個內(nèi)角為C.有一個內(nèi)角為 D.有一個內(nèi)角為【答案】B【解析】【分析】由對稱性，不妨設(shè)和為銳角，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系進行化簡求值即可．【詳解】解：由對稱性，不妨設(shè)和為銳角，則A，B，所以：+＝π﹣（A+B）＝C，于是：cosC＝sin＝sin（+）＝sinC，即：tanC＝1，解得：C＝45°，故選B．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的化簡求值，注意新定義運算法則，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．8.在三棱錐中，，若該三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可得等腰直角三角形和等腰直角三角形，取的中點，明確其為外接球的球心，根據(jù)線面垂直的判定定理，分割三棱錐，利用其體積公式，求得半徑，結(jié)合球的體積公式，可得答案.【詳解】由題意可作圖如下：設(shè)的中點為，的中點為，連接，因為，，，所以，所以.所以為三棱錐外接球的球心，設(shè)其半徑為，又，且，所以，，則，又由，，且，平面，則平面所以，解得，所以外接球的體積.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)：的點為，則下列結(jié)論中正確的為（）A.若，則 B.若在直線上，則C.若為純虛數(shù)，則 D.若在第四象限，則【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的基本概念直接判斷選項即可.【詳解】對于A，若，則，得，故A錯誤；對于B，因為在直線上，所以，則，故B錯誤；對于C，若為純虛數(shù)，則，即，此時虛部不為0，故C正確；對于D，若在第四象限，則，解得，故D正確.故選：CD10.為調(diào)查禽類某種病菌感染情況，某養(yǎng)殖場每周都定期抽樣檢測禽類血液中指標的值．養(yǎng)殖場將某周的5000只家禽血液樣本中指標的檢測數(shù)據(jù)進行整理，繪成如圖所示的頻率分布直方圖．根據(jù)該頻率分布直方圖，對于這5000只家食血液樣本中的指標值，下列的敘述正確的為（）A.估計指標值的中位數(shù)為 B.估計A指標值的80%分位數(shù)為9C.估計A指標值的眾數(shù)為 D.估計A指標值的第25百分位數(shù)為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，由頻率分布直方圖分別計算中位數(shù)，眾數(shù)以及百分位數(shù)即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可知，，解得，因為，，所以中位數(shù)在之間，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，故A正確；觀察頻率分布直方圖可得，的頻率最大，所以眾數(shù)為8，故C錯誤；由頻率分布直方圖可知，前兩組的頻率之和為，小于，所以第25百分位數(shù)位于第3組，則，故D正確；且前四組的頻率之和為，所以80%分位數(shù)為9，故B正確；故選：ABD11.一個袋子中有標號分別為、、、的四個球，除了標號外沒有其它差異，現(xiàn)采用不放回方式從中任意摸球兩次，設(shè)事件“第一次摸出球的標號小于”，事件“第二次摸出球的標號小于”，則下列選項正確的為（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】列舉出所有的基本事件，確定每個選項中各事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得各選項中事件的概率.【詳解】采用不放回方式從中任意摸球兩次，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、，共種，對于A選項，事件包含的基本事件有：、、、、、，共種，則，A錯；對于B選項，事件包含的基本事件有：：、、、、、、、、、，共種，則，B對；對于C選項，事件包含的基本事件有：、，共種，故，C對；對于D選項，事件包含的基本事件有：、、、、、，共種，故，D錯.故選：BC.12.三棱錐滿足下列兩個條件：①；②．若，記二面角的大小為，則下列選項中可以取到的為（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】設(shè)，，，將三棱錐沿著、、剪開，然后將、分別沿著、都展開在所在的平面內(nèi)，延長、交于點，則四邊形為正方形，計算得出，在三棱錐中，過點在平面內(nèi)作，連接，推導(dǎo)出，利用基本不等式計算的取值范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可得出的范圍，即可得出合適的選項.【詳解】設(shè)，，，將三棱錐沿著、、剪開，然后將、分別沿著、都展開在所在的平面內(nèi)，如下圖所示，得五邊形，由題設(shè)知，，延長、交于點，則四邊形為正方形，且，，，在中，有，互，解得，在三棱錐中，過點在平面內(nèi)作，連接，因為，，，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，因為，，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，故為二面角的平面角，則，因為平面，平面，所以，，故，在中，，在中，，從而，而余弦函數(shù)在時單調(diào)遞減，所以，，故選：CD.