新課標(biāo)版八年級(jí)上數(shù)學(xué)知識(shí)體系

八年級(jí)數(shù)學(xué)〔上冊(cè)〕知識(shí)體系初二數(shù)學(xué)〔上〕單元考試重點(diǎn)第十一章全等三角形全等三角形的性質(zhì)及判定第十二章軸對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)及判定第十三章實(shí)數(shù)算術(shù)平方根與平方根的區(qū)別及聯(lián)系第十四章一次函數(shù)一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及其應(yīng)用第十五章整式的乘除與因式分解整式的乘除運(yùn)算及因式分解全等三角形知識(shí)概述1、全等形與全等三角形及相關(guān)概念〔1〕能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形，能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.〔2〕把兩個(gè)全等的三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫做對(duì)應(yīng)角.〔3〕全等三角形的表示方法：如上圖中的△ABC與△DEF全等，記作：△ABC≌△DEF.2、全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.3、三角形畫(huà)一個(gè)三角形，使它們的三條邊對(duì)應(yīng)相等.△ABC，畫(huà)△A′B′C′，使A′B′=AB，A′C′=AC，B′C′=BC.〔1〕畫(huà)線段B′C′=BC；〔2〕分別以B′、C′為圓心，線段AB、AC為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)A′；〔3〕連接線段A′B′、A′C′.那么△A′B′C′即為所求三角形，如下列圖4、全等三角形的條件〔一〕三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.5、全等三角形的判別條件〔二〕①兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.簡(jiǎn)稱(chēng)為“邊角邊”或“SAS”.②“邊角邊”的推理過(guò)程在△ABC和△A′B′C′中∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)6、兩邊及一邊的對(duì)角的情形①有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.②說(shuō)明一個(gè)結(jié)論不成立只需舉一個(gè)反例即可。如圖在△ABC與△ABD中，AB=AB，AC=AD.∠B=∠B，但△ABC與△ABD不能重合，故△ABC與△ABD不全等.③該結(jié)論應(yīng)與兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等區(qū)別開(kāi)來(lái)，不能混為一談.7、三角形全等的條件〔三〕兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.8、三角形全等的條件〔四〕兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.9、三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的情形三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.10、三角形全等的條件的選用選擇哪種方法判定兩個(gè)三角形全等，要根據(jù)具體情況和題設(shè)條件確定，其根本思路見(jiàn)下表：條件可選擇的判定方法一邊一角對(duì)應(yīng)相等SASAASASA兩角對(duì)應(yīng)相等ASAAAS兩邊對(duì)應(yīng)相等SASSSS11、直角三角形全等的判定條件——HL如果兩個(gè)直角三角形的斜邊及一條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形全等.12、直角三角形全等的判定方法的綜合運(yùn)用.判定兩個(gè)直角三角形全等的方法有五種，即SSS、SAS，ASA、AAS，HL.13、判定條件的選擇技巧〔1〕上述五種方法是判定兩直角三角形全等的方法，但有些方法不可能運(yùn)用.如SSS，因?yàn)橛袃蛇厡?duì)應(yīng)相等就能夠判定兩個(gè)直角三角形全等.〔2〕判定兩個(gè)直角三角形全等，必須有一組對(duì)應(yīng)邊相等.〔3〕證明兩個(gè)直角三角形全等，可以從兩個(gè)方面思考：①是有兩邊相等的，可以先考慮用HL，再考慮用SAS；②是有一銳角和一邊的，可考慮用ASA或AAS.14、角的平分線的作法〔1〕在∠AOB的兩邊OA、OB上分別截取OD、OE，使OD=OE.〔2〕分別以D、E為圓心，以大于DE長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于∠AOB內(nèi)一點(diǎn)C.〔3〕作射線OC，那么OC為∠AOB的平分線〔如圖〕指出：〔1〕作角的平分線的依據(jù)是三角形全等的條件——“SSS”.〔2〕角的平分線是一條射線，不能簡(jiǎn)單地表達(dá)為連接.15、角平分線的性質(zhì)在角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.指出：〔1〕這里的距離是指點(diǎn)到角兩邊垂線段的長(zhǎng).〔2〕該結(jié)論的證明是通過(guò)三角形全等得到的，它可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù).即不需再用老方法——全等三角形.〔3〕使用該結(jié)論的前提條件是有角的平分線，關(guān)鍵是圖中有“垂直”.16、角平分線的判定到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.指出：〔1〕此結(jié)論是角平分線的判定，它與角平分線的性質(zhì)是互逆的.〔2〕此結(jié)論的條件是指在角的內(nèi)部有點(diǎn)滿(mǎn)足到角的兩邊的距離相等，那么過(guò)角的頂點(diǎn)和該點(diǎn)的射線必平分這個(gè)角.17、三角形的角平分線的性質(zhì)三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，且這點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.指出：〔1〕該結(jié)論的證明揭示了證明三線共點(diǎn)的證明思路：先設(shè)其中的兩線交于一點(diǎn)，再證明該交點(diǎn)在第三線上.〔2〕該結(jié)論多應(yīng)用于幾何作圖，特別是涉及到實(shí)際問(wèn)題的作圖題.典型例題剖析例1、如下圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F．求證：DE=DF．證明：連結(jié)AD，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD，∴∠1=∠2．又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF．例2、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中點(diǎn)，E、F分別在AC、BC上，且ED⊥FD．求證：．分析：由D點(diǎn)為AB的中點(diǎn)可知△ACD，△BCD的面積都等于△ABC的面積的一半．因此可采用割補(bǔ)法證明．證明：連結(jié)CD．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為AB的中點(diǎn)，∴△ACD≌△BCD∴∠ADC=∠BDC且∠A＝∠B＝45°又∵∠ADC＋∠BDC＝180°∴∠ADC=∠BDC=90°∴∠BCD＝90°－∠B＝45°＝∠B∴∠ACD＝90°－∠A＝45°＝∠A∴AD=BD=CD，又∵ED⊥FD，∴∠EDC＋∠CDF=90°∵∠ADE＋∠EDC=90°∴∠ADE=∠CDF．在△ADE和△CDF中，∴△ADE≌△CDF∴S△ADE=S△CDF同理可證：S△CDE=S△BDF∴．例3、在△ABC中，請(qǐng)證明：〔1〕假設(shè)AD為角平分線，那么〔2〕設(shè)D是BC上一點(diǎn)，連接AD，假設(shè)，那么AD為角平分線．分析：如圖，〔1〕由三角形的面積及底邊聯(lián)想到作三角形的高，作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，那么DE=DF，即結(jié)論①成立；②由①結(jié)合△ABD與△ACD是共高三角形，即可得到結(jié)論．〔2〕逆用上述的思路即可證明結(jié)論成立．證明：〔1〕①如圖，過(guò)D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F．∵AD為角平分線，∴DE=DF∴．②如圖，過(guò)A作AH⊥BC于H，那么S△ABD=BD·AH，S△ACD=CD·AH，∴結(jié)合①有〔2〕作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．∵．∴DE︰DF=1，即DE=DF∴AD為△ABC的角平分線．例4、〔2004·福州〕三月三，放風(fēng)箏，如圖是小明制作的風(fēng)箏，他根據(jù)DE=DF，EH=FH，不用度量，就知道∠DEH=∠DFH．請(qǐng)你用所學(xué)知識(shí)給予證明．分析：證明∠DEH=∠DFH，實(shí)質(zhì)上就是證明兩個(gè)三角形全等，根據(jù)SSS那么不難證明△DEH≌△DFH．證明：連接DH，在△DEH與△DFH中∴△DEH≌△DFH∴∠DEH=∠DFH例5、如圖是城市局部街道示意圖，AB=BC=CA，CD=CE=DE，∠ACB=∠DCE=60°，A、B、C、D、E、F、G、H為“公汽停靠點(diǎn)”，甲公汽從A站出發(fā)．按照A、H、G、D、E、C、F的順序到達(dá)F站，乙公汽從B站出發(fā)，沿B、F、H、E、D、C、G的順序到達(dá)G站，如果甲、乙兩公汽分別從A、B站出發(fā)，在各站耽誤的時(shí)間相同，兩車(chē)的速度也一樣，試問(wèn)哪一輛公汽先到達(dá)指定站？為什么？解：∵∠1＋∠2＋∠3=180°，∠1=∠2=60°，∴∠3=60°，∴∠ACD=∠BCE=120°．在△ACD和△BCE中∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