【點睛】方法點睛：求二面角常用的方法：（1）幾何法：二面角的大小常用它的平面角來度量，平面角的作法常見的有：①定義法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性質(zhì)；（2）空間向量法：分別求出兩個平面的法向量，然后通過兩個平面法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求二面角是銳角還是鈍角.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖的面積為，則該圓錐的高為_______.【答案】【解析】【分析】求出圓錐的母線長，利用勾股定理可求得該圓錐的高.【詳解】設(shè)該圓錐的母線長為，高為，圓錐的側(cè)面積為，可得，因此，該圓錐高為.故答案為：.14.已知，則在上的投影向量的坐標為_______；【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，先由平面向量的坐標運算得到，然后由投影向量的定義，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，則在上的投影向量的坐標為：.故答案為：.15.甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中任想一個數(shù)字，記為，再由乙猜甲剛才想的數(shù)字把乙猜的數(shù)字記為，且，，若，則稱甲乙“心有靈犀”現(xiàn)任意找兩個人玩這個游戲，得出他們”心有靈犀”的概率為______．【答案】【解析】【分析】由題意知是古典概型，從0~9中任意取兩個數(shù)共有100種取法，列出滿足所有可能情況，代入公式得到結(jié)果．【詳解】由題意知本題是一個古典概型，試驗發(fā)生的所有事件是從，，，，，，，，，十個數(shù)中任取兩個共有種不同的結(jié)果，則的情況有；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；共種情況，他們”心有靈犀”的概率為．故答案為：．16.設(shè)銳角三角形的內(nèi)角所對的邊分別為，，則的取值范圍為__________．【答案】【解析】【詳解】由正弦定理及有，所以,則，由已知有，所以．點睛：本題主要考查了正弦定理，兩角差正弦公式以及兩角和正弦公式的逆用，屬于中檔題．本題關(guān)鍵是靈活運用這些公式．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17已知復(fù)數(shù)和滿足：，若，求和．【答案】答案見解析【解析】【分析】由可得，代入化簡，然后設(shè)代入上式化簡，再利用復(fù)數(shù)相等的條件列方程組可求得結(jié)果.【詳解】解：由可得：，將其代入可得：，設(shè)，則，化簡得，∴解之得：或，或當時，；當時，．18.試分別解答下列兩個小題：（1）設(shè)和分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數(shù)，記事件“方程沒有實根”，事件“方程有且僅有一個實根”，求．（2）甲、乙、丙三位同學(xué)各自獨立地解決同一個問題，已知這三位同學(xué)能夠正確解決這個問題的概率分別為，記“三人中只有一個人正確解決了這個問題”，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用古典概型的概率公式分別算出和，進而可得結(jié)果；（2）分別計算出只有甲、乙、丙正確解決這個問題的概率，從而可得.【小問1詳解】設(shè)樣本空間為，則，樣本點的個數(shù)為36個，，為滿足，必須：當時，；當時，；當時，；當時，.中樣本點的個數(shù)為17個，，，為滿足，必須：當時，；當時，，中樣本點的個數(shù)為2個，【小問2詳解】∵這三位同學(xué)能夠正確解決這個問題的概率分別為，∴僅甲同學(xué)單獨解決了這個問題的概率為：僅乙同學(xué)單獨解決了這個問題的概率為：僅丙同學(xué)單獨解決了這個問題的概率為：19.如圖，在三棱錐中，作平面，垂足為，連接并延長交棱于點為棱上的一點，若，二面角的大小與相等，求證：平面.【答案】證明見解析【解析】【分析】連接，推出平面，，得為二面角的平面角，根據(jù)推出，再根據(jù)線面垂直的判定可得平面.【詳解】連接，平面，平面，，，平面，平面，因為平面，，因為平面，又，為二面角的平面角，，平面平面，又，，，從而，平面平面20.試分別解答下列兩個小題：（1）已知向量和都是非零向量，且與垂直，與垂直，記向量與的夾角為，求．（2）在中，內(nèi)角的對邊分別為，若．試將表示成關(guān)于的表達式，并求出的取值范圍．【答案】（1）（2）；【解析】【分析】（1）由已知可得，解得，然后利用向量的夾角公式求解出，再利用兩角差的正切公式可求得結(jié)果；（2）利用數(shù)量積的定義結(jié)合余弦定理可得，再利用基本不等式求出的范圍，從而可求得的取值范圍．【小問1詳解】因為與垂直，與垂直，所以，，解得，所以，因為，所以，所以，【小問2詳解】因為，所以，因為所以所以，因為，，，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，所以所以21.如圖，四邊形是邊長為2的正方形，平面，